186
1 1 GEOMETRİK KAVRAMLAR GEOMETRİK KAVRAMLAR Geometride “Nokta”, Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. olarak kabul edilir.

GEOMETRİK KAVRAMLAR

  • Upload
    lewis

  • View
    115

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

GEOMETRİK KAVRAMLAR. Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. 1. Nokta:. “.” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur. 2. Doğru:. İki uçtan sınırsız noktalar kümesidir. 3. Düzlem:. Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: GEOMETRİK KAVRAMLAR

11

GEOMETRİK KAVRAMLARGEOMETRİK KAVRAMLAR

Geometride “Nokta”, “Doğru”, Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.olarak kabul edilir.

Page 2: GEOMETRİK KAVRAMLAR

22

1. Nokta:1. Nokta:

““.” biçiminde gösterilir. Boyutu .” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.yoktur.

Page 3: GEOMETRİK KAVRAMLAR

33

2. Doğru:2. Doğru:

İki uçtan sınırsız noktalar İki uçtan sınırsız noktalar kümesidir.kümesidir.

Page 4: GEOMETRİK KAVRAMLAR

44

3. Düzlem:3. Düzlem:

Her yönde sonsuza giden noktalar Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir.kümesidir.

E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar gider.gider.

E düzlemi yandaki gibi gösterilir.E düzlemi yandaki gibi gösterilir.

Page 5: GEOMETRİK KAVRAMLAR

55

4. Doğru Parçası :4. Doğru Parçası :

İki nokta ile bu iki nokta arasında İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşimidir.kalan noktaların birleşimidir.

[AB] sembolüyle gösterilir.[AB] sembolüyle gösterilir.[AB] AB doğru parçası[AB] AB doğru parçası|AB| AB doğru parçasının |AB| AB doğru parçasının

uzunluğuuzunluğu

Page 6: GEOMETRİK KAVRAMLAR

66

5. Işın :5. Işın :

Bir başlangıç noktası olup sonsuza Bir başlangıç noktası olup sonsuza giden noktalar kümesidir.giden noktalar kümesidir.

[AB AB ışını[AB AB ışını

Page 7: GEOMETRİK KAVRAMLAR

77

6. Yarı Doğru:6. Yarı Doğru:[AB ışınından A noktasının çıkarılması ile elde [AB ışınından A noktasının çıkarılması ile elde

edilen kümeye AB yarıdoğrusu denir.edilen kümeye AB yarıdoğrusu denir.

]AB sembolüyle gösterilir.]AB sembolüyle gösterilir.Doğrusal nokta kümelerinin gösterimiDoğrusal nokta kümelerinin gösterimi[AB]: A ve B noktaları dahil.[AB]: A ve B noktaları dahil.[AB[: A noktası dahil, B noktası dahil değil[AB[: A noktası dahil, B noktası dahil değil]AB[: A ve B noktaları dahil değil]AB[: A ve B noktaları dahil değil

Page 8: GEOMETRİK KAVRAMLAR

88

AÇILARAÇILARBaşlangıç noktaları ortak iki Başlangıç noktaları ortak iki

ışının birleşimine açı denir.ışının birleşimine açı denir.şekilde [AC ve [AB ışınının şekilde [AC ve [AB ışınının

oluşturduğu açı BAC açısıdır.oluşturduğu açı BAC açısıdır.[ABÈ[AC = BAC açısıdır.BAC, [ABÈ[AC = BAC açısıdır.BAC,

CAB olarak veya A ilegösterilir.CAB olarak veya A ilegösterilir.[AB ve [AC ışınları açının [AB ve [AC ışınları açının kenarları,A noktası açının kenarları,A noktası açının köşesidir.köşesidir.

Açı yazılırken açının köşesi Açı yazılırken açının köşesi olan nokta ortada yazılır.olan nokta ortada yazılır.

Page 9: GEOMETRİK KAVRAMLAR

99

1. Açının Ölçüsü1. Açının Ölçüsü

[AB ile [AC arasındaki [AB ile [AC arasındaki açıklığın ifadesine açıklığın ifadesine açının ölçüsü denir. açının ölçüsü denir. BAC açısının ölçüsü a BAC açısının ölçüsü a dır.m(BAC) = a veya dır.m(BAC) = a veya m(A) = a olarak m(A) = a olarak gösterilir.ölçüleri eşit gösterilir.ölçüleri eşit olan açılara eş açılar olan açılara eş açılar denir.denir.

Page 10: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1010

2. Açının Düzlemde Ayırdığı 2. Açının Düzlemde Ayırdığı BölgelerBölgeler

Bir açı düzlemi Bir açı düzlemi üç bölgeye üç bölgeye ayırır. ayırır. a.a. Açının Açının kendisi[AB ve kendisi[AB ve [AC ışınları.[AC ışınları.b.b. İç İç bölge (taralı bölge (taralı alan)alan)c. c. Dış bölgeDış bölge

Page 11: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1111

3. Açı ölçü birimleri3. Açı ölçü birimleriAçı ölçüsü birimi olarak genelde Açı ölçüsü birimi olarak genelde

derece kullanılır. Dereceden başka derece kullanılır. Dereceden başka Grad ve Radyan birimleri de Grad ve Radyan birimleri de kullanılır. Açı ölçüsü birimleri kullanılır. Açı ölçüsü birimleri arasında,arasında,

360° = 400 G(grad) = 2 (radyan) 360° = 400 G(grad) = 2 (radyan) eşitliği vardır.eşitliği vardır.

Bir ışının başlangıç noktası etrafında Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile elde edilen bir tur döndürülmesi ile elde edilen açı 360° dir.açı 360° dir.

Derecenin alt birimleriDerecenin alt birimleri1° = 60' (dakika)1' = 60" (saniye) 1° = 60' (dakika)1' = 60" (saniye)

1° = 3600" dir.1° = 3600" dir.

