40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม (เนอหาตอนท 3) ฟงกชนลอการทม

โดย

รองศาสตราจารย เพญพรรณ ยงคง

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม มจ านวนตอนทงหมดรวม 16

ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม 2. เนอหาตอนท 1 เลขยกก าลง

- เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม - เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านอนตรรกยะ - เขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ

3. เนอหาตอนท 2 ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม - ฟงกชนเลขชก าลง - กราฟของฟงกชนเลขชก าลง - สมการเลขชก าลง

4. เนอหาตอนท 3 ลอการทม - ฟงกชนลอการทม - กราฟของฟงกชนลอการทม - สมการลการทม

5. เนอหาตอนท 4 อสมการเลขชก าลง - ทบทวนสมบตทส าคญของเลขยกก าลง - สมการและอสมการของเลขยกก าลง - ฟงกชนเลขชก าลงในชวตประจ าวน

6. เนอหาตอนท 5 อสมการลอการทม - ทบทวนสมบตทส าคญของลอการทม - สมการและอสมการลอการทม - ปญหาในชวตประจ าวนทเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

7. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 8. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 11. แบบฝกหด (ขนสง)


2

12. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนท ใช สอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

หมวด เนอหา

ตอนท 3 (3/5)

หวขอยอย 1. ฟงกชนลอการทมและกราฟของฟงกชนลอการทม 2. สมบตทส าคญของลอการทม 3. ลอการทมสามญและลอการทมธรรมชาต

จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยน

1. เขาใจความหมายและสมบตของฟงกชนลอการทม

2. มความเขาใจเกยวกบกราฟของฟงกชนลอการทมฐานตางๆ ได

3. น าสมบตทส าคญของลอการทมไปใชในการแกปญหา

4. หาคาลอการทมสามญจากตารางได

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. บอกสมบตของฟงกชนลอการทมและน าไปใชได 2. อธบายวธการและเขยนกราฟของฟงกชนลอการทมทก าหนดใหได 3. ค านวณคาของลอการทมโดยอาศยสมบตทส าคญของลอการทม 4. หาคาลอการทมสามญของจ านวนจรงทก าหนดใหจากตารางได


4

เนอหาในสอการสอน


5

1. ฟงกชนลอการทม


6

1. ฟงกชนลอการทม

นกเรยนไดเรยนรเกยวกบเรองของฟงกชนเลขชก าลงหรอฟงกชนเอกซโพเนนเชยลในสอตอนท 1 และ 2 มาแลว ในสอตอนท 3 นจะเปนเรองเกยวกบฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขชก าลง เพอชวยใหนกเรยนสามารถเขาใจไดงายขน ผสอนอาจใหนกเรยนทบทวนเกยวกบเรองของความสมพนธ ฟงกชน และตวผกผนของฟงกชนในสอการสอนกอนหนาน และอาจถามนกเรยนเกยวกบการมตวผกผนของฟงกชนวา ฟงกชนทจะมตวผกผนไดนนจะตองมสมบตอะไร หลงจากนนใหนกเรยนดสอตอนท 3 ซงจะกลาวถงฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขชก าลง ซงคอ ฟงกชนลอการทมนนเอง


7


8

เพอใหนกเรยนไดรจกและคนเคยกบฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขชก าลงทละฟงกชน เราจะเรมจากการยกตวอยางฟงกชนเลขชก าลง 2

xy ซงเปนฟงกชนทนกเรยนไดรจกกนมาแลวใน

ตอนท 2 ผสอนกจะไดมโอกาสทบทวนลกษณะกราฟของฟงกชน 2x

y และตอจากนนกชแนะให

นกเรยนรจกฟงกชนผกผนของ 2x

y โดยดจากสอตอไปน


9

ถงตรงน นกเรยนคงรแลววา ฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขชก าลง 2x

y คอฟงกชน 2

logy x

และยงรถงความสมพนธระหวาง 2 ฟงกชนนดวย

ถาเรารวา 2c

d แลว ยอมไดวา 2

logc d

หรอ 2

2 logc

d c d

ตอนเรมตนนกเรยนอาจจะสบสนกบการแปลงความสมพนธในรปเลขยกก าลงเปนความสมพนธในรปลอการทม เพอใหงายตอการจ า ใหนกเรยนแทนจ านวนตางๆ ดวยสญลกษณ และ ดงสอกจะชวยใหเขาใจไดงายขน


10


11

ผสอนอาจใหนกเรยนลองท าแบบฝกหดยอยตอไปนเพอใหคนเคยการแปลงจ านวนทอยในรปเลขยกก าลง ใหอยในรปลอการทมโดยเนนเฉพาะฐาน 2 เสยกอนเพอใหนกเรยนจ ารปแบบของการแปลงไดแมนย าและไมสบสน หลงจากนนใหผสอนลองเปลยนจากฐาน 2 เปนฐานอนตามความเหมาะสม

แบบฝกหดยอย

1. จงเขยนใหอยในรปลอการทม

1.1 32 8 ==

1.2 2 3c

==

1.3 122 d ==

1.4 2 5d

==

1.5 12

3

c ==

2. จงเขยนใหอยในรปของเลขยกก าลง

2.1 2

log 0.3 c ==

2.2 2

1log

3d ==

2.3 2

log 5 x ==

2.4 2

log 0.7 d ==

2.5 2

log 0.5c ==


12

ค าตอบ 1. 1.1 2

3 log 8 1.2 2

log 3c 1.3 2

1log

2d

1.4 2

log 5d 1.5 2

1log3

c

2. 2.1 0.3 2c 2.2

132d 2.3 5 2

x

2.4 0.7 2d 2.5 0.5

2c

หลงจากทนกเรยนไดรจกฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขชก าลง 2x

y ซงกคอ

2logy x ตอไปเราจะพจารณาฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขชก าลงทมฐานเปนจ านวนจรงบวก a

มากกวาศนยและไมเทากบ 1 ซงเราไดศกษามาแลวในตอนท 2 เรามาดบทนยามของฟงกชนผกผน

ของฟงกชนเลขชก าลง xy a ซงเราจะเรยกวา ฟงกชนลอการทม


13

เมอนกเรยนไดรจกฟงกชนลอการทมซงเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขยกก าลง ผสอนอาจย าใหนกเรยนดขอสงเกตทส าคญของทงสองฟงกชนดงน

x

y a loga

y x

ผสอนลองยกตวอยางเพมเตมโดยให 1 1 1 12, 3, 4, 5, , , ,

2 3 4 5a

ฟงกชนผกผนของ 2x

y คอ 2

logy x


y คอ 3

logy x

เลขชก าลง เลขหลงลอการทม

ฐานของเลขชก าลง ฐานของลอการทม

ขอสงเกต

1. 0 < a < 1 หรอ a > 1

2. x

ขอสงเกต

1. 0 < a < 1 หรอ a > 1

2. x +


14


y คอ 4

logy x

ฟงกชนผกผนของ 1

2

x

y คอ 12

logy x


3

x

y คอ 13

logy x


6

x

y คอ 16

logy x

ฟงกชนผกผนของ (0.3)x

y คอ 0.3

logy x

ตอไปจะเปนการพจารณากราฟของฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทมทเปนฟงกชนผกผนของกนและกนทละค และใหนกเรยนสงเกตสมบตการเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด เราพจารณาจากสงใด


15

จากสอนกเรยนจะเหนกราฟแตละคซงเปนฟงกชนผกผนของกนและกนทงหมด 3 ค คอ

2x

y คกบ 2

logy x

3x

y คกบ 3

logy x

6x

y คกบ 6

logy x

โดยทแกนสมมาตรคอ y x สงเกตกราฟของแตละคดไดจากสทเหมอนกน


16

จากการพจารณากราฟของฟงกชนลอการทม

loga

y x เมอ 1a

เราไดขอสรปดงน

1. loga

y x เปนฟงกชนเพม

2. ทกกราฟผานจด (1, 0)

3. มจดรวมกน 1 จด คอ (1, 0)

4. loga

y x เปนฟงกชนหนงตอหนง จาก ทวถง

5. กราฟของ loga

y x ไมตดแกน y


17

ตอไปจะเปนการพจารณากราฟของฟงกชนลอการทม

loga

y x เมอ 0 1a


18


19


20

เราไดขอสรปจากการพจารณากราฟของฟงกชนลอการทม

loga

y x เมอ 0 1a

ดงน

1. loga

y x เปนฟงกชนลด


3. มจดรวมกน 1 จด คอ (1, 0)

4. loga

y x เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ทวถง

5. กราฟของ loga

y x ไมตดแกน y

เรามขอสรปรวมส าหรบฟงกชนลอการทม loga

y x ไมวา a จะอยในชวง (0, 1)

หรอ (1, ) กจะมลกษณะรวมกนดงน


2. ทกกราฟไมตดแกน Y

3. เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ทวถง


21


22

เพอชวยใหผเรยนไดคนเคยกบการแปลงฟงกชนลอการทมใหเปนฟงกชนเลขชก าลง ผสอนใหนกเรยนท าแบบฝกหดยอยตอไปนเพมเตมกได


จงแปลงฟงกชนลอการทมใหเปนฟงกชนเลขชก าลง 1.

5logy x

2. 13

logy x

3. loge

y x

4. 0.3

logy x

5. 2

logy x

ค าตอบ

1. 5y

x 2. 1

3

y

x 3. yx e

4. 0.3 yx 5. 2y

x


23

ผสอนอาจสอดแทรกแบบฝกหดยอยเพอชวยใหนกเรยนไดลองเปลยนจ านวนทอยในรปเลขยกก าลง ใหอยในรปลอการทม


1. จงเปลยนจ านวนทอยในรปเลขยกก าลงใหอยในรปลอการทม

1.1 52 32 ==

1.2 3 14

64 ==

1.3 40.0001 10 ==

1.4 45 625 ==

1.5 0874 1 ==

1.6 00.35 1 ==


24

2. จงเปลยนจ านวนทอยในรปลอการทมใหอยในรปเลขยกก าลง

2.1 3

log 81 4 ==

2.2 5

log 125 3 ==

2.3 4

1log 364

==

2.4 10

log 0.000001 6 ==

2.5 1

3

log 9 2 ==

2.6 53

log 1 0 ==

ค าตอบ

1. 1.1 2

log 32 5 1.2 4

1log 364

1.3 10

log 0.0001 4

1.4 5

log 625 4 1.5 874

log 1 0 1.6 0.35

log 1 0

2. 2.1 481 3 2.2 3

125 5 2.3 314

64

2.4 60.000001 10 2.5

219

3 2.6 053 1


25

2. สมบตทส าคญของลอการทม


26

2. สมบตทส าคญของลอการทม


27


28


29

ตวอยางขางตน เปนตวอยางซงสอดคลองกบสมบตทส าคญของลอการทมขอท 1 ซงคอ

log 1aa และ log 1 0

a

ผสอนควรใหนกเรยนตอบค าถามสนๆ ตอไปน

1. 5

log 5 2

log 2 0.75

log 0.75

7

log 7 12

1log

2 log

ee

2. 3

log 1 2

log 1 0.7

log 1

12

log 1 25

log 1 1

2

log 1


30

ตวอยางขางตนสอดคลองกบสมบตทส าคญของลอการทมขอท 2 และ 3

2. log log loga a aMN M N

3. log log loga a a

MM N

N


31

ผสอนควรใหนกเรยนตอบค าถามสนๆ ตอไปน

1. ให 4

log 7M และ 4

log 2N แลว 4

log MN

2. ให log 5 2p

และ log 7 4p

แลว log 35p

3. ให log 20 3a

และ 1log 4

2a แลว log 5

a

4. ให 2

log 8M และ 2

log 2N แลว 2

logN

M

5. ให 3

1log

2a และ

3

5log

3b แลว

3logb

a

ค าตอบ

1. 5 2. 2 3. 5

2 4. 6 5. 7

6


32

ตวอยางขางตนสอดคลองกบสมบตทส าคญขอท 4 และ 5

4. 1log logr aa

M Mr

, 0r

5. log logr

a aM r M

ถาเรารวมขอ 4 และ 5 เขาดวยกนจะได

log logp

q

aa

qM M

p , 0p


33

ตวอยาง 1. 3

625log 25 =

4

23

5

log 5 = 5

23log 5

4 =

1

6

2. 1

2

1log

2187 =

12

7

2

log 3 = 2

7log 3

1

2

= 2

14 log 3

เมอนกเรยนไดดสอทเกยวกบสมบตทส าคญของลอการทมแลว ใหนกเรยนไดลองท าแบบฝกหดยอยเพมเตมดงน


จงใชสมบตของฟงกชนลอการทมในการหาคาตอไปน

1. 2

log 512 2. 3

1log

27

3. 9

log 2187 4. 12

log 1024

5. 3

log 243 6. 125

log 625

7. 1

5

3log 25 8. 4 2

log log 256

ค าตอบ

1. 9 2. 3 3. 7

2 4. 10

5. 10 6. 4

3 7. 4

3 8. 3

2


34

3. ลอการทมสามญและลอการทมธรรมชาต


35

3. ลอการทมสามญและลอการทมธรรมชาต

โดยทวไปฐานของลอการทมทแทนดวย a ทนยมใชมากม 2 คา คอ 10a และ a e

ซงนกเรยนจะไดรจกชอเฉพาะของลอการทมทมฐานเปน 10 และ e และนกเรยนจะไดรวาเราอาศยลอการทมฐาน 10 นเองชวยในการค านวณคาลอการทมฐานอนๆ ได

ในการค านวณหาคาของลอการทมของจ านวนตางๆ เรามเครองมอทเรยกวา ตารางลอการทม ซงตารางดงกลาวไมสามารถบอกคาของลอการทมฐานตางๆ ไดครบถวน เรามเพยงตารางลอการทมฐาน 10 เทานน ซงกคอ ลอการทมสามญ เราจะใชตารางลอการทมสามญประกอบกบสมบตทส าคญของลอการทมในการค านวณคาลอการทมของจ านวนทมฐานตางๆ ทเหมาะสมได นกเรยนจะไดเรยนรวธการใชตารางและขอจ ากดบางประการของการใชตารางลอการทม โดยไมลมวาคาทไดยงคงเปนเพยงคาทใกลเคยงหรอเปนคาโดยประมาณ เพราะคาของลอการทมของจ านวนจรงบางครงอาจมคาเปนจ านวนจรงทมจดทศนยมมากกวา 4 ต าแหนง แตในตารางเราแสดงไวเพยง 4 ต าแหนงเทานน


36


37


38

เมอนกเรยนไดดสอซงแสดงวธใชตารางลอการทมในการหาคาของลอการทมของจ านวนจรง m ซง 1 10m และจ านวนจรง m นน ถามทศนยม 2 ต าแหนง กจะสามารถอานคาไดจาก

ตารางทนทโดยไมตองมกรรมวธประมาณคา ซงในสอขอไมกลาวถง เพอใหแนใจวานกเรยนเขาใจการอานคาของลอการทมจากตารางไดจรง ผสอนควรใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน

จงใชตารางลอการทมทก าหนดใหหาคาลอการทมตอไปน

1. log 2.78 2. log 1.05

3. log 9.18 4. log 8.92

นกเรยนคงทราบแลววา ถาเราตองการหาคาของ logaM เมอ M เปนเลขหลงลอการทม

และ a เปนจ านวนจรงบวก ซง 1a แตเรามตารางลอการทมฐาน 10 เทานน เราตองแปลงฐาน

a ใหเปนฐาน 10 เพอใหสอดคลองกบตารางลอการทม ซงในการแปลงเปนฐาน 10 เราอาศยความรตอไปน

10

10

loglog

loga

MM

a


39

เมอแปลง logaM เปนลอการทมฐาน 10 กยงเหลอคา M และ a ซงอาจไมสอดคลองกบตาราง

ลอการทม เรากจะแปลง M และ a ใหสอดคลองตอไป ขอใหนกเรยนดสอตอไป

ผสอนใหนกเรยนท าแบบฝกหดยอยตอไปน

จงเขยนจ านวนจรงทก าหนดใหในรป 10n

m เมอ 1 10 ,m n

1. 32.714 = 2. 0.15468 =

3. 5762.3 = 4. 0.002759 =

5. 65840 =

ค าตอบ

1. 13.2714 10 2. 1

1.5468 10 3. 35.7623 10

4. 32.759 10 5. 4

6.584 10


40


41

ผสอนใหนกเรยนฝกการหาคาลอการทมโดยอาศยตารางลอการทมจากแบบฝกหดยอยตอไปน


จงหาคาลอการทมตอไปน

1. log 0.0146

2. log 2870

3. log 0.0000379

4. 5log 379 10

5. log 146000

6. 3log 287 10

ค าตอบ

1. 1.8356 2. 3.4579 3. 4.4214

4. 7.5786 5. 5.1644 6. 0.5421


42


43

ใหนกเรยนไดท าแบบฝกหดเพมเตมดงตอไปน

แบบฝกหดเพมเตม

1. ก าหนดให log 3.84 0.5843 จงหาคา M เมอก าหนดให

1.1 log 2.5843M

1.2 log 2.4157M

1.3 log 2.9215M

1.4 log 1.1686M

2. ก าหนดให log 1.37 0.1367 จงหาคา M เมอก าหนดให

2.1 log 5.1367M

2.2 log 2.8633M

2.3 log 0.4101M

2.4 log 3.8633M

3. ก าหนดให log 0.4343e และ log 2.9 0.4624 จงหา

3.1 ln 29

3.2 ln 290

3.3 ln 0.0029

ค าตอบ

1. 1.1 23.84 10M 1.2 3

3.84 10M

1.3 53.84M 1.4 23.84M

2. 2.1 51.37 10M 2.2 3

1.37 10M

2.3 31.37M 2.4 41.37 10M

3. 3.1 10.643 3.2 5.6698

3.3 5.8429


44

สรปสาระส าคญประจ าตอน


45

สรปสาระส าคญประจ าตอน


46


47

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


48

แบบฝกหดระคน

1. ให 0a และ 1a ขอใดมคาเทากบ log (3 )a

ba

1. 3b 2. 3b

3. log 3a

b b 4. log 3a

b

2. ก าหนดให 10

log 30 1.4771 แลว 10

log 0.003 เทากบเทาไร

1. 41.4771 10 2. 2

0.4771 10

3. 9.4771 10 4. 7.4771 10

3. ผลบวกของค าตอบของสมการ 2 4 16

7log log log

2x x x และสมการ

4 3 2 33 6 3 1x x อยในเซตใด

1. [ 0, 3 ] 2. [ 2, 4 ]

3. [ 5, 8 ] 4. [ 1, 2 ]

4. เซตค าตอบของสมการ 2log ( 6 2) log ( 3) 1x x x เปนสบเซตของเซตใด

1. [ 0, 2 ] 2. [ 3, 5 ]

3. [ 6, 8 ] 4. [ 9, 11]

5. ก าหนดให {( , ) log( 2) log( 3) log(5 )}|f x y y x x x แลว

โดเมนของ f เปนสบเซตของเซตใด

1. ( 3, 4) 2. (2, 5)

3. (5, ) 4. (2, 3) (3, 5)

6. คาของ 3 47 7 7 7

log 7 log 7 log 7 log 7n

เปนเทาใด

1. ( 1)log 7n 2. ( 1)log 72

nn

3. ( 1)2

nn 4. ( 1)( 2)

2

n n


49

7. ก าหนดให 2 3

1 1 1log , log , log

2 2 2m n px x x และ 4

1log

2qx

แลว logmnpqx มคาเทาใด

1. 5

1

2 2.

10

1

2

3. 1

10 4. 1

30

8. คาของ 3 3 3

1 log 1 log 1 loga b cbc ac ab

เปนเทาใด

1. 3 2. 23

3. 33 4. 1

9. คาของ 4

52 33loglog log5 2

4 81 25 มคาเทาใด

1. 13 2. 7

3. 6 4. 5

10. ก าหนดให log 741 2.8698

ถา log 2.1302M แลว M มคาเทาใด

1. 2741 10 2. 3

741 10

3. 4741 10 4. 5

741 10


50

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


51

เฉลยแบบฝกหด

เรอง ฟงกชนลอการทม


1. 3 2. 4 3. 3 4. 3 5. 2 6. 4

7. 4 8. 1 9. 3 10. 4

แบบฝกหดท 1

แบบฝกหดท 2

1. 2 2. 1 3. 3 4. 4 5. 1 6. 1


1. 2 2. 3 3. 3 4. 2 5. 3 6. 4

7. 1 8. 2 9. 4 10. 2


52

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


53

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร การใหเหตผล ประพจนและการสมมล สจนรนดรและการอางเหตผล ประโยคเปดและวลบงปรมาณ สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง สมบตของจ านวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฏบทตวประกอบ สมการพหนาม อสมการ เทคนคการแกอสมการ คาสมบรณ การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน ความสมพนธ


54

เรอง ตอน ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน ฟงกชนเบองตน พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม เลขยกก าลง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม ลอการทม อสมการเลขชก าลง อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต อตราสวนตรโกณมต เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย ฟงกชนตรโกณมต 1 ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3 กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม ล าดบ การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต ลมตของล าดบ ผลบวกยอย อนกรม ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


55

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน การนบเบองตน การเรยงสบเปลยน การจดหม ทฤษฎบททวนาม การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล บทน า เนอหา แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 การกระจายของขอมล การกระจายสมบรณ 1 การกระจายสมบรณ 2 การกระจายสมบรณ 3 การกระจายสมพทธ คะแนนมาตรฐาน ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การถอดรากทสาม เสนตรงลอมเสนโคง กระเบองทยดหดได

Documents

40 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่3_ลอการิทึม