28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ทฤษฎจ านวนเบองตน (เนอหาตอนท 2)

ตวหารรวมมาก และ ตวคณรวมนอย

โดย

ผชวยศาสตราจารย ดร. ยศนนต มมาก

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน มจ านวนตอนทงหมดรวม 7 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน 2. เนอหาตอนท 1 การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ

- ขนตอนวธการหาร - การหารลงตว - จ านวนเฉพาะ

3. เนอหาตอนท 2 ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย - ตวหารรวมมาก - ขนตอนวธของยคลด - จ านวนเฉพาะสมพทธ - ตวคณรวมนอย

4. แบบฝกหด (พนฐาน) 5. แบบฝกหด (ขนสง) 6. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎจ านวน 7. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎบทเศษเหลอของจน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบผสอน และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน (ตวหารรวมมาก และ ตวคณรวมนอย) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/2) หวขอยอย 1. ตวหารรวมมาก 2. ขนตอนวธของยคลด 3. จ านวนเฉพาะสมพทธ 4. ตวคณรวมนอย จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจบทนยามและสญลกษณของตวหารรวมมาก 2. สามารถหาตวหารรวมมากโดยขนตอนวธของยคลด 3. เขาใจบทนยามจ านวนเฉพาะสมพทธและสามารถตรวจสอบการเปนจ านวนเฉพาะสมพทธ 4. เขาใจบทนยามและสญลกษณของตวคณรวมนอยและสามารถหาตวคณรวมนอย

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. บอกบทนยามและสญลกษณของตวหารรวมมากได 2. หาตวหารรวมมากโดยขนตอนวธของยคลดได 3. บอกบทนยามจ านวนเฉพาะสมพทธและตรวจสอบการเปนจ านวนเฉพาะสมพทธได 4. บอกบทนยามและสญลกษณของตวคณรวมนอยและสามารถหาตวคณรวมนอยได


3

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


4

1. ตวหารรวมมาก


5

1. ตวหารรวมมาก

การสอนเรองตวหารรวมมาก ผสอนควรเรมโดยการทบทวนบทนยามของการหารลงตว ตวหาร พหคณ และสมบตเบองตนทผเรยนไดศกษาจากสอการสอนเรองทฤษฎจ านวนเบองตน (เนอหาตอนท 1) แลวใหผเรยนศกษาบทนยามของตวหารรวมมากจากสอการสอนดงน

จากบทนยามของตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ผสอนอาจเพมเตมวา ห.ร.ม. นนผเรยนไดศกษามาบางแลวในระดบประถมศกษาตอนปลายและมธยมศกษาตอนตน แตตอนนนเรานยามเพยง ห.ร.ม. ระหวางจ านวนเตมบวกสองจ านวน และค านวณ ห.ร.ม. ของจ านวนเตมบวกซงมคาไมมากนกโดยวธแยกตวประกอบ หรอ หาตวหารรวมทงหมดดงแสดงในตวอยาง แตในระดบมธยมศกษาตอนปลาย เราใหบทนยาม ห.ร.ม. ส าหรบจ านวนเตมสองจ านวนใด ๆ ทไมเปนศนยพรอมกน และเราจะศกษาขนตอนวธหา ห.ร.ม. ส าหรบจ านวนเตมทมคามาก ๆ อกดวย และใหผเรยนสงเกตเพมเตมวา ห.ร.ม. ของจ านวนเตม a และ b นนตองเปนจ านวนเตมบวกซงหารทง a และ b ลงตวและมคามากสด

ตอมาผสอนอาจย าเกยวกบสญลกษณ ( , )a b ซงแทน ห.ร.ม. ของ a และ b ทมลกษณะเหมอนกบชวงเปดทผเรยนเคยพบตอนศกษาเรองจ านวนจรง แตในทนเราใชสญลกษณนแทน ห.ร.ม. ของ a และ b


