TEMA 0-ficus.pntic.mec.es/~jgog0066/TEMA0.doc · Web viewA partir de un sistema formal (definiciones, axiomas, postulados, otros teoremas y proposiciones), y mediante un proceso lógico-deductivo,

Curso 2005-06. IES Ildefonso Serrano. Departamento de Matemáticas.

TEMA 0-. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATEMÁTICA.

Profesor: José Juan González Gómez

Si algo he conseguido, es porque me he encaramado a

hombros de gigantes.

Isaac Newton

ÍNDICE.

1-. EL CONCEPTO DE “MATEMÁTICA”.

2-. LA VERDAD MATEMÁTICA Y SU RIGOR COMO CIENCIA.

3-. LA INTUICIÓN Y LA CREACIÓN EN LAS MATEMÁTICAS.

4-. FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA.

5-. LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA.

5.1-. El Método Axiomático. Los elementos de Euclides.

5.2 La “reducción al absurdo”.

5.3 La inducción natural completa.

5.4 La deducción matemática.

5.5 Búsqueda de contraejemplos.

6-. REPRESENTACIÓN Y SIMBOLISMO MATEMÁTICO

7-. LA MATEMÁTICA DE LAS APLICACIONES.

8-. EL PAPEL DE LA MATEMÁTICA EN NUESTRA CULTURA

BIBLIOGRAFÍA.

1-. EL CONCEPTO DE “MATEMÁTICA”.

Matemática (del lat. matemática, y éste del gr. mazematike, ciencia, conocimiento, aprendizaje).

Ciencia que se encarga del estudio de entes abstractos (números, figuras geométricas,...) y del análisis de los patrones en las estructuras de los mismos, así como de las relaciones entre ellos. Entendiendo por patrón a una forma, modelo, simulación o paradigma (o, en general, un conjunto de reglas) que pueden ser usadas para crear o generar entidades o partes de una entidad.

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Algunos matemáticos (mathematikós: amante del conocimiento) se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias», aunque ella misma no se considera una ciencia natural, basada en la experiencia sensible. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una útil herramienta para cálculos frecuentes (sentido aplicado). Otros matemáticos estudian sus áreas de preferencia simplemente por razones estéticas, viendo así la matemática como una forma del arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan a la postre sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física.

La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que la matemática es el estudio de los «entes y símbolos». Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas axiomáticamente utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.

No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. No obstante, las teorías modernas apuntan a que los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como la matemática y los lenguajes de programación) son estructuras con naturaleza básicamente diferente.

La matemática es una exploración de ciertas estructuras omnipresentes y más o menos complejas que aparecen en nuestra realidad y que admiten ese acercamiento racional, manipulable mediante símbolos, que pone en nuestras manos un cierto dominio de la realidad a que se refieren y que llamamos matematización. La matemática se acerca a la multiplicidad de las cosas y crea la aritmética, se aproxima a forma y se origina la geometría, explora el propio símbolo surgido en la mente y nace el álgebra, analiza los cambios y transformaciones en el espacio y en el tiempo y surge el análisis matemático,... Explora también mundos que se contraponen a la intuición (geometrías no euclideas, teoría de Fractales, teoría del Caos...). Podemos entenderla como un gran árbol en continuo crecimiento con ramas milenarias (Aritmética y Geometría), otras más nuevas (Análisis, Topología, Estadística...), y con nuevas tendencias y teorías que se conforman en brotes que serán (o no) nuevas ramas.

Podemos decir, no obstante, que las disciplinas matemáticas fundamentales son:

1. Aritmética. 2. Geometría.3. Álgebra.4. Análisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye la

geometría analítica y el cálculo (diferencial e integral).5. Topología.6. Estadística y Cálculo de Probabilidades.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma


Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia se relaciona con consideraciones físicas. Aunque la tendencia moderna es a fusionar ambas concepciones, ya que suele pasarse de una a otra en multitud de casos.

2-. LA VERDAD MATEMÁTICA Y SU RIGOR COMO CIENCIA.

Parece que sólo las ciencias matemáticas ofrecen verdades incuestionables, al ser obtenidas a partir de sistemas formales independientes de toda experiencia natural. Por un lado dichas verdades no son triviales (normalmente) y por otro alcanzan el ideal de verdad absoluta que el más exigente científico puede apetecer (necesidad y universalidad). Basta echar un vistazo a alguna revista especializada en matemáticas para ver que los teoremas publicados son teorías muy elaboradas, cuya comprensión requiere unos estudios especializados de varios años. No obstante el progreso de la Matemática ha puesto de manifiesto numerosas dificultades, y los trabajos sobre los fundamentos matemáticos, realizados en el s. XX, nos hace cautos y pone en duda nuestra convicción acerca de la absolutez de las verdades matemáticas: no existe para el hombre la verdad absoluta ni siquiera en las matemáticas.

Parece ser esencial a la noción de verdad matemática la progresiva situación alcanzada por la Matemática, la Filosofía Matemática y la Ontología: todas las cuales no parecen tender en el tiempo hacia algo acabo y definitivo, incontrovertible y cerrado en sí mismo, sino posiblemente se hