39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม (เนอหาตอนท 2) ฟงกชนเลขชก าลง

โดย

รองศาสตราจารย เพญพรรณ ยงคง

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม มจ านวนตอนทงหมดรวม 16

ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม 2. เนอหาตอนท 1 เลขยกก าลง

- เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม - เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านอนตรรกยะ - เขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ

3. เนอหาตอนท 2 ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม - ฟงกชนเลขชก าลง - กราฟของฟงกชนเลขชก าลง - สมการเลขชก าลง

4. เนอหาตอนท 3 ลอการทม - ฟงกชนลอการทม - กราฟของฟงกชนลอการทม - สมการลการทม

5. เนอหาตอนท 4 อสมการเลขชก าลง - ทบทวนสมบตทส าคญของเลขยกก าลง - สมการและอสมการของเลขยกก าลง - ฟงกชนเลขชก าลงในชวตประจ าวน

6. เนอหาตอนท 5 อสมการลอการทม - ทบทวนสมบตทส าคญของลอการทม - สมการและอสมการลอการทม - ปญหาในชวตประจ าวนทเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

7. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 8. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 11. แบบฝกหด (ขนสง)


2

12. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนท ใ ชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

หมวด เนอหา

ตอนท 2 (2/5)

หวขอยอย 1. ฟงกชนเลขชก าลง 2. กราฟของฟงกชนเลขชก าลง

จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยน

1. เขาใจความหมายและสมบตของฟงกชนเลขชก าลง

2. สามารถบอกไดวาฟงกชนเลขชก าลงทก าหนดใหเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด

3. มความเขาใจเกยวกบกราฟของฟงกชนเลขชก าลงได

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ

1. บอกสมบตของฟงกชนเลขชก าลงและน าไปใชได 2. ระบไดวาฟงกชนเลขชก าลงทก าหนดใหเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด 3. เปรยบเทยบเลขยกก าลงสองจ านวนทมฐานเทากนได 4. เปรยบเทยบเลขยกก าลงสองจ านวนทมเลขชก าลงเทากนได 5. อธบายและรางกราฟของฟงกชนเลขชก าลงทก าหนดใหได


4

เนอหาในสอการสอน


5


6

1. ฟงกชนเลขชก าลง


7

1. ฟงกชนเลขชก าลง

จากสอนกเรยนจะพบวา กราฟของฟงกชน ( ) 2

xf x เมอ x D โดยท D เปน

เซตของจ านวนจรงเตม ตอไปขยายเปนเซตของจ านวนตรรกยะ และทายสดเปนเซตของจ านวนจรง กราฟของฟงกชน f ทไดจะเพมความละเอยดขนเรอยๆ จนในทสดกเปนกราฟทมความตอเนองไมขาดตอน และมลกษณะเดนคอเปนฟงกชนเพม คอเมอ x มคาเพมขน คาของฟงกชน f กจะเพมขนดวย ซงตอไปเราจะเรยกฟงกชนแบบนวา ฟงกชนเพม ใหนกเรยนดสอตอไป

ตวอยางตอไปจะเปนการพจารณากราฟของฟงกชน ( ) 3x

g x


8

จากฟงกชน ( ) 3x

f x เมอ x D เมอพจารณา D ในท านองเดยวกนกบฟงกชน

( ) 2x

f x กจะพบวา มลกษณะคลายกนคอ เปนฟงกชนเพม เมอนกเรยนไดเหนตวอยางทงสอง

ตวอยางแลวผสอนอาจชใหนกเรยนสงเกตวา ฟงกชนทงสองอยในรปแบบ ( ) xf x a โดยท

ตวอยางแรก 2a และตวอยางท 2 3a ซงขอเรยก a วา “ฐาน” จะเหนวา ฐานเปน

จ านวนบวกทมากกวา 1

ครลองตงค าถามเพอถามนกเรยนวา แลวถาฐานเปนจ านวนบวกทนอยกวา 1 กราฟจะเปนอยางไร จะยงเปนฟงกชนเพมหรอไม และถานกเรยนยงนกภาพไมออกกขอใหดสอตอไป


9

จากฟงกชน 1( )

2

x

f x นกเรยนจะเหนวา ฐานเปนจ านวนจรงบวกทนอยกวา 1

กราฟทไดเปนฟงกชนลด เพอใหผเรยนไดเหนภาพชดยงขน ผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมโดยให 1

3a ซงกคอ 1

( )3

x

f x กจะเหนวาเปนฟงกชนลดเชนเดยวกน และทงสองกราฟมจด

รวมกน 1 จด คอจด (0, 1)


10

เราไดขอสรปเบองตนวา ทงสามตวอยาง 3 , 2 ,x x

y y และ 1

2

x

y อยใน

รปแบบ xy a และ a เปนจ านวนจรงบวก แตละตวอยางมฐานไมเทากน แตมโดเมนเดยวกน

คอ

นกเรยนอาจสงสยวา แลวคาของฐานซงคอ a เปนลบไดหรอไม ใหนกเรยนดสอตอไป จะมค าอธบายวาท าไมเราจงไมสนใจในกรณท a เปนลบ

(0, 1)

X

Y 1

3

x

y

1

2

x

y 3x

y


11

เพอใหนกเรยนไดเหนตวอยางในกรณท 0a เพมขน ผสอนควรยกตวอยางเพมเตม

โดยให 33, 5,

2a


12

เมอ 3a และ 1

2x จะได

12( 3)

xa

5a และ 1

2x จะได

12( 5)

xa

3

2a และ 1

2x จะได

123

2

xa

ดงนน ในกรณท 0a จงไมนาสนใจ เพราะมปญหาในการหาคา xa ส าหรบบางคาของ x เรา

จงสนใจจ านวนจรง a เฉพาะเมอ 0a เทานน ตอไปเราจะพจารณากรณท 0a และ 1a


13


14

สรปไดวา ฐาน a เปนจ านวนจรงทมขอจ ากดดงน 1. a ตองเปนจ านวนจรงบวก (a > 0)

และ 2. a 1

นนคอ 0 1a หรอ 1a

หรอเราแบง a เปน 2 ชวงคอ (0, 1)a และ (1, )a

ในชวงตอไปเราจะนยามฟงกชนทมรปแบบเหมอนฟงกชนทนกเรยนไดดจากสอไปแลว และใหชอวาฟงกชนเลขชก าลง หรอฟงกชนเอกซโพเนนเชยล โดยจะเพมรายละเอยดโดยพจารณาจากฐานของฟงกชนเลขชก าลง ซงเราแทนดวย a โดยแบงการพจารณาฐาน a เปน 2 ชวง คอ

0 1a และ 1a

0 1

a

0 0

0 1 0( )0(


15


16

จากสอนกเรยนไดเหนกราฟของ xy a เมอ 0 1a และไดขอสรปรวมกนวา

1. xy a เปนฟงกชนลด

2. ทกกราฟผานจด (0, 1) (และไมตดแกน X )

3. ทกกราฟมจดรวมกน 1 จด คอ (0, 1) (กราฟตดแกน Y ทจด (0, 1))

4. xy a เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ทวถง

(คาของ xa เปนบวกเสมอ ไมวา x เปนจ านวนจรงบวกหรอลบ หรอเมอ x )

เพอใหนกเรยนสามารถน าขอสรปขางตนไปใชประโยชนได ใหผสอนลองใหนกเรยนท าแบบฝกหดสนๆ ตอไปน


17

แบบฝกหดยอย

1. จงเตมเครองหมาย > , < ลงในชองวาง

1.1 41

3

51

3 1.2

31

3

51

3

1.3 321

3

41

3 1.4

321

3

141

3

1.5 31

3

41

3 1.6

171

3

431

3

(เมอนกเรยนตอบไดถกตองแลว ผสอนลองเปลยนโจทยใหม โดยให 1 2 4, ,5 3 3

a แทนท 1

3a แลวใหนกเรยนตอบค าถามในขอ 1. ใหม โดยเนนย านกเรยนวา ควรพจารณาเมอ

ฐานของเลขยกก าลงเทากน และฐานมคามากกวาศนยและนอยกวาหนง)

2. จงหาคา x ทสอดคลองกบสมการทก าหนดใหตอไปน

2.1 11

4

x

แลว x =

2.2 (2.5) 1x แลว x =

2.3 1 1

3 5

x x

แลว x =

2.4 1256

2

x

แลว x =

ค าตอบ 1. 1.1 1.2 1.3 1.4

1.5 1.6

2. 2.1 0 2.2 0 2.3 0 2.4 16

> < > >

> <


18


19

พจารณา กราฟของ xy a และ x

y b โดยท 0 1a b

ถา ( , 0)x

ทจด ( , )x

P x a และ ( , )x

Q x b นกเรยนจะเหนวา ความชนของเสนสมผสทจด P และ Q

นนมคาเปนลบเสมอ และ ถาใหความชนของเสนสมผสทสมผสกราฟของ x

y a ทจด P มคาเทากบ Pm

และความชนของเสนสมผสทสมผสกราฟของ xy b ทจด Q มคาเทากบ

Qm แลว

0P Qm m

และเมอ b มคาเขาใกล 1 กจะเหนวา ความชน Qm มคาเขาใกล 0

ในสวนน คณครผสอนอาจอธบายในลกษณะทวา ความชนของเสนสมผสกราฟทจด P จะมคาตดลบมากกวาความชนของเสนสมผสกราฟทจด Q

0 1 a o o

b

0 X

Y

xy b

xy a

x

Q

P

0 X

Y

xy b

xy a

x

Q

P

0 1 a o o

b

(0, 1)

(0, 1)


20

สรปงายๆ กคอ กราฟของ xy a อยเหนอกราฟของ x

y b เมอ 0 1a b

เฉพาะ x ทอยทางดานซายของแกน Y ซงกคอ 0x

ส าหรบ x ทอยทางดานขวาของแกน X ซงกคอ 0x กราฟของ xy b จะอยเหนอ

กราฟของ xy a และทงสองกราฟสวนท 0x จะอยใตเสนตรง 1y

และถา b มคาเขาใกล 1 มากเทาใด กราฟของ xy b จะยงเขาใกลกราฟของ 1y แตอยาลม

วา กราฟของ xy b จะไมตดแกน X เปนอนขาด

y = 1

X

Y

(0, 1)

y = ax y = bx

y = 1 (0, 1)

Y

X

y = bx y = ax


21

กราฟสวนท 0x

กราฟสวนท 0x

เพอใหมองไดชดเจนขน ผสอนอาจแยกสวนของกราฟใหนกเรยนด โดยแบงการพจารณาเปน 2 สวน คอ เมอ 0x หรอ ( , 0 ]x และสวนท 0x คอ [ 0, )x

เมอมองภาพไดชดเจนทงสองสวนแลว จงคอยน าภาพมาตอกน หรอรวมกนทงสองสวนกจะไดกราฟตอเนอง นนคอ พจารณากราฟทกคาของจ านวนจรง x

y = 1

X

Y

(0, 1)

1

7

x

y

1

7

x

6

7

x

y

y = 1 (0, 1)

Y

X

6

7

x

y

1

7

x

y


22

และเพอใหเหนภาพไดชดเจนยงขน เรามองภาพเจาะลกในแตละสวน เมอ 0x และ 0x

โดยมตวแทน x สวนท 0x ก าหนดใหเปน 1x ดงนน

1( , 0)x นนเอง และในสวนท

0x เราก าหนดใหเปน 2x ดงนน

2(0, )x

เมอเรามตวแทนในแตละสวนแลว ใหนกเรยนดรายละเอยดในสอตอไป

0 1

a

)|(

x

0

x1 x2


23


24

เมอนกเรยนดสอในสวนนเสรจแลว ผสอนลองใหนกเรยนท าแบบฝกหดยอยเพมเตมดงน



1.1 21

3

22

3 1.2

131

3

132

3

1.3 23

4

24

5 1.4

33

4

34

5

1.5 125

6

124

5 1.6 0.20.25 0.20.75

1.7 0.50.5 0.20.75 1.8 0.50.6 0.50.2

1.9 30.5 20.75 1.10 41

3

22

3

1.11 131

3

142

3 1.12

41

3

22

3


25

2. จงเตมเครองหมาย > , , < , , = ลงในชองวาง เมอก าหนดให

2.1 1

2

x

1 แลว x 0

2.2 3 x > 1 แลว x 0

2.3 1

5

x

1 แลว x 0

2.4 3

2

x

> 1 แลว x 0

2.5 1

2

x

< 1 แลว x 0

2.6 3

1

5

x

1 แลว x 0

2.7 1

3

x

1

2

x

แลว x 0

2.8 3x >

32

x แลว x 0

ค าตอบ 1. 1.1 1.2 1.3 1.4

1.5 1.6 1.7 1.8

1.9 1.10 1.11 1.12

2. 2.1 2.2 2.3 2.4

2.5 2.6 2.7 2.8

> > > <

< > > <

< < < >

< <

>

>


26

เราไดพจารณากราฟของฟงกชนเลขชก าลง xy a เมอ 0 1a ไปแลว และ

ไดท าแบบฝกหดยอยประกอบความเขาใจ นกเรยนคงมความมนใจเพมขนวา ถาจะถามคาของเลขยกก าลง 2 จ านวน ทมฐานเทากนและอยในรปจ านวนตรรกยะ p

aq ซงมคามากกวาศนยและ

นอยกวาหนง โดยเลขชก าลงตางกนแลว สามารถบอกไดวาจ านวนใดมคามากกวากน

สอสวนตอไปจะเปนการพจารณากราฟของฟงกชนเลขชก าลง xy a เมอ 1a

ขอสรปส าหรบฟงกชนเลขชก าลง xy a เมอ 1a หรอ (1, )a

1. xy a เปนฟงกชนเพม

2. ทกกราฟผานจด (0, 1) (และไมตดแกน X )

3. ทกกราฟมจดรวมกนเพยง 1 จด คอ (0, 1) (กราฟตดแกน Y ทจด (0, 1) )

4. xy a เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ทวถง

(คาของ xa เปนบวกเสมอ ไมวา x เปนจ านวนจรงบวกหรอลบ หรอเมอ x )


27

เพอใหนกเรยนสามารถน าขอสรปขางตนไปใชประโยชนได ใหผสอนลองใหนกเรยนท าแบบฝกหดสนๆ ตอไปน



1.1 3.52 2.52 1.2

132

122

1.3 42 1.52 1.4 4

2 32

1.5 3

2 22 1.6

11

2

21

2

เมอนกเรยนตอบไดถกตองแลว ผสอนลองเปลยนโจทยใหม โดยแทนท 2 หรอ 2 ดวย 3, 3 , 5 , 5 , 7 , 7 แลวใหนกเรยนตอบค าถามในขอ 1. ใหม

2. จงเตมเครองหมาย > , , < , ลงในชองวาง เมอก าหนดให

2.1 3

2

x

1 แลว x 0

2.2 4

3

x

1 แลว x 0

2.3 1

5

x

1 แลว x 0

2.4 3

2

x

> 1 แลว x 0

2.5 1

xb

b 1 , 1b แลว x 0

ค าตอบ 1. 1.1 1.2 1.3 1.4

1.5 1.6

2. 2.1 2.2 2.3 2.4

2.5

> > < <

< <

>


28

ขอสรปส าหรบ ฟงกชนเลขชก าลง xy a ในกรณท 1a เราทราบแลววา เปน

ฟงกชนเพม และเพอใหเหนภาพไดชดเจนยงขนเรามองภาพเจาะลกในแตละสวน เมอ 0x และ

0x โดยมตวแทน ก าหนดใหเปน 1x และ

2x โดยท

10x และ

20x

ในหวขอนเราจะเปรยบเทยบ ฟงกชนเลขชก าลงสองฟงกชนคอ xy a และ x

y b ซง

ทง a และ b มสมบตดงน

1 a b และ x เราพจารณา xy a และ x

y b

โดยแบง x เปน 2 ชวง คอ 0x และ 0x

เมอใหนกเรยนดสอตอไป นกเรยนจะพบกบการเปรยบเทยบกนระหวาง xy a และ

xy b


29

ตวอยาง เพอใหเหนภาพชดเจนในการแสดงการเปรยบเทยบ เราก าหนดคาของ a และ b ทชดเจนและสอดคลองกบเงอนไข 1 a b โดยก าหนดให

3a , 5b และ 1

34, 3, , 1, 2 , 0.075

2x

2

3 1 5, , , 2 , 3 , 0.74 2 4

x

จากขอมลของ 1 2

, , ,a b x x จะสรปไดดงน

43 >

45 และ

343 <

345

33 >

35 และ

123 <

125

323 >

325 และ

543 <

545

13 >

15

2

3 > 2

5 และ 23 <

25

0.0753 >

0.0755 และ 3

3 < 35

0.73 <

0.75


30

จากขอมลขางตน เราสามารถสรปเปนผงการเปรยบเทยบไดดงน (ครอบคลมทงกรณท 0 1a b และ 1 a b )

a b

เลขชก าลงเทากน

เลขชก าลงเปนลบ 0x เลขชก าลงเปนบวก 0x

x xa b

x xa b


31

แบบฝกหดท 1

1. จงพจารณาวาฟงกชนเลขชก าลงทก าหนดใหตอไปนเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด

1.1 5

7

x

y เปนฟงกชน.......... 1.2 2x

y เปนฟงกชน...........

1.3 1

2

x

y เปนฟงกชน.......... 1.4 3

2

x

y เปนฟงกชน..........

1.5 1

8

x

y เปนฟงกชน.......... 1.6 4

3

x

y เปนฟงกชน............

1.7 1

xa

ya

, 0a เปนฟงกชน............

1.8 xy e เปนฟงกชน............

1.9 3x

y e เปนฟงกชน............... 1.10 43x

y เปนฟงกชน..........

2. โดยอาศยสมบตทฟงกชนเลขชก าลงเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ไปทวถง จงหาคาจ านวนจรง x ทสอดคลองกบสมการทก าหนดใหตอไปน

2.1 3x =

2 13x แลว x =

2.2 9x =

1

27 แลว x =

2.3 1

3

x

= 729 แลว x =

2.4 7y =

21

343 แลว y =

2.5 2y = 4

y แลว y =

2.6 22.5y

= 33.5 y แลว y =

2.7 19x

= 1 2

243(3 )x แลว x =


32


3.1 123

5

133

5

3.2 142

122

3.3 32

33

3.4 2

2 1

2

23

4

3.5 21b

b

2

1

a

a เมอ 0 , 1a b


33

2. กราฟของฟงกชนเลขชก าลง


34

2. กราฟของฟงกชนเลขชก าลง

เราไดเรยนรลกษณะของฟงกชนเลขชก าลงทอยในรป xy a เมอ a เปนจ านวนเตมท

มากกวาศนยและไมเทากบ 1 มาแลว ในหวขอนเราจะพจารณากราฟของฟงกชนเลขชก าลงในรปแบบตางๆ ซงตองอาศยกราฟตนแบบทนกเรยนคนเคยแลว เพมเรองการเลอนขนานกราฟเดมไปตามแนวนอนหรอตามแนวดง(แนวตง) โดยอาศยการพจารณาจากรปแบบของฟงกชนเลขชก าลงแบบตางๆ ใหนกเรยนดไดจากตวอยางในสอตอไปน

จะเหนวากราฟของ 3 2x

y มลกษณะคลายกราฟของ 3x

y เพยงแตเลอน

ขนานกราฟของ 3x

y ขนบนตามแนวดง 2 หนวย ผสอนอาจใหตวอยางเพมเตมในลกษณะท

คลายเดม เพยงแตใหเลอนขนานกราฟของ 3x

y ลงลางตามแนวดง 3 หนวย กราฟทไดกจะ

เปนกราฟของ 3 3x

y ดงภาพ

-4 -2 2

14

12

10

8

6

4

2

y = 3x

y = 3x + 2

x

y

(0, 1)

(0, 3)

12

10

8

6

4

2

-2

-4 -2 2

x

y

y = 3x – 3

y = 3x + 2

y = 3x


35

ผสอนลองถามนกเรยนวา กราฟของ 13

2

xy จะมกราฟเปนอยางไร ใหนกเรยนลองรางกราฟด

หลงจากนนผสอนอาจสรปในเบองตนวา

กราฟของ xy a k หรอ x

y k a เมอ 0k

ลกษณะของกราฟทได จะเปนการเลอนขนานกราฟ xy a ขนตามแนวดง เปนระยะ k หนวย

(ถา 0k จะเปนการเลอนขนานขนตามแนวดง และถา 0k จะเปนการเลอนขนานลงตาม

แนวดง)

ตวอยางตอไปจะเปนตวอยางของกราฟทไดจากการเลอนขนานกราฟของฟงกชนเลขชก าลงเดมไปตามแนวนอน (ทางซายหรอทางขวา) ซงจะมสมการทเราสงเกตไดชดเจน ใหนกเรยนดจากตวอยางในสอตอไป

จากสอ นกเรยนคงพอมองเหนภาพของการเลอนขนานกราฟ 3x

y ไปตามแนวนอน

ทงทางซายและทางขวา โดยดจากสมการ ( )3x m

y ถา m เปนจ านวนบวก กราฟของ

3x

y กจะเลอนไปทางขวา m หนวย และถา m เปนจ านวนลบ กราฟของ 3x

y กจะ

เลอนไปทางซาย m หนวย

ผสอนลองถามนกเรยนวา 123

x

y กราฟทไดจะมลกษณะอยางไร หรอ 433

x

y

กราฟทไดจะมลกษณะอยางไร


36

เมอผสอนแนใจวานกเรยนเขาใจอยางดแลว ใหลองเปลยนฐานของเลขชก าลง โดยให 1, 23

a m กจะได 21

3

x

y ซงจากทไดศกษามาแลว เมอ 11

3a กราฟของ

1

3

x

y จะเปนฟงกชนลด และผานจด (0, 1)

กราฟของ 21

3

x

y จะเปนกราฟท

ไดจากการเลอนขนานกราฟของ 1

3

x

y

ไปทางขวา 2 หนวย

เพอใหงายตอการสงเกต ใหผสอนชใหนกเรยนมองจด (0, 1) ซงอยบนกราฟ

1

3

x

y

จด (0, 1) จะเหมอนถกเลอนขนานไป

ตามแนวนอนทางขวา 2 หนวย ซงกคอจด (2, 1)

ดงนน กราฟ 21

3

x

y จะผานจด

(2, 1) และทกๆ จดบนกราฟของ 1

3

x

y

กจะถกเลอนขนานไปตามแนวนอน 2 หนวย เชนเดยวกบกราฟทไดจากการเลอนขนาน

1

3

x

y กจะกลายเปนกราฟของ 21

3

x

y นนเอง

12

10

8

6

4

2

-2 2 4

Y

X (0, 1) (2, 1)

y = x

31

y = x

31

y = 2-x

31

(0, 1)

12

10

8

6

4

2

-2 2 4

Y

X (2, 1)


37

กราฟ 41

3

x

y จะเปนกราฟทได

จากการเลอนขนานกราฟของ 1

3

x

y ไป

ตามแนวนอนไปทางซาย 4 หนวย (หรอไปตามแนวนอน 4 หนวย)

ตวอยางตอไปจะเปนตวอยางของกราฟทไดจากการสะทอนกราฟของฟงกชนเลขชก าลงเดม โดยมแกน X เปนแกนสมมาตร

ผสอนลองใหนกเรยนรางกราฟของ 1. 5

xy

2. 1

4

x

y

3. 3 2x

y

y = x + 41

3

y =x

31

10

8

6

4

2

-5

Y

X

y = 2-x

31

(4, 1) (0, 1)

(2, 1)


38

ตอไปเรามาพจารณากราฟของ xy a เมอ 1a และกราฟของ

xy a เมอ 0 1a

ตวอยาง

3x

y = 1

3

x

จะมกราฟเหมอนภาพสะทอนของ 3x

y เทยบกบแกน Y

(มแกน Y เปนแกนสมมาตร)

5x

y = 1

5

x

จะมกราฟเหมอนภาพสะทอนของ 5x

y เทยบกบแกน Y

(มแกน Y เปนแกนสมมาตร)

ตวอยาง

เพราะวา 113 3

3

x x xy ดงนน กราฟของ 1

3

x

y จะมกราฟเหมอน

3x

y

เพราะวา 15

5

xx

y ดงนน กราฟของ 1

5

x

y จะมกราฟเหมอน

5x

y

ดงนน กราฟของ xy a เมอ 0 1a หรอ 1a จะเปนภาพสะทอนของ

xy a เทยบกบแกน Y หรอกราฟของ x

y a จะเหมอนกบกราฟของ

1 xy

a

กราฟของ xy m a เมอ {0}m จะมลกษณะคลายกราฟของ x

y a

เสมอนเรายดหรอหดกราฟของ xy a และกราฟจะตดแกน Y ทจด (0, )m

ตวอยาง (0.3)4x

y จะตดแกน Y ทจด (0, 0.3)

5 3x

y จะตดแกน Y ทจด (0, 5)

15

4

xy จะตดแกน Y ทจด 1

(0, )4


39

เราสรปกราฟไดตามผงท 1 และ 2.1 และ 2.2 ในหนาตอไปดงน

ผงท 1

, 0x

y a a และ 1a

0 1a 1a

เปนฟงกชนลด เปนฟงกชนเพม

,x

y k a k ,x m

y a m

เลอนขนานกราฟ xy a เลอนขนานกราฟ x

y a

ตามแนวดงเปนระยะทาง k หนวย ตามแนวนอนเปนระยะทาง m หนวย

, ,x m

y k a k m

เลอนขนานกราฟ xy a ตามแนวนอนเปนระยะทาง m หนวย

และเลอนขนานตามแนวดงเปนระยะทาง k หนวย

หมายเหต ถา 0k จะเปนการเลอนขนานตามแนวดง (แนวตง) ขนบน

และถา 0k จะเปนการเลอนขนานตามแนวดง (แนวตง) ลงลาง

หมายเหต ถา 0m จะเปนการเลอนขนานไปทางขวาตามแนวนอน (แนวราบ)

และถา 0m จะเปนการเลอนขนานไปทางซายตามแนวนอน (แนวราบ)


40

ผงท 2

( )x

y a

0 1a 1a

1 xxy a

a

0 1a 1a

4

2

-2

-4

-2 2

Y

X

4

2

-2

-4

-2 2

Y

X

Y 10

8

6

4

2

-5 X

10

8

6

4

2

-5

Y

X

xy a

( )x

y a

( )x

y a

xy a

xy a

xy a

xy a

xy a

xy a

xy a


41


1. ขอใดตอไปนมลกษณะตรงกบกราฟของ 2(.5)xy

1. เปนกราฟทสมมาตรกบกราฟของ 1

2

x

y โดยมแกน X เปนแกนสมมาตร

2. เปนกราฟทเกดจากเลอนขนานกราฟของ 21

2

x

y ตามแนวนอนเปนระยะทาง

2 หนวย

3. เปนกราฟทเกดจากเลอนขนานกราฟของ (.5)xy ตามแนวดงเปนระยะ 2 หนวย

4. เปนกราฟทเกดจากเลอนขนานกราฟของ (.5)xy ตามแนวนอนเปนระยะ 2 หนวย

2. ขอใดตอไปนมลกษณะตรงกบกราฟของ 41

3

x

y

1. เปนกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟของ 3xy ตามแนวนอนเปนระยะทาง 4

หนวย 2. เปนกราฟทเกดจากเลอนขนานกราฟของ 3xy ตามแนวนอนเปนระยะทาง 4

หนวย


3

x

y ตามแนวนอนเปนระยะทาง 4 หนวย


3

x

y ตามแนวนอนเปนระยะทาง 4

หนวย

3. ขอใดตอไปนมลกษณะตรงกบกราฟของ 4 xy

1. เปนกราฟทสมมาตรกบกราฟของ 4xy โดยมแกน X เปนแกนสมมาตร

2. เปนกราฟทสมมาตรกบกราฟของ 4 xy โดยมแกน Y เปนแกนสมมาตร


4

x

y โดยมแกน X เปนแกนสมมาตร


4

x

y โดยมแกน Y เปนแกนสมมาตร


42

4. ขอใดตอไปนมลกษณะตรงกบกราฟของ 2 11

3

x

y

1. เปนกราฟทสมมาตรกบกราฟของ 3xy และเลอนขนานตามแนวดงเปนระยะทาง 1

หนวย

2. เปนกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟ 1

3

x

y ตามแนวนอนเปนระยะทาง 1

หนวย

3. เปนกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟ 21

3

x


4. เปนกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟ 9 xy ตามแนวนอนเปนระยะทาง 1

2

หนวย

5. ขอใดตอไปนมลกษณะตรงกบกราฟของ 24 3x

y

1. เปนกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟ 3x

y ตามแนวดงเปนระยะทาง 4

หนวย

2. เปนกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟ 23x


3. เปนกราฟทเกดจากการเลอนขนาน 3x

y ตามแนวดงเปนระยะทาง 4 หนวย

4. เปนกราฟทเกดจากการเลอนขนาน 23x


6. ขอใดตอไปนมลกษณะตรงกบกราฟของ 1( )33 2

x

y

1. เปนกราฟทสมมาตรกบกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟของ 2xy ตามแนวดง 3

หนวย และเลอนขนานตามแนวนอน 13 หนวย โดยมแกน X เปนแกนสมมาตร

2. เปนกราฟทสมมาตรกบกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟของ 2xy ตามแนวดง

3 หนวย และตามแนวนอน 13 หนวย โดยมแกน X เปนแกนสมมาตร

3. เปนกราฟทสมมาตรกบกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟของ 132

x

y ตามแนวดง

3 หนวย โดยมแกน X เปนแกนสมมาตร

4. เปนกราฟทสมมาตรกบกราฟทเกดจากการเลอนขนานกราฟของ 132

x

y ตามแนวนอน

3 หนวย โดยมแกน X เปนแกนสมมาตร


43


44


45


46


47

สรปสาระส าคญประจ าตอน


48

สรปสาระส าคญประจ าตอน


49


50


51

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


52

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให ก. 3

4

x

y ข. 33

2

x

y

ค. 1

1

3

x

y ง. 22x

y

ขอใดเปนเทจ 1. ขอ ก. เปนฟงกชนเพม 2. ขอ ข. เปนฟงกชนเพม

3. ขอ ค. เปนฟงกชนลด 4. ขอ ง. เปนฟงกชนเพม

2. จากขอ 1. ขอใดเปนฟงกชนลด

1. ขอ ก. และ ง. 2. ขอ ค. และ ง. 3. ขอ ข. และ ค. 4. ขอ ก. และ ข.

3. ขอใดตอไปนเปนจรง

1. 2 33 3

4 4 2.

1 12 32 3

3. 1 12 41 1

3 2 4.

2 33 23 5

4. กราฟของสมการในขอใดไมตดแกน X

1. 3 4x

y 2. 2

23x

y

3. 5 2 2x

y 4. 3 2x

y

5. ขอใดตอไปนเปนเทจ

1. ถา 3

2

x

y และ x มคาลดลง แลว y จะมคาลดลง

2. ถา 3

25x

y และ x มคาเพมขน แลว y จะมคาเพมขน

3. ถา ( 3)x

y และ x มคาลดลง แลว y จะมคาลดลง

4. ถา 34 2x x

y และ x มคาลดลง แลว y จะมคาเพมขน


53

6. ถา 1

2(2 1)20 3 2 4

xx แลว x จะเปนสมาชกของเซตใด

1. 1 2,2 3

2. 21,

3

3. 3, 22

4. 3, 22

7. ถา 2

3 4 2 53 2 3 2

x x แลว x จะเปนสมาชกของเซตใด

1. 1, 1, 23

2. 1, 1, 23

3. 1, 1, 23

4. 1 1, , 23 3

8. ฟงกชนในขอใดมกราฟตรงกบกราฟทก าหนดให

1. 13x

y

2. 2 3x

y

3. 11

3

x

y

4. 12 3

xy


1. 22 2x

y

2. 11

32

x

y

3. 11

3

x

y

4. 2 4x

y

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

5

Y

(0, 3)

X

X

Y 2

1

-1

-2

-3

-4

-2 2 4 6

(0, 1)


54


1. | | 11

33

x

y

2. | | 11

3

x

y

3. 3

| |

3 3x

y

4. 3

| |

3x

y

6

5

4

3

2

1

-4 -2 2 4

Y

(0, 3)

X


55

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


56

เฉลยแบบฝกหด

เรอง ฟงกชนเลขชก าลง


1. 1.1 ลด 1.2 เพม 1.3 ลด 1.4 เพม

1.5 เพม 1.6 ลด 1.7 ลด 1.8 เพม

1.9 เพม 1.10 เพม

2. 2.1 1

3 2.2 3 2.3 6 2.4 6

2.5 0 2.6 0 2.7 1

3. 3.1 3.2 3.3 3.4

3.5


1. 2 2. 1 3. 3 4. 4 5. 1 6. 1

แบบฝกหดระคน

1. 2 2. 3 3. 3 4. 2 5. 3 6. 4

7. 1 8. 2 9. 4 10. 2

> > > >

<


57

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


58

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร การใหเหตผล ประพจนและการสมมล สจนรนดรและการอางเหตผล ประโยคเปดและวลบงปรมาณ สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง สมบตของจ านวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฏบทตวประกอบ สมการพหนาม อสมการ เทคนคการแกอสมการ คาสมบรณ การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน ความสมพนธ


59

เรอง ตอน ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน ฟงกชนเบองตน พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม เลขยกก าลง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม ลอการทม อสมการเลขชก าลง อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต อตราสวนตรโกณมต เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย ฟงกชนตรโกณมต 1 ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3 กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม ล าดบ การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต ลมตของล าดบ ผลบวกยอย อนกรม ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


60

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน การนบเบองตน การเรยงสบเปลยน การจดหม ทฤษฎบททวนาม การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล บทน า เนอหา แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 การกระจายของขอมล การกระจายสมบรณ 1 การกระจายสมบรณ 2 การกระจายสมบรณ 3 การกระจายสมพทธ คะแนนมาตรฐาน ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การถอดรากทสาม เสนตรงลอมเสนโคง กระเบองทยดหดได

Documents

39 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่2_ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม