38 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่1_เลขยกกำลัง

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม (เนอหาตอนท 1) เลขยกก าลง

โดย

รองศาสตราจารย เพญพรรณ ยงคง

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม มจ านวนตอนทงหมดรวม 16

ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม 2. เนอหาตอนท 1 เลขยกก าลง

- เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม - เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านอนตรรกยะ - เขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ

3. เนอหาตอนท 2 ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม - ฟงกชนเลขชก าลง - กราฟของฟงกชนเลขชก าลง - สมการเลขชก าลง

4. เนอหาตอนท 3 ลอการทม - ฟงกชนลอการทม - กราฟของฟงกชนลอการทม - สมการลการทม

5. เนอหาตอนท 4 อสมการเลขชก าลง - ทบทวนสมบตทส าคญของเลขยกก าลง - สมการและอสมการของเลขยกก าลง - ฟงกชนเลขชก าลงในชวตประจ าวน

6. เนอหาตอนท 5 อสมการลอการทม - ทบทวนสมบตทส าคญของลอการทม - สมการและอสมการลอการทม - ปญหาในชวตประจ าวนทเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

7. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 8. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 11. แบบฝกหด (ขนสง)


2

12. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนท ใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอน วชาคณตศาสตร เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

หมวด เนอหา

ตอนท 1 (1/5)

หวขอยอย 1. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม 2. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ 3. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ

จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยน

1. มความเขาใจเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม

2. มความเขาใจเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

รวมถงความเขาใจเกยวกบรากท n ของจ านวนจรงดวย 3. มความเขาใจเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายของเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมได 2. อธบายความหมายของเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะได 3. อธบายความหมายของรากท n ของจ านวนจรง และความหมายของกรณฑ

n ของจ านวนจรงดวย 4. หาคาของจ านวนทอยในรปของเลขยกก าลง และแกสมการเลขยกก าลงได


4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


5

1. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม


6

1. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม

ในหวขอนผเรยนจะไดแนวคดเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม บทนยามตางๆ และทฤษฎบททส าคญของเลขยกก าลง

เพอใหผเรยนไดเขาใจและเหนตวอยางหลากหลายรปแบบ จงเพมเตมตวอยางดงน จากสอ ผเรยนจะไดเหนเลขยกก าลงทอยในรป ma

เมอ 3 , 4a m 43 3 3 3 3

6, 3

7a m

36 6 6 6

7 7 7 7

0.5 , 3a m 30.5 0.5 0.5 0.5

1.5 , 2a m 21.5 1.5 1.5

เนองจาก 10.5

2 ดงนน เราอาจเขยนแทน 30.5 ดวย

31

2 ซงมความหมายเหมอนกน

และในท านองเดยวกน 31.5

2 ดงนนเราอาจเขยนแทน 21.5 ดวย

23

2

ดงนน ในกรณท a เปนจ านวนตรรกยะทเขยนในรปเศษสวน pq หรอเขยนในรปเลขทศนยมกใชได

ทงสองแบบ เชน

30.25 = 31

4 =

1 1 1

4 4 4

50.75 = 53

4 =

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4


7

41.25 = 45

4 =

5 5 5 5

4 4 4 4

30.025 = 31

40 =

1 1 1

40 40 40

จากสอ ผเรยนไดพบกบบทนยามของ 0a และ ma และทฤษฎบททส าคญของเลขยกก าลง เพอทดสอบความเขาใจและเปนการเนนย าอกครงของผเรยนจะไดจดจ ากฎและกตกาตางๆ ไดอยางแมนย าและไมสบสนเมอถงเวลาน าไปใชจะไดใชไดอยางคลองแคลวและไมผดพลาด ผสอนอาจถามผเรยนเพมเตมดวยค าถามสนๆ ตอไปน

03 05 04

3

20 03 0375

47

และเมอเหนวาผเรยนตอบไดอยางถกตอง แลวกกลบมาเนนตอวา

ผเรยนอยาลมวา 0 m ไมมคา เมอ m เปนจ านวนเตมบวก

เชน 2 3 50 , 0 , 0 ไมมคา (เลขชก าลงเปนจ านวนเตมลบ)

ผสอนควรยกตวอยางเพมเตม ในกรณทฐานของเลขยกก าลงเปนจ านวนตรรกยะทอยในรปเศษสวน และมเลขชก าลงเปนจ านวนลบ ดงน

32

5 = 3

1

2

5

= 1

2 2 2

5 5 5

= 1 1258 8125


8

เพราะวา 12 2 2

5 5 5

= 1 1 12 2 2

5 5 5

= 5 5 5

2 2 2 =

35

2

ดงนน 32

5 =

35

2

ในกรณทวไป ma

b =

mb

a เมอ a และ b ไมเปนศนย

เชน 53

2=

52

3 =

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

= 32

243

เพอเปนการทบทวนทฤษฎบททผเรยนเหนจากสอ ใหผสอนยกตวอยางเพมเตมตอไปน

4 2 4 2 63 3 3 3 7

7 4 34

55 5

5

2 25 5 5n n 6

6 8 28

33 3

3

3 33 315 5 3 5 3 5

5 ( 3) 83

22 2

2

4 4

3 3

nn

n 5

7 7 5 2

3 1 1

3 3 3

4 33 4 122 2 2

เมอผเรยนเขาใจดแลว กเพมเตมการบวกและลบกนของเลขยกก าลงทมฐานเหมอนกน และเลขชก าลงเดยวกน ดงตวอยางตอไปน

3 33 2 5 2 = 3(3 5)2 = 38 2

2 14 3 4n n = 2 14 4 3 4 4n n

= 16 4 12 4n n = 4 4n = 14n


9

จากบทนยาม 1mmaa

ยอมไดวา ma = 1ma

เชน 32 = 3

1

2 , 5

5

13

3

จากสอผเรยนไดเหนตวอยางของการด าเนนการจดการใหจ านวนทก าหนดใหเขยนอยในรปอยางงาย และมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก เพอใหนกเรยนหรอผเรยนไดมความเขาใจเพมขนและไดมทกษะในการด าเนนการ ผสอนควรเพมตวอยางอกสกสองสามตวอยาง ดงตอไปน


10

ตวอยางตอไปน จะก าหนดให , , , ,a b x y z เปนจ านวนจรงทไมเปนศนย

ตวอยางท 1 จงท าใหเปนรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

3 2

2 5

a b

a b = 2 53 ( 2)a b (ด าเนนการกบจ านวนทมฐานเดยวกนเสยกอน)

= 5 7a b

= 5

7

a

b (จดรปเพอใหเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก)

0 32 3 5 2x y x y =

02 3

35 2

x y

x y = 15 6

1

x y

ตวอยางท 2

2 34 3 4 1

2

a x y b

ab xy =

34 1

24 3 2

y b

a x ab xy

=

3 34 1

2 24 3 2

y b

a x ab xy

=

12 3

8 6 2

y b

a x ab xy

=

12 1 3 2

8 1 6 1

y b

a x

=

11 5

9 5

y b

a x =

5 11

9 5

x y

a b


11

ตวอยางท 3 2 2 1

2 1 2

pn n

np p

a b

b a =

2 2 1

2 1 2

p pn n

n np p

a b

b a

=

2 2

2 2

np p np p

pn n pn n

a b

b a

= ( 2 ) ( 2 ) (2 ) (2 )np p pn n np p pn na b

= 2 2p n p na b

= 2( )

p n

p n

b

a = 2

p nb

a

ตวอยางท 4 2( )

2

p n p n

n p n

x y

x y =

22 ( ) ( )p n n p n p nx y

= 2

2 2( )p p nx y

= 22 2( )

1p p nx y

= 2( 2) 4( )

1p p nx y

= 4( )

2( 2)

p n

p

y

x =

4 4( )

2

p n

p

x y

x

(เพราะวา p เปนจ านวนเตมบวก แตบอกไมไดวา 2p เปนจ านวนเตมบวกหรอไม แตโจทย

ตองการใหค าตอบเขยนอยในรปทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก ดงนนจงเขยน 2( 2)

1px

ในรป 4

2p

x

x )


12

แบบฝกหดท 1

เรอง เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม

1. ก าหนดให , , , , ,a b c x y z เปนจ านวนจรงทไมเปนศนย

จงท าใหเปนรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

1.1 2 52 3 1 02 3a b a b 1.2 2 31 2 0 24a b a b

1.3 2 22 3 4

3 3

4

12

a b c

c a b 1.4

12 0 2 3

4 1 4

3

9

c c a

a b b

1.5 24 2 3 53 4x y x y 1.6 3 23 2 5 19 3x y x y

1.7 32 3 2 4

2

x y x y

x y 1.8

0 33 2 1 2

30 2

x y x y

y x

1.9 12 3

7 4

x yz

y zx 1.10

23 013 0 2

4

z yx z y

x

2. ก าหนดให , , , , ,a b n p x y เปนจ านวนเตมบวก

จงท าใหเปนรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

2.1 2 2 1

1 2 2

pn n

np p

a b

a b 2.2

43 1 2 1

6 1 2 5

n n

n n

x y

x y

2.3 3 2

3 6

n n

n

a b

a b 2.4

23 1 3

2 1

n n

n n

x y

x y

2.6 4 12 2 2 3 2 2 1n n n nx y x y 2.6

12 323

3

nnn yx x y

3. จงท าใหเปนรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก ก าหนดให n

3.1 2 2 1 1

3 2

4 2 8

2

n n n

n 3.2 2 1 1 1

3 2

9 81 16

4 27

n n n

n n


13

3.3 1 1

2 11

8 4

2 16

n n

n nn n 3.4

11 2 2

3 3 4

64 24 9

(27) 3

nn n

n n

3.5 1

1 1

1 2 11

4 4

416

n n

n nnn 3.6

2 3

3 2

2 20

6 15

n n

n n

4. ก าหนดให ,x y เปนจ านวนจรงบวก และ n เปนจ านวนเตมบวก

จงแยกตวประกอบในแตละขอตอไปน

4.1 2 28 3x y 4.2 6 10

1 4

x y

4.3 6 2 4x z y 4.4 2 19 6 1x x

4.5 4 25 6y y 4.6 2

3 108

xx

4.7 2 18 16x x 4.8 6 36 13 5x x

4.9 3 38a b 4.10 9 627a b

5. ก าหนดให n และ x เปนจ านวนเตมบวก จงท าใหเปนรปอยางงาย

5.1 2 19 36 9

11 9

n n

n 5.2 4 1

2

3 6 3

7 3

n n

n

5.3 1

1

4 2 3 2

2 2

n n

n n 5.4 1 2

2

9 3 5 3

3 3

n n

n n

5.5 1

1 1

8 5 2 5

5 3 5

n n

n n 5.6 1

2

3

9

n n

n n

x x

x x

6. ก าหนดให , , ,a b x y เปนจ านวนเตมบวก

จงท าใหอยในรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนบวก

6.1 1 1

1 1

x y

x y 6.2

1 2

1 2

5 2

3

a b

a b

6.3 1 2 2 1

2 1

a b a b

b a 6.4

2 1 1 2

1 2 2 1

2 3

3

y x y x

x y x y

6.5 16 4

3 6 2

x y

y x x y


14

2. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ


15

2. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

ในหวขอนเราจะกลาวถงเลขยกก าลงทมเลขชก าลงทเปนจ านวนตรรกยะ ซงจะขอกลาวถงรากท n ของจ านวนจรง เมอ n เปนจ านวนนบเสยกอน เพอจะเปนการน าไปสการนยามเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ โดยจะเรมจากบทนยามของรากทสองของ x แลวจงตอดวยรากท n ของ x เมอ n เปนจ านวนนบใดๆ ทมากกวา 2

เพอใหผเรยนไดคนเคยกบค าวารากทสองของจ านวนจรง x ใหคณครยกตวอยางเพมเตมตอไปน

เพราะวา 25 = 25 ดงนน 5 เปนรากทสองของ 25

25 = 25 ดงนน 5 เปนรากทสองของ 25

และเพราะวา 5 เปนรากทสองทไมเปนลบของ 25 ดงนน 5 25 และ 5 25

เพราะวา 27 = 49 ดงนน 7 เปนรากทสองของ 49

27 = 49 ดงนน 7 เปนรากทสองของ 49

และเพราะวา 7 เปนรากทสองทไมเปนลบของ 49 ดงนน 7 49 และ 7 49


16

ตวอยาง

169 13 13 13 8 8 4 2

50 50 25 5

81 36 9 9 6 6 9 6 1 1 1 1 5

5 5 5 5 5

625 25 25 25

749 7 7

5 5 5

5 5 5 5 5

25 5 5 5

0.25100 10 10 10

0.25 (0.5) (0.5) 0.5

ผเรยนควรระมดระวงในการพจารณาคาตางๆ ดงตวอยางตอไปน

25 25 5 ( 5)

ดงนน ส าหรบ a ทเปนจ านวนจรงใดๆ

2 | |a a ไมใช a

เชน 2( 7) = | 7 | , 26 = | 6 | = 6

2b = | |b

2x = | |x


17

รากท n ของจ านวนจรง

ในหวขอนเราจะกลาวถงการนยามรากท n ของจ านวนจรง x และจะไดรจกกบรากหลกท n ของจ านวนจรง x ดวย

ผเรยนสามารถทบทวนความหมายของรากท n ของ x เมอ x เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวก โดยดจากตวอยางตอไปน

3y x แลว y เปนรากท 3 ของ x

32 8 แลว 2 เปนรากท 3 ของ 8



เนองจาก เราไมสามารถหาจ านวนจรง y ซง 2 4y

ดงนน 4 ไมมรากทสอง

และเรากไมสามารถหาจ านวนจรง y ซง ny x เมอ 0x และ n เปนจ านวนค

ดงนน จะไมมรากท n ของจ านวนจรงทเปนลบ เมอ n เปนจ านวนค

ตวอยาง ไมมรากท 4 ของ 16 หรอ 16 ไมมรากอนดบท 4

และไมมรากท 6 ของ 50 หรอ 50 ไมมรากอนดบท 6


18

ครผสอนควรชใหนกเรยนเหนถงขอผดพลาด และความคลาดเคลอนของเลขยกก าลงทมฐานเปนจ านวนลบ ซงพบวาผดพลาดบอยๆ กคอ มกจะเขยน

23 แทนทจะเขยน 2( 3)

เพราะวา 23 (3 3) 9 แต 2( 3) ( 3) ( 3) 9

ดงนน 2 23 ( 3)

ในท านองเดยวกนกบ ( )n na a เมอ n เปนจ านวนค

แตเมอ n เปนจ านวนค ทงสองจ านวนกลบเทากน ดงตวอยาง

3

2 (2 2 2) 8

3

( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 8

จะเหนวา 32 3( 2) 8

ดงนน ครควรเตอนใหนกเรยนระมดระวงเวลาน าไปอางใช และอาจยกตวอยางเพมเตมอกสกสองสามตวอยาง


19

ผเรยนไดรจก “คาหลกของรากท n ” ซงแทนดวยสญลกษณ n โดยเรยกวา “กรณฑท n ” และตองระบดวยวาเปนกรณฑท n ของจ านวนจรงใด เชน

กรณฑท 2 ของ 3 แทนดวย 2 3 (ซงนยมแทน 2 ดวย )

กรณฑท 3 ของ 5 แทนดวย 3 5

กรณฑท 4 ของ 25 แทนดวย 4 25

กรณฑท 5 ของ x แทนดวย 5 x

เมอจะกลาวถงกรณฑท n ของจ านวนจรง x ใด กตองค านงถงขอจ ากดตางๆ ของจ านวนจรง x ดวย เชน

เมอ n เปนจ านวนค n x จะมความหมาย หรอมคา กตอเมอ 0x

เมอ n เปนจ านวนค n x จะมความหมาย หรอมคา กตอเมอ x


20

เชน 4 2 5 3 5325 , 9 , 5 , 20 , 12 , 4 มคา

แต 42 5 , 9 ไมมคา

เมอน าคาหลกรากท n ของ x มายกก าลง n จะได

nn x x

เชน 33 5 5

44 2 2

แตตองระวงวา nn nn x x

เพราะวา n nx =

เมอ เปนจ านวนค เมอ เปนจ านวนค | |

x n

x n

เชน

33 ( 7) 7 , 33 7 7

4 44( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7)

= 47 7 7 7 = 7 | 7 |

เพอทบทวนและตรวจสอบผเรยน ผสอนอาจตงค าถามสนๆ เพอใหผเรยนตอบดงน

1. 144 = 2. 3 216 =

3. 4 16 = 4. 33 ( 12) =

5. 44 ( 5) = 6. 5 5( 11) =


21

จากบทนยามและทฤษฎบทขางตน เราสามารถน ามาใชในการรวมจ านวนจรงทมรากล าดบทเทากนได

เชน

3 39 9 = 32 9

3 3 39 5 9 2 9 = 3(1 5 2) 9 = 34 9

5 58 4 = 5 8 4 = 5 52 = 2

3 316 16 = 3 16 16 = 3 4 4 4 4 = 3 34 4

= 3 334 4 = 34 4


22

และจากนยาม 1na = n a เรากสามารถเขยนจ านวนจรงในรปกรณฑอนดบท n ตางๆ

ในรปของเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะทเขยนในรปเศษสวน 1n ได เชน

1 1 13 3 33 39 9 9 9 2 9

1 1 1 1 13 3 3 3 33 3 39 5 9 2 9 9 5 9 2 9 (1 5 2) 9 4 9

1 1 1 15 5 5 5 55 5 5 58 4 8 4 (8 4) (2 ) 2 2

1 1 1 13 3 3 33 316 16 (16) (16) (16 16) (4 4 4 4)

=1 1 13 3 33 3(4 4) (4 ) (4)

=3 3 334 4 4 4

จากสงทนกเรยนไดเรยนรมาแลววา ( )n na a

และ 1n na a เรากจะไดวา

1

( )nn

a a

เชน 1 1 13 5 53 5

54 4 , (2 ) 2 , ( 3) 3


23

ครควรย าเกยวกบการนยามของ pqa เมอ p และ q เปนจ านวนเตม

โดยมเงอนไขวา ( , ) 1p q และ 0q และ 1qa

โดยทวๆ ไป pq กเปนจ านวนตรรกยะ ซง p และ q อาจจะเปนจ านวนบวกหรอลบกได

เชน 3 5 15 15, , ,

4 6 20 12

ซงเรากทราบแลววา 3 3 3

4 4 4 เปนจ านวนจรงทมคาเทากน

หรอ 15 15 15

20 20 20

แต pq ทเหนในสอ มเงอนไขเพมเตมวา ( , ) 1p q และ 0q

ซงกแปลวา ห.ร.ม. ของ p และ q ตองเทากบ 1 และ q ตองเปนบวก

ดงนน 15 15 15 5 3 3

20 20 20 5 4 4

จะเหนวา ในทน 3 , 4p q ท าให ( , ) 1p q และ 0q

ซงเราจะใช 34

แทนทจะใช 1520

หรอ 1520

12 243365 5 5


24

เรามาดตวอยางเพมเตมตอไปน

313

552 2

113 3322 2 2 34 4 2 2 8

13 3

2 2 3

3

1 14 4 2

82

ผสอนควรใหผเรยนพจารณาเลขยกก าลงแตละคทก าหนดให แลวดวาจ านวนใดมคามากกวากน เชน

32 และ 23 ค าตอบคอ 2 33 2 เพราะวา 23 9 และ 32 8

54 และ 45 ค าตอบคอ 5 44 5 เพราะวา 23 9 และ 32 8

132 และ

123 ค าตอบคอ เพราะวา

ในกรณท เลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะทเขยนในรปเศษสวน pq การพจารณาคอนขางยงยาก แต

กสามารถท าได ตวอยางตอไปนจะเปนการพจารณาจ านวนสองจ านวนทอยในรปเลขยกก าลงทมฐานไมเทากน เราพยายามปรบใหจ านวนดงกลาวมเลขชก าลงเปนจ านวนเดยวกน (เทากน) เพองายตอการพจารณา

เชน 3 5 และ 3 จ านวนใดมคามากกวากน

เพราะวา 2

11 1 1263 3 63 25 5 5 5 25

311 1 1362 2 633 3 3 3 27

ท าใหสรปไดวา 163 27 >

16 325 5

และถาใหพจารณาวา 3 5 และ 4 6 จ านวนใดมคามากกวากน (กท าไดเชนเดยวกน)


25

เพราะวา 4 1 11 1 4 12 123 33 45 5 5 5 625

3 1 11 1 3 12 124 44 36 6 6 6 216

ดงนน 3 5 > 4 6

และถาตองเรยงล าดบจ านวน 3 จ านวนตอไปน 3 , 3 5 , 4 6 จากนอยไปมาก กจะไดดงน 4 6 , 3 5 , 3

ในการเปรยบเทยบจ านวน 2 จ านวนทเทากน ถาเปนเลขยกก าลงทมฐานเทากนแลว เลขชก าลงยอมเทากน เพอใหผเรยนไดมทกษะเกยวกบเรองน ใหผสอนยกตวอยางเพมเตมดงน

ตวอยางท 1 จงหาคาของ x ทสอดคลองตามสมการ 1. 2 1 53 3x

2. 32

15

5x

x

วธท า 1. เพราะวา 2 1 53 3x ดงนน 2 1 5x ซงท าให 2x

ดงนน คา x ทสอดคลองกบสมการในขอ 1 คอ 2x

2. เพราะวา ( 2)3

2

15 5

5

xx

x

ดงนน 3 ( 2)x x ซงท าให 1

2x

คา x ทสอดคลองกบสมการในขอ 2 คอ 1

2x

ตวอยางท 2 จงหาเซตค าตอบของสมการ 223( 3) ( )

2 8x xx

วธท า เพราะวา 2

23

32 ( )( )( 3) (2 3 )32 8 2 2

xxx x x

ดงนน 2( 3)x x = 2 3x

3 23 3 2x x x = 0

2

( 2)( 1)x x x = 0 ……………………….*


26

เพราะวา 2

2 1 3( 1)

2 4x x x ดงนน 2

( 1) 0x x

จากสมการ * และ 2( 1) 0x x ท าใหสรปไดวา 2 0x นนคอ 2x

เมอตรวจสอบค าตอบ จะไดวา 2x สอดคลองกบสมการทก าหนดให

ดงนน เซตค าตอบของสมการนคอ {2}


27

เมอผเรยนไดดสอเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะแลว เพอใหแนใจวาเราเขาใจอยางถองแทและเกดทกษะ จงควรท าแบบฝกหดเพมเตมดงตอไปน


28


เรอง เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

1. จงหาคาของจ านวนตอไปน (โดยใหอยในรปทตวสวนไมตดกรณฑ)

1.1 1 23 3

12

8 27

36 1.2

1 12 3

16

2 3

4

1.3

1122

1 12 2

33 8

3 32 1.4 6 147

96

1.5 3 27

8 50 1.6

3

6

75 54

12 8

1.7 6 1

2 3 3 2 1.8

( 3 )( 2 )2 3

( 1)(2 )5 5

2. ให x และ y เปนจ านวนจรงบวก

จงท าใหอยในรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนบวก

2.1 2 43 33 2x x 2.2

215 34 5x x

2.3 2 43 3

2

3 2x x 2.4 1 12 3

2

2 3x x

2.5 4 13 2

753 2

12

27

x y

x y 2.6

3 24 3

765 2

2 6

5

125

x y

x y

3. จงท าใหสวนของจ านวนในขอตอไปนอยในรปทไมมเครองหมายกรณฑทสองปรากฏอย

3.1 12

5 8 3.2 3

3 22 3

3.3 25 7

7 5 3.2 3

3 22 3


29

การแกสมการทมเครองหมายกรณฑ และสมการเลขยกก าลง

การแกสมการทตวแปรอยในรปเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ ผเรยนจะไดเหนตวอยางการแกสมการโดยวธยกก าลงของจ านวนทเทากน เพอชวยใหหาค าตอบไดงายขน แตตองตรวจสอบค าตอบของสมการใหมทไดจากการยกก าลง เพราะค าตอบทไดจากสมการใหมมบางคาไมใชค าตอบของสมการเดม จ าเปนตองตรวจสอบทกครง


30

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงหาเซตค าตอบของสมการ 3 23 2 4x x x

จาก 3 23 2 4x x x

ก าลงสามของจ านวนทเทากนยอมเทากน

ดงนน 33 23 2x x = 34 x

23 2x x = 34 x

23 2x x = 2 364 48 12x x x

3 29 46 64x x x = 0

2( 2)( 7 32)x x x = 0

27 79

( 2)2 4

x x = 0

2x

ตรวจสอบคา x ทไดในสมการ จะได

3 32 23 2 3(2) 2(2) 2x x

4 4 2 2x

ดงนน เซตค าตอบของสมการนคอ {2}

ตวอยาง จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน 1. 3 29 9 27x x

2. 25 4 5 5 0x x

วธท า 1. จาก 39 9 x = 227x

จะได 3 19 x = 227x

ท าใหฐานของเลขยกก าลงมคาเทากน จะได

3 123x

= 233

x

6 23 x = 3 63 x


31

ดงนน 6 2x = 3 6x

3x = 4

x = 4

3

เมอตรวจสอบคา 4

3x โดยการแทนคาในสมการทก าหนดมาให กจะพบวา

สอดคลองตามสมการทก าหนดให

ดงนน เซตค าตอบของสมการนคอ 43

2. จาก 25 4 5 5x x = 0

จะได 25 4 5 5x x = 0

(5 1)(5 5)x x = 0

เพราะวา 5 1 0x ดงนน 5 5 0x นนคอ 5 5x

ซงจะไดวา 1x และเมอตรวจสอบคา 1x ในสมการ กจะพบวา สอดคลอง

ดงนน เซตค าตอบของสมการคอ {1}


เรอง เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ (2)

1. จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน

1.1 4 5 5 14x x

1.2 9 3 3x x

1.3 4 8x x

1.4 2 2 3 2 4 5y y y

1.5 1 4 2 3t t t

1.6 2 26 1 6 6 5x x x x


32

2. ถาก าหนดให 33

1x y

x แลว 1

xx เทากบเทาใด

3. คาของ 3

( )x x x yx

y x xy y เทากบเทาใด

4. ถา 1 13

( 1) ( 1)x x x x แลว x เทากบเทาใด


33

3. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ


34

3. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ

ในหวขอนเราจะไดรจกเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ ซงตองอาศยความรเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ ในสอ ผเรยนจะไดเหนตวอยางของเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะบางจ านวน ซงทางผบรรยายไดเลอกยกตวอยางเลขชก าลงทเปนจ านวนอตรรกยะทเปนทรจกเปนอยางดคอ 3 ซงมคาโดยประมาณ 1.73205 และเลอกฐานของเลขยกก าลงเปน 2 ซงจะท าใหผเรยนตดตามคาตางๆไดอยางไมล าบากนก

จากสอผเรยนคงพอทเขาใจความหมายและคาของ 32 ซงเปนเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปน

3 ซงเปนจ านวนอตรรกยะบางแลว ในท านองเดยวกน คาของ 52 กจะสามารถหาคาได

โดยประมาณเชนเดยวกน โดยพจารณาจากจ านวนตรรกยะทเปนคาโดยประมาณของ 5 โดยดจากตารางตอไปน


35

x 2x

2.2 4.59479

2.23 4.69134

2.236 4.71089

2.23607 4.71112

2.23608 4.71115

ให x เปนจ านวนตรรกยะทมคาใกล 5

ดงตารางแสดงคา x และ 2x

เมอ x มคาเขาใกล 5

กจะไดวา 2x มคาเขาใกล 52

2.23607 5 2.236082 2 2

คาโดยประมาณของ 52 คอ 4.7111

และเมอเราอาศยเครองค านวณทมประสทธภาพมากขนจนสามารถบอกความละเอยดไดถงทศนยมต าแหนงทมากๆ เรากจะไดคาทใกลคาของ 5

2

ในท านองเดยวกน เราสามารถจะหาคาของ 2 72 , 2 ไดเชนเดยวกน

และถาให x เปนจ านวนอตรรกยะใดๆ

เราสามารถใหความหมายหรอหาคาของ 2x ได

เราพจารณากราฟของความสมพนธของคล าดบ

เมอ x เปนจ านวนตรรกยะ โดยใชโปรแกรม GSP

ใช parameter 1.7x

แลวเพม/ลดคา x ทละ 0.001 แลวค านวณคา 2x

ลงจด ( , 2 )xx พรอมแสดงตารางแสดงคา x และ 2x


36

สรปสาระส าคญประจ าตอน


37

สรปสาระส าคญประจ าตอน


38


39


40

ภาคผนวกท 1

แบบฝกหดระคน


41

แบบฝกหดระคน

1. คาของ 3 1 3 2 3

3 3 3 1 3 2

4 5 3 5 7 5

5 2 5 3 5

n n n

n n n เทากบขอใดตอไปน

1. 3

4 2.

4

3 3.

5

6 4.

6

5

2. 1

4

2

9 729

243 3

nn n

n n มคาเทากบขอใด

1. 243 2. 81 3. 27 4. 9

3. 33 3 3192 648 375 มคาเทากบขอใด

1. 81 2. 135 3. 375 4. 625

4. 75 12 18

3 3 3 2 มคาเทากบขอใด

1. 5 2 6 2. 3 5 6

3. 6 5 3 4. 5 3 3

5. คาของ 2 2

4 3 4 1

1

2 3

3 3 3

n

n n

n

อยในเซตใดตอไปน

1. { 2, 3, 4} 2. {2, 4, 6}

3. { 2, 6, 9} 4. {3, 6, 9}

6. ก าหนดให 2 19 36 9

11 9

n n

nx , 1

1

4 2 3 2

2 2

n n

n ny

คาของ x y เทากบขอใด

1. 17 2. 3 3. 3 4. 17


42

7. คาของ 2 1 1 2

1 2 2 1

2 3

3

y x y x

x y x y มคาตรงกบขอใด

1. x y 2. x y

3. 3 x y 4. x y

8. 1 2 2 1

2 2

2

4

a b a b

b a เขยนอยในรปอยางงายไดตรงกบขอใด

1. 2a b 2. 2a b

3. 1

2a b 4.

1

2a b

9. ถา 1

1

4 2 5 2

2 2

n n

n nx และ 1 2

2

9 3 5 3

3 3

n n

n ny

แลวคาของ xy จะตรงกบขอใด

1. 3 2. 3 3. 1

3 4.

1

3

10. คาของ 4 34 9 5 343 48 ตรงกบขอใด

1. 35 8 3 2. 35 3. 35 8 3 4. 35


43

ภาคผนวกท 2

เฉลย แบบฝกหด


44

เฉลยแบบฝกหด

เรอง เลขยกก าลง


1. 1.1 6972b

a 1.2 3 2 24 a b 1.3 2 10 8 2

1

3 a b c

1.4 5

7 2

b

a c 1.5 2 848x y 1.6

4

43

xy

1.7 8

6

y

x 1.8

6

3

y

x 1.9

6 4

8

x z

y

1.10 5

6 2

x

z y

2. 2.1 2 2p n p na b 2.2 6 3 6 1n nx y 2.3 2

2 3n

b

a

2.4 2(2 1) 8

1nx y

2.5 5 10 2 9n nx y 2.6 1

2 1

3n

ny

3. 3.1 62 (64) 3.2 2 2

6 2

2

3

n

n 3.3 2 332 2 nn

3.4 1

3 3.5

4

2 2

16 2

2 2n n 3.6 5

5 5

243 2 3 2n n

4. 4.1 3 38 8

1 1y y

x x 4.2 5 53 3

1 2 1 2

y yx x

4.3 3 2 3 2

1 1z z

x y x y 4.4

231

x

4.5 2 2

1 13 2

y y 4.6 3 1

2 4x x

4.7 214

x 4.8 3 3

2 31 5

x x

4.9 2 2

2 1 4 2 1

a b aba b 4.10 3 2 6 3 2 4

1 3 1 3 9

a b a a b b

5 5.1 7 5.2 1 5.3 10

5.4 9 5.5 5

14 5.6 1

3x


45

6. 6.1 x y

y x 6.2

2

2

5 2

3

b a

b a 6.3 1

2a b

6.4 x y 6.5 2 8

10 5

y x

x y


1. 1.1 1

27 1.2

1618 1.3 3

2

1.4 7 3

4 1.5 3

20 1.6

5652

4

1.7 4 2 3 1.8 (3 5 7)

4

2. 2.1 26x 2.2 131520x 2.3 2

3

4x

2.4 162

9x 2.5

4

13

4

9

y

x

2.6 12

273 105

y

x

3. 3.1 4( 5 8 ) 3.2 3 2 2 3

2 3.3

9 35

2

3.4 61

2


1. 1.1 {19} 1.2 1.3 {5}

1.4 {1} 1.5 {3} 1.6 3 15{ , }2 2

2. 2( 3)y y 3. 0 4. 5

3

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 4 2. 3 3. 1 4. 1

5. 3 6. 2 7. 1 8. 4

9. 4 10. 2


46

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


47

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


48


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


49


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

38 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่1_เลขยกกำลัง