คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

การใหเหตผลและตรรกศาสตร (เนอหาตอนท 2)

ประพจนและการสมมล

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร มจ านวนตอนทงหมดรวม 9 ตอน ซง

ประกอบดวย 1. บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร 2. เนอหาตอนท 1 การใหเหตผล

- การใหเหตผลแบบอปนย - การใหเหตผลแบบนรนย

3. เนอหาตอนท 2 ประพจนและการสมมล - ประพจนและคาความจรง - ตวเชอมประพจน - การสมมล

4. เนอหาตอนท 3 สจนรนดรและการอางเหตผล - เอกลกษณในการเชอมประพจน - สจนรนดร - การอางเหตผล

5. เนอหาตอนท 4 ประโยคเปดและวลบงปรมาณ - ประโยคเปด - วลบงปรมาณ

6. แบบฝกหด (พนฐาน) 7. แบบฝกหด (ขนสง) 8. สอปฏสมพนธ เรอง หอคอยฮานอย 9. สอปฏสมพนธ เรอง ตารางคาความจรง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (สจนรนดรและการอางเหตผล) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/4) หวขอยอย 1. ประพจนและคาความจรง

2. ตวเชอมประพจน 3. การสมมล

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. มความเขาใจในความหมายและคาความจรงของประพจน 2. มความเขาใจในความหมายของตวเชอมประพจน คาความจรงทเกดขน และสามารถน าไปใชได 3. มความเขาใจในการสมมลและสามารถสรางตารางคาความจรงเพอตรวจสอบการสมมลได

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. ระบความหมายของประพจนและจ าแนกไดวาขอความทก าหนดใหเปนประพจนหรอไม 2. ระบจ านวนกรณคาความจรงทเกดขน เมอก าหนดประพจนใหได 3. บอกคาความจรงของประพจนทเกดจากการเชอมดวยตวเชอมประพจนแบบตางๆ ได 4. หาคาความจรงของประพจนยอย เมอก าหนดคาความจรงของประพจนทมการเชอมดวยตวเชอม ประพจนแบบตางๆได 5. อธบายความหมายของการสมมล บอกวธการตรวจสอบและด าเนนการตรวจสอบวาประพจนท ก าหนดใหสมมลกนหรอไม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

1. ประพจนและคาความจรง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

1. ประพจนและคาความจรง

ในหวขอนผเรยนจะไดทราบถงความหมายของประพจน และคาความจรงของประพจน การเขยนแสดงกรณคาความจรงทเปนไปไดทงหมด และการสรางตารางคาความจรง

นอกจากตวอยางขางตน ผสอนอาจยกตวอยางเพมเตม ดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

ตวอยาง 1 จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนประพจนหรอไม

1. 1 ป ม 365 วน หรอ 366 วน เปนประพจน 2. 1 เปนจ านวนเฉพาะ เปนประพจน 3. กรณาปดประตเบาเบา ไมเปนประพจน 4. 4 เปนจ านวนเตม เปนประพจน 5. {1, 2, {3, 4}} เปนประพจน 6. รกเธอเสมอ ไมเปนประพจน 7. - 2 และ 4 เปนค าตอบของสมการ x2 – 2x -8 = 0 เปนประพจน 8. ยนดดวยนะทสอบไดท 1 ไมเปนประพจน 9. x2 – x = 0 ไมเปนประพจน 10. งดน าและอาหาร ไมเปนประพจน

หลงการน าเสนอ ปญหาชวนคดผสอนควรกระตนใหผเรยนไดรวมกนอภปราย วาขอความดงกลาวนนเปนประพจนหรอไม โดยสรปในตอนทายวา การพจารณาวาขอความนนสามารถบอกไดวาเปนจรงหรออยางใดอยางหนงหรอไม ไมขนกบความสามารถของผบอก หากแตขนอยกบขอความนนๆ นอกจากนผสอนอาจยกขอความอนทมลกษณะคลายกบขอความขางตน ทงนอาจใหผเรยนเปนผยกตวอยางเองกได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

ผสอนควรชแจงวา สญลกษณขางตน ไมใชการก าหนดตายตว แตเปนเพยงความนยมเทานน และสญลกษณ T F เปนคาความจรงของประพจน ไมใชประพจน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

ในการสรางตารางคาความจรง สงส าคญประการหนงคอการเขยนแสดงกรณคาความจรงอยางครบถวน ผสอนควรชใหเหนวาเพยงการระบไดวามกรณทตองพจารณาทงหมดกกรณนนยงไมเพยงพอ การเขยนแสดงกรณเหลานนอยางเปนระบบ จะชวยใหสามารถสรางตารางคาความจรงไดอยางสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ประพจนและคาความจรง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ประพจนและคาความจรง

1. จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนประพจนหรอไม 1.1 หนงป มสบสองเดอน

1.2 1 ไมเปนจ านวนเฉพาะ 1.3 0 เปนจ านวนค 1.4 เขาเปนคนพดจรง 1.5 น าขนใหรบตก 1.6 5 + 6 = 7 1.7 ประพจนคอขอความทเปนจรง 1.8 นารกอะ 1.9 2x5 – 5 = 0 1.10 คณพระชวย

2. “บนดาวองคารมสงมชวต” ขอความนเปนประพจนหรอไม จงอธบาย 3. ในการสรางตารางคาความจรง หากมประพจน 5 ประพจนทแตกตางกน จะมกรณพจารณาทงหมด กกรณ 4. ในการสรางตารางคาความจรง หากมกรณพจารณาทงหมด 512 กรณ จะมประพจนทแตกตางกน ทน ามาพจารณาทงหมดกประพจน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

2. ตวเชอมประพจน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

2. ตวเชอมประพจน

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาเกยวกบตวเชอมประพจนทง 5 แบบ และคาความจรงของประพจนใหมทเกดขน ซงเปนพนฐานส าคญของตรรกศาสตร

ทงผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

ตวอยาง 1 2 คณ 3 เทากบ 5 และ มคาประมาณ 227

วธท า ให p แทน 2 คณ 3 เทากบ 5 ซงมคาความจรงเปนเทจ

ให q แทน มคาประมาณ 22

7 ซงมคาความจรงเปนจรง

จะไดวาสามารถเขยนขอความใหอยในรปของสญลกษณ ไดเปน p q ซงมคาความจรงเปนเทจ

ตวอยาง 2 1 และ 5 เปนสมาชกของ {1, 5} วธท า ให p แทน 1 เปนสมาชกของ {1, 5} ซงมคาความจรงเปนจรง

ให q แทน 5 เปนสมาชกของ {1, 5} ซงมคาความจรงเปนจรง จะไดวาสามารถเขยนขอความใหอยในรปของสญลกษณ ไดเปน p q ซงมคาความจรงเปนจรง

ทงผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมดงน ตวอยาง 3 -2 มากกวา -1 หรอ 1 มากกวา 2 วธท า ให p แทน -2 มากกวา -1 ซงมคาความจรงเปนเทจ

ให q แทน1 มากกวา 2 ซงมคาความจรงเปนเทจ จะไดวาสามารถเขยนขอความใหอยในรปของสญลกษณ ไดเปน p q ซงมคาความจรงเปนเทจ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

ตวอยาง 4 (1 + 3) + 7 = 12 หรอ 7 (3 + 1) = 12 วธท า ให p แทน (1 + 3) + 7 = 12 ซงมคาความจรงเปนเทจ

ให q แทน7 (3 + 1) = 12 ซงมคาความจรงเปนเทจ จะไดวาสามารถเขยนขอความใหอยในรปของสญลกษณ ไดเปน p q ซงมคาความจรงเปนเทจ

ตวอยางนมงน าเสนอความเหมอนและความแตกตางของ “และ” “หรอ” ในตรรกศาสตรและในชวตประจ าวน ทงนผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

ตวอยาง 5 ถา 2 เปนจ านวนจรง แลว 2 เปนจ านวนอตรรกยะ วธท า ให p แทน 2 เปนจ านวนจรง ซงมคาความจรงเปนจรง

ให q แทน 2 เปนจ านวนอตรรกยะ ซงมคาความจรงเปนเทจ จะไดวาสามารถเขยนขอความใหอยในรปของสญลกษณ ไดเปน pq ซงมคาความจรงเทจ

ตวอยาง 6 ถา 12 < -15 แลว{1, 3} เปนเซตของตวประกอบรวมของ -15 กบ 12 วธท า ให p แทน 12 < -15 ซงมคาความจรงเปนเทจ

ให q แทน {1, 3} เปนเซตของตวประกอบรวมของ -15 กบ 12 ซงมคาความจรงเปนจรง จะไดวาสามารถเขยนขอความใหอยในรปของสญลกษณ ไดเปน pq ซงมคาความจรงเปนจรง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

ตวอยาง 7 7 + 9 = 13 กตอเมอ 7 < 9 วธท า ให p แทน 7 + 9 = 13 ซงมคาความจรงเปนเทจ

ให q แทน 7 < 9 ซงมคาความจรงเปนจรง จะไดวาสามารถเขยนขอความใหอยในรปของสญลกษณ ไดเปน pq ซงมคาความจรงเปนเทจ

ตวอยาง 8 นกเปนสตวปก กตอเมอ นกมสองขา วธท า ให p แทน นกเปนสตวปก ซงมคาความจรงเปนจรง

ให q แทน นกมสองขา ซงมคาความจรงเปนจรง จะไดวาสามารถเขยนขอความใหอยในรปของสญลกษณ ไดเปน pq ซงมคาความจรงเปนจรง

ตวอยาง 9 จงหวดยะลา เปนจงหวดในภาคเหนอ วธท า ให p แทน จงหวดยะลา เปนจงหวดในภาคเหนอ ซงมคาความจรงเปนเทจ

จะได ~p แทน จงหวดยะลา ไมเปนจงหวดในภาคเหนอ ซงมคาความจรงเปนจรง

ตวอยาง 10 6 เปนตวประกอบของ 24 วธท า ให p แทน 6 เปนตวประกอบของ 24 ซงมคาความจรงเปนจรง

จะได ~p แทน 6 ไมเปนตวประกอบของ 24 ซงมคาความจรงเปนเทจ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

ตวอยางนมงแสดงใหเหนถงขอควรระวงในการแปลความของประพจนทสรางขนใหมโดยใชนเสธ นอกจากนผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมเชน นเสธของประพจน “ทม A ชนะ ทม B” คอ “ทม A ไมชนะ ทม B” ซงอาจเปนไดทง “ทม A แพ ทม B” หรอ “ทม A เสมอ ทม B”

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ตวเชอมประพจน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ตวเชอมประพจน

1. จงเขยนประโยคขอความแทนสญลกษณตอไปน พรอมหาคาความจรงของประพจน เมอก าหนดให p แทนประพจน พระอาทตยขนทางทศตะวนออก

q แทนประพจน ประเทศองกฤษอยในทวปแอฟรกา 1.1 p q 1.2 p q 1.3 ~pq 1.4 ~q p 1.5 ~p ~q 1.6 q(p ~q) 1.7 p ~q 1.8 p~q

2. ก าหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจนทมคาความจรงเปนจรง, เทจ, จรง, เทจ และ จรง ตามล าดบ

จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน 2.1 p (q r) 2.2 ~q (p r) 2.3 (p q) ( s t) 2.4 (~q ~r) (~p t) 2.5 ~[~(r ~s) p] 2.6 (qr) (sp) 2.7 (pq) (~q~p) 2.8 (p q) ( q p) 2.9 [(ps) (rt)] (rq) 2.10 [(p ~q) (r~s)] [(~r t) (~s~r)]

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

3. ก าหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจน จงพจารณาคาความจรงของประพจนตอไปน เมอก าหนดคาความ จรงของประพจนยอยเพยงบางประพจน

3.1 pq เมอ q มคาความจรงเปนจรง 3.2 p q เมอ q มคาความจรงเปนจรง 3.3 p (qr) เมอ p มคาความจรงเปนเทจ 3.4 (pq)s เมอ pq มคาความจรงเปนเทจ 3.5 (p q)(r s) เมอ q, r มคาความจรงเปนจรง 3.6 (pq) (p q) เมอ p q มคาความจรงเปนเทจ 3.7 p (qr) เมอ q มคาความจรงเปนเทจ 3.8 (p s) (r p) เมอ p มคาความจรงเปนจรง 3.9 p ( r s) เมอ p มคาความจรงเปนเทจ 3.10 (p ~r) (r p) เมอ p มคาความจรงเปนเทจ

4. จงหาคาความจรงของประพจนยอยตอไปนเมอก าหนดคาความจรงของประพจนมาให

4.1 q (p s) มคาความจรงเปนเทจ 4.2 (p q) t มคาความจรงเปนเทจ 4.3 p (q r) มคาความจรงเปนเทจ 4.4 (r s) r มคาความจรงเปนเทจ 4.5 ~p ( pq) มคาความจรงเปนเทจ 4.6 (p q) (q r) มคาความจรงเปนเทจ 4.7 (rs) (~r ~s) มคาความจรงเปนจรง 4.8 (p ~q) (rs) มคาความจรงเปนเทจ 4.9 [(p q) r] q มคาความจรงเปนเทจ 4.10 p [(q p) (pq)] มคาความจรงเปนจรง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

3. การสมมล

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

3. การสมมล

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงเกยวกบความหมายของการสมมล การตรวจสอบการสมมลโดยอาศยการสรางตารางคาความจรง

ผสอนควรชใหเหนวา พนฐานส าคญของการตรวจสอบการสมมลในขนน คอการตรวจสอบโดยสรางตารางคาความจรง โดยอาจทบทวนการสรางตารางคาความจรงดวยตวอยางตอไปน

ตวอยาง 1 จงสรางตารางคาความจรงของประพจน (pq) ( q p)

p q (pq) (q p) (pq) (q p)

T T T T T

T F F T F

F T T F F

F F T T T

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

ตวอยาง 2 จงสรางตารางคาความจรงของประพจน (p ~r) ( r p)

p r ~r (p ~r) ( r p) (p ~r) ( r p)

T T F F T T

T F T T F T

F T F F F F

F F T F F F

ตวอยาง 3 จงสรางตารางคาความจรงของประพจน ~p [~q (pq)]

p q ~p ~q (pq) [~q (pq)] ~p [~q (pq)]

T T F F T F T

T F F T F F T

F T T F T F F

F F T T T T T

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การสมมล

1. จงสรางตารางคาความจรงของประพจนตอไปน

1.1 (q ~p) s 1.2 (p q)(q s) 1.3 (p q)(r s)

2. ประพจนทก าหนดใหตอไปนสมมลกนหรอไม โดยสรางตารางคาความจรงเพอแสดงวาประพจนท

ก าหนดใหสมมลกน หรอยกตวอยางกรณคาความจรงเพอแสดงวาประพจนทก าหนดใหไมสมมลกน 2.1 p (q r) กบ ~ (pq) (p r) 2.2 p(~q s) กบ ~q (p s) 2.3 (p q) r กบ (p r) (q r)

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

แบบฝกหดระคน

จงเลอกขอทถกตอง 1. ขอใดตอไปนเปนประพจน

ก. เธอมายนอยขางๆฉน ข. รกเธอตราบชวฟาดนสลาย ค. เดอนมนาคมม 32 วน ง. มนาคมเปนเดอนแหงความสขจรงๆนะ

2. ขอใดตอไปนไมเปนประพจน ก. 3 และ 5 เปนตวประกอบของ 15 ข. 2x + 4 = y ค. สมการ 2x - 2 = 0 ม - 2 และ 2 เปนค าตอบของสมการ ง. คาของทศนยมต าแหนงทสของ 5 คอ 4

3. พจารณาขอความตอไปน 1) กรณาใชน าอยางประหยดเพอใหมน าใชวนตอไป 2) สตฟ จอบส ผสรางไอโฟน เสยชวตเมอป พ.ศ. 2011

ขอใดตอไปนถกตอง ก. ทงขอ 1 และขอ 2 เปนประพจน ข. ขอ1ไมเปนประพจนแตขอ 2 เปนประพจน ค. ขอ 1 เปนประพจนแตขอ 2 ไมเปนประพจน ง. ทงขอ 1 และขอ 2 ไมเปนประพจน

4. พจารณาขอความตอไปน 1) 145 ไมเปนจ านวนเฉพาะ เปนประพจน 2) 145 เปนจ านวนเฉพาะ เปนประพจน

ขอใดตอไปนถกตอง ก. ทงขอ 1 และขอ 2 ถก ข. ขอ 1 ถก แตขอ 2 ผด ค. ขอ 1 ผด แตขอ 2 ถก ง. ทงขอ 1 และขอ 2 ผด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

5. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 227

และ เปนจ านวนอตรรกยะ มคาความจรงเปนจรง

ข. 227

หรอ เปนจ านวนอตรรกยะ มคาความจรงเปนเทจ

ค. ถา 227

แลว เปนจ านวนอตรรกยะ มคาความจรงเปนจรง

ง. ถา เปนจ านวนอตรรกยะ แลว 227

มคาความจรงเปนจรง

6. พจารณาประพจนตอไปน “2 เปนจ านวนค กตอเมอ 2 เขยนในรป 2n+1ได” ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 2 เปนจ านวนค มคาความจรงเปนจรง 2 เขยนในรป 2n+1 ได มคาความจรงเปนจรง ประพจนนมคาความจรงเปนจรง

ข. 2 เปนจ านวนค มคาความจรงเปนจรง 2 เขยนในรป 2n+1 ได มคาความจรงเปนเทจ ประพจนนมคาความจรงเปนเทจ

ค. 2 เปนจ านวนค มคาความจรงเปนเทจ 2 เขยนในรป 2n+1 ได มคาความจรงเปนจรง ประพจนนมคาความจรงเปนเทจ

ง. 2 เปนจ านวนค มคาความจรงเปนเทจ 2 เขยนในรป 2n+1 ได มคาความจรงเปนเทจ ประพจนนมคาความจรงเปนจรง

7. ก าหนดให p, q, r, s และ t มคาความจรงเปน เทจ จรง จรง เทจ และเทจ ตามล าดบ ขอใดตอไปนถกตอง ก. (( ~ ) ( ~ ))r q s p t มคาความจรงเปนจรง ข. ~ (( ~ ) ( ))t q p r s มคาความจรงเปนจรง ค. (( ~ ) ( ))t q s p t มคาความจรงเปนเทจ ง. (~ ( ))p q r s มคาความจรงเปนเทจ

8. ให p, q, r, s และ t เปนประพจน ขอใดตอไปนถกตอง ก. จากประพจน (~ )q r t ถาก าหนดให q มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา (~ )q r t

มคาความจรงเปนเทจ ข. จากประพจน ( ~ )p s s ถา p มคาความจรงเปนจรง จะไดวา ( ~ )p s s มคาความจรงเปน

จรง และถา p มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา ( ~ )p s s มคาความจรงเปนเทจ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

ค. จากประพจน ( ) (~ )r t r t ถาก าหนดใหประพจน r และ t มคาความจรงตางกน จะไดวา

( ) (~ )r t r t มคาความจรงเปนจรง ง. จากประพจน ( ) ( )p q q s ถาก าหนดให ( )p q มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา

( ) ( )p q q s มคาความจรงเปนจรง

9. ถาก าหนดใหประพจน (( ~ ) (~ )) (( ~ ) ( ))p r q t t r t p มคาความจรงเปนจรง แลวคาความจรงของประพจน p, q, r และ t ตรงกบขอใดตอไปน ก. p, q, r และ t มคาความจรงเปน จรง เทจ เทจ และจรง ตามล าดบ ข. p, q, r และ t มคาความจรงเปน เทจ จรง เทจ และจรง ตามล าดบ ค. p, q, r และ t มคาความจรงเปน เทจ จรง จรง และจรง ตามล าดบ ง. p, q, r และ t มคาความจรงเปน จรง เทจ จรง และจรง ตามล าดบ

10. ถาประพจน ( ~ ) (( ) (~ ))p q q r r s มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรงของประพจน p, q, r และ s ตรงกบขอใดตอไปน ก. p, q, r และ s มคาความจรงเปน จรง จรง เทจ และจรง ตามล าดบ ข. p, q, r และ s มคาความจรงเปน เทจ เทจ จรง และเทจ ตามล าดบ ค. p, q, r และ s มคาความจรงเปน เทจ จรง จรง และเทจ ตามล าดบ ง. p, q, r และ s มคาความจรงเปน จรง เทจ จรง และจรง ตามล าดบ

11. พจารณาตารางคาความจรงตอไปน

p q p q ~ p ~ q ~ ~p q ( ) (~ ~ )p q p q T T 1) T 2) F F T 3) F F 4)

หาคาความจรงทปรากฏในต าแหนงท 1) 2) 3) และ 4) ตรงกบขอใดตอไปน ก. T T F และ T ข. F F T และ F ค. F F T และ T ง. T F T และ T

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

12. พจารณาตารางคาความจรงตอไปน

p q 1) 2) 3) T T F F T T F F T T F T T T T F F T F F

ประพจนทปรากฏในต าแหนงท 1) 2) และ 3) ควรตรงประพจนในขอใดตอไปน ก. ~ p q , ~ p และ p q ข. p q , ~ p q และ ~ p ค. ~ p , p q และ ~ p q ง. ~ p , ~ p q และ p q

13. ถาประพจนทก าหนดให มประพจนยอยทงหมดทแตกตางกน คอ p, q, r, s, t, u และ v แลว ในการสรางตารางคาความจรง จะมกรณทตองพจารณาคาความจรงทงหมดกกรณ ก. 7 กรณ ข. 14 กรณ ค. 49 กรณ ง. 128 กรณ

14. พจารณาตารางคาความจรงตอไปน

p q p q p q ( )p q p T T T T T T F F T T F T F T F F F T F T

p q p q ~ ( )p q ~ q ~ q p T T T F F F F F T F T F F T T F F F T F F T T T

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

ขอใดตอไปนถกตอง ก. ( )p q p q p ข. p q p p ค. ~ q p p q ง. ~ ( ) ~p q q p

15. พจารณาตารางคาความจรงตอไปน

p q q p ~ q 1) ~ ~p q 2) T T T F F F F T F T T F F F F T F F T F T F F T T T T T

ประพจนทปรากฏในต าแหนงท 1) และ 2) ควรตรงประพจนในขอใดตอไปน

ก. ~ p และ (~ ~ ) ( )p q q p ข. ~ p และ ( ) (~ ~ )q p p q ค. p q และ (~ ~ ) ( )p q q p ง. p q และ ( ) (~ ~ )q p p q

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

37

เฉลยแบบฝกหด

เรอง ประพจนและคาความจรง

1. 1.1 เปนประพจน 1.2 เปนประพจน 1.3 เปนประพจน 1.4 ไมเปนประพจน 1.5 ไมเปนประพจน 1.6 เปนประพจน 1.7 เปนประพจน 1.8 ไมเปนประพจน 1.9 ไมเปนประพจน 1.10 ไมเปนประพจน

2. เปนประพจน เพราะถงแมในตอนนจะยงไมสามารถระบไดวาขอความนเปนจรงหรอไม แตขอความน

สามารถระบไดวาเปนจรงหรอเทจอยางใดอยางหนงแนๆ เพยงอยางเดยว

3. 32 กรณ 4. 9 ประพจน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

38

เฉลยแบบฝกหด

เรอง ตวเชอมประพจน

1. 1.1 พระอาทตยขนทางทศตะวนออก หรอประเทศองกฤษอยในทวปแอฟรกา มคาความจรงเปนจรง

1.2 พระอาทตยขนทางทศตะวนออก และประเทศองกฤษอยในทวปแอฟรกา มคาความจรงเปนเทจ

1.3 ถาพระอาทตยไมขนทางทศตะวนออก แลว ประเทศองกฤษอยในทวปแอฟรกา มคาความจรงเปนจรง

1.4 ประเทศองกฤษไมอยในทวปแอฟรกา กตอเมอ พระอาทตยขนทางทศตะวนออก มคาความจรงเปนจรง

1.5 พระอาทตยไมขนทางทศตะวนออก และ ประเทศองกฤษไมอยในทวปแอฟรกา มคาความจรงเปนเทจ

1.6 ถาประเทศองกฤษอยในทวปแอฟรกาแลวพระอาทตยขนทางทศตะวนออก หรอ ประเทศองกฤษ ไมอยในทวปแอฟรกา มคาความจรงเปนจรง

1.7 พระอาทตยขนทางทศตะวนออก หรอ ประเทศองกฤษไมอยในทวปแอฟรกา มคาความจรงเปนจรง

1.8 ถา พระอาทตยขนทางทศตะวนออก แลวประเทศองกฤษไมอยในทวปแอฟรกา มคาความจรงเปนจรง

2. 2.1 มคาความจรงเปนจรง 2.2 มคาความจรงเปนจรง 2.3 มคาความจรงเปนจรง 2.4 มคาความจรงเปนจรง 2.5 มคาความจรงเปนเทจ 2.6 มคาความจรงเปนจรง 2.7 มคาความจรงเปนจรง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

39

2.8 มคาความจรงเปนจรง 2.9 มคาความจรงเปนเทจ 2.10 มคาความจรงเปนจรง

3. 3.1 มคาความจรงของจรง 3.2 มคาความจรงของจรง 3.3 มคาความจรงเปนเทจ 3.4 มคาความจรงเปนจรง 3.5 มคาความจรงเปนจรง 3.6 มคาความจรงเปนเทจ 3.7 มคาความจรงเปนจรง 3.8 มคาความจรงเปนจรง 3.9 มคาความจรงเปนจรง 3.10 มคาความจรงเปนเทจ

4. 4.1 p q และ s มคาความจรงเปนเทจ 4.2 p และ q มคาความจรงเปนจรง t มคาความจรงเปนเทจ 4.3 p มคาความจรงเปนจรง q และ r มคาความจรงเปนเทจ 4.4 r และ s มคาความจรงเปนเทจ 4.5 p มคาความจรงเปนจรง q มคาความจรงเปนเทจ 4.6 p และ q มคาความจรงเปนจรง r มคาความจรงเปนเทจ 4.7 r และ s มคาความจรงเปนเทจ 4.8 p และ s มคาความจรงเปนเทจ q และ r มคาความจรงเปนจรง 4.9 p และ r มคาความจรงเปนจรง q มคาความจรงเปนเทจ 4.10 p และ q มคาความจรงเปนจรง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

40

เฉลยแบบฝกหด

เรอง การสมมล 1. 1.1

p q s ~p q ~p (q ~p)s T T T F T T T T F F T F T F T F F F T F F F F T F T T T T T F T F T T F

F F T T T T

F F F T T F

1.2

p q s p q q s (p q)(q s) T T T T T T

T T F T T T

T F T F T T

T F F F F T F T T F T T F T F F T T

F F T F T T

F F F F F T

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

41

1.3 p q r s p q r s (p q)(r s) T T T T T T T

T T T F T T T T T F T T T T T T F F T F F T F T T T T T

T F T F T T T T F F T T T T T F F F T F F F T T T T T T

F T T F T T T F T F T T T T F T F F T F F F F T T F T T

F F T F F T T F F F T F T T F F F F F F F

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

42

2.1 p q r qr p (qr) pq ~(pq) p r ~(pq) (p r) T T T T T T F T T T T F F F T F F F T F T T T F T T T T F F T T F T F T F T T T F T F F F F T F F F T F F F

F F T T F T F F F

F F F T F T F F F

จากตารางคาความจรง p (qr) สมมลกบ ~ (pq) (p r)

2.2 p q s ~q (~qs) p(~q

s) ps ~q (ps)

T T T F T T T T T T F F T T F T T F T T T T T T T F F T F F F F F T T F T T T T F T F F T T T T

F F T T T T T T

F F F T F T T T

จากตารางคาความจรง p(~qs) สมมลกบ ~q (ps)

2.3 ให p, q และ r เปนประพจนทมคาความจรงเปน จรง จรง และเทจ ตามล าดบ จะไดวา (p q) r มคาความจรงเปนเทจ แต (p r) (q r) มคาความจรงเปนจรง นนคอ (p q) r ไมสมมลกบ (p r) (q r)

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

43

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. ค

2. ข

3. ข

4. ก

5. ค

6. ง

7. ก

8. ข

9. ก

10. ค

11. ค

12. ง

13. ง

14. ง

15. ข

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

44

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

45

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

46

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

47

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได