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AMORTIGUAMIENTO
INTERNO EN
ESTRUCTURAS
Grupo INME
Universidad Industrial de Santander
Iván Darío Gómez Araújo
Contenido Datos experimentales (Biblioteca de Millikan) y
recomendaciones para amortiguamientos modales.
Dinámica estructural
Ecuación de movimiento libre amortiguado (SDF).
Análisis dinámico varios grados de libertad (MDF) (no amortiguado).
Ortogonalidad de los modos naturales.
Ecuación de movimiento con amortiguamiento (MDF).
Matriz de amortiguamiento clásico.
Amortiguamiento de Rayleigh.
Ejemplo 1
Amortiguamiento de Caughey
Ejemplo 2
Superposición de las matrices modales de amortiguamiento.
Ejemplo 3
Matriz de amortiguamiento no clásica.
Datos Experimentales y Recomendaciones
para amortiguamientos Modales Biblioteca de Millikan
(Instituto Tecnológico de
Pasacadena California).
Concreto reforzado.
Construida en 1967
Planta de 21 x 22.8m
Altura de 43.8m por encima
de la grada, y de 48m por encima de la
fundación (que incluye un piso
de equipos de aire acondicionado).
9 Pisos
43.8 m
Sistema de resistencia a fuerzas laterales (Biblioteca Millikan)
Muros de 30cmMuros de 30cm
Ventanas de concreto
prefabricadas
Elevador y escalera de emergencia
Propiedades de vibración, periodos naturales, modos naturales y
porcentajes de amortiguamiento.
Test de fuerzas de vibraciones armónicas
(Generador de vibraciones)
fn
fafb
2
Curva de respuesta de frecuencia cerca de la frecuencia natural
de la estructura en la dirección este-oeste en el piso 8 (Biblioteca de Millikan)
Resultados
Mediciones en sismos.1. Sismo de Lytle Creek de Septiembre 12 de 1970 (Magnitud 5.4 a 30 km de distancia).
2. Sismo de San Fernando de Febrero 9 de 1971 (Magnitud 6.4 a 64 km de distancia epicentral).
Dirección norte sur (San Fernando)Dirección este oeste (San Fernando)
Desplazamiento relativo del Techo (San Fernando)
Resultados
Estimación modal porcentaje de
amortiguamiento
El porcentaje de amortiguamiento modal
debe ser estimado usando datos de
mediciones en estructuras.
Basados sobre datos de movimiento
sísmicos registrados, donde la estructura sea
sacudida fuertemente pero no deformada en
el rango inelástico.
Recomendaciones
Dinámica Estructural
Ecuación de movimiento libre amortiguado (SDF)
Solución de la ecuación:
(1)
Ecuación característica:
m
mkcc
2
42
1
0 kxxcxm tt
BeAetx 21)(
m
mkcc
2
42
2
02 kcm
A y B dependen de las
condiciones iniciales
Amortiguamiento critico
042
mkcc mkcc 2 )(2m
mmkcc mcc 2
donde
m
k2
Se define como coeficiente de amortiguamiento critico c/cc
cc
c mc 2
Análisis dinámico varios grados de libertad (MDF).Solución modal caso no amortiguado.
0 UKUM (2)
)()( )( tftU i
i
i
Se deriva dos veces
)()( )( tftU i
i
i
(3)
(4)
Se remplaza las dos ultimas ecuaciones en (2)
0)()( )()( tfKtfM i
i
i
i (5)
0)()()()(
tfktfm i
i
jiji
i
jij
Se tienen n ecuaciones del tipo
Se igualan arbitrariamente a i2
2
)(
)(
)(
)(ii
jij
i
jij
i
i
m
k
tf
tf
(6)
Se convierten en dos ecuaciones
0)()( 2 tftf iii
0)(2)(
i
jiji
i
jij mk
tBtsenAtf iiiii cos)(
Solución
0)(2
i
jijiij mk
1)
2)Matricial
0)(2 i
ji MK
Del determinante surge un polinomio (ecuación
característica), las raíces son las frecuencia naturales
“eigevalues”.
02 MK i
La segunda ecuación solo tiene soluciones no triviales
si el determinante de la matriz es igual a cero
Se remplazan las frecuencias para determinar los
valores de amplitudes modos de vibración
“eigenvectores”
0)(2 r
i MK
(7)
1)()( rTr M
1)()( rTr
Normalización
Solución final
tBtsenAtU iiii
i
j cos)()(
)(t
Solución del sistema anterior de ecuaciones
diferenciales simultaneas
Ortogonalidad de los modos naturales
0)(2 r
r MK
Cada modo se obtiene de resolver el sistema de
ecuaciones simultaneas
)(2)( r
r
r MK
Equivalente
Se multiplica por otro modo transpuesto por
ejemplo s
)()(2)()( rTs
r
r
j
Ts MK
Si hubiéramos iniciado el proceso al contrario
primero el modo s y luego r
)()(2)()( sTr
s
sTr MK
Se le aplica transpuesta a ambos lados a 11,
utilizando el principio de ([A][B][C])T = [C]T [B]T
[A]T, además [K]=[K]T y [M]=[M]T ya que son
simétricas
(8)
(9)
(10)
(11)
)()(2)()( rTs
s
rTs MK (12)
Restando al ecuación 12 de la ecuación 10
)()(220 rTs
sr M
Por lo general las frecuencias son diferentes,
por lo tanto.
022 sr
Entonces.
0)()( rTs M
La misma prueba puede iniciarse con la
ecuación 8 expresada.
)()(
2
1 rr
r
MK
Se llega.
0)()( rTs K
En resumen el principio de ortogonalidad dice
que si los modos se normalizaron, entonces.
rs
rs
si
siM rTs
0
1)()(
rs
rs
si
siK srTs
0
2
)()(
(13)
(14)
(16)
Ecuación de movimiento con amortiguamiento (MDF)
0 UKUCUM
Utilizando el amortiguamiento hallado para un solo grado, la matriz de amortiguamiento queda
02 UKUMUM
La solución es del tipo
U U U
Primera derivada Segunda derivada
(17)
(18)
(19)
Remplazamos las ecuaciones 19 en 18
02 KMM
Multiplicamos por T
02 KMMTTT
(20)
I I 2 Matrices diagonales
022
iiiiii Sistema desacoplado con n
ecuaciones diferenciales de
un solo grado de libertad
C ii
TC 2
(21)
Matriz de AmortiguamientoCuando es necesario la matriz de amortiguamiento?.
1. Análisis de sistemas no lineales y,
2. Amortiguamiento no clásico.
La matriz de amortiguamiento no debe ser calculada de las dimensiones
estructurales, tamaño de los miembros de la estructura y del amortiguamiento
de los materiales.
Matriz de amortiguamiento clásica
Amortiguamiento de Rayleigh.
Se considera.
MaC 0 KaC 1y
Desacoplando la matriz de amortiguamiento
MaCTT
0 KaCTT
1
02 ann 2
12 nnn a
n
n
a
1
20
nn
a
21
La variación del porcentaje de
amortiguamiento con la frecuencia
natural presentada en la figura no
son consistentes con datos
experimentales, por lo tanto una
matriz de amortiguamiento un poco
consistentes con los datos
experimentales es considerar.
KaMaC 10
(21) (22)
Porcentaje de amortiguamiento para las
frecuencias naturales (Rayleigh)
n
n
n
aa
2
1
210
En forma matricial
j
i
j
j
i
i
a
a
1
0
1
1
2
1
Las ecuaciones algebraicas se resuelven para
determinar los coeficientes a0 y a1 si el amortiguamiento
es igual en diferentes modos
ji
jia
20
ji
a
2
0
(23)
Ejemplo 1Supongamos que tenemos un edificio como el mostrado en la figura. Estamos
interesados en la respuesta del edificio en la direccion x unicamente. La rigidez
de cada uno de los pisos es igual y se denomina k. La masa de los dos pisos
inferiores es el doble, para cada uno, que la de cubierta, la cual se denomina
m. m= 90.72kN*s2/m, k=106827.38kN/m.
Derive la matriz de amortiguamiento de Rayleigh para un porcentaje de
amortiguamiento del 5% para el primer y segundo modo. Compute el
porcentaje de amortiguamiento para el tercer modo.
Solución
Amortiguamiento de CaugheyPara especificar valores de porcentajes de amortiguamiento para de dos
modos.
Ejemplo 2
Para el sistema del ejemplo 1 evaluar la matriz de amortiguamiento si el
porcentaje de amortiguamiento es de 5% para los tres modos.
lN
l
l kmamc
1
0
1
El porcentaje de amortiguamiento modal es dado por (ver derivación Anil Chopra
dynamics of structures)
1
0
12
2
1j
l
l
nln wa
Los primeros tres términos de la serie son
makmmao 0
01 )( kakmma 1
11
1 )( kkmakmma 1
2
21
2 )(
(24)
(25)
Superposición de las matrices modales
de amortiguamiento.
n
T Cc
Un procedimiento alternativo para determinar una matriz de
amortiguamiento clásico es a partir de los porcentajes de amortiguamiento
modales, empezando con la ecuación.
Donde C esta determinada por.
)2( nnnn MC
(26)
La ecuación 26 puede ser reescrita
como
11 n
T Cc
Por otro lado la matriz de masa
modales.
n
T Mm
La anterior ecuación se puede mostrar
como
mM T
n 11 11
n
T Mmy(27)
(28)
(29)
Sustituyendo las ecuaciones anteriores
en 28
)()(11
mMCMmc T
nnn
Sustituyendo 27 en 28 queda.
mM
mcN
n
T
nn
n
nn
1
2
Ejemplo 3
Determinar una matriz de amortiguamiento para el sistema del
ejemplo 1 por superposicion de las matrices de amortiguamiento para
los tres modos con =5%
Matriz de amortiguamiento no clásica.
KaMaC 10 fffff KaMaC10
Estructura Suelo
Referencias.
Anil K. Chopra, “Dynamics of Structures Theory and
applications to earthquake engineering, Prentice Hall,
University of California at Berkeley.
Garcia R. Luis “Dinamica estructural aplicada al diseño
sísmico, Universidad de los andes”
T. K. Caughey and M. E. J. O'Kelly “Effect of Damping on
the Natural Frequencies of Linear Dynamic Systems”,
California Institute of Technology.
S. Adhikari, “Damping modelling using generalized
proportional damping” Department of Aerospace
Engineering, University of Bristol, Queens Building,
University Walk, Bristol BS8 1TR, UK
ExcitaciónAceleración en
el techo (g)
Modo fundamental
Periodo (seg)Amortiguamiento
(%)
Dirección norte sur
Generador de
Vibraciones5x10-3 a 20x10-3 0.51 -0.53 1.2-1.8
Dirección este oeste
Generador de
Vibraciones3x10-3 a 20x10-3 0.66 -0.68 0.7-1.5
Periodos de vibración natural y porcentajes de amortiguamiento de la Biblioteca
De Millikan
ExcitaciónAceleración en
el techo (g)
Modo fundamental
Periodo (seg)Amortiguamiento
(%)
Dirección norte sur
Generador de
Vibraciones5x10-3 a 20x10-3 0.51 -0.53 1.2-1.8
Sismo Lytle Creek 0.05 0.52 2.9
Sismo San Fernando 0.312 0.62 6.4
Dirección este oeste
Generador de
Vibraciones3x10-3 a 20x10-3 0.66 -0.68 0.7-1.5
Sismo Lytle Creek 0.035 0.71 2.2
Sismo San Fernando 0.348 0.98 7.0
Periodos de vibración natural y porcentajes de amortiguamiento de la
Biblioteca De Millikan
Recomendaciones de valores de amortiguamiento
Nivel de Esfuerzos Tipo y condiciones de estructurasPorcentajde de amortiguamiento
(%)
No mas de la mitad del punto de
fluencia
Acero Soldado, Concreto
pretensado, Concreto bien
reforzado (solo agrietamiento
ligero)
2-3
Concreto reforzado con
considerable agrietamiento3-5
Acero remachado, Estructuras de
madera con uniones clavadas
o remachadas.
5-7
Un poco por debajo del punto de
fluencia
Acero soldado, Concreto
pretensado (sin completa
perdida en preesfuerzo)
5-7
Concreto pretensado con perdida
de preesfuerzo7-10
Concreto reforzado 7-10
Acero remachado, Estructuras de
madera con uniones
remachadas.
10-15
Estructuras de madera con uniones
clavadas.15-20
Para estructuras de mampostería no reforzada 3% y reforzadas 5%
Fuente: N., M., Newmark. y W. J. Hall. Berkeley California
