Amortiguamiento en Estructuras Final

7/25/2019 Amortiguamiento en Estructuras Final

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UNIVERSIDAD MAS ALTA DEL MUNDO CON EXCELENCIA ACADEMICA Y RESPONSABILIDAD

III. MODELOS DINMICOS

3.1.AMORTIGUAMIENTO EN ESTRUCTURAS

Existen muchos inventos que aplican los principios de las fuerzas mecnicas los cuales tienen el objetivo

de anular o disipar un impacto.

Tambin, amortiguacin es la disipacin de energa en una estructura mecnica y su conversin en calor.

Hay varios mecanismos de amortiguacin, los ms importantes son la amortiguacin Coulomb y la

amortiguacin viscosa.

No es prctico determinar los coeficientes de la matriz de amortiguamiento directamente a partir de las

dimensiones estructurales, los tamaos de los elementos estructurales y las propiedades de

amortiguamiento de los materiales estructurales utilizados. Por lo tanto, el amortiguamiento suele

especificarse mediante los valores numricos de las fracciones de amortiguamiento modal; estos valores

son suficientes para analizar los sistemas lineales con amortiguamiento clsico. Los datos experimentales

que proveen un fundamento para estimar estas fracciones de amortiguamiento se estudian en la parte A

de este captulo, que termina con los valores recomendados para las fracciones de amortiguamiento

modal. Sin embargo, la matriz de amortiguamiento es necesaria para el anlisis de los sistemas lineales

con amortiguamiento no clsico y para el estudio de las estructuras no lineales. En la parte B se

presentan dos procedimientos para construir la matriz de amortiguamiento de una estructura a partir de las

relaciones de amortiguamiento modal; se consideran los sistemas con amortiguamiento clsico, as comolos sistemas con amortiguamiento no clsico.

3.1.1. PARTE A: DATOS EXPERIMENTALES Y FRACCIONES DE AMORTIGUAMIENTO MODAL

RECOMENDADAS

3.1.1.1. PROPIEDADES DE VIBRACIN DEL EDIFICIO DE LA BIBLIOTECA MILLIKAN

Elegida como un ejemplo para analizar el amortiguamiento, la Biblioteca Robert A. Millikan es un edificio

de nueve pisos, hecho con concreto reforzado y construido en 1966-1967, en el campus del California

Institute of Technology en Pasadena, California. En la figura 1 se muestra una fotografa de este edificio.Tiene una planta de 69 por 75 pies, y se extiende 144 pies por encima del nivel del terreno y 158 pies por

encima del nivel del stano. La altura incluye un techo cerrado que alberga equipos de aire acondicionado.

Las fuerzas laterales en la direccin norte-sur son soportadas principalmente por los muros de cortante de

12 pulgadas de espesor de concreto reforzado situados en los extremos este y oeste del edificio. En la

direccin este-oeste los muros de 12 pulgadas de concreto reforzado del ncleo central, que albergan el

ascensor y la escalera de emergencia, proporcionan la mayor parte de la resistencia lateral. En los muros

norte y sur hay muros prefabricados de concreto con ventanas, atornillados. stos se disearon para una


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funcin arquitectnica, pero proporcionan rigidez en la direccin este-oeste para las vibraciones de baja

amplitud.

Figura 1 Biblioteca Millikan, Califoornia Institute of Technology

Las propiedades de vibracin (periodos naturales, modos naturales y fracciones de amortiguamiento

modal) de la Biblioteca Millikan se han determinado mediante pruebas de vibracin forzada, utilizando el

generador de vibraciones mostrado en la figura 2.Tal prueba conduce a una curva de respuesta en lafrecuencia que muestra un pico de resonancia correspondiente a cada frecuencia natural de la estructura;

por ejemplo, en la figura 3se muestra una curva de respuesta en la frecuencia con valores cercanos a la

frecuencia de vibracin natural fundamental en la direccin este-oeste. A partir de estos datos fue posible

determinar la frecuencia natural y la fraccin de amortiguamiento para el modo de vibracin fundamental, y

los resultados se presentan en la tabla 1.


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Figura 2. Generador de vibracin con peso excntrico y giro en oposicin.

Figura 3. Curva respuesta en la frecuencia para la Biblioteca Millikan cerca de su frecuencia fundamental devibracin en direccin este oeste; la aceleracin se midi en el octavo nivel. (Adaptado de Jennings y Kuroiwa,1968).


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TABLA 1.PERIODOS NATURALES DE VIBRACIN Y FRACCIONES DE AMORTIGUAMIENTO MODAL DE LABIBLIOTECA MILLIKAN

La Biblioteca Millikan se encuentra aproximadamente a 19 millas del epicentro del sismo de magnitud 6.4

de San Fernando, California, ocurrido el 9 de febrero de 1971. Los acelergrafos de movimiento fuerte

instalados en el stano y el techo del edificio registraron tres componentes de las aceleraciones (dos

horizontales y una vertical). Las aceleraciones registradas en la direccin norte-sur, dadas en la figura 4,

muestran que la aceleracin mxima de 0.202g en el stano se amplific hasta 0.312 g en el techo. En la

figura 5 se muestra que en la direccin este-oeste la aceleracin mxima en el stano y el techo fueron de

0.185g y 0.348g, respectivamente. Las aceleraciones en el techo representan el movimiento total del

edificio, que se compone de los movimientos de la estructura respecto al terreno ms el movimiento del

terreno. El desplazamiento total en el techo del edificio y el desplazamiento del stano se obtuvieron al

integrar dos veces aceleraciones registradas.

Los componentes norte-sur y este-oeste del desplazamiento relativo del techo, determinados al restar el

desplazamiento del terreno (stano) del desplazamiento total en el techo, se presentan en la figura 6. Se

puede observar que las aceleraciones horizontales del techo del edificio son mayores y que su variacin

con el tiempo es diferente a la de las aceleraciones del terreno.


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Figura 4.Aceleraciones en la direccin nortesur registradas en la Biblioteca Millikan durante el sismo de SanFernando, California, en 1971.

Figura 5.Aceleraciones en la direccin este - oeste registradas en la Biblioteca Millikan durante el sismo de SanFernando, California, en 1971.

Figura 6. Desplazamiento relativo del techo en (a) la direccin nortesur, (b) la direccin esteoeste. (Adaptado

de Foutch, Housner y Jennings, 1975)


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(Stano). Estas diferencias surgen porque el edificio es flexible, no rgido. En las grficas de

desplazamiento se observa que la amplitud de desplazamiento del techo con respecto al stano fue de

1.06 pulg. en la direccin norte-sur, y 2.71 pulg. en la direccin este-oeste. El edificio vibr en la direccin

norte-sur con un periodo del modo fundamental de aproximadamente seis dcimas de segundo, mientras

que en la direccin este-oeste dicho periodo fue de 1 s. Estos valores de periodos se estimaron como la

duracin de un ciclo de vibracin en la figura 6. Es posible obtener valores ms exactos para los primeros

periodos naturales y las fracciones de amortiguamiento modal a partir de las aceleraciones registradas en

el stano y el techo usando procedimientos de identificacin de sistemas (que no se presentan en este

libro). Los resultados de los primeros dos modos en las direcciones norte-sur y este oeste se presentan en

la tabla 1. para el edificio de la Biblioteca Millikan. Tambin se tienen registros de aceleracin en el stano

y en el techo de este edificio para el sismo de Lytle Creek del 12 de septiembre de 1970. El sismo de Lytle

Creek con magnitud de 5.4, cuyo epicentro se encuentra a 40 millas de la Biblioteca Millikan, produjo en el

edificio una aceleracin mxima del terreno de aproximadamente 0.02g y una aceleracin en el techo de

0.05g, niveles bastante bajos para el movimiento ssmico medido. Un anlisis de identificacin de sistemas

con estos registros llev a los valores de los periodos naturales y las fracciones de amortiguamiento que

se muestran en la tabla 1. Para las vibraciones de pequea amplitud debidas al sismo de Lytle Creek, los

periodos fundamentales de 0.52 y 0.71 s en la direccin norte-sur y este-oeste, respectivamente, fueron

similares (slo un poco ms largos) a los determinados en las pruebas con el generador de vibraciones.De manera similar, las fracciones de amortiguamiento aumentaron un poco respecto a las pruebas con el

generador de vibraciones. Para los movimientos ms grandes del edificio durante el sismo de San

Fernando, los periodos naturales y las fracciones de amortiguamiento se incrementaron de manera

significativa con respecto a los valores de las pruebas con el generador de vibraciones. El periodo

fundamental en la direccin norte-sur aument de 0.51 a 0.62 s, y la fraccin de amortiguamiento se

increment considerablemente, hasta el 6.4%. En la direccin este-oeste el edificio vibr con un periodo

fundamental de 0.98 s, que es un 50% mayor que el periodo de 0.66 s durante las pruebas con elgenerador de vibraciones; el amortiguamiento tambin aument mucho, hasta un 7.0%.

El incremento de los periodos naturales para las amplitudes ms grandes del movimiento experimentado

por el edificio durante el sismo de San Fernando implica una reduccin en la rigidez de la estructura. La

rigidez en la direccin este-oeste se redujo de manera considerable, aunque con excepcin de la cada de

estanteras y pequeas grietas en el aplanado, el edificio no sufri ningn dao observable. El dao

aparente de la estructura debido al sismo es tambin la causa del aumento sustancial en el

amortiguamiento. Tras el terremoto se produce una recuperacin aparente de la rigidez estructural, como


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lo sugieren los periodos naturales medidos (no se presentan aqu) que son ms cortos que en el sismo. El

hecho de que la recuperacin sea completa o parcial parece depender slo de la intensidad con la que la

estructura se excit por el sismo. Todos stos son indicadores de la complejidad del comportamiento de

las estructuras reales durante los sismos

3.1.1.2. ESTIMACIN DE LAS FRACCIONES DE AMORTIGUAMIENTO MODAL

Por lo general, no es posible determinar las propiedades de amortiguamiento o los periodos naturales de

vibracin de una estructura si stos se analizan en la forma en que se determinaron para la Biblioteca

Millikan. Si va a evaluarse la seguridad ssmica de una estructura existente, lo ideal sera determinar de

manera experimental las propiedades importantes de la estructura, incluyendo su amortiguamiento, pero

esto se hace muy pocas veces por falta de presupuesto y tiempo. Para un edificio nuevo que se est

diseando es obvio que sus propiedades de amortiguamiento o de otro tipo no pueden medirse.

