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1. AMORTIGUAMIENTO EN ESTRUCTURAS

Los amortiguamientos son generalmente valores numéricos para las relaciones de amortiguamiento modal y suficiente para análisis lineal.

Por lo tanto, determinar los coeficientes de la matriz de amortiguamiento; es necesario para armar la ecuación de equilibrio dinámico y realizar el análisis lineal.

1.1 RELACIONES DE AMORTIGUAMIENTO EXPERIMENTAL

La librería Millikan del Tecnológico de Pandora construido en 1967, es estructura de concreto reforzado con pantallas en las dos direcciones, tiene los siguientes periodos de amortiguamiento. Ref. (Chopra, Avil K.)

Los periodos, modos y amortiguamiento modal fueron calculados a partir del movimiento forzado armónico, usando un generador de masa excéntrica; generando la curva de respuesta. (Figura 11.1.2 Chopra), que muestra los picos resonantes correspondiente a la octava frecuencia natural de vibración en la dirección este–oeste.

1.1.1 CURVA RESPUESTA DE LA FRECUENCIA

Debido a la dificultad para obtener , los amortiguamientos se obtienen de una curva experimental de respuesta de frecuencia.

Un generador vibra a determinada frecuencia, la respuesta estructural es observada hasta que la parte transitoria desaparece y la amplitud del estado estacionario es medida. La frecuencia del generador se ajusta a un nuevo valor, y se repite el proceso.

EXCITACIÓN

MODO FUNDAMENTAL N-S SEGUNDO MODO

N-S PERIODO

(S) AMORTIGUAMIENTO T(S) ξ (%) GENERADOR 0,53 1,2 - 1,8

SISMO LITTLE CREEK 0,52 2,9 0,12 1,0

SAN FERNANDO 0,62 6,4 0,13 4,7

DIRECCION ESTE - OESTE GENERADOR 0,68 0,7 - 1,5

SISMO LITTLE CREEK 0,71 2,2 0,18 3,6

SAN FERNANDO 0,98 7,0 0,2 5,9

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La frecuencia forzada varía en un rango que incluye las frecuencias naturales del sistema. La fuerza en la curva de respuesta es proporcional a , la amplitud de la aceleración medida se divide por , obteniendo una curva de aceleración-frecuencia para una fuerza de amplitud constante; esta curva se parece a la curva de amplificación dinámica (Factor de Respuesta Deformación).

. Ω

La frecuencia natural y el amortiguamiento, son calculadas de cualquiera de las curvas experimentales de frecuencia de respuesta.

, : Frecuencias forzadas a cada lado de la frecuencia resonante , en al cual la

amplitud es 1/√2 veces la amplitud resonante para valores pequeños de amortiguamiento.

El amortiguamiento para la frecuencia n-ésima , es igual al de la frecuencia forzada en resonancia. El coeficiente de amortiguamiento se calcula con:

2 ó 2 3.2.9 #$%& ' Para la librería Millikan, la curva de respuesta de frecuencia es:

(Figura 11.1.2, 11.1.3, 11.1.4 y 11.1.5 Chopra pág. 499)

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La aceleración en la cubierta es mayor que en la base, debido a que el edificio es flexible. Los periodos en cada dirección, son calculados de la duración de un ciclo de la respuesta dinámica.

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1.2 COEFICIENTES DE AMORTIGUAMIENTO MODAL

Para edificios nuevos, obviamente el amortiguamiento no se puede medir, por lo tanto las relaciones de amortiguamiento modal están basadas en datos registrados de sismos fuertes, pero no deformados en el rango inelástico. Por otra parte el amortiguamiento en estructuras con fluencia significativa por sismos, incluyen la disipación de energía por fluencia del material y no sirve para análisis dinámico modal elástico.

En la siguiente tabla (11.2.1 Chopra Pág. 454), se presentan los valores de amortiguamiento para dos niveles de movimiento: niveles de esfuerzo no mayores que la mitad del punto de fluencia y esfuerzos justo por debajo del punto de fluencia.

Los rangos de amortiguamientos altos son usados para estructuras ordinarias, y valores bajos de amortiguamiento para estructuras especiales, dan como resultado diseños más conservativos. Para mampostería no reforzada se recomienda 3% y mampostería estructural 7%. La mayoría de los códigos no reconoce la diferencia entre materiales, y usan típicamente 5%.

Estos amortiguamientos pueden ser usados directamente en el análisis de sistemas lineales elásticos para las ecuaciones modales desacopladas.

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2. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO

Se calcula a partir de las dimensiones estructurales, secciones de los elementos y amortiguamiento del material usado.

No es practico calcular la matriz de amortiguamiento de la misma manera que la rigidez, pues a diferencia del modulo de elasticidad, las propiedades de amortiguamiento del material no está bien establecidas, además esta matriz no tiene en cuenta la energía disipada por ejemplo en las conexiones metálicas (fricción, microgrietas, elementos no estructurales, etc.). Esta matriz se calcula a partir de las relaciones de amortiguamiento modal.

3. AMORTIGUAMIENTO CLASICO

Utilizado en el análisis modal clásico de sistemas lineales. Se seguirá el siguiente procedimiento para armar la matriz de amortiguamiento modal para estructuras con calculados experimentalmente.

3.1 Amortiguamiento Rayleigh

La masa y la rigidez son proporcionales al amortiguamiento.

+#, -./0+1, 2 +#, -.30+, Unidades: ./: 41 35 6 .3: +, +#,: 7 8 %9 : &% : %;%%9 :8 8 8 :% 1%8%.

A continuación se representa el modelo físico.

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El amortiguamiento proporcional a la rigidez representa la energía disipada en la deformación, mientras que el amortiguamiento proporcional a la masa representa el aire, el cual es despreciable para la mayoría de estructuras pequeñas, aunque ninguno de los dos amortiguamientos son apropiados en aplicaciones prácticas.

Relacionando para un sistema con amortiguamiento generalizado, proporcional a la masa ./, por el n-avo modo:

# ./1

Y el coeficiente de amortiguamiento modal:

# 21

#21 ./121 ./2 1

es inversamente proporcional a la frecuencia natural para el modo i-ésimo:

. 2<< Para sistemas con amortiguamiento proporcional a la rigidez:

# .3 .31

Pero # 21

21 .31

.32 ; 19; :9 :19; >%9 : > 9> 9 ; : .3 2?? & : 1%8% @ é1%

La variación del amortiguamiento con la frecuencia, no es consistente con los datos experimentales, que indican el mismo amortiguamiento para diferentes modos de vibración.

El amortiguamiento de Rayleigh es:

+#, ./+1, A .3+, Para el n-avo modo de vibración:

./2 1 A .32

./ 2 .3 Son determinantes específicamente para el modo i y j, en forma matricial.

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12 B1 <5 <1 ?5 ?C D./.3 E F<?G Despejando ./ 2 .3, asumiendo que los 2 modos (i y j) tienen el mismo amortiguamiento .

. 2<?<A? .3 2<A?

Para aplicar este procedimiento, el amortiguamiento en cada modo se escoge para asegurar valores razonables de en todos los modos que contribuyen significativamente a la respuesta dinámica, como se observa en la siguiente figura la variación del amortiguamiento con la frecuencia natural:

Problema: Calcular la matriz de amortiguamiento de Rayleigh para 5% en los modos 1 y 3, y calcule para el modo 2 en el siguiente edificio.

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La ecuación de equilibrio dinámico es:

B60 0 00 240 00 0 240C K LM M 3M N A B36100 36100 036100 72200 361000 36100 72200 C K L 3N K000N

Las frecuencias naturales son:

3 6.92 8 5 18.83 8 5 L 28.30 8 5 La matriz modal es:

P3 P PL

+P, B 1 0.872 10.331 0.358 0.9200 1 0.547C :% 1%8% ; 9 9 >%: 19

1. Calculo ./ 2 .3

12 B 1 6.925 6.921 28.305 28.30C D./.3 E D0.050.05E

Ecuación de la forma +Q,-0 +R, -0 +Q,S3+R,

D./.3 E D 0.5560.0028E

2. Calculo de la matriz de amortiguamiento +#, ./+T, A .3+,

+#, B 134.44 101.08 0101.08 335.60 101.080 101.08 335.60 C

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3. Calculo

./2 1 A .32 0.5562 U 118.83 A 0.00282 U 18.33 0.0411 4.11%

3.2 AMORTIGUAMIENTO CAUGHEY Para calcular el amortiguamiento en más de dos modos se considera la forma de la matriz de amortiguamiento elástica o amortiguamiento de Caughey.

+#, +T, V .<+T,S3+,'<WS3

<XY : T%8% é1%

Z: Zú1% 8 8% 8 :; 8 <: #%9; 9; Los primeros tres términos de la serie son: .Y+T,+T,S3+,'Y ./+T, .3+T,+T,S3+,'3 .3+, .+T,+T,S3+,' .+T,+T,S3+,+T,S3+, .+,+T,S3+, Los dos primeros términos corresponden al amortiguamiento de Rayleigh. El coeficiente de amortiguamiento modal , para j modos con n-grados de libertad es:

12 V .<'<S3?S3

<XY

< . Se calcula para cada modo; resolviendo la anterior ecuación con relaciones de amortiguamiento especificados en el modo j-ésimo. Pueden dar valores negativos, pero no se tienen en cuenta.

Existen dos problemas; asociados al cálculo de : 1. Las ecuaciones algebraicas. Son numéricamente condicionadas, porque los

coeficientes S3, , L, [, … ..difieren en orden de magnitud.

2. Si la serie de Caughey tiene más de dos términos, +#, es una matriz llena, +, es una banda y +T, es diagonal.

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Problema: Para el sistema anterior, calcular el amortiguamiento de Caughey de los primeros tres modos si 5%

1. Serie de Caughey – 3 modos: +#, .Y+T, A .3+, A .+,+T,S3+,

2. Calculo .Y, .3 2 . ./2 1 A .32 A .2 L 9 1,2,3

En forma matricial:

K0.050.050.05N 12 ]_ 1 6.925 6.92 6.92L1 18.835 18.83 18.83L1 28.305 28.30 28.3L aa

b

K.Y.3.N

.Y 0.4663

.3 0.00483

. 0.234 U 10S[

3. Reemplazando en la serie de Caughey para 3 modos:

B0.050.050.05C 0.46636 B60 240 240C A 0.00483 B 36100 36100 036100 72200 361000 36100 72200 C A 2.34U 10Sc B 36100 36100 036100 72200 361000 36100 72200 C B60 240 240C

S3B 36100 36100 036100 72200 361000 36100 72200 C

+C, B 87.83 115.58 63.5247.74 244.32 72.5512.70 123.37 396.76C