Genel YetenekGenel Kültür

GEOMETRİKonu Anlatımı

Pratik Bilgiler

Sınavlara En Yakın Özgün Sorular ve Açıklamaları

Çıkmış Sorular ve Açıklamaları

Öncebiz sorduk

120 Soruda

SORU

2 10 8

kpss

83

GüncellenmişYeni

Baskı

Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu

KPSS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI

ISBN 978-605-318-848-3

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayım ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”

37. Baskı: 2017, Ankara

Yayın-Proje: Özge IşıkcıDizgi-Grafik Tasarım: Vedat Hancı

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

Değerli Adaylar;

Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;

GEOMETRİ

- Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar,- Çokgenler ve Dörtgenler,- Çember ve Daire,- Analitik Geometri ve

- Katı Cisimlerbölümlerinden oluşmaktadır.

Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.

Her ünitenin sonunda,

- çıkmış sorular ve

- cevaplı testlere;

yer verilmiştir.

Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi sınav komisyonuna teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız.

Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.

Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu

SUNU

1. BÖLÜM

GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR ...................................................1Geometrik Kavramlar ...............................................3Tanımsız Kavramlar ..................................................3Açılar..........................................................................3Açının Ölçüsü ...........................................................3Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler .........................3Açı Ölçü Birimleri .....................................................3Derecenin Alt Birimleri .............................................4Açı Çeşitleri ...............................................................4Dar Açı .......................................................................4Dik Açı .......................................................................4Geniş Açı ...................................................................4Doğru Açı ..................................................................4Tam Açı ......................................................................4Komşu Açılar ............................................................4Açıortay .....................................................................4Tümler Açılar .............................................................5Bütünler Açılar ..........................................................5Ters Açılar .................................................................6Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar .............................................................6Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen ile Meydana Getirdiği Açılar ....................................6Kenarları Paralel Açılar ............................................8Kenarları Dik Açılar ..................................................8Üçgenler ....................................................................11Üçgen Çeşitleri .........................................................11Açılarına Göre Üçgenler...........................................11Kenarlarına Göre Üçgenler ......................................11Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar ..................12Yükseklik ...................................................................12Açıortay .....................................................................12Kenarortay.................................................................12Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler ...........................13Dik Üçgen ..................................................................17Pisagor Teoremi ........................................................17Öklid Bağıntıları ........................................................18Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler .......................19Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler ...........................20Üçgende Açıortay Teoremleri ..................................23İç Açıortay Teoremi...................................................24Dış Açıortay Teoremi ................................................25Üçgende Kenarortay Teoremleri .............................27

Ağırlık Merkezi ..........................................................27Kenarortay Bağıntıları ..............................................29Özel Üçgenler............................................................31İkizkenar Üçgen ........................................................31Eşkenar Üçgen..........................................................34Üçgende Alan ............................................................38Üçgende Benzerlik ...................................................44Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ...............................44Tales Teoremi ............................................................46Temel Orantı Teoremi ...............................................46Çapraz Tales Teoremi ...............................................47Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı .....................49Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı .................49Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları .............................53Üçgen Eşitsizliği .......................................................53Çıkmış Sorular ..........................................................591. Geometrik Kavramlar ...........................................632. Üçgende Açılar .....................................................653. Dik Üçgen ..............................................................674. Üçgende Açıortay Teoremleri ..............................695. Üçgende Kenarortay Teoremleri .........................716. Özel Üçgenler........................................................737. Özel Üçgenler........................................................758. Üçgende Alan ........................................................779. Üçgende Alan ........................................................7910. Üçgende Benzerlik .............................................8111. Üçgende Benzerlik..............................................8312. Üçgende Benzerlik .............................................8513. Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ..........................87

2. BÖLÜMÇOKGENLER VE DÖRTGENLER .............................89Çokgenler ..................................................................91Dışbükey ve İçbükey Çokgenler..............................91Düzgün Çokgen ........................................................92Dörtgenler .................................................................97Dörtgenlerde Alan ....................................................99Paralelkenar ..............................................................101Paralelkenarda Alan .................................................102Paralelkenarın Alan Özellikleri ................................103Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler .............105Eşkenar Dörtgen .......................................................105Dikdörtgen ................................................................107

İÇİNDEKİLER

Kare............................................................................109Yamuk – Deltoid ........................................................112İkizkenar Yamuk ........................................................115Dik Yamuk .................................................................117Deltoid .......................................................................117Çıkmış Sorular ..........................................................1181. Çokgenler ..............................................................1202. Dörtgenler .............................................................1223. Paralelkenar-Eşkanar-Dörtgen ............................1244. Dikdörtgen-Kare ...................................................1265. Yamuk-Deltoid .......................................................128

3. BÖLÜMÇEMBER VE DAİRE ..................................................131Çemberde Açı ...........................................................133Çemberde Yardımcı Elemanlar ................................133Çemberde Yay ve Açı Özellikleri .............................135Merkez Açı .................................................................135Çevre Açı ...................................................................135Teğet Kiriş Açı ...........................................................136İç Açı ..........................................................................137Dış Açı .......................................................................137Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ................................138Kirişler Dörtgeni .......................................................139Çemberde Uzunluk ...................................................140Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ................140Kuvvet Ekseni ...........................................................142İki Çemberin Ortak Teğetleri ....................................144İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ...................145Üçgenin Çemberleri..................................................146Üçgenin İç Teğet Çemberi ........................................146Üçgenin Dış Teğet Çemberi .....................................146Teğetler Dörtgeni ......................................................147Dairede Alan ..............................................................148Dairenin Alanı ve Çevresi ........................................148Daire Diliminin Alanı .................................................148Çember Yayının Uzunluğu .......................................148Daire Kesmesinin Alanı ............................................149Daire Halkasının Alanı ..............................................150Çemberde Benzerlik .................................................150Çıkmış Sorular ..........................................................1531. Çemberde Açı .......................................................1542. Çemberde Uzunluk ...............................................1563. Dairede Alan ..........................................................158

4. BÖLÜMANALİTİK GEOMETRİ ...............................................161

Noktanın Analitik İncelenmesi .................................163

Analitik Düzlem .........................................................163

İki Nokta Arasındaki Uzaklık ....................................164

Doğrusal Noktalar.....................................................165

Doğrusal Olmayan Noktalar ....................................168

Doğrunun Analitik İncelenmesi ...............................171

Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ...............................171

Doğrunun Grafiğinin Çizimi .....................................173

Doğrunun Denklemleri .............................................173

Özel Doğrular ............................................................176

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ..................176

Doğru Demeti ............................................................178

Simetriler ...................................................................181

Noktanın Simetriği ....................................................181

Doğrunun Simetriği ..................................................184

Eşitsizlikler ................................................................187

Çıkmış Sorular ..........................................................189

Cevaplı Test ...............................................................191

5. BÖLÜMKATI CİSİMLER .........................................................193

Prizma ........................................................................195

Dikdörtgenler Prizması ............................................196

Küp .............................................................................198

Silindir .......................................................................198

Dönel Silindir ............................................................199

Piramit .......................................................................201

Düzgün Piramit .........................................................201

Kesik Piramit .............................................................202

Koni ............................................................................203

Küre ...........................................................................204

Çıkmış Sorular ..........................................................205

Cevaplı Test - 1 ........................................................206

Cevaplı Test - 2 ........................................................208

Geometrİk Kavramlar ve Doğruda Açılar� GEOMETRİK KAVRAMLAR

� DOĞRUDA AÇILAR

� ÜÇGENLER

� ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ

� ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR

� ÜÇGENDE AÇILAR

� DİK ÜÇGENLER

� ÜÇGENDE AÇIORTAY TEOREMLERİ

� ÜÇGENDE KENARORTAY TEOREMLERİ

� ÜÇGENDE ALAN

� ÜÇGENDE BENZERLİK

� ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI

“... Evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.”

Galıleo

Yıllara Göre Çıkmış

Soru Analizleri

20121

20111

20101

20091

20082

20072

2006-

20052

20131

20141

2015-2016

120171

3

Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar

GEOMETRİK KAVRAMLAR

Tanımsız Kavramlar

Nokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavram-lardır.

Nokta

Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir. Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta büyük harfle gösterilir.

Örneğin;A B

A noktası B noktası

Doğru

İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.A B d

Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğrusu veya AB diye sembolize edilebilir.

Doğru Parçası

İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birle-şim kümesine doğru parçası denir.

A B

doğru parçası AB6 @ sembolü ile gösterilir.

CD CD"6 @ doğru parçası

CD CD" doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.

Işın

Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.

A B d

AB "6 AB ışını diye okunur.

Yarı Doğru

AB6 ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çıkar-

tılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı doğ-rusu denir.

A B d

AB AB"@ ışını diye okunur.

Düzlem

Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluştur-duğu kümeye düzlem denir.

AÇILAR

A

B

C

[AB ∪ [AC = VA

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimi-ne “Açı” denir.

Yani; AB ve AC6 6

ışınlarının birleşimi ile oluşan açı BAC ya da CAB açısıdır.

BAC açısı BAC% ya da CAB% şeklinde gösterilir.

Açının Ölçüsü

A

B

Cα

AB ve AC6 6 ışınları arasında ka-

lan bölgeye AW ’nın ölçüsü denir. Her AW ’na 0 ile 360 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. Bu reel sayıya BAC açısının (ya da CAB açısının) ölçüsü denir.

Yani BAC açısının ölçüsü α’dır.

ve ( ) ( )BACm m A a= =W% veya

( ) ( )BACs s A a= =W% ile gösterilir.

Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

Yani; ( ) ( )m mA B &=W W A ile B açıları eş açılardır.

Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. Bu böl-geler

A

B

Cα

I.

II.

III.

I. Açının kendisi

II. Açının iç bölgesi

III. Açının dış bölgesi

Açı Ölçü Birimleri

Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. ° °, ,...20 40 şeklinde

gösterilir.

Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle verebiliriz,

D: Derece

G: Grad

R: Radyan olmak üzereD G R180 200 r

= = bağıntısı vardır.

4

Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar

NOT

Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülme-si ile oluşan açı 360°, 400 Grad ve 2π Radyandır.

Derecenin Alt Birimleri

1° → Bir derece

14243

1° = 60ʹ

1ʹ → Bir dakika 1ʹ = 60ʹʹ

1ʹʹ → Bir saniye 1° = 3600ʹʹ dir.

AÇI ÇEŞİTLERİ

Dar Açı

A

B

Cα

Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir.

Yani; ° < < 900 +a a dar açıdır.

Dik Açı

A

B

C

α

Ölçüsü 90° olan açıya dik açı de-nir.

Yani; °90 + aa = dik açıdır.

Geniş Açı

A

B

C

α

Ölçüsü 90°ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir.

Yani;

° < < 18090 ° +a a geniş açıdır.

Doğru Açı

AB C

α=180°Ölçüsü 180° olan açıya doğru açı denir.

Yani; °180 +a a= doğru açıdır.

Tam Açı

AB

α=360°Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

Yani;

°360 +a a= tam açıdır.

ÖRNEK

OA B2α

7α3α

DCA, O, B noktaları doğrusal,

( ) ,DOBm 2a=%

( )CODm 7a=% ve

( )AOCm 3a=%

Yukarıdaki verilenlere göre, α kaç derecedir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

Çözüm:

A, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı gereği 180°lik açı meydana getirirler.

Yani; °3 7 2 180a a a+ + = dir.

°12 180& a =

°15& a = bulunur.

Komşu Açılar

A

BC

O

Köşeleri ve birer kenarı ortak olan iç bölgelerinin kesişimleri boş küme olan açılara komşu açılar denir.

Yani; COB% ile BOA

% komşu iki açı-dır.

AÇIORTAY

A

BC

O

Açıyı iki eşit açıya ayıran ışına açıor-tay denir.

Yani; ( ) ( )COB BOAm m=% % dır.

OB6 ye COA% nın açıortayı denir.

OC6 ile OA6 ye açıortayın kolları (ke-

narları) denir.

ÖRNEK

A BO

80°C

D E

F

A, O, B noktaları doğrusal

OC6 ile OF6 açıortay

( )DOEm 80o=

%

Yukarıdaki verilenlere göre, ( )COFm% kaç derecedir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

5

Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar

Çözüm:

A, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana gelen açıların ölçüleri toplamı 180°dir.

A BO

80°C

D E

Fββ

αα

( ) ( ) ,AOC CODm m a= =% %

( ) ( )EOF FOBm m b= =% %

dersek

° 180 2 2 100 502 2 80 ° ° °& &= + = + =a b a ba b+ +

m( ) 130( )COF COFm 80° °&a b= + + =% % bulunur.

ÖRNEK

Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54°dir.

Buna göre, bu iki açının ölçüleri toplamı kaç dere-cedir?

A) 100 B) 104 C) 106 D) 108 E) 110

Çözüm:

A

O

C54° D

B

E

ββαα

BOC% ile COA

% komşu iki açıdır.

OD6 ile OE6 açıortaydır.

°( )DOEm 54=% verilmiş

( ) ( ) ,BOD DOCm m a= =% %

( ) ( )COE EOAm m b= =% % dersek

°( )DOEm 54a b= + =% dir.

Buradan ( ) ( )BOC COAm m 2 2a b+ = +% %

°( )2 108°54

& a b+ =1 2 34444 4444

bulunur.

NOT

Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.

OD6 açıortay, OB6 ile OA6 açıortayın kolları olmak üze-

re

O

CD

B

AE F

L

K

, ,CK OB DL OB= =6 6 6 6@ @veCE OA DF OA= =6 6 6 6@

çizilirse

.

,

,

CK CE DL DF ve

KO EO LO FO dur

= =

= =

TÜMLER AÇILAR

O

B

A

C

αβ

Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler iki açı denir.

Yani α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

°90 + aa b+ = ile β tümler iki açıdır.

α’nın tümleri 90° – α

β’nın tümleri 90° – β dır.

BÜTÜNLER AÇILAR

OA B

Cβ

α

Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.

Yani; α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

°180 + aa b+ = ile β bütünler iki açıdır.

α’nın bütünleri 180° – α

β’nın bütünleri 180° – β dır.

ÖRNEK

Bir açının 4 katının 5° fazlası aynı açının tümlerine eşit olduğuna göre, açının bütünleri kaç derecedir?

A) 157 B) 159 C) 161 D) 163 E) 165

Çözüm:

Açı Tümleri

α 90° – α dır.

Denklem kurulursa;

4α + 5° = 90° – α dır.

5α = 85° ⇒ α = 17° bulunur.

O halde açının bütünleri

° 180 17 163180 ° ° °- = - =a bulunur.

ÖRNEK

Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10°dir.Buna göre, küçük açı kaç derecedir?

A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40