Por lo tanto, las fracciones de amortiguamiento modal de una estructura deben estimarse a partir de los

datos medidos en estructuras similares. Aunque los investigadores han acumulado un volumen

considerable de datos valiosos, stos deben usarse con discrecin, porque algunos de ellos no son

directamente aplicables a los anlisis y diseos ssmicos. Resulta claro, a partir de los datos de la

Biblioteca Millikan, que las fracciones de amortiguamiento determinadas con base en las pruebas de

vibracin forzada de baja amplitud no deben utilizarse de manera directa para el anlisis de la respuesta

ssmica que causan movimientos ms grandes en la estructura, por ejemplo, hasta llegar a la cedencia delos materiales estructurales. Las fracciones de amortiguamiento modal para tales anlisis deberan

basarse en los datos de los movimientos ssmicos registrados.

Los datos que son ms tiles pero difciles de conseguir provienen de las estructuras que han sido

sometidas a movimientos del terreno en muchas ocasiones pero que no se han deformado en el intervalo

inelstico. Las fracciones de amortiguamiento determinadas a partir de pequeas deformaciones

estructurales no son representativas de los amortiguamientos ms grandes esperados a altos niveles de

deformacin estructurales. Por otra parte, los movimientos registrados en las estructuras que hanexperimentado una cedencia significativa durante un sismo proporcionaran fracciones de amortiguamiento

que incluyen tambin la disipacin de energa debida a la cedencia de los materiales estructurales. Estas

fracciones de amortiguamiento no seran tiles en el anlisis dinmico, porque la disipacin de energa en

la cedencia se explica por separado a travs de las relaciones no lineales de fuerza-deformacin.

Los datos tiles sobre el amortiguamiento tardan en acumularse debido a que existen muy pocas

estructuras instaladas con acelergrafos permanentes, listos para registrar los movimientos cuando se

produce un sismo, y a que los sismos fuertes son poco frecuentes. La mayor parte de los registros de


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movimientos de las estructuras debidos a sismos en Estados Unidos son de edificios de varios niveles en

California: ms de 50 edificios en el rea metropolitana de Los ngeles durante el terremoto de San

Fernando en 1971; ms de 40 edificios en las reas de la Baha de Monterey y la Baha de San Francisco

durante el sismo de Loma Prieta en 1989; y ms de 100 edificios en el rea metropolitana de Los ngeles

durante el sismo de 1994 en Northridge. Por otra parte, slo se han analizado los movimientos registrados

de algunos de estos edificios para determinar sus periodos naturales y fracciones de amortiguamiento

modal.

Lo ideal sera disponer de datos sobre el amortiguamiento determinados a partir de movimientos ssmicos

registrados en muchas estructuras de diversos tipos (edificios, puentes, presas, etctera) que utilicen

diferentes materiales (acero, concreto reforzado, concreto preesforzado, mampostera, madera, etctera).

Tales datos serviran de base para estimar las fracciones de amortiguamiento para una estructura

existente cuya seguridad ssmica deba evaluarse o para una nueva estructura que se est diseando.

Hasta que se acumule una base de datos lo suficientemente grande, la seleccin de las fracciones de

amortiguamiento se basa en los datos disponibles y en las opiniones de expertos. En la tabla 2 se

proporcionan los valores recomendados de amortiguamiento para dos niveles de movimiento: los niveles

de esfuerzo de servicio con amplitudes menores a la mitad del esfuerzo de cedencia, y los esfuerzos que

estn en el punto de cedencia, o justo por debajo de ste. Para cada nivel de esfuerzo se da un intervalo

de valores de amortiguamiento; los valores superiores de amortiguamiento se utilizan para las estructurasnormales y los valores ms bajos se emplean para las estructuras especiales que deben disearse de

manera ms conservadora. Adems de la tabla 2., los valores de amortiguamiento recomendados son del

3% para las estructuras de mampostera no reforzada y del 7% para las construcciones de mampostera

reforzada. La mayora de los cdigos de construccin no reconocen la variacinen el amortiguamiento

respecto a los materiales estructurales y, por lo general, existe una fraccin de amortiguamiento del 5%

implcita en el espectro de diseo y en las fuerzas ssmicas especificadas en el cdigo.

Las fracciones de amortiguamiento recomendadas pueden utilizarse directamente para el anlisis elsticolineal de las estructuras con amortiguamiento clsico. Para tales sistemas las ecuaciones de movimiento

se desacoplan al transformarlas a los modos naturales de vibracin del sistema no amortiguado, y las

fracciones de amortiguamiento modal estimadas se utilizan en forma directa en cada ecuacin modal.


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TABLA 2.VALORES DE AMORTIGUAMIENTO RECOMENDADOS

3.1.2. PARTE B: CONSTRUCCIN DE LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO

3.1.2.1. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO

Cundo se requiere la matriz de amortiguamiento? La matriz de amortiguamiento debe definirse por

completo si el anlisis modal clsico no es aplicable. Tal es el caso de las estructuras con amortiguamientono clsico, incluso si el inters se limita a su respuesta elstico lineal. El anlisis modal clsico tampoco es

aplicable al anlisis de sistemas no lineales, aun cuando el amortiguamiento tenga una forma clsica.

Uno de los problemas no lineales ms importantes que interesan aqu es el clculo de la respuesta de las

estructuras ms all de su intervalo elstico lineal durante los sismos.

La matriz de amortiguamiento para estructuras prcticas no debe calcularse a partir de las dimensiones

estructurales, de los tamaos de los elementos estructurales ni del amortiguamiento de los materiales

estructurales utilizados. Podra pensarse que es posible determinar la matriz de amortiguamiento para laestructura a partir de las propiedades de amortiguamiento de los distintos elementos estructurales, tal

como se determina la matriz de rigidez estructural. Sin embargo, la determinacin de la matriz de

amortiguamiento en esta forma no resulta prctica porque a diferencia del mdulo de elasticidad, que entra

en el clculo de la rigidez, las propiedades de amortiguamiento de los materiales no estn bien

establecidas. Incluso si estas propiedades se conocieran, la matriz de amortiguamiento resultante no

tomara en cuenta una parte significativa de la energa disipada por la friccin entre las conexiones de

acero, la apertura y cierre de microgrietas en el concreto, los esfuerzos en los elementos no estructurales


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(muros divisorios, equipo mecnico, elementos de proteccin contra incendio, etctera), la friccin entre la

propia estructura y los elementos no estructurales, y otros mecanismos similares, algunos de los cuales

son incluso difciles de identificar.

As, la matriz de amortiguamiento para una estructura debe determinarse a partir de sus fracciones de

amortiguamiento modal, que representan todos los mecanismos de disipacin de energa.

Como se analiz en la seccin 3.1.1.2, las fracciones de amortiguamiento modal deben estimarse a partir

de los datos disponibles sobre estructuras similares que han sufrido movimientos fuertes durante sismos

pasados, pero que no se han deformado en el intervalo inelstico; a falta de estos datos se recomiendan

los valores de la tabla 2.

3.1.2.1. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO CLSICO

El amortiguamiento clsico es una idealizacin apropiada si los mecanismos de amortiguamiento que se

distribuyen a lo largo de toda la estructura son similares (por ejemplo, un edificio de varios niveles con un

sistema estructural y materiales estructurales semejantes en toda su altura). En esta seccin se

desarrollan dos procedimientos a fin de construir una matriz de amortiguamiento clsico para una

estructura a partir de las fracciones de amortiguamiento modal, estimadas tal como se describe en la

seccin 3.1.1.2.Estos dos procedimientos se presentan en las siguientes subsecciones.

3.1.2.1.1. Amortiguamiento de Rayleigh

Considere primero un amortiguamiento proporcional a la masa y un amortiguamiento proporcional a larigidez:

..(1)

Donde las constantes a0 y a1 tienen unidades de s-1 y s, respectivamente. Para estas dos matrices de

amortiguamiento la matriz Ces diagonal en virtud de las propiedades de ortogonalidad modal; por lo tanto,

se trata de matrices de amortiguamiento clsico. Fsicamente, representan los modelos de

amortiguamiento que se muestran en la figura 7 para un edificio de varios niveles. El amortiguamientoproporcional a la rigidez apela a la intuicin, dado que puede interpretarse para modelar la disipacin de

energa derivada de las deformaciones de los entrepisos. En contraste, el amortiguamiento proporcional a

la masa es difcil de justificar fsicamente debido a que el amortiguamiento del aire que puede utilizarse en

este modelo es demasiado pequeo para la mayora de las estructuras. Ms adelante se ver que, por s

solos, ninguno de los dos modelos de amortiguamiento es apropiado para su aplicacin prctica.