Page 12: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1212

4. Ölçülerine göre açılar4. Ölçülerine göre açılara. a. Ölçüsü 0° ile 90° arasında Ölçüsü 0° ile 90° arasında

olan açılara dar açı denir.olan açılara dar açı denir.b.b. Ölçüsü 90° olanaçılara dik Ölçüsü 90° olanaçılara dik

açı deniraçı denircc. Ölçüsü 90° ile 180° . Ölçüsü 90° ile 180°

arasında olan açılara geniş arasında olan açılara geniş açı denir.açı denir.

d.d. Ölçüsü 180° olan açılara Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir.doğru açı denir.

e.e. Ölçüsü 360° olan açıya Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.tam açı denir.

Page 13: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1313

5. Komşu açılar5. Komşu açılar

Köşeleri ve birer Köşeleri ve birer ışınları ortak olan, ışınları ortak olan, iç bölgesi ortak iç bölgesi ortak olmayan açılara olmayan açılara komşu açılar komşu açılar denir.CAD ile DAB denir.CAD ile DAB komşu açılardır.komşu açılardır.

Page 14: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1414

6. Açıortay6. AçıortayAçıyı iki eşit parçaya Açıyı iki eşit parçaya

bölen ışına açıortay bölen ışına açıortay denir.[AD, CAB denir.[AD, CAB açısının açısının açıortayıdır.Açıortay açıortayıdır.Açıortay üzerinde alınan her üzerinde alınan her noktanın açının noktanın açının kollarına olan dik kollarına olan dik uzaklıkları eşittir.uzaklıkları eşittir.

Page 15: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1515

7. Tümler açı7. Tümler açı

Ölçüleri toplamı 90° olan iki Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.açıya tümler açılar denir.

m(CAD)+m(DAB)=90m(CAD)+m(DAB)=90°°a+b=90°a+b=90°a açısının tümlerinin ölçüsü a açısının tümlerinin ölçüsü

(90° – a) dır.(90° – a) dır.Komşu tümler iki açının Komşu tümler iki açının

açıortay doğruları arasındaki açıortay doğruları arasındaki açının ülçüsü 45° dir.açının ülçüsü 45° dir.

[OA] ^ [OB]m(KOL) = 45°[OA] ^ [OB]m(KOL) = 45°

Page 16: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1616

8. Bütünler açı8. Bütünler açıÖlçüleri toplamı 180° olan iki Ölçüleri toplamı 180° olan iki

açıya bütünler açılar denir.açıya bütünler açılar denir.m(DAB)+m(CAD)=180° m(DAB)+m(CAD)=180°

x+y=180°x+y=180°x açısının bütünlerinin x açısının bütünlerinin

ölçüsü (180° – x) dir.ölçüsü (180° – x) dir.Komşu bütünler iki açının Komşu bütünler iki açının

açıortay doğruları arasındaki açıortay doğruları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.açının ölçüsü 90° dir.

m(KOL) = 90°m(KOL) = 90°

Page 17: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1717

9. Ters Açılar9. Ters Açılar

Kesişen iki doğrunun Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan oluşturduğu açılardan komşu olmayanlara komşu olmayanlara ters açılar denir.ters açılar denir.

Ters açıların Ters açıların ölçüleri eşittir. ölçüleri eşittir. m(x)=m(z) ve m(x)=m(z) ve m(t)=m(y) dir.m(t)=m(y) dir.

Page 18: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1818

a. Yöndeş açılara. Yöndeş açılard1 // d2 ise d1 // d2 ise

Yöndeş açıların Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.ölçüleri eşittir.

m(a) = m(x) ; m(a) = m(x) ; m(b) = m(y)m(b) = m(y)m(c) = m(z) ; m(c) = m(z) ; m(d) = m(t)m(d) = m(t)

Page 19: GEOMETRİK KAVRAMLAR

1919

b. İçters açılarb. İçters açılar

d1 // d2 ise a ile d1 // d2 ise a ile z ve b ile t içters z ve b ile t içters açılarıdır. açılarıdır.

İçters açıların İçters açıların ölçüleri eşittir.ölçüleri eşittir.

m(a) = m(z); m(a) = m(z); m(b) = m(t)m(b) = m(t)

Page 20: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2020

Dışters açılarDışters açılar

d1 // d2 ise d1 // d2 ise Dışters Dışters açıların ölçüleri açıların ölçüleri eşittir.eşittir.

m(c)=m(x)m(c)=m(x)m(d)=m(y)m(d)=m(y)

Page 21: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2121

d. Karşı durumlu açılard. Karşı durumlu açılard1 // d2 ise d1 // d2 ise Karşı Karşı

durumlu açıların durumlu açıların toplamı 180° dır.toplamı 180° dır.

m(a) + m(t) = 180°; m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z)=180°m(b) + m(z)=180°

Karşı durumlu açıların Karşı durumlu açıların açıortayları arasındaki açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.açının ölçüsü 90° dir.

Page 22: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2222

e. Birden fazla kesenli durumlare. Birden fazla kesenli durumlar

d1 // d2 ise B noktasından d1 d1 // d2 ise B noktasından d1 ve d2 doğrularına paralel ve d2 doğrularına paralel çizersek çizersek

m(ABC) = a + b olur.m(ABC) = a + b olur.B noktasından paralel çizersek B noktasından paralel çizersek

m(ABD) + x = 180°m(ABD) + x = 180°

m(DBC) + z = 180° buradanm(DBC) + z = 180° buradan

x + y + z = 360° dir.x + y + z = 360° dir.

Page 23: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2323

f. Paralel doğrular arasındaki f. Paralel doğrular arasındaki ardışık zıt yönlü açılarardışık zıt yönlü açılar

d1 // d2 ise d1 // d2 ise

a + b + c = x + y a + b + c = x + y olur. Bu tür soruları olur. Bu tür soruları kırılma kırılma noktalarından noktalarından paralellerçizerek de paralellerçizerek de çözebiliriz.çözebiliriz.

Page 24: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2424

g. Kolları paralel ve kolları dik g. Kolları paralel ve kolları dik açılaraçılar

Açıları oluşturan ışınlar aynı Açıları oluşturan ışınlar aynı yönde ve paralel ise bu iki açının yönde ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.Açıları iki açının ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ışınlardan biri aynı oluşturan ışınlardan biri aynı diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüleri toplamı;a + b = iki açının ölçüleri toplamı;a + b = 180° olur.Kenarları birbirine dik 180° olur.Kenarları birbirine dik karşılıklı iki açının ölçüleri karşılıklı iki açının ölçüleri toplamı a + b = 180° toplamı a + b = 180° olur.Kenarları şekildeki gibi olur.Kenarları şekildeki gibi birbirine dik açıların ölçüleri birbirine dik açıların ölçüleri eşittir.eşittir.

Page 25: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2525

ÜÇGENÜÇGENDoğrusal olmayan üç noktayı birleştiren Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren

üç doğru parçasının birleşimine üç doğru parçasının birleşimine üçgenüçgen denir.denir.

AB] U[AC]U [BC] = ABC dir.  Burada;  A, AB] U[AC]U [BC] = ABC dir.  Burada;  A, B, C noktaları üçgenin köşeleri,[AB], [AC], B, C noktaları üçgenin köşeleri,[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır.[BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır.

BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır.  |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c açılarıdır.  |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.  açılar denir.  

ABC üçgeni bir düzlemi; ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin üçgenin kendisi,kendisi, iç bölge, dış bölgeiç bölge, dış bölge, olmak , olmak üzere üç  bölgeye ayırır.  ABC U {ABC iç üzere üç  bölgeye ayırır.  ABC U {ABC iç bölgesi} = (ABC) bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)(üçgensel bölge)

Page 26: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2626

a. Çeşitkenar üçgena. Çeşitkenar üçgen

Üç kenar Üç kenar uzunlukları da uzunlukları da farklı olan farklı olan üçgenlere denir.üçgenlere denir.

Page 27: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2727

b. ikizkenar Üçgenb. ikizkenar Üçgen  

Herhangi iki Herhangi iki kenarının kenarının uzunluğu eşit uzunluğu eşit olan üçgenlere olan üçgenlere denir.denir.

Page 28: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2828

c. Eşkenar Üçgenc. Eşkenar Üçgen  

Üç kenar Üç kenar uzunluğu da eşit uzunluğu da eşit olan üçgenlere olan üçgenlere denir.denir.

Page 29: GEOMETRİK KAVRAMLAR

2929

2. Açılarına göre üçgenler2. Açılarına göre üçgenlera. Dar açılı üçgen a. Dar açılı üçgen Üç açısının ölçüsü de 90° den Üç açısının ölçüsü de 90° den

küçük olan üçgenlere dar küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir.açılıüçgen denir.b. Dik açılı b. Dik açılı üçgen üçgen 

Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir. Dik üçgen olan üçgenlere denir. Dik üçgen olarak adlandırılır.olarak adlandırılır.c. Geniş açılı c. Geniş açılı üçgen üçgen 

Bir açısının ölçüsü 90° den Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir.Bir büyük olan üçgenlere denir.Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.üçgende bir tek geniş açı olabilir.

Page 30: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3030

ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI  ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI  ELEMANLARIELEMANLARI

Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir.elemanlar denir.

1. Yükseklik 1. Yükseklik Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına

çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.ha  a kanarına ait yükseklik.ha  a kanarına ait yükseklik.hc c kenarına ait yükseklik yüksekliklerin kesim hc c kenarına ait yükseklik yüksekliklerin kesim

noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir. noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir. 

Page 31: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3131

AÇIORTAY VE KENARORTAYAÇIORTAY VE KENARORTAY2. Açıortay2. Açıortay

Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran ışına o köşenin eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir.açıortayıdenir.

nA A köşesine ait iç açıortay  nA A köşesine ait iç açıortay   n'A A köşesine ait dış açıortay n'A A köşesine ait dış açıortay 3. Kenarortay3. KenarortayÜçgenin bir kenarının orta Üçgenin bir kenarının orta

noktasını karşısındaki köşe ile noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. kenara ait kenarortay denir.

|AD| = Va , |BE| = Vb  olarak ifade |AD| = Va , |BE| = Vb  olarak ifade edilir. edilir. 

Dik üçgende, hipotenüse ait Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. |BC| = a (hipotenüs) eşittir. |BC| = a (hipotenüs) 

Page 32: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3232

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ1. Üçgende iç açıların 1. Üçgende iç açıların

ölçüleri toplamı180° dir. ölçüleri toplamı180° dir. [AD // [BC] olduğundan,iç [AD // [BC] olduğundan,iç ters ve yöndeş olan açılar ters ve yöndeş olan açılar bulunur.a + b + c = 180°bulunur.a + b + c = 180°

m(A) + m(B) + m(C) = 180° m(A) + m(B) + m(C) = 180° Üçgenin iç açılarının Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir.toplamı180° dir.

İç açılara komşu ve bütünler İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir.olan açılara dış açı denir.

Page 33: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3333

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ2. Üçgende dış 2. Üçgende dış

açıların ölçüleriaçıların ölçüleri toplamı 360° dir.toplamı 360° dir. a' + b' + c' = 360° a' + b' + c' = 360° m(DAF)+m(ABE)m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360+m(BCF)=360° °

Page 34: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3434

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ3. Üçgende bir dış açının ölçüsü3. Üçgende bir dış açının ölçüsü

kendisine komşu olmayan iki iç kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.açının ölçüleri toplamına eşittir. [AB] // [CE olduğundan[AB] // [CE olduğundan

m(ACD)=a+b m(ACD)=a+b m(DAC) = m(A') = b + cm(DAC) = m(A') = b + cm(DBE) = m(B') = a + cm(DBE) = m(B') = a + cm(ECF) = m(C') = a + bm(ECF) = m(C') = a + bYandaki şekilde a, b, c Yandaki şekilde a, b, c

bulundukları açıların ölçüleri ise, bulundukları açıların ölçüleri ise,  m(BDC) = a+b+c m(BDC) = a+b+c

Page 35: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3535

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ4. iki kenarı eş olan üçgene 4. iki kenarı eş olan üçgene

ikizkenarikizkenar üçgen denir.ABC üçgen denir.ABC üçgeninde:üçgeninde:  lABl=lACl ise  lABl=lACl ise m(B)=m(C) m(B)=m(C) 

Burada A açısına ikizkenar Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanı denir.kenarına ise tabanı denir.

Tepe açısına m(BAC) = a Tepe açısına m(BAC) = a dersekdersek

Taban açıları m(B)=m(C)Taban açıları m(B)=m(C)

Page 36: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3636

EŞKENAR ÜÇGENEŞKENAR ÜÇGEN

5. Üç kenarıeş olan 5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen üçgene eşkenar üçgen denir.denir. ABC üçgeninde |ABC üçgeninde |AB| = |BC| = |AC| AB| = |BC| = |AC| m(A) = m(B) = m(C) = 60° m(A) = m(B) = m(C) = 60° Eşkenar üçgen, ikizkenar Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini üçgenin bütün özelliklerini taşır.taşır.

Page 37: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3737

ÜÇGENDE AÇIORTAYLARÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

Page 38: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3838

1.1. Üçgende iç açıortaylar Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet nokta üçgenin içteğet çemberinin çemberinin merkezidir.Açıortayların merkezidir.Açıortayların kesiştiği noktadan kesiştiği noktadan kenarlara çizilen kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları dikmelerin uzunlukları eşittir. (Çemberin yarıçapı)eşittir. (Çemberin yarıçapı)

Page 39: GEOMETRİK KAVRAMLAR

3939

2. 2. Üçgende iki dış açıortay Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)[AD], [BD] ve çember vardır.)[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsü de kesinlikle üçüncüsü de kesinlikle açıortaydır.açıortaydır.

Page 40: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4040

3.3. iki iç açıortayın iki iç açıortayın kesişmesiyle kesişmesiyle oluşan açı; ABC oluşan açı; ABC üçgeninde ve üçgeninde ve BDC üçgeninde iç BDC üçgeninde iç açılar toplamı  açılar toplamı  yazılırsayazılırsa

Page 41: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4141

4.4. iki dış iki dış açıortayın açıortayın kesişmesiyle kesişmesiyle oluşan açı; ABC oluşan açı; ABC üçgeninin dış üçgeninin dış açılar toplamı ve açılar toplamı ve BDC üçgeninin iç BDC üçgeninin iç açılar toplamını açılar toplamını yazarsakyazarsak

Page 42: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4242

5.5. Bir iç açıortay ile bir dış Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle açıortayın kesişmesiyle oluşan açı, ABC üçgeninin oluşan açı, ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün açısının ölçüsünün yarısıdır.yarısıdır.

Burada D noktası dış teğet Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D çizilen dış açıortayda D noktasından geçer. noktasından geçer.

Page 43: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4343

6. 6. Açıortayla yükseklik Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; arasında kalan açı; ABC üçgeninde ABC üçgeninde [AD] A açısına ait [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] açıortay ve [AH] yüksekliktir. Açıortayla yüksekliktir. Açıortayla yükseklik arasındaki yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x açıya m(HAD) = x dersekdersek

  Bir açı ve açıortayını başka Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar kullanılarak bütün açılar bulunabilir. bulunabilir.

Page 44: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4444

AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının

karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür.uzunluğundan daha büyüktür. ABC  ABC  üçgeninde  üçgeninde  m(A) > m(B) > m(C)m(A) > m(B) > m(C)                                 a  >     b     >      c                                 a  >     b     >      c

Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür.kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür.

İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.

m(B) = m(C) => |AB| = |AC| m(B) = m(C) => |AB| = |AC| m(A) < m(B) = m(C) ise|BC| < |AB| = |AC| m(A) < m(B) = m(C) ise|BC| < |AB| = |AC|

olur.olur.

Page 45: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4545

AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI2. Bir üçgende herhangi bir 2. Bir üçgende herhangi bir

kenarın uzunluğu diğer iki kenarın kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden farkının mutlak değerinden büyüktür.büyüktür.

ABC üçgeninde lb - c l <a < (b + c) ABC üçgeninde lb - c l <a < (b + c) Diğer kenarlar için de aynı durum Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir.|a – c| < b < (a + c) geçerlidir.|a – c| < b < (a + c) ve |a – b| < c < (a + b) olur.ve |a – b| < c < (a + b) olur.

Page 46: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4646

AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI3. Dik, dar ve geniş açılı 3. Dik, dar ve geniş açılı

üçgenlerde kenarlar arasındaki üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler.ilişkiler.

a. Bir dik üçgende a. Bir dik üçgende kenarlar arasında kenarlar arasında a^2 = b^2 + c^2 bağıntısı vardır.a^2 = b^2 + c^2 bağıntısı vardır.

b. Dar açılı üçgenb. Dar açılı üçgen b ve c sabit b ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür. m(A) < 90°küçülür. m(A) < 90° a^2 < b^2 + c^2 a^2 < b^2 + c^2

c. Geniş açılı üçgen c. Geniş açılı üçgen  b ve c sabit b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da tutulup A açısı büyütülürse a da büyür. m(A) < 90° büyür. m(A) < 90° a^2 > b^2  + c^2 a^2 > b^2  + c^2

Page 47: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4747

AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI4. Çeşitkenar bir üçgende aynı 4. Çeşitkenar bir üçgende aynı

köşeden çizilen yükseklik, köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması, uzunluklarının sıralanması, ||AH| = ha ; yükseklikAH| = ha ; yükseklik

|AN| = nA ; açıortay|AN| = nA ; açıortay|AD| = Va ; kenarortay|AD| = Va ; kenarortay

ha< nA <Vaha< nA <Va

Page 48: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4848

AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, 5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay,

kenarortay ve yükseklik arasındaki kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama;sıralama;

ABC üçgeninde a, b, c kenar ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır. m(A) > m(B) > m(C) uzunluklarıdır. m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım. Bu durumda olduğuna varsayalım. Bu durumda üçgende üçgende kenarlar :  kenarlar :  a > b > ca > b > c

yükseklikler :    yükseklikler :     ha < hb < hc ha < hb < hcAçıortaylar :Açıortaylar :     nA < nB < nC     nA < nB < nCKenarortaylar : Kenarortaylar : Va < Vb < VcVa < Vb < Vcşeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin

yardımcı elemanları kenarlarının sırasına yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır.ters olarak sıralanır.

  Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir. sıralamalar geçerli değildir.

Page 49: GEOMETRİK KAVRAMLAR

4949

AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden 6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden

içtekinin çevresi daha küçük olur.içtekinin çevresi daha küçük olur.  |BD| + |  |BD| + |DC| < |AB| + |AC|DC| < |AB| + |AC|

ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir. [AC] ve [BD] köşegenlerdir.

ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür. toplamından küçüktür. a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD| a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD|

köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha küçük ve çevrenin yarısından daha büyük küçük ve çevrenin yarısından daha büyük olmak zorundadır.olmak zorundadır.

İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından olacağından

|DA| + |AB| + |BC|toplamı |DE| + |EF| + |FC| |DA| + |AB| + |BC|toplamı |DE| + |EF| + |FC| toplamından daha büyüktür. toplamından daha büyüktür. 

Page 50: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5050

AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI7. ABC üçgeninin içindeki 7. ABC üçgeninin içindeki

herhangi bir P noktası için;herhangi bir P noktası için; Eğer ABC üçgeninin çevresi Eğer ABC üçgeninin çevresi

verilirseverilirse

Eğer ABC üçgeninin kenar Eğer ABC üçgeninin kenar uzunlukları (a,b,c) ayrı ayrı uzunlukları (a,b,c) ayrı ayrı verilirse verilirse

Page 51: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5151

DİK ÜÇGENDİK ÜÇGENBir açısının ölçüsü 90° olan üçgene Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene

dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde, m(A) = 90° [BC] kenarıdır. şekilde, m(A) = 90° [BC] kenarı hipotenüs [AB] ve [AC] kenarı hipotenüs [AB] ve [AC] kenarları dik kenarlardır.kenarları dik kenarlardır.

Page 52: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5252

PİSAGOR BAĞINTISIPİSAGOR BAĞINTISIDik üçgende dik kenarların Dik üçgende dik kenarların

uzunluklarının kareleri toplamı uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. ABC üçgeninde  eşittir. ABC üçgeninde  m(A) = 90° => m(A) = 90° => a^2=b^2+c^2a^2=b^2+c^2

Page 53: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5353

ÖZEL DİK ÜÇGENLERÖZEL DİK ÜÇGENLER(3 - 4 - 5) Üçgeni(3 - 4 - 5) ÜçgeniKenar uzunlukları  (3 - 4 - 5) sayıları veya Kenar uzunlukları  (3 - 4 - 5) sayıları veya

bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi(6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi

(5 - 12 - 13) Üçgeni(5 - 12 - 13) ÜçgeniKenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve

bunların katı olan bütün  üçgenler dik bunların katı olan bütün  üçgenler dik üçgenlerdir.  (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … üçgenlerdir.  (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi.gibi.

  Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.olan üçgenler dik üçgenlerdir.

Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.olan üçgenler dik üçgenlerdir.

Page 54: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5454

3. İkizkenar dik üçgen3. İkizkenar dik üçgenABC dik üçgen |ABC dik üçgen |

AB| = |BC| = a |AC| = aAB| = |BC| = a |AC| = a2 2 m(A) = m(C) = 45° m(A) = m(C) = 45°

İkizkenar dik üçgende hipotenüs İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarların dik kenarların 2 katıdır.2 katıdır.

Page 55: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5555

4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni(30° - 60° - 90°) dik (30° - 60° - 90°) dik

üçgeninde; 30°'nin üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki 60° nin karşısındaki kenar,30° nin karşısındaki kenar,30° nin karşısındaki kenarın kenarın 3 katıdır.3 katıdır.

Page 56: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5656

5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni(30° - 30° - 120°) üçgeninde (30° - 30° - 120°) üçgeninde

30° lik açıların karşılarındaki 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar açının karşısındaki kenar aa3  olur.3  olur.

Page 57: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5757

6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni   (15° - 75° - 90°) üçgeninde (15° - 75° - 90°) üçgeninde

hipotenüse ait yükseklik |AH| = h hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs |BC| = 4h olur.  dersek, hipotenüs |BC| = 4h olur.  Hipotenüs kendisine ait Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört katıdır.yüksekliğin dört katıdır.

(22,5 – 67,5 – 90 ) üçgeninde (22,5 – 67,5 – 90 ) üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs |BC| = 2dersek, hipotenüs |BC| = 22.h 2.h olur. olur. 

Page 58: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5858

ÖKLİT BAĞINTILARIÖKLİT BAĞINTILARIDik üçgenlerde hipotenüse ait Dik üçgenlerde hipotenüse ait

yüksekliğin verildiği durumlarda yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır. Yüksekliğin bağıntıları kullanılır. Yüksekliğin hipotenüste ayıldığı parçaların hipotenüste ayıldığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.

h^2 = p.k b^2 =  k.a h^2 = p.k b^2 =  k.a a.h =b.c c^2 = p.aa.h =b.c c^2 = p.a

Page 59: GEOMETRİK KAVRAMLAR

5959

İKİZKENAR ÜÇGENİKİZKENAR ÜÇGENİkizkenar üçgenin tepe İkizkenar üçgenin tepe

açısından tabanına çizilen açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.kenarortaydır.

Page 60: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6060

Bir üçgende, açıortay aynı Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. ikizkenar üçgendir. ||AB| = |AC| AB| = |AC|

|BH| = |HC||BH| = |HC|

m(B) = m(C)m(B) = m(C)

Page 61: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6161

Bir üçgende, açıortay aynı Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. üçgen ikizkenar üçgendir. ||AB| = |AC|,AB| = |AC|,

[AH] ^ [BC][AH] ^ [BC]

m(B) = m(C)m(B) = m(C)

Page 62: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6262

Bir üçgende, yükseklik aynı Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. üçgen ikizkenar üçgendir. ||AB| = |AC|AB| = |AC|

m(BAH) = m(HAC)m(BAH) = m(HAC)

m(B) = m(C)m(B) = m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.gereken bir özelliktir.

Page 63: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6363

İkizkenar üçgende ikizkenara ait İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.ayırdığı parçalarda eşit olur.

Page 64: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6464

İkizkenar üçgende ikizkenara ait İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.parçalar da birbirine eşittir.

Page 65: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6565

İkizkenar üçgende eşit açılara İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.bölerler.

Page 66: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6666

İkizkenar üçgende ikiz İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.   yüksekliği verir.   |AB| = |AC|  =>    |LC| = ||AB| = |AC|  =>    |LC| = |HP| + |KP|HP| + |KP|

Page 67: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6767

İkizkenar üçgende tabandan İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir. kenarların uzunluğuna eşittir.

Page 68: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6868

EŞKENAR ÜÇGENEŞKENAR ÜÇGENEşkenar üçgende bütün Eşkenar üçgende bütün

açıortay, kenarortay yükseklikler açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir. eşittir. nA = nB = nC = nA = nB = nC =

Va = Vb = Vc = Va = Vb = Vc =

ha = hb = hcha = hb = hc  

Page 69: GEOMETRİK KAVRAMLAR

6969

Eşkenar üçgenin bir Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük kenarına a dersek yük seklik seklik

Bu durumda eşkenar Bu durumda eşkenar üçgenin alanı  üçgenin alanı 

yükseklik cinsinden yükseklik cinsinden alan değerialan değeri

Alan(ABC) = Alan(ABC) = 

Page 70: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7070

Eşkenar üçgenin içindeki Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar kenarı a olan eşkenar üçgende; üçgende; 

Page 71: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7171

Eşkenar üçgenin içindeki Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.Bir kenarı a olan ABC eşittir.Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgenindeeşkenar üçgeninde

Page 72: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7272

ÜÇGENDE ALANÜÇGENDE ALAN

1. TEMEL ALAN FORMULU 1. TEMEL ALAN FORMULU Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Hangi kenarı kullanırsak kullanalım Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir.üçgenin alanı sabittir.

Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir. üçgenin içinde olmayabilir.

Page 73: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7373

2. Dik Üçgende Alan2. Dik Üçgende AlanDik üçgenin alanı dik kenarlarının Dik üçgenin alanı dik kenarlarının

çarpımının yarısına eşittir. çarpımının yarısına eşittir.

3. 3. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;üçgenin alanı;

ABC üçgeninde ABC üçgeninde m(ABC) m(ABC) = = αα |AB| = c |BC| = a |AB| = c |BC| = a

Page 74: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7474

a.a. Birbirini 180° ye tamamlayan Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit açıların sinüsleri eşit olduğundan;olduğundan;

eşitliği vardır.eşitliği vardır.

Page 75: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7575

b.b. |BC| = a |AB| = c uzunlukları |BC| = a |AB| = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır.için a = 90° olmalıdır.

Page 76: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7676

c. c. Hipotenüs uzunluğu sabit Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için en büyük değerini alabilmesi için |AB| = |AC| olmalıdır. ABC |AB| = |AC| olmalıdır. ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır.olmalıdır.

Page 77: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7777

4. 4. Üç kenarının uzunluğu verilen Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin üçgenin alanı; ABC üçgeninin çevresi Çevre(ABC) = a + b + c çevresi Çevre(ABC) = a + b + c Çevrenin yarısına Çevrenin yarısına uu dersek dersek

Page 78: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7878

5. 5. Çevresi ve iç teğet çemberinin Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun. yarıçapı r olsun.

Bu üç alanı toplayarak ABC Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz.üçgeninin alanını bulabiliriz.

A(ABC) =u.rA(ABC) =u.r

ABC dik üçgeninde ABC dik üçgeninde A(ABC) = |BD|.|DC|A(ABC) = |BD|.|DC|

Page 79: GEOMETRİK KAVRAMLAR

7979

6.6. Kenarları ve çevrel Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun. merkezi O ve yarıçapı R olsun.

Page 80: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8080

Orta DikmeOrta DikmeÜçgenin kenarının orta Üçgenin kenarının orta

noktasından çizilen dik noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir. doğrulara orta dikme denir. [EA, a kenarının[FO, b [EA, a kenarının[FO, b kenarının[DO, c kenarının orta kenarının[DO, c kenarının orta dikmeleridir.O noktası çevrel dikmeleridir.O noktası çevrel çemberin merkezidir.çemberin merkezidir.

Page 81: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8181

7. 7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;alanları arasındaki bağıntı;

Yükseklikleri eşit üçgenlerin Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.oranına eşittir.

ABC ve ACD üçgenlerinin ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri olduğuna göre, yükseklikleri eşittir. eşittir.

Page 82: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8282

8. 8. Tabanları eşit üçgenlerin Tabanları eşit üçgenlerin alanlarının oranı alanlarının oranı yüksekliklerinin oranına eşittir. yüksekliklerinin oranına eşittir.

Page 83: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8383

Page 84: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8484

AÇIORTAYAÇIORTAYHerhangi bir açının ölçüsünü iki eş Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş

açıya bölen ışınlara açıortay açıya bölen ışınlara açıortay denir.Yandaki şekilde AOB açısını iki denir.Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir. denir. Açıortay üzerindeki herhangi bir Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.uzunluklar eşittir.

AOB bir açı,AOB bir açı,[OC açıortay[OC açıortaym(AOC) = m(COB)m(AOC) = m(COB) |AC| = |CB| AOC ve BOC eşüçgenler |AC| = |CB| AOC ve BOC eşüçgenler

olduğundan|OA| = |OB|olduğundan|OA| = |OB|

Page 85: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8585

İç Açıortay Bağıntısıİç Açıortay BağıntısıABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve

ANC üçgenlerinin [BC] tabanına göre, ANC üçgenlerinin [BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan yükseklikleri eşit olduğundan

olur .....olur .....(1)(1)ABN üçgeninde [AB] kenarına ait ABN üçgeninde [AB] kenarına ait

yükseklik ANC üçgeninde [AC] yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir. kenarına ait yüksekliğe eşittir.

olur .....olur .....(2)(2)[AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan

oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den olur olur

Page 86: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8686

İç Açıortay Uzunluğuİç Açıortay UzunluğuABC üçgeninde [AN] ABC üçgeninde [AN]

açıortay olmak şartıylaaçıortay olmak şartıyla

dir. Buradan dir. Buradan b.y=c.xb.y=c.x eşitliği de elde eşitliği de elde edilir.edilir.

ABC üçgeninde A köşesinden ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay uzunluğuna çizdiğimiz açıortay uzunluğuna nA dersek nA dersek

Page 87: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8787

Dış Açıortay BağıntısıDış Açıortay BağıntısıABC üçgeninde [AD], A ABC üçgeninde [AD], A

köşesine ait dış açıortaydır.köşesine ait dış açıortaydır.

Page 88: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8888

Dış Açıortay UzunluğuDış Açıortay UzunluğuABC üçgeninde [AD] dış ABC üçgeninde [AD] dış

açıortayının uzunluğuna nA açıortayının uzunluğuna nA dersekdersek

Page 89: GEOMETRİK KAVRAMLAR

8989

İç açıortayla dış açıortay İç açıortayla dış açıortay arasındaki açıarasındaki açı m(DAE)=90° m(DAE)=90°

ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için[AE] dış açıortayı arasındaki açı için

2a + 2b = 180°2a + 2b = 180°a + b = 90° dir.a + b = 90° dir.[DA] ^ [AE][DA] ^ [AE]Bir üçgende iç açıortayların kesim Bir üçgende iç açıortayların kesim

noktası iç teğet çemberin merkezidir. noktası iç teğet çemberin merkezidir. P noktasının kenarlara uzaklığı P noktasının kenarlara uzaklığı

eşittir. Merkezden indirilen dikmeler eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur. iç teğet çemberin yarıçapı olur.

Page 90: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9090

ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI

Ağırlık MerkeziAğırlık MerkeziÜçgenlerde kenarortaylar Üçgenlerde kenarortaylar

bir noktada bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına kesişim noktasına ağırlık ağırlık merkezi merkezi denir.denir.

ABC üçgeninde [AD], [BE] ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının ve [CF] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir.merkezi denir.

Page 91: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9191

ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI

a. a. Ağırlık merkezi Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak köşeye 2 birim olacak şekilde böler.şekilde böler.

ABC üçgeninde D, E, F ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları noktaları bulundukları kenarların orta noktaları ve kenarların orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise G ağırlık merkezi ise eşitlikleri vardır.eşitlikleri vardır.

Page 92: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9292

ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI

bb. Bir üçgende iki . Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık oluşan nokta ağırlık merkezidir.merkezidir.

Page 93: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9393

ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI

c. c. ABC üçgeninde [AD] ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası ağırlık olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.merkezidir.

Page 94: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9494

ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI

d.d. ABC üçgeninde [AD] ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.merkezidir.

Page 95: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9595

ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI

e.e. ABC üçgeninde | ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF| eşitliğini |CG| = 2|GF| eşitliğini sağlayan G noktası ABC sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.üçgeninin ağırlık merkezidir.

Page 96: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9696

ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI

Dik üçgende hipotenüse ait Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.yarısına eşittir.

ABC dik üçgeninde [BD] ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay|AG|=|hipotenüse ait kenarortay|AG|=|DC|=|BD|DC|=|BD|

Page 97: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9797

Kenarortayların Böldüğü Kenarortayların Böldüğü AlanlarAlanlar

a.a.Kenarortaylar üçgenin Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya alanını altı eşit parçaya bölerler.bölerler.

b.b.G ağırlık merkezi köşelere G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.üç eşit parçaya bölünür.

c. c. G ağırlık merkezi kenarların G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.üç eşit parçaya bölünür.

Page 98: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9898

Kenarortayların Böldüğü AlanlarKenarortayların Böldüğü Alanlar

ABC üçgeninde kenarortaylar ve ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x|KG| = x |GD| [FE] çizilirse |AK| = 3x|KG| = x |GD| = 2x eşitlikleri bulunur.K noktası = 2x eşitlikleri bulunur.K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.[AD] kenarortayının orta noktasıdır.

[FE] //[BC]2[FE]=[BC][FE] //[BC]2[FE]=[BC]a. a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve ABC üçgeninde kenarortaylar ve

[FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.alan bölünmesi oluşur.

b.b.Kenarların orta noktalarını Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.alanı dört eşit parçaya bölünür.

Page 99: GEOMETRİK KAVRAMLAR

9999

Kenarortay UzunluğuKenarortay Uzunluğu5. 5. ABC üçgeninde A köşesinden ABC üçgeninde A köşesinden

çizilen kenarortayın uzunluğuna çizilen kenarortayın uzunluğuna Va dersek Va dersek

Bu bağıntı diğer kenarortaylar Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.Kenarortaylar içinde geçerlidir.Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsataraf tarafa toplanırsa

Kenarortaylar taraf tarafa Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa toplanırsa

Page 100: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101000

Dik Üçgende KenarortaylarDik Üçgende KenarortaylarA açısı 90° olan bir dik A açısı 90° olan bir dik

üçgende kenarortaylar üçgende kenarortaylar arasındaarasında

Page 101: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101011

1. Benzer Üçgenler1. Benzer Üçgenler Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları

orantılı olan üçgenlere orantılı olan üçgenlere benzer üçgenlerbenzer üçgenler denir.denir.

   ABC ve DEF üçgenleri için;ABC ve DEF üçgenleri için; oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile

DEF üçgeni benzerdir denir veDEF üçgeni benzerdir denir ve ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.ABC ~ DEF biçiminde gösterilir. eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik

oranı yada benzerlik oranı yada benzerlik 

katsayısı denir.katsayısı denir.   k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı

kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenlereş üçgenler denir. denir.

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.açıların sıralanmasına dikkat edilir.

Page 102: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101022

2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi

Karşılıklı ikişer açıları eş Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.olan üçgenler benzerdir.

şekilde verilen üçgenlerdeşekilde verilen üçgenlerdeİkişer açıları eş İkişer açıları eş

olduğundan, üçüncü açıları olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. benzer üçgenlerdir. 

m(C)=m(F) m(C)=m(F)

Page 103: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101033

3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik 3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik TeoremiTeoremi

İki üçgenin karşılıklı ikişer İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.iki üçgen benzerdir.

Page 104: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101044

4. Kenar - Kenar - Kenar 4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik TeoremiBenzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı bütün İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.üçgen benzerdir.

Kenarları orantılı olan ABC ve Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar orantılı kenarları gören açılar eştir.eştir.

m(A) = m(D),m(A) = m(D),m(B) = m(E),m(B) = m(E),m(C) = m(F)m(C) = m(F)

Page 105: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101055

5. Temel Benzerlik Teoremi5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş  açılar eş  olacağından   yöndeş  açılar eş  olacağından  

ADE ~ ABC dir. ADE ~ ABC dir. 

Ağırlık merkezinden çizilen paralel Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC] ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]

  |AK|=2|KB||AL|=2|LC||AK|=2|KB||AL|=2|LC|

Page 106: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101066

6. Tales Teoremi6. Tales TeoremiParalel doğrular kendilerini kesen  Paralel doğrular kendilerini kesen 

doğruları aynı oranda bölerler.  d1 // d2 doğruları aynı oranda bölerler.  d1 // d2 // d3  doğruları için// d3  doğruları için

  [AB] // [DE] ise oluşan içters  açıların [AB] // [DE] ise oluşan içters  açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. Buradan, Buradan,

eşitliği elde edilir. Buna kelebek eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.benzerliği de denir.

Page 107: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101077

7. Benzerlik Özellikleri7. Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.elemanları orantılıdır.

ABC ~DEF  Burada k ABC ~DEF  Burada k ya benzerlik oranı ya benzerlik oranı denir.denir.

Page 108: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101088

a.a. Benzer Benzer üçgenlerde orantılı üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenarlara ait yüksekliklerin oranı yüksekliklerin oranı benzerlik oranına benzerlik oranına eşittir.eşittir.

Page 109: GEOMETRİK KAVRAMLAR

101099

b.b. Benzer Benzer üçgenlerde orantılı üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenarlara ait kenar-ortay kenar-ortay uzunluklarının uzunluklarının oranı benzerlik oranı benzerlik oranına eşittir.oranına eşittir.

Page 110: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111100

c. c. Benzer Benzer üçgenlerde eş üçgenlerde eş açılara ait açılara ait açıortay açıortay uzunluklarının uzunluklarının oranı benzerlik oranı benzerlik oranına eşittir.oranına eşittir.

Page 111: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111111

d. d. Benzer Benzer üçgenlerin üçgenlerin çevrelerinin çevrelerinin oranı benzerlik oranı benzerlik oranına eşittir.oranına eşittir.

Page 112: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111122

e.e. ABC üçgeninde ABC üçgeninde içteğet çemberin içteğet çemberin yarıçapı rABC ve yarıçapı rABC ve çevrel çemberin çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı çemberin yarıçapı RDEF olsun.RDEF olsun.

Page 113: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111133

f. Alanlar oranıf. Alanlar oranıBenzer Benzer

üçgenlerin üçgenlerin alanlarının oranı alanlarının oranı benzerlik benzerlik oranının oranının karesine eşittir.karesine eşittir.

Page 114: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111144

g.g. Benzerlik oranı k = 1 olan Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.üçgenler eş üçgenlerdir.

Kenarları eşit aralıklı paralellerle Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar. olarak artar.

[AB] // [EF] // [DC]  benzerlik [AB] // [EF] // [DC]  benzerlik özelliklerinden, özelliklerinden,

  |AB|.|FC|=|DC|.|BF||AB|.|FC|=|DC|.|BF|

Page 115: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111155

8. Özel Teoremler8. Özel Teoremlera. Menelaüsa. MenelaüsABC üçgeni KM doğru ABC üçgeni KM doğru

parçası ile şekildeki gibi parçası ile şekildeki gibi kesiliyor isekesiliyor ise

   b. Seva b. Seva ABC üçgeni içerisinde ABC üçgeni içerisinde

alınan bir P noktası için,alınan bir P noktası için,    

Page 116: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111166

Page 117: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111177

Page 118: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111188

Page 119: GEOMETRİK KAVRAMLAR

111199

Page 120: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121200

Page 121: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121211

Page 122: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121222

Page 123: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121233

Page 124: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121244

Page 125: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121255

Page 126: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121266

Page 127: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121277

Page 128: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121288

Page 129: GEOMETRİK KAVRAMLAR

121299

Page 130: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131300

Page 131: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131311

Page 132: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131322

Page 133: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131333

Page 134: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131344

Page 135: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131355

Page 136: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131366

Page 137: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131377

Page 138: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131388

Page 139: GEOMETRİK KAVRAMLAR

131399

Page 140: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141400

Page 141: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141411

Page 142: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141422

Page 143: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141433

Page 144: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141444

Page 145: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141455

Page 146: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141466

Page 147: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141477

Page 148: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141488

Page 149: GEOMETRİK KAVRAMLAR

141499

Page 150: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151500

Page 151: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151511

Page 152: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151522

Page 153: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151533

Page 154: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151544

Page 155: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151555

Page 156: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151566

Page 157: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151577

Page 158: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151588

Page 159: GEOMETRİK KAVRAMLAR

151599

Page 160: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161600

Page 161: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161611

Page 162: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161622

Page 163: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161633

Page 164: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161644

Page 165: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161655

Page 166: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161666

Page 167: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161677

Page 168: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161688

Page 169: GEOMETRİK KAVRAMLAR

161699

Page 170: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171700

Page 171: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171711

Page 172: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171722

Page 173: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171733

Page 174: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171744

Page 175: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171755

Page 176: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171766

Page 177: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171777

Page 178: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171788

Page 179: GEOMETRİK KAVRAMLAR

171799

Page 180: GEOMETRİK KAVRAMLAR

181800

Page 181: GEOMETRİK KAVRAMLAR

181811

Page 182: GEOMETRİK KAVRAMLAR

181822

Page 183: GEOMETRİK KAVRAMLAR

181833

Page 184: GEOMETRİK KAVRAMLAR

181844

Page 185: GEOMETRİK KAVRAMLAR

181855

Page 186: GEOMETRİK KAVRAMLAR

181866