37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

บทน า

เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

สอการสอน เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม มจ านวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย 1. บทน า เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม 2. เนอหาตอนท 1 เลขยกก าลง

- เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม - เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ - เขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ

3. เนอหาตอนท 2 ฟงกชนเลขชก าลง - ฟงกชนเลขชก าลง - กราฟของฟงกชนเลขชก าลง - สมการเลขชก าลง

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนลอการทม - ฟงกชนลอการทม - กราฟของฟงกชนลอการทม - สมการลอการทม

5. เนอหาตอนท 4 อสมการเลขชก าลง - ทบทวนสมบตทส าคญของเลขยกก าลง - สมการและอสมการของเลขยกก าลง - ฟงกชนเลขชก าลงในชวตประจ าวน

6. เนอหาตอนท 5 อสมการลอการทม - ทบทวนสมบตทส าคญของลอการทม - สมการและอสมการลอการทม - ปญหาในชวตประจ าวนทเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

7. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 8. แบบฝกหด (พนฐาน 2)


2

9. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม หมวด บทน า จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนเขาใจทมา เกดความซาบซง เหนคณคาของคณตศาสตรเรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม ตระหนกถงความส าคญและประโยชน ตลอดจนบทประยกตของฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

วตถประสงคหลกของการจดท าสอบทน า: เพอใหผเรยนเกดแรงบนดาลใจในการเรยน

ไดเหนถงทมาและประโยชนของเนอหาทจะไดเรยนตอไป โดยมไดมงเนนทการทองจ าเนอหาหรอเรองราวตามทปรากฏในสอบทน า การใชสอบทน าจงควรใชเพยงประกอบในขนการน าเขาสบทเรยน หรอน าเสนอผเรยนกอนการจดการเรยนรในเนอหานนๆ และไมควรน าเนอหาในสอบทน าไปใชวดผลการศกษาหรอใชในการสอบ เพราะอาจท าใหการใชสอไมบรรลวตถประสงคทแทจรงตามทมาดหมายไว


4

บทสารคดและขอมลเพมเตม

หามไม ซงสาแหรก คณตศาสตร ถงวลาศ พสดาร สกปานไหน ณ วนหนง ยอมยงผล ชนน าไป

ประยกตใช ใหสอดรบ กบโลกจรง

นโคไล โลบาเชพสก


5

ปรากฏการณธรรมชาตหลายตอหลายอยาง ลวนผกพนกระหวดเกยวกบคณตศาสตรไดเกอบทงสน ทงทนกถงได นกถงไมได และนกถงยงไมได

คณตศาสตร คอภาษาสากลทสามารถน าไปใชอรรถาธบายปรากฏการณตางๆ ทงของโลกและจกรวาล และเครองมอส าคญทสนบสนนการแทนปรากฏการณนนๆ ดวยภาษาคณตศาสตร กคอการสรางฟงกชนนนเอง ประโยชนของการใชภาษาคณตศาสตรในการสอสารน จะท าใหเราสามารถเขาใจ ตลอดจนคาดการณปรากฏการณและผลของปรากฏการณ กอนทเหตการณตางๆ เหลานนจะเกดขนจรง

ความสามารถในการมองเหนอนาคตน แมเพยงร าไร แตกลบสงผลอยางมหาศาลตอการวางแผน ตงรบ บรหารจดการ ก าหนดนโยบายทงในเรองทวๆ ไปและเรองระดบนานาชาต ฟงกชนประเภทหนงทสามารถน าไปใชอธบายปรากฏการณตางๆ ไดมากมายหลายหลาก รวมถงปรากฏการณและสถานการณทงสามขางตน กคอกลมของฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทมนนเอง


6

ฟงกชนเลขชก าลงเปนฟงกชนทอยในรปของคาคงตวบวกทไมใชหนง ยกก าลงตวแปร ซงคาคงทนเปนปจจยส าคญทสงผลตอพฤตกรรมการเพมขนหรอลดลงอยางรวดเรวของคาของฟงกชน โดยมลอการทมเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขชก าลง

ในการค านวณการสลายตวของธาตกมมนตรงส สตรทใชจะเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลง เพราะธาตกมมนตรงสแตละชนด จะมครงชวตหรอชวงเวลาทใชเพอใหธาตสลายตวลงจนมปรมาณเปนครงหนงของปรมาณเดม ซงจะมเวลาแตกตางกนไปตามธาตนนๆ เชน คารบอน - 14 มครงชวต 5730 ป ยเรเนยม - 235 มครงชวต 4 ลานหาแสนป ซงสมบตเชนนยงถกน าไปใชในการตรวจสอบอายของวตถโบราณไดอกดวย


7

ในการก าหนดความแรงของธรณพบตภยแผนดนไหว เบโน กเทนเบรก (Beno Gutenberg) และชาลส ฟรานซส รกเตอร (Charles Francis Richter) ไดใชลอการทมของแอมพลจดของการสนเปนตวแทนปรมาณพลงงานทถกปลดปลอยจากการไหวของแผนดน โดยความแรงทเพมขน 1 รกเตอร จะหมายถงแอมพลจดของการสนทเพมขน 10 เทา เชน แผนดนไหวทสามารถวดคาได 5.0 ตามมาตรารกเตอรจะมแอพลจดการสนมากเปน 10 เทาของแผนดนไหวทวดคาได 4.0 รกเตอร

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B9%82%E0%B8%99_%E0%B8%81%E0%B8%B9%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B4%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%81

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%A5%E0%B8%AA%E0%B9%8C_%E0%B8%9F%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%8B%E0%B8%B4%E0%B8%AA_%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%A5%E0%B8%AA%E0%B9%8C_%E0%B8%9F%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%8B%E0%B8%B4%E0%B8%AA_%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1


8

ในดานนตวทยาศาสตร เนองจากระยะเวลาทเสยชวตมความสมพนธกบอณหภมของศพในรปของฟงกชนเลขชก าลง เราจงสามารถค านวณเวลาเสยชวตจากอณหภมของศพไดโดยใชฟงกชนลอการทม และในการน ถาหากอณหภมทควรจะเปนขดแยงกบค าใหการของพยานแลวละก พนกงานสอบสวนอาจตงขอสงเกตไดวา มความผดปกตบางอยางเกดขน

การน าฟงกชนเลขชก าลงและลอการทมไปประยกตใช ยงอาจพบไดอกในการค านวณการเพมลดประชากร การค านวณยอดเงนฝากในระบบอตราดอกเบยทบตน การค านวณการแพรของยาในกระแสโลหต การวดคาความเปนกรดเบสของสารเคม การวดความดงของเสยงในหนวยเดซเบล รวมถงรปแบบการหอยอยางอสระของสายไฟฟาระหวางเสาสองตน นอกจากนน สงทสามารถเหนเปนรปธรรมไดอยางชดเจน เชน สถาปตยกรรมGATEWAY ARC ทเมองเซนตหลยส ในประเทศสหรฐอเมรกา กสามารถแทนดวยฟงกชนทประกอบจากฟงกชนเลขชก าลงไดเชนกน

นอกจากบทบาทในดานการเปนตวแบบเชงคณตศาสตรแลว บทบาทส าคญอกประการหนงของฟงกชนเลข

ชก าลงและลอการทมกคอ ชวยใหการพฒนาเครองคดค านวณเปนไปอยางกาวกระโดด หลงจากหยดนงมานาน นบตงแตการผลตลกคดเมอครงโบราณ

ยอนกลบไปราวประมาณ 400 ป หลวงพอเนเปยร ไดรเรมแนวคดของลอการทม โดยตพมพผลงานซงม

เนอหาเกยวกบตารางคาลอการทมของคาไซนของมมตางๆ ตอมาเฮนร บรก ซงไดสนใจศกษาผลงานดงกลาว ไดเสนอแนวคดกบเนเปยร และรวมปรบปรงฐานของลอการทมใหงายตอการใชงานมากขน


9

เฮนร บรก ศาสตราจารยแหงมหาวทยาลยเกรสแฮม ลอนดอน ประเทศองกฤษ ไดสนใจศกษาผลงานชอ Mirfici logarithmarum canouis deseripyio ของ เนเปยร ซงตพมพตงแตป ค.ศ. 1614 ความนาสนใจของเนองาน ท าให บรก ไดขอพบเนเปยรและรวมพฒนาปรบปรงลอการทม ซงสวนหนงคอการเปลยนลอการทมเปนฐานสบ ซงในปจจบนเรยกวา ลอการทมสามญ หรอ ลอการทมแบบบรก นอกจากน บรก ยงเปนผคดและบญญตค าวา แมนทสซา (ภาษาละตน หมายถงการบวก) และแคแรก เทอรสตก


10

ถงกระนนกตาม ในครงนน การน าลอการทมไปใช ยงคงตองอาศยตารางลอการทมซงท าใหไมสะดวกในการคดค านวณ จงมการพฒนาเครองมอในลกษณะของไมบรรทดทมสเกลพเศษเพอใชแทนตารางลอการทม ซงเรยกวา สไลดรล การพฒนาเครองมอทชวยในการค านวณครงนเอง ทนบวาเปนจดเปลยนครงส าคญ ทผลกดนใหนกคณตศาสตรหลายตอหลายทาน พยายามพฒนาเครองชวยค านวณทมประสทธภาพสงยงขน จนกลายเปนคอมพวเตอรอยางในปจจบนในเวลาตอมา


11

เนองมาจากตารางลอการทมใชงานไมสะดวก ในป ค.ศ. 1620 หรอราวสป หลงจากมการแปลผลงานของ เนเปยร จากภาละตน เปนภาษาองกฤษ เอดมนต กนเตอร (Edmund Gunter, ค.ศ. 1581 - 1626) ไดพฒนา สเกลของกนเตอร ซงเปนการน าคาลอการทมฐานสามญมาสรางเปนไมบรรทดทสามารถใชด าเนนการ บวก ลบ คณ หาร โดยอาศยวงเวยนวด จากนนอก 2 ป วลเลยม ออตเทรด (William Oughtred, ค.ศ. 1574 - 1660) จงไดประดษฐ สไลดรล ซงมลกษณะคลายไมบรรทดลอการทมสองอนวางประกบกนและเลอนไปมาได นอกจากนยงมนกประดษฐ นกคณตศาสตร อกหลายทานทรวมพฒนาสไลดรลใหมประสทธภาพมากขน เชน เซอร ไอแซก นวตน (Sir Isaac Newton, ค.ศ. 1643 - 1727) โรเจท (Peter Mark Roget, ค.ศ. 1779 - 1869) อามด แมนไฮม (Amedee Mannheim, ค.ศ. 1831 - 1906)


12

ภาคผนวกท 1 แผนภาพแสดงความสมพนธ

เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม


13

ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม

เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ

ฟงกชนเลขชก าลง

ฟงกชนลอการทม

ความหมายและสมบต

ความสมพนธ

กราฟ

การแกสมการ

การแกอสมการ

ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม ในชวตประจ าวน


14

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


15

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


16


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


17


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

37 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม บทนำ