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F igura 7. (a) Amortiguamiento proporcional a la masa, (b) amortiguamiento proporcional a la rigidez

A continuacin se relacionan las fracciones de amortiguamiento modal para un sistema de

amortiguamiento proporcional a la masa con el coeficiente a0. El amortiguamiento generalizado para el n-

simo modo, es

(2)

y la fraccin de amortiguamiento modal, ecuacin es

(3)

La fraccin de amortiguamiento es inversamente proporcional a la frecuencia natural (figura 7.a). El

coeficiente a0 puede seleccionarse de manera que se obtenga un valor especfico de la fraccin de

amortiguamiento en cualquier modo, por ejemplo ipara el i-simo modo. Entonces la ecuacin (3) da

..(4)

De manera similar, las fracciones de amortiguamiento modal para un sistema con amortiguamientoproporcional a la rigidez pueden relacionarse con el coeficiente a1. En este caso,

.. (5)

La fraccin de amortiguamiento se incrementa linealmente con la frecuencia natural (figura 7.a). El

coeficiente a1 puede seleccionarse de manera que se obtenga un valor especfico de la fraccin de

amortiguacin en cualquier modo, por ejemplo jpara elj-simo modo. Entonces, la ecuacin (5b) da


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.. (6)

Al haber determinado a1, la matriz de amortiguamiento c se conoce a partir de la ecuacin (1b), y la

fraccin de amortiguamiento en cualquier otro modo est dada por la ecuacin (5b). Ninguna de las

matrices de amortiguamiento definidas por la ecuacin (1) es apropiada para el anlisis prctico de los

sistemas de varios grados de libertad.

Las variaciones de las fracciones de amortiguamiento modal con las frecuencias naturales que

representan (figura 8.a) no son compatibles con los datos experimentales que indican aproximadamente

las mismas fracciones de amortiguamiento para varios modos de vibracin de una estructura.

Como un primer paso hacia la construccin de una matriz de amortiguamiento que sea en cierta medida

consistente con los datos experimentales, se considera el amortiguamientode Rayleigh:

.. (7)

La fraccin de amortiguamiento para el n-simo modo de tal sistema es

.. (8)

Los coeficientes a0y a1pueden determinarse a partir de las fracciones de amortiguamiento especificadasi y j para los modos i-simo y j-simo, respectivamente. Si la ecuacin (8) para estos dos modos se

expresa en forma matricial, resulta

.. (9)

Estas dos ecuaciones algebraicas pueden resolverse para determinar los coeficientes a0 y a1. Si se

supone que ambos modos tienen la misma fraccin de amortiguamiento , lo cual es razonable con base

en los datos experimentales, entonces

.. (10)

Ahora, la matriz de amortiguamiento se conoce a partir de la ecuacin (7) y la fraccin de amortiguamiento

para cualquier otro modo, dada por la ecuacin (8), vara con la frecuencia natural, como se muestra en la

figura 8.b.


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Figura E.1

Solucin

1. Establezca las matrices de masa y rigidez.

2. Determine a0 y a 1 a partir de la ecuacin (11.4.9).

Estas ecuaciones algebraicas tienen la siguiente solucin:

a0= 0.9198 a1= 0. 1200

3. Evale la matriz de amortiguamiento.

4. Calcule 3 a partir de la ecuacin (11.4.8).

3.1.2.1.2. Amortiguamiento de Caughey.

Si se desean especificar valores para las fracciones de amortiguamiento en ms de dos modos, debe

tenerse en cuenta la forma general de una matriz de amortiguamiento clsico, conocida como el

amortiguamiento de Caughey:


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.. (11)

donde N es el nmero de grados de libertad en el sistema y al son constantes. Los tres primeros trminos

de la serie son

.. (12)

As, la ecuacin (11) con slo los dos primeros trminos es igual al amortiguamiento de Rayleigh. Suponga

que se desean especificar las relaciones de amortiguamiento para los Jmodos de un sistema de Ngrados

de libertad. Entonces, es necesario incluir Jtrminos en la serie Caughey; stos podran ser cualesquiera

Jde los Ntrminos de la ecuacin (11). Si se incluyen los primeros Jtrminos,

.. (13)

y la fraccin de amortiguamiento modal n es t dada por (vea la deduccin 11.2)

.. (14)Los coeficientes alpueden determinarse a partir de las fracciones de amortiguamiento especificadas en

cualesquiera Jmodos, por ejemplo los Jprimeros modos, al resolver las ecuaciones algebraicas (14) para

las incgnitas a1, l = 0 a J- 1. Al haber determinado los al, la matriz de amortiguamiento cse conoce a

partir de la ecuacin (13) y las fracciones de amortiguamiento para los modos n=J +1, J +2,..., Nestn

dadas por la ecuacin (14). Es recomendable que estas fracciones de amortiguamiento se calculen de

manera que garanticen valores razonables.

Con el propsito de demostrar que es importante seguir la recomendacin anterior, se presentan losresultados de una estructura de ejemplo para la cual se especific la misma fraccin de amortiguamiento

= 5% en los primeros cuatro modos, los cuatro primeros trminos se incluyeron en la ecuacin (11) y los

valores de a lse determinaron como se describi anteriormente para despus sustituirlos en la ecuacin

(14), a fin de determinar la fraccin de amortiguamiento en funcin de la frecuencia. Estos resultados,

graficados en la figura 9, demuestran que la fraccin de amortiguamiento se mantiene cerca (ligeramente

por encima o por debajo) del valor deseado en el intervalo de frecuencias de 1a 4, siendo igual a en

las primeras cuatro frecuencias naturales, pero que aumenta monotnicamente con las frecuencias


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mayores a 4. Como resultado, las contribuciones a la respuesta de los modos ms altos se subestimarn

hasta un punto que en esencia resultarn excluidas. Por otro lado, cuando la fraccin de amortiguamiento

se especifica slo para los tres primeros modos, el mismo procedimiento conduce a una fraccin razn

de amortiguamiento que est cerca del valor deseado en el intervalo de frecuencia de 1 a 3 , pero

disminuye monotnicamente para los modos superiores al tercer modo, tomando al final valores negativos.

Figura 9.

stos son, por supuesto, poco realistas porque implican vibraciones libres que crecen en vez de decaer

con el tiempo. En conclusin, el amortiguamiento de Caughey debera definirse de tal manera que se

logren fracciones de amortiguamiento modal cercanas al valor deseado en todos los modos que

contribuyen de manera significativa a la respuesta, y ninguno de los valores ndebe ser negativo.

Aunque la matriz general de amortiguamiento clsico dada por la ecuacin (13) hace posible especificar

las fracciones de amortiguamiento en cualquier nmero de modos, hay dos problemas asociados con su

uso. En primer lugar, las ecuaciones algebraicas (14) estn numricamente mal condicionadas porque los

coeficientes -1n, n,3n,5n,... pueden variar en rdenes de magnitud. En segundo lugar, si se incluyen

ms de dos trminos en la serie de Caughey, c es una matriz completa, aunque k sea una matriz en

banda, y para un sistema de masas concentradas, m sea una matriz diagonal. Dado que el esfuerzo

computacional para analizar grandes sistemas aumenta de manera considerable si la matriz de

amortiguamiento no es concentrada, en los anlisis prcticos suele suponerse un amortiguamiento de

Rayleigh.


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Un procedimiento alternativo para determinar una matriz de amortiguamiento clsico a partir de las

fracciones de amortiguamiento modal puede deducirse iniciando con la ecuacin

(10.9.4):

(11.4.15)

donde C es una matriz diagonal con el n-simo elemento diagonal igual al amortiguamiento modal

generalizado:

(11.4.16)

Con nestimada de la manera descrita en la seccin 11.2, Cse conoce a partir de la ecuacin

(11.4.16) y la ecuacin (11.4.15) puede reescribirse como

(11.4.17)El uso de esta ecuacin para calcular cpuede lucir como un procedimiento ineficiente, puesto que parece

requerir la inversin de dos matrices de orden N, el nmero de grados de libertad. Sin embargo, la inversa

de la matriz modal F y de F puede determinarse con pocos clculos debido a la propiedad de

ortogonalidad de los modos.

Si se inicia con la relacin de ortogonalidad de la ecuacin (10.4.5b),

(11.4.18)

es posible demostrar que

(11.4.19)


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Como Mes una matriz diagonal de masas modales generalizadas Mn, M-1se conoce de inmediato como

una matriz diagonal con elementos 1/Mn. As, F 1 y (F puede calcularse de manera eficaz a partir de la

ecuacin (11.4.19).

Si se sustituye la ecuacin (11.4.19) en la ecuacin (11.4.17), resulta

(11.4.20)

Como My Cson matrices diagonales, definidas por las ecuaciones (11.4.18) y (11.4.15), respectivamente,

la ecuacin (11.4.20) puede expresarse como

(11.4.21)

=

El n-simo trmino en esta sumatoria es la contribucin del n-simo modo con su fraccin de

amortiguamiento n a la matriz de amortiguamiento c; si este trmino no est incluido, la c resultante

implica una fraccin de amortiguamiento igual a cero en el n-simo modo. Es razonable incluir en la

ecuacin (11.4.21) slo los Jprimeros modos, de los cuales se espera una contribucin significativa a la

respuesta. La ausencia de amortiguamiento en los modos del J+1 al Nno crea problemas numricos si se

usa un procedimiento paso a paso que sea incondicionalmente estable para integrar las ecuaciones de

movimiento; vea el captulo 15.

Ejemplo 11.3

Determine una matriz de amortiguamiento para el sistema de la fi gura E11.1 mediante la superposicin de

las matrices de amortiguamiento para los dos primeros modos, cada uno con n=5%.

Solucin

1.

Determine los trminos individuales de la ecuacin (11.4.21).


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2. Determinec.

Recuerde que esta cimplica una fraccin de amortiguamiento cero para el tercer modo.

3.1.2.2. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO NO CLSICO

El supuesto del amortiguamiento clsico no es apropiado si el sistema a analizar se compone de dos o

ms partes con niveles muy diferentes de amortiguamiento. Un ejemplo es un sistema suelo-estructura.

Aunque el suelo subyacente puede suponerse rgido en el anlisis de muchas estructuras, en caso de que

stas tengan periodos naturales muy cortos, como la estructura de una planta nuclear de la figura 1.10.1,

es necesario tener en cuenta la interaccin suelo-estructura. La fraccin de amortiguamiento modal para el

sistema del suelo suele ser muy diferente de la fraccin de la estructura; por ejemplo, entre 15 y 20% para

la regin del suelo y de 3 a 5% para la estructura. Por lo tanto, el supuesto del amortiguamiento clsico no

resultara apropiado para el sistema combinado de suelo-estructura, aunque podra ser razonable para las

regiones de la estructura y el suelo por separado. Otro ejemplo es una presa de concreto que retiene agua

(figura1.10.2). El amortiguamiento del agua es insignificante en relacin con el amortiguamiento de lapresa, y el amortiguamiento clsico no es un modelo apropiado para el sistema presa-agua. Aunque los

mtodos de subestructuracin (que no se desarrollan en este libro) son muy efectivos para analizar los

sistemas suelo-estructura y fluido-estructura, estos sistemas tambin se analizan mediante mtodos

estndar, los cuales requieren la matriz de amortiguamiento para el sistema completo.

La matriz de amortiguamiento para el sistema completo se construye directamente al ensamblar las

matrices de amortiguamiento para los dos subsistemas (estructura y suelo en el primer caso, presa y agua

en el segundo). Como se muestra en la figura 10, las matrices de rigidez y masa del sistema combinadosuelo-estructura se ensamblan a partir de las matrices correspondientes para los dos subsistemas. La

parte de estas matrices asociada con los grados de libertad comunes en la interfaz ( I) entre los dos

subsistemas incluye las contribuciones de ambos subsistemas. Entonces, todo lo que queda por describir

es el procedimiento para construir matrices de amortiguamiento para los subsistemas individuales, que se

suponen clsicamente amortiguados.


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Figura 10. Ensamble de las matrices de los subsistemas

En principio, estas matrices de amortiguamiento de los subsistemas podran construirse mediantecualquiera de los procedimientos desarrollados en la seccin 3.1.2.2, pero el amortiguamiento de Rayleigh

es quizs el ms conveniente para los anlisis prcticos. As, las matrices de amortiguamiento para la

estructura y el suelo de cimentacin (indicado por el subndice f) son

..(15)

Los coeficientes a0 y a1 estn dados por la ecuacin (10) usando una fraccin de amortiguamiento

apropiada para la estructura, por ejemplo = 0.05, donde iy jse seleccionan como las frecuencias delos modos naturales de vibracin i-simo y j-simo del sistema combinado sin amortiguamiento. Los

coeficientes a0f y a1f se determinan de manera similar; deberan ser cuatro veces mayores si la fraccin

de amortiguamiento para la regin del suelo de cimentacin se estima como f=0.20.

El supuesto del amortiguamiento clsico puede no ser apropiado, ya sea en estructuras con dispositivos

especiales para la disipacin de energa o en sistemas con aislamiento en la base, incluso si la propia

estructura tiene amortiguamiento clsico. La matriz de amortiguamiento no clsico para el sistema se

construye evaluando la primera matriz cde amortiguamiento clsico para la estructura por s sola (sin los

dispositivos especiales), a partir de las fracciones de amortiguamiento adecuadas para la estructura y

utilizando los procedimientos de la seccin 3.1.2.2. Despus, las contribuciones de amortiguamiento de los

dispositivos para la disipacin de energa se ensamblan en ca fin de obtener la matriz de amortiguamiento

para el sistema completo.


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3.2.RIGIDEZ LATERAL EN COLUMNAS Y SISTEMAS APORTICADOS

La rigidez se define como el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido.

Sistemas rgidos tienen deformaciones pequeas (gran rigidez), y sistemas flexibles tienen

deformaciones grandes (poca rigidez). Cuando se aplica una fuerza a una estructura , esta esta se

desplazar en la direccin de la fuerza.

Respuestas de diferentes elementos y contenido de una edificacin frente a un sismo
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3.3.

1. RIGIDEZ LATERAL EN SISTEMAS APORTICADOSEste sistema est formado por vigas y columnas, conectados entre s por medio de nodos rgidos, lo

cual permite la transferencia de los momentos flectores y las cargas axiales hacia las columnas.

La resistencia a las cargas laterales de los prticos se logra principalmente por la accin de flexin de

sus elementos.

El comportamiento y eficiencia de un prtico rgido depende, por ser una estructura hiperesttica, de la

rigidez relativa de vigas y columnas. Para que el sistema funcione efectivamente como prtico rgido

es fundamental el diseo detallado de las conexiones para proporcionarle rigidez y capacidad de

transmitir momentos.

Ventajas:

Gran libertad en la distribucin de los espacios internos del edificio.

Son estructuras muy flexibles que atraen pequeas solicitaciones ssmicas.

Disipan grandes cantidades de energa gracias a la ductilidad que poseen los elementos y la

gran hiperestaticidad del sistema.

Desventajas:

El sistema en general presenta una baja resistencia y rigidez a las cargas laterales.

Su gran flexibilidad permite grandes desplazamientos lo cual produce daos en los elementos

no estructurales..

3.3.2. SISTEMAS PARA EDIFICIOS DE VARIOS PISOS DE ALTURA

A medida que crece la altura de la edificacin, mayores son las modificaciones necesarias para

resistir las cargas laterales de vientos y sismos. Por lo que para edificios muy altos, el aspecto que

gobierna en el sistema estructural es el de resistir las cargas laterales. En los edificios muy altos,

principalmente destinados a oficinas, se requiere de grandes espacios libres, por lo que utilizar un


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sistema aporticado de concreto requerira grandes dimensiones de columnas en los pisos

inferiores y como los prticos resistentes a momentos slo resisten cargas laterales por medio de

la flexin de sus elementos, el sistema es poco rgido.

El utilizar un sistema de muros, que desde el punto de vista estructural proporcionara gran rigidez

lateral, tiene como limitante la falta de flexibilidad en la distribucin del espacio interior del edificio.

Una de las soluciones ms sencillas que se puede dar para edificios entre 20 y 30 pisos de altura

es el de usar prticos rigidizados.

Este sistema tendr gran rigidez cuando la relacin de altura sobre longitud del muro o del prtico

arriostrado es pequea. Ya que estos casos el elemento rigidizado absorbe prcticamente todas

las cargas laterales y el prtico absorbe nicamente a las fuerzas verticales.

Pero si esta relacin es muy alta se presenta un nuevo problema, la interaccin entre el muro y el

prtico se vuelve muy compleja, debido a que las deformaciones de cada uno de los sistemas por

separados son distintas. Y el muro en vez de colaborar con el sistema aporticado a resistir las

cargas laterales, termina originando un incremento en las fuerzas que se deben resistir en el tope

de la edificacin debido a su comportamiento similar al de una viga en voladizo. Esto hace que las

secciones del muro sean muy grandes para lograr rigidizar la estructura de manera efectiva.

Por esto, cuando se habla de edificaciones de una altura de varias decenas de pisos, un

procedimiento que aumenta la rigidez considerablemente es el de acoplar dos o ms muros pormedio de vigas a gran altura en ciertos pisos, estas vigas tienden a restringir los giros de los

muros en cada nivel y los hacen trabajar como una unidad.

Estas vigas estn sujetas a grandes fuerzas cortantes, por lo que la eficiencia de la estructura

depende de la rigidez de la viga de acoplamiento.

Es difcil mantener las derivas bajo los requerimientos normativos.

Por su alta flexibilidad, el sistema da lugar a perodos fundamentales largos, lo cual no es

recomendable en suelos blandos.El uso de este sistema estructural est limitado a estructuras bajas o medianas. Ya que a medida

que el edificio tenga ms pisos, mayores tendran que ser las dimensiones de las columnas, lo

cual puede hacer el proyecto inviable econmica y arquitectnicamente.

Para los edificios con sistemas de prticos rgidos, se estima que en zonas poco expuestas a

sismos el lmite puede estar alrededor de 20 pisos. Y para zonas de alto riesgo ssmico ese lmite

se tiene que encontrar en alrededor de 10 pisos.


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3.3.3. MTODO GENERAL PARA DETERMINAR LA RIGIDEZ LATERAL DE UN PRTICO

RECTANGULAR

Dos fueron las razones que impulsaron la elaboracin del presente trabajo. Primero, tiene porfinalidad desarrollar un mtodo general que permita determinar la rigidez lateral de un prtico

rectangular que trabaja dentro del rango elstico y que se supone axialmente rgido, que sea del

material que fuese (concreto armado, acero, madera, etc.) siempre y cuando el prtico en cuestin

est hecho de un mismo material. La importancia de conocer o calcular la rigidez lateral, estriba en

que prcticamente todos los parmetros dinmicos del prtico (tal como la frecuencia natural de

vibracin, por ejemplo) dependen de este valor. Segundo, la informacin existente en el medio se

presenta, casi siempre, en otros idiomas que no sea el espaol, lo que hace tedioso el estudiopara un alumno que, adems de la Dinmica de Estructuras, tiene que estudiar el idioma Ingls ya

que la informacin brindada en nuestro idioma materno no siempre est completa o se da de una

manera sesgadae incompleta. Para su deduccin se ha empleado el mtodo dela condensacin

esttica de la matriz de rigidez, se deducen y estudian varios casos particulares, terminando con

algunos ejemplos prcticos donde se ilustran el poder del mtodo obtenido.

Parte I: Discusin del Mtodo. Clculos y deducciones

1 Preliminares:

Se hace necesario conocer, para ensamblar la matriz de rigidez, los coeficientes de rigidez para

un miembro sea este una viga o columna sometido a diferentes efectos tales como la flexin o el

corte. Es posible aplicar los diversos mtodos del Anlisis Estructural y demostrar que en tales

circunstancias se tienen los siguientes resultados:

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Amortiguamiento en Estructuras Final