6

เราไดขอสงเกตจากบทนยามของ ห.ร.ม. ดงน

ผสอนอาจยกตวอยาง ห.ร.ม. ของจ านวนเตมสองจ านวนเหลานเพมเตมจากตวอยางขางตน เพอใหผเรยนเกดความเขาใจขอสงเกตนยงขน 1. (12,80) (80,12) 4, (75, 16) ( 16,75) (16,75) 1 (อาจย าเพมวาไมเหมอนชวงเปด) 2. (15,0) 15, (0, 2554) 2554, ( , )a a a เมอ a เปนจ านวนเตมทไมเทากบศนย 3. ( 155, 450) (155,450) 5 เพราะวา 155 5 31 และ 450 5 90

ผสอนอาจใหขอสงเกตเพมเตมแกผเรยน เชน

ขอสงเกต ถา a และ b เปนจ านวนเตม ซง |b a จะไดวา ( , )a b b พสจน ให ( , )d a b ดงนน |d b สงผลให d b เพราะวา |b a ดงนน b หาร a ลงตว และจาก b หาร b ลงตว ท าใหไดวา b เปนตวหารรวมของ a และ b เพราะฉะนน b d เราจงสรปไดวา ( , )a b b #

ผสอนน าเขาสขนตอนวธของยคลดวา ในการหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมสองจ านวนทไมเปนศนยพรอมกนนน เราเพยงพอทจะศกษาเฉพาะขนตอนวธในการหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมบวกสองจ านวนเทานน ส าหรบจ านวนเตมลบหรอศนยนน เราสามารถใชขอสงเกตขางตนหา ห.ร.ม. หรอแปลงค าถามเปน ห.ร.ม. ของจ านวนเตมบวกไดเสมอ ซงหากเปนจ านวนเตมทมคามาก การแยกตวประกอบหรอการหาตวหารรวมทงหมดอาจท าไดยาก


7

2. ขนตอนวธของยคลด


8

2. ขนตอนวธของยคลด

ในการหา ห.ร.ม. โดยวธแยกตวประกอบใหเปนจ านวนเฉพาะ หรอ การหาตวหารรวมทงหมดทผเรยนไดศกษามาในระดบประถมศกษาตอนปลายและมธยมศกษาตอนตนนน เมอจ านวนทน ามาหามคามาก วธการเหลานจะมความยงยากและซบซอนมากในการค านวณ ขนตอนวธของยคลดเปนวธหา ห.ร.ม. ทมประสทธภาพ

ขนตอนวธของยคลดเปนวธทใชกนมาตงแตสมยโบราณ โดยผทคดคนขนตอนวธค านวณนคอนกคณตศาสตรชาวกรกทมชอวา ยคลด (Euclid) ซงมชวตอยเมอประมาณ 300 ปกอนครสตศกราช

ผสอนอาจชวยใหผเรยนเขาใจขนตอนวธของยคลดดยงขน ดวยการทบทวนขนตอนวธการหารของ

จ านวนเตมบวกสองจ านวนโดยชใหเหนวาเศษเหลอนนเปนศนยหรอจ านวนเตมบวกทมคานอยกวาตวหาร และยกตวหารของขนกอนหนามาเปนตวตง โดยน าเศษเหลอทไมเปนศนยไปเปนตวหาร ท าเชนนไปเรอย ๆ ดงในขนตอนวธของยคลดจะไดวาตองมเศษเหลอเปนศนยในทสด และเศษเหลอตวสดทายทไมเปนศนย จะเทากบ ห.ร.ม. ของ a และ b (ดบทพสจน หนา 12)

สงเกตวา a และ b ในขนตอนวธของยคลดเปนจ านวนเตมบวกดงไดกลาวไวแลววาเปนการเพยงพอทจะศกษาเฉพาะขนตอนวธในการหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมบวกสองจ านวนเทานน


9

ผสอนใหผเรยนศกษาตวอยางการหา ห.ร.ม. โดยใชขนตอนวธของยคลดในสอการสอนตอไปน

ผสอนอาจใหผเรยนท าแบบฝกหดตอไปนเพอใหเขาใจขนตอนวธของยคลดมากยงขน

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ขนตอนวธของยคลด ชดท 1

จงหา ห.ร.ม. ของ a และ b โดยใชขนตอนวธของยคลด เมอก าหนด a และ b ดงตอไปน

1. 26a และ 118b 2. 364a และ 9035b 3. 500a และ 2301b 4. 234a และ 1770b [ขอแนะ (234, 1770) (234,1770) ]


10

ในสอการสอนตอไปน ผสอนใหผเรยนสงเกตวาหากเราแทนคายอนกลบจาก ( , ) ka b r ขนไปเรอย ๆ จะไดวา เราสามารถเขยน ห.ร.ม. ของ a และ b ในรปการรวมเชงเสนของ a และ b

ซงเราสรปเปนทฤษฎบทได ดงน


11

ผสอนอาจใหตวอยางเพมเตมแกผเรยน ดงน ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 91 และ 259 โดยใชขนตอนวธของยคลด และ หาจ านวนเตม x และ y ซง (91,259) 91 259x y วธท า โดยขนตอนวธของยคลด เราไดวา

259 2 91 77

91 1 77 14

77 5 14 7

14 2 7

ดงนน (91,259) 7 โดยการแทนคายอนกลบ เราไดวา

7 77 5 (91 1 77)

6 (259 2 91) 5 91

6 259 ( 17) 91

เพราะฉะนน 17x และ 6y ท าให (91,259) 7 91 259x y # หากผเรยนมความสามารถสง ผสอนอาจแสดงบทพสจนขนตอนวธของยคลด โดยเรมจาก

ทฤษฎบทประกอบ ให a และ b เปนจ านวนเตมบวก ถา a qb r เมอ q และ r เปนจ านวนเตมโดยท 0 b r จะไดวา ( , ) ( , ) ( , )a b b r b a qb พสจน ให ( , )d a b ดงนน |d a และ |d b เราจะแสดงวา ( , )d b r นนคอ d เปนจ านวนเตมคามากสดท |d b และ |d r จาก |d a และ |d b เพราะฉะนน | ( )d a qb ท าใหไดวา |d r ให c เปนจ านวนเตมซง |c b และ |c r ดงนน | ( )c qb r สงผลให |c a เพราะฉะนน c เปนตวหารรวมของ a และ b ดงนน c d ท าใหสรปไดวา ( , )d b r #


12

พสจนขนตอนวธของยคลด จาก kr หาร 1kr ลงตว โดยขอสงเกตในหวขอ 1( , )k k kr r r ดงนนโดยทฤษฎบทประกอบ จะได 1 2 1 1 2 1( , ) ( , ) ( , )k k k k k k k k kr r r r q r r r r โดยอาศยทฤษฎบทประกอบซ าไปเรอย ๆ จะไดวา

1 2 1 1

2 1 2 3 1 2

2 1 2 1 1

1 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , )

k k k k k k k

k k k k k k

r r r r q r r

r r r r q r

r r b q r r

b r b a q b

a b

#


13

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ขนตอนวธของยคลด ชดท 2

1. จงหาจ านวนเตม x และ y ทให

ก) (26,118) 26 118x y ข) (234, 1770) 234 ( 1770)x y ค) ( 110, 273) ( 110) ( 273)x y

2. ให a และ b เปนจ านวนเตม ถามจ านวนเตม x และ y ซง 1ax by จงแสดงวา ( , ) 1a b 3. จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผดพรอมบอกเหตผลประกอบ

ก) ถา |a c และ |b c แลว |ab c ข) ( , ) ( , )ca cb c a b เมอ 0c

4. ให ,a b และ c เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ก) ถา |a c และ |b c และ ( , ) 1a b แลว |ab c ข) ถา |a bc และ ( , ) 1a b แลว |a c

5. ให a และ b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนยพรอมกน ถา c เปนจ านวนเตมโดยท ( , ) |a b c จงแสดงวา มจ านวนเตม x และ y ซง c ax by


14

3. จ านวนเฉพาะสมพทธ


15

3. จ านวนเฉพาะสมพทธ

เราใหนยามจ านวนเฉพาะสมพทธดงน

ผสอนอาจยกตวอยางจ านวนเตมทเปนจ านวนเฉพาะสมพทธเพมเตม เชน 123 และ 242 เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ และย าผเรยนจากขอสงเกตวา จ านวนเฉพาะสมพทธไมเกยวของกบการเปนจ านวนเฉพาะ


16

ผสอนอาจย าผเรยนเพมเตมเกยวกบ การตรวจสอบวาจ านวนเตมสองจ านวนทก าหนดใหเปนจ านวนเฉพาะสมพทธหรอไม ท าโดยการหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมสองจ านวนนนวามคาเปน 1 หรอไม ซงผเรยนไดศกษาการหา ห.ร.ม. อยางมประสทธภาพโดยใชขนตอนวธของยคลดมาแลว โดยอาจยกตวอยางเพมเตมเชน

ตวอยาง จงตรวจสอบวา 123 และ 242 เปนจ านวนเฉพาะสมพทธหรอไม เพราะเหตใด วธท า ค านวณหา ห.ร.ม. ของ 123 และ 242 โดยขนตอนวธของยคลด ดงน

242 1 123 119

123 1 119 4

119 29 4 3

4 1 3 1

3 3 1

ดงนน (123,242) 1 ท าใหไดวา 123 และ 242 เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ #

ตวอยาง ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวา a และ 1a เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ วธท า ให ( , 1)d a a ดงนน |d a และ | ( 1)d a ท าใหไดวา | (( 1) )d a a นนคอ |1d เพราะวา 0d เพราะฉะนน 1d สงผลให a และ 1a เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ #


17

นอกจากนสอการสอนจะกลาวถงทฤษฎบทของจ านวนเฉพาะสมพทธทเกยวของกบจ านวนเฉพาะ

ผสอนอาจใหขอสงเกตเกยวกบบทกลบของทฤษฎบทขางตนเพมเตม ดงน

ขอสงเกต ถา p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตมซง ( , ) 1a p แลว |p a พสจน ให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตมซง ( , ) 1a p โดยวธขดแยง สมมตวา |p a ดงนน ( , ) 1a p p ซงเปนขอขดแยง ดงนน |p a #

ผสอนอาจยกตวอยางประกอบทฤษฎบทนเพอใหผเรยนเขาใจมากยงขน เชน เพราะวา 7 | 100 ดงนน (7,100) 1 2 และ จ านวนคใด ๆ เปนจ านวนเฉพาะ

สมพทธกนเสมอ


18

ทฤษฎบทตอมาเปนสมบตทส าคญของจ านวนเฉพาะ ซงการพสจนอาศยผลทไดจากทฤษฎบทกอนหนาน ผสอนควรย าวาหาก p ไมเปนจ านวนเฉพาะ ทฤษฎบทนจะไมจรง ดงตวอยางทแสดงในสอการสอน

และใหผเรยนศกษาบทพสจนจากสอการสอน

ขอ 1 ในตวอยางนกลาวไดอกอยางหนงวา “ผลคณระหวางจ านวนเตมสองจ านวนเปนจ านวนค จะสรปไดวา จ านวนใดจ านวนหนงในสองจ านวนนนตองเปนจ านวนค หรอ ทงสองจ านวนเปนจ านวนค”


19

แบบฝกหดเพมเตม เรอง จ านวนเฉพาะสมพทธ

1. จงตรวจสอบวาจ านวนทก าหนดใหแตละคตอไปนเปนจ านวนเฉพาะสมพทธหรอไม เพราะเหตใด

ก) 25,54 ข) 170,221 ค) 1011, 2012

2. จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผดพรอมบอกเหตผลประกอบ ก) จ านวนคและจ านวนค เปนจ านวนเฉพาะสมพทธกนเสมอ ข) a และ 2 1a เปนจ านวนเฉพาะสมพทธกน เมอ a เปนจ านวนเตมใด ๆ ค) (2 1,2 1) 1a a เมอ a เปนจ านวนเตมใด ๆ

3. จงแสดงวา ถา ( , ) 1a b และ ( , ) 1a c แลว ( , ) 1a bc 4. ถา n เปนจ านวนเตมบวก และ ( , ) 1a b จงพสจนวา ( , ) 1na b 5. จ านวนเตมตงแต 1 ถง 100 ทไมเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ 21 มทงหมดกจ านวน


20

4. ตวคณรวมนอย


21

4. ตวคณรวมนอย

ผเรยนไดศกษาเรองตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) ตลอดจนการประยกตตาง ๆ เชน ใชในการบวกลบเศษสวนมาบางแลว เชนเดยวกบ ห.ร.ม. การนยาม ค.ร.น. ในระดบประถมศกษาตอนปลายและมธยมศกษาตอนตน นยามส าหรบจ านวนเตมบวกใด ๆ เทานน ในสอการสอนน เราใหนยาม ค.ร.น. ส าหรบจ านวนเตม a และ b ทไมเปนศนยใด ๆ ดงน

สงเกตวา ค.ร.น. ตองเปนจ านวนเตมบวก และ เปนพหคณรวมคานอยสดของ a และ b โดยผสอน

อาจย าเกยวกบสญลกษณ [ , ]a b ซงแทน ค.ร.น. ของ a และ b ทมลกษณะเหมอนกบชวงปดทผเรยนเคยพบในเรองจ านวนจรง และเชนเดยวกบ ห.ร.ม. วา ส าหรบจ านวนเตม a และ b ใด ๆ ทไมเทากบศนย เราไดวา

1. [ , ] [ , ]a b b a 2. [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]a b a b a b a b


22

ในเรองตอมาจะกลาวถงทฤษฎบททจะชวยในการหา ค.ร.น. ของจ านวนเตมบวกสองจ านวนใด ๆ

จากทฤษฎบทน ในการหา ค.ร.น. ของจ านวนเตมบวก a และ b เราเรมหา ห.ร.ม. ของ a และ b โดยใชขนตอนวธของยคลดกอนแลวจะได ค.ร.น. ของ a และ b มคาเปนผลคณของ a และ b หารดวย ห.ร.ม. ของ a และ b ซงท าใหเราสามารถหา ค.ร.น. ของจ านวนเตมบวกสองจ านวนไดอยางมประสทธภาพ

ยงกวานน หากเราทราบวาจ านวนเตมบวก a และ b เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ จะไดวา ค.ร.น. ของ a และ b มคาเทากบผลคณของ a และ b

ผสอนใหผเรยนศกษาตวอยางตอไปนจากสอการสอน


23

ผสอนอาจแสดงบทพสจนของทฤษฎบทใหผเรยนทมความสามารถสง ดงน

ทฤษฎบท ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวก แลว [ , ]( , )a b a b ab

พสจน ให ( , )d a b ดงนน abm

d เปนจ านวนเตม

เราจะแสดงวา [ , ]m a b

เนองจาก |d a และ |d b ดงนน a

d และ b

d เปนจ านวนเตม

จาก ba m

d

และ a

b md

ท าใหไดวา |a m และ |b m

ให c เปนจ านวนเตมบวกซง |a c และ |b c ดงนน c au และ c bv เมอ u และ v เปนจ านวนเตม เนองจาก ( , )d a b จะไดวา มจ านวนเตม x และ y ซง d ax by

เพราะฉะนน ( ) ( )c cd cax cby bv ax au byvx uy

m md ab ab

เปนจ านวนเตม

ดงนน |m c สงผลให m c เราจงสรปไดวา [ , ]m a b #

เนองจาก , ,a b a b และ , ,a b a b ทฤษฎบทขางตนสามารถขยายสกรณทวไป

พรอมทงบทแทรกไดดงน

ทฤษฎบท ให a และ b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย จะไดวา [ , ]( , )a b a b ab

บทแทรก ให a และ b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย โดยท |b a จะไดวา [ , ]a b a


24

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ตวคณรวมนอย

1. จงหา ค.ร.น. ของ a และ b เมอก าหนด a และ b ดงตอไปน

ก) 26a และ 118b ข) 364a และ 9035b ค) 500a และ 2301b ง) 234a และ 1770b

2. จ านวนเตมบวก a และ 48 ม ห.ร.ม. เปน 4 และ ค.ร.น. เปน 240 จงหาคาของ a 3. จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผดพรอมบอกเหตผลประกอบ

ก) ถา a และ b เปนจ านวนคบวก แลว [ , ]a b ab ข) ( , ) | [ , ]a b a b เมอ a และ b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย ค) ถา a เปนจ านวนคบวกและ b เปนจ านวนคบวก แลว [ , ]a b ab

4. จงหาจ านวนเตมบวกคานอยสดทหารดวย 10 และ 35 แลวมเศษเหลอเปน 4 5. ให a และ b เปนจ านวนเตมบวก จงแสดงวา [ , ]ab a b เปนจ านวนคเสมอ


25

สรปสาระส าคญประจ าตอน


26

สรปสาระส าคญประจ าตอน

สาระส าคญของทฤษฎจ านวนเบองตน (ตอนท 2) ประกอบดวยเนอหาหลกทผสอนควรย าแกผเรยนคอ บทนยามและสญลกษณของตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

และขนตอนวธของยคลดซงชวยใหเราหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมไดอยางมประสทธภาพ


27

รวมถงบทนยามของจ านวนเฉพาะสมพทธ ซงเปนความสมพนธระหวางจ านวนเตมสองจ านวนทไมมตวหารทเปนบวกรวมกนนอกจาก 1 และ ทฤษฎบททแสดงความสมพนธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทชวยใหเราหา ค.ร.น.ไดสะดวกและรวดเรวขน

ผสอนอาจทบทวนหวขอตาง ๆ โดยยกตวอยางเชงตวเลขประกอบ ตลอดจนชใหเหนความสมพนธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. และย าความส าคญของขนตอนวธของยคลดซงชวยท าใหการหาทง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. มประสทธภาพ


28

เอกสารอางอง

1. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2552). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4 – 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: สถาบนฯ.

2. สเทพ จนทรสมศกด. (2533). ระบบจ านวน. กรงเทพฯ: หางหนสวนจ ากดพทกษการพมพ.

3. อจฉรา หาญชวงศ. (2542). ทฤษฎจ านวน. กรงเทพฯ: โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.


29

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


30

ผสอนอาจแสดงการตรวจสอบวาจ านวนทก าหนดใหเปนจ านวนเฉพาะหรอไม ดวย Microsoft Excel ดงไดกลาวไวในสอการสอน โดยยกตวอยางจ านวนเตมบวกอน ๆ เพมเตมได

หากผเรยนมความสามารถสง ผสอนอาจอธบายรายละเอยดทมาของชดค าสงขางตนวาเปนผลมาจากทฤษฎบท C และ หมายเหตของทฤษฎบทน ประกอบสอการสอนเรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน (เนอหาตอนท 1) ซงกลาววา

ทฤษฎบท C ถา n เปนจ านวนประกอบ แลวจะมจ านวนเฉพาะ p n ท |p n หมายเหต จากทฤษฎบท C จะไดวา ถาจ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ a ทกจ านวนหาร a ไมลงตว แลวจะไดวา a เปนจ านวนเฉพาะ


31

ตอมาสอการสอนกลาวถงการใช Microsoft Excel ชวยในการค านวณหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ านวนเตม a และ b โดยใชค าสง GCD ,a b และ LCM , a b ดงน

ซงผสอนสามารถชใหผเรยนเหนวา เราอาจใชคอมพวเตอรชวยในการค านวณหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ใหสะดวกขนได


32

ผสอนอาจเพมเตมบทนยามของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ านวนเตมมากกวาสองจ านวน ดงน

บทนยาม ให 1 2, , , ka a a เปนจ านวนเตมทไมเปนศนยพรอมกน จ านวนเตมบวก d ซงมคามากสดท 1 2| , | , , | kd a d a d a เรยกวาเปน ตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ

1 2, , , ka a a เราใชสญลกษณ 1 2( , , , )ka a a แทน ห.ร.ม. ของ 1 2, , , ka a a

บทนยาม ให 1 2, , , ka a a เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย จ านวนเตมบวก c ซงมคานอยสดท 1 2| , | , , |ka c a c a c เรยกวาเปน ตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) ของ

1 2, , , ka a a เราใชสญลกษณ 1 2[ , , , ]ka a a แทน ค.ร.น. ของ 1 2, , , ka a a

ขอสงเกต เราตรวจสอบไดวา 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ,( , )) (( , ), ) ( , , )a a a a a a a a a และ

1 2 3 1 2 3 1 2 3[ ,[ , ]] [[ , ], ] [ , , ]a a a a a a a a a ซงอาจขยายไดเปน 1 2 1 2 3( , , , ) (( , ), , , )k ka a a a a a a และ 1 2 1 2 3[ , , , ] [[ , ], , , ]k ka a a a a a a

