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1.4 AXIOMAS Y TEOREMAS DE ORDEN DE LOS NUMEROS REALES
María Concepción González Enríquez
Otra parte importante de la estructura de los números reales es lo que
llamamos el orden de los números.
AXIOMAS DE ORDEN
En R existe una relación de orden denotada por el símbolo “<” ba se lee “ a es menor que b ” y es equivalente a ab lo cual se lee “
b es mayor que a ”
Para cualesquiera cba ,, números reales se satisfacen los siguientes
axiomas de orden:
O1) Ley de tricotomía bababa o o O2) Suma y desigualdades
Si ba entonces cbca
O3) Multiplicación por un número mayor que cero
Si 0y cba entonces bcac
O4) Propiedad transitiva
Si cbba y entonces ca
De estas propiedades básicas se pueden deducir las siguientes propiedades
muy útiles en cálculo.
TEOREMAS DE ORDEN. Para números reales cba ,, se satisface:
1. Si dcba y entonces dbca .
2. Si ba entonces ab .
3. Si 0y cba entonces acbc .
4. Si 0a entonces 02 a
5. Si dcba 0y 0 entonces bdac
6. i) Si ba y son del mismo signo, entonces 0ab .
ii) Si ba y son de signo contrario, entonces 0ab .
7. Si 0a entonces 1a tiene el mismo signo de a .
8. Si ba y son del mismo signo y ba , entonces 11 ab .
9. Para ba 0y 0
ba si y solo si 22 ba .
10. Para a0
2ba si y solo si baab o .
11. Para a0
2
ab 2 si y solo si aba .
Demostraciones.
1. Si dcba y entonces dbca
Como ba entonces cbca por O2)
y dc entonces dbcb por O2)
Ahora cbca y dbcb , entonces dbca por O4).
2. Si ba entonces ab .
ba implica )()( abaa por O2)
)(0 ab por inverso aditivo
))(()(0)( abbb por O2)
)())(( abbb neutro aditivo y asociatividad
)(0 ab inverso aditivo
ab neutro aditivo.
3. Si 0y cba entonces acbc .
Como 0c entonces c0 por teorema anterior,
Luego cba 0y implica )()( cbca por O3) y
bcaccbca si soloy si )()( por teorema 7
Si bcac , entonces acbc por teorema anterior.
4. Si 0a entonces 02 a
Si 0a entonces 0 o 0 aa por O1).
Caso: 0a y 0a aplicamos O3):
0aaa 02 a por teorema 2 de campo
Caso: 0a entonces 0a por teorema 2. de orden,
)(0)( aaa por O3
02 a por teorema 2 de campo
02 a por teorema 2. de orden.
5. Si dcba 0y 0 entonces bdac
Caso: 0c , bdac 0 se satisface.
Caso: c0 y como ba entonces bcac por O3)
Además dcb y 0 implica bdbc por O3) y
Por transitividad si bcac y bdbc , entonces bdac .
3
6. i) Si ba y son del mismo signo, entonces 0ab .
Caso: a0 y b0 entonces abb .0 por O3) por tanto 0ab .
Caso: 0 a y 0b entonces
0 b y ).(0)( bba por O3)
0ab por teoremas
por tanto 0ab por teorema 2 de orden.
ii) Si ba y son de signo contrario, entonces 0ab .
Caso: a0 y 0b entonces 0.aab por O3)
por tanto 0ab .
En forma similar el otro caso.
7. Si 0a entonces 1a tiene el mismo signo de a .
Sea 0a si 1a tiene signo contrario al de a , por el teorema 6
anterior, 01 aa ,
pero 011 aa , lo que es una contradicción,
por lo tanto 1a tiene el mismo signo de a .
8. Si ba y son del mismo signo y ba , entonces 11 ab .
Caso: ba 0
Por el teorema 7 anterior 11 0y 0 ba
Por lo que
baaa 11 multiplicamos la hipótesis por 1a
ba 11 inverso multiplicativo
1111 bbab multiplicamos ambos lados por 1b
111 ab neutro multip. asociativ. Inverso multip.
11 ab neutro multiplicativo
Caso: 0 ba
Por el teorema 7 anterior 0y 0 11 ba
Por lo que
baaa 11 multiplicamos la hipótesis por 1a
Cambia la desigualdad porque 01 a
ba 11 inverso multiplicativo
1111 bbab multiplicamos ambos lados por 01 b
111 ab neutro multip. asociativ. Inverso multip.
11 ab neutro multiplicativo
9. Para ba 0y 0 ,
ba si y solo si 22 ba .
Sean ba 0y 0
4
→) ba hipótesis
ab 0 y
También ba 0y 0 implica ab0
Por lo que ))((0 abab
Esto es 220 ab , o
22 ba .
10. Para a0
2ba si y solo si baab o .
Caso: b0
Escribimos 2)( aa , luego 22)( baa ,
Por teorema anterior 22)( baa si y sólo si ba
Caso: 0b , b0
2)( aa , luego 22 )()( baa ,
Por teorema anterior 22 )()( baa si y sólo si ba
O ab .
11. Para a0
ab 2 si y solo si aba .
Caso: b0
ab 2 si y sólo si ab
Caso: 0b , b0
ab 2)( si y sólo si ab
O ba
Por lo tanto aba .
Intervalos de números reales.
Una clase importante de subconjuntos de números reales son los llamados
intervalos y tenemos:
Para Rba
Intervalo cerrado bxaRxba :,
Intervalo abierto bxaRxba :,
Intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha bxaRxba :,
Intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha bxaRxba :,
5
Intervalos infinitos a la izquierda bxRxb :, bxRxb :,
Intervalos infinitos a la derecha xaRxa :, xaRxa :,
Ejemplos.
Resuelva las siguientes desigualdades:
1. 4531 x Iniciamos con 4531 x
136 x sumamos a los tres términos 5 y aplicamos O2
3/12 x multiplicamos los tres términos por 3/1 y
aplicamos O3
Solución:
3
1,2
2. 03
142
x
Iniciamos con 03
142
x
0146 x multiplicamos por 3 y aplicamos O3
147 x sumamos 5 de y aplicamos O2
4/14/7 x mulitiplicamos por 4/1 y aplicamos O3
Solución:
4
1,
4
7
3. 75
233
x
Iniciamos 75
233
x
352315 x multiplicamos los tres términos por 5 y
aplicamos O3
32212 x sumamos -3 y aplicamos O2
616 x multiplicamos por y aplicamos O3
4. 41
23
x
x
Caso: xxxx
xx
1
64423
110
Caso: 664423
101
x
xxx
xx
Solución ),1()6,(
5. 018112 xx
6
018112 xx 18112 xx 22
2
2
1118
2
1111
xx
4
49
4
72121
4
12118
2
112
x
2
7
2
11x o
2
7
2
11x
2x o 9x
En intervalos ),2()9,( .
6. 762 xx
762 xx 97962 xx 16)3( 2 x
434 x 17 x
En intervalo )1,7(
7. xx 8122
xx 8122 1282 xx 16121682 xx
4)4( 2 x
24 x o 24 x
6x o 2x
En intervalos ,62,
8. 062 2 xx
032
2 x
x
16
13
16
1
2
2 x
x
2 o 2
3
4
7
4
1 o
4
7
4
1
16
49
4
12
xx
xx
x
9. xx 916 2
xx 916 2 0916 2 xx 016
92 xx
7
22
2
32
9
32
9
16
9
xx
22
32
9
32
9
x
32
9
32
9
32
9 x
16
90 x
10. Una constructora quiere decidir por un modelo de gruas, la de tipo
A cuesta $50 000 y necesita $4000 anuales para mantenimiento. El
modelo B cuesta $40000 pesos y necesita $5500 de mantenimiento
anual. ¿Durante cuántos años debe usarse el modelo A para que sea
más económico que el B?
Denotamos con x el número de años que debe usarse el modelo A
para que sea más económico que el B, entonces la desigualdad a
resolver es
xx 5.540450 consideramos en miles las cantidades
x
xx
xx
3
20
2
35.110
45.54050
Por lo tanto deben pasar 6.63
20 años para que sea más económico
comprar la grua de tipo A.
1.5 VALOR ABSOLUTO
El concepto de valor absoluto en los números reales es importante, para
manejar los conceptos de límites, continuidad y demás temas centrales del
cálculo diferencial e integral.
Definición. Para un número real a , su valor absoluto se denota por a
Y se define como
0 si ,
0 si ,
aa
aaa
Esta definición contempla dos casos, los mismos que deben aplicarse
siempre que tengamos el valor absoluto de cualquier expresión-
Propiedades del valor absoluto. Para números reales ba, se satisface:
1. Si a0 , 0 si sóloy si 0 aa .
2. baab
3. aa
8
4. aaa
5. baba desigualdad del triángulo
6. ba si y sólo si baba o
7. ba si y sólo si bab
8. Para b0 , ab si y sólo si abba o
9. baba
Demostraciones.
1. Si a0 , 0 si sóloy si 0 aa
Caso: a0 , por definición 0 aa
Caso: 0a , 0a y por definición 0 aa
Por lo tanto a0 .
Ahora, si suponemos 0a y 0a
Entonces 0 o 0 aa y
0 aa o 0 aa
Contradiciendo que 0a .
Por lo tanto, si 0a entonces 0a ,
Inversamente, si 0a
Por definición 0a .
2. baab
Caso:
baababbabbaa
abababba
, ,
,00 o 0
Caso:
baababbabbaa
abababba
, ,
,00 o 0
3. aa
Caso: a0 , por definición aa y
0 a por lo que aaa )(
así aa
Caso: 0a , por definición aa
0a por lo que aa
9
y también aa .
4. aaa
Caso: a0 , por definición 0 aa y
considerando inversos aditivos, 0 aa
por lo que aaa 0
Caso: 0a , por definición aa y
considerando inversos aditivos, 0 aa
por lo que aaa 0
5. baba
Empezamos con la expresión del lado izquierdo elevada al cuadrado,
por que nos facilita el manejo de propiedades adecuadas 222
)()( bababa propiedad 2 anterior
22 2 baba propiedad distributiva 22 2 baba propiedad 4 anterior 22
2 baba definición de valor abs.
2ba propiedad distributiva
Y extrayendo raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos baba .
6. ba si y sólo si baba o
Caso: a0 , por definición aa , por lo que baa
Caso: 0a , aa , por lo que aab
7. b0 , ba si y sólo si bab .
La condición b0 es porque un valor absoluto por ser mayor o igual a
cero no puede ser menor que un número negativo.
Caso: a0 , por definición aa , por lo que baa
Caso: 0a , aa por lo que aab así ab
Por lo tanto bab .
8. ab si y sólo si abba o .
Caso: a0 , por definición aa , por lo que baa
10
Caso: 0a , aa , por lo que aab o ba
Por lo tanto abba o .
9. baba
Se tiene
bbabbaa por la desigualdad del triángulo
Implica baba
Y también
aabaabb
Implica abab
Como baab tenemos baab y abba
Así que baabba
Por el teorema 7, baab y
baabba .
En particular podemos describir un intervalo abierto o cerrado de números
reales con una relación que involucra el valor absoluto:
bxaRxba :, se describe como 22
abbax
Demostración.
bxa
baabx
baab
abbax
ab
abbax
2222
222
22
En forma similar
bxaRxba :, se describe como 22
abbax
Ejemplos.
1. 64 x
10 o 264 o 64 xxxx
2. 134 xx
134 o 134
3
1 ,013
xxxx
xx
11
2
5
3
1
4
3 o
2
5
34 o 52
xx
xx
xx
3. 49 x
)5,13( o 513
494
x
x
4. 68 x
,142,
o 2 o 14
68 o 68
xx
xx
5. 1153 x
16,6166
11511115
),8()2,(
235o
853
53
x
xx
xx
xx
x
Solución 16,82,6
6. 7245 x
5
11
5
29
5
94
5
9
5
94
945
xxx
x
7. 2 , 163
4
x
x
3
2 o
3
10
23 o 310
463 o 634
634
xx
xx
xx
x
Solución
,
3
10
3
2,
8. xx 84
Primera condición x 80 o 8x
12
2y
42y 48
84y 48
848
xR
x
xxxx
xxx
Por lo tanto 2x y 8x
Solución 2,8,2,
9. 5625 xx
11
33112556
75625
5
2250
xxxx
xxx
xx
Solución x5
2
10. 121 xx
Caso 24213221
02 ,01
xxxxx
xx
Caso 1121
02 ,01
xx
xx no hay solución
Caso 1121
02 ,01
xx
xx no hay solución
Caso 12213221
02 ,01
xxxxx
xx
Solución ),2()1,(
11. 533 xx
22 o 14 o 14
4 o 14
59 o 59
59
22
22
2
xxx
xx
xx
x
Solución ),14()2,2()14,(
BIBLIOGRAFIA
Haaser, N.; LaSalle, J. y Sullivan, J. (1990). Análisis Matemático Vol. 1. Trillas.
Spivak Michael. (2012). Cálculus. Ed. Reverte.
13
Bartle. (2004). Introducción al Análisis Matemático. Ed Limusa.
Swokowski, Cole. (2009). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo
editorial iberoamérica.