ตวอยาง (20,30,45) ((20,30),45) (10,45) 5 และ [20,30,45] [[20,30],45] [60,45] 180


33

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให 105a และ 305b ก) จงหา ( , )a b ข) จงหาจ านวนเตม x และ y ทท าให ( , )a b ax by ค) จงหา [ , ]a b

2. ก าหนดให b เปนจ านวนเตมซง

1

2

216 104

104 4

bq

b q

จงหา (216, )b 3. จงแสดงวา ( , 2) 1a a เมอ a เปนจ านวนค และ ( , 2) 2a a เมอ a เปนจ านวนค 4. ให a และ b เปนจ านวนเตม และ p เปนจ านวนเฉพาะ

ถา |p ab และ 2|p a b จงแสดงวา 2 |p ab 5. ให a และ b เปนจ านวนเตมบวกโดยท [ , ]a b ab จงแสดงวา ( , ) 1a b 6. ให ,a b และ c เปนจ านวนเตม โดยท |a c และ |b c จงแสดงวา [ , ] |a b c 7. ถา ( , ) 5a a b และ 80ab จงหา [ , ]a b 8. จงหาจ านวนเตมบวกคามากสดทหาร 130, 312 และ 481 แลวมเศษเหลอเทากน 9. จงหาจ านวนเตมบวกคานอยสดทหารดวย 4,6 และ 11 แลวมเศษเหลอเปน 3 10. นาฬกาสองเรอนตงเวลาปลกไวทก 25 และ 40 ตามล าดบ

ถานาฬกาทงสองเรอนปลกพรอมกนเวลา 6.00น. อยากทราบวานาฬกาทงสอง จะปลกพรอมกนครงตอไปเวลาเทาใด

11. ก าหนดให { |S n n เปนจ านวนเตมบวก โดยท 500n และ ( ,100) 1}n จงหาจ านวนสมาชกของเซต S

12. ก าหนดให {1,2,3, ,200}A และ { | ( ,40) 5}S a A a จงหาจ านวนสมาชกของเซต S


34

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


35

เฉลยแบบฝกหด

เรอง ขนตอนวธของยคลด ชดท 1

1. ( , ) 2a b 2. ( , ) 13a b 3. ( , ) 1a b 4. ( , ) 6a b


เรอง ขนตอนวธของยคลด ชดท 2

1. ก) 9, 2x y ข) 121, 16x y ค) 67, 27x y

2. ให ( , )d a b ดงนน |d a และ |d b

ท าใหไดวา | ( )d ax by นนคอ |1d

เพราะวา 0d ดงนน 1d

3. ก) ผด เชน 6 | 24 และ 8 | 24 แต 48 | 24

ข) ถก ให ( , )d a b ดงนน |d a และ |d b

จาก c c เพราะฉะนน c d หาร ca และ cb ลงตว

ให z เปนจ านวนเตมซง |z ca และ |z cb

เพราะวา ( , )d a b ดงนน มจ านวนเตม x และ y ซง d ax by

เพราะฉะนน dc acx bcy สงผลให |z dc

ดงนน z d c ท าใหสรปไดวา ( , )ca cb c d


36

4. ก) สมมตวา |a c และ |b c และ ( , ) 1a b

ดงนน จะมจ านวนเตม x และ y ทท าให 1ax by

เพราะฉะนน acx bcy c

เนองจาก |a c และ |b c สงผลให |ab cbx และ |ab acy ตามล าดบ

ดงนน | ( )ab acx bcy นนคอ |ab c

ข |a bc และ ( , ) 1a b

ดงนน จะมจ านวนเตม x และ y ทท าให 1ax by

เพราะฉะนน acx bcy c

เพราะวา |a bc และ |a ac ดงนน |a c

5. ให c เปนจ านวนเตมโดยท ( , ) |a b c

ให ( , )d a b ดงนน จะมจ านวนเตม x และ y ทท าให ax by d

เพราะวา |d c จะได c dq เมอ q เปนจ านวนเตม

ดงนน ( ) ( )c dq a qx b qy

เนองจาก qx และ qy เปนจ านวนเตม ท าใหไดขอสรปตามตองการ


37


เรอง จ านวนเฉพาะสมพทธ

1. ก) เปน ข) ไมเปน เพราะวา ( 170,221) 17 ค) เปน 2. ก) ผด เชน (9,12) 3 ดงนน 9 และ 12 ไมเปนจ านวนเฉพาะสมพทธ

ข) ถก ให 2( , 1)d a a ดงนน |d a และ 2| ( 1)d a เพราะฉะนน 2| ( 1)d a a a สงผลให |1d นนคอ 1d ค) ถก ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ และ (2 1,2 1)d a a เหนชดวา d เปนจ านวนค เนองจาก | (2 1)d a และ | (2 1)d a ดงนน | ((2 1) (2 1))d a a เพราะฉะนน | 2d เพราะวา d เปนจ านวนค ท าใหไดวา 1d

3. สมมตวา ( , ) 1a b และ ( , ) 1a c ดงนน 1ax by และ 1ax cy เมอ , , ,x x y y เปนจ านวนเตม เพราะฉะนน 1 ( )( ) ( ) ( )ax by ax cy a axx bx y cxy bc yy ท าใหสรปไดวา ( , ) 1a bc โดยแบบฝกหดเรองขนตอนวธของยคลด ชดท 2 ขอ 2

4. เปนผลจากขอ 3 เมอ b c 5.


38

เฉลยแบบฝกหด เรอง ตวคณรวมนอย

1. ก) 1534 ข) 252980 ค) 1150500 ง) 69030

2. 240 420

48a

3. ก) ถก เพราะวา 2 | ( , )a b ดงนน 2 ( , )a b สงผลให [ , ]( , ) 2

ab aba b ab

a b

ข) ถก ให ( , )d a b และ [ , ]m a b

ดงนน |d a และ |d b และ |a m และ |b m

ท าใหสรปไดวา |d m

ค) ผด เชน 6a และ 15b จะได [ , ] 30a b แต 90ab

4. 74 5. ให a และ b เปนจ านวนเตม และ [ , ]m ab a b

กรณ ab เปนจ านวนค เพราะวา |ab m ดงนน m เปนจ านวนค

กรณ ab เปนจ านวนค ดงนน a และ b ตองเปนจ านวนค

ท าใหไดวา a b เปนจ านวนค

เพราะวา ( ) |a b m ดงนน m เปนจ านวนค


39

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. ก) ( , ) 5a b ข) 29, 10x y ค) [ , ] 6405a b

2. (216, ) ( ,104) (104,4) 4b b 3. ให ( , 2)d a a ดงนน |d a และ | ( 2)d a ท าใหไดวา | 2d

ดงนน 1d หรอ 2d

กรณ a เปนจ านวนค เพราะวา |d a ดงนน 1d

กรณ a เปนจ านวนค เพราะวา 2 | a และ 2 | ( 2)a ดงนน 2 d นนคอ 2d

4. สมมตวา |p ab และ 2| ( )p a b ดงนน |p a หรอ |p b

กรณ |p a เพราะวา 2| ( )p a b ดงนน |p b ท าใหไดวา 2 |p ab

กรณ |p b เพราะวา 2| ( )p a b ดงนน 2|p a ท าใหไดวา |p a เพราะฉะนน 2 |p ab

5. เนองจาก [ , ]( , )

abab a b

a b ดงนน ( , ) 1a b

6. ให [ , ]m a b สมมตวา |a c และ |b c

โดยขนตอนวธการหาร จะได c mq r เมอ q เปนจ านวนเตม และ 0 r m

ดงนน r c mq

เพราะวา | , | , |a m b m a c และ |b c เพราะฉะนน |a r และ |b r

ถา 0r จะไดวา m r ซงเปนขอขดแยง ดงนน 0r นนคอ |m c

7. เพราะวา ( , ) ( , ) 5a b a a b และ 80ab ดงนน 80[ , ] 16

( , ) 5

aba b

a b

8. 13d และ เศษเหลอทเทากนมคาเทากบศนย

9. 135 10. [25,40] 200 นาท ดงนน นาฬกาทงสองจะปลกพรอมกนครงตอไปเวลา 9.20 .

11. 200 12. 20


40

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


41

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


42


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


43


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่2_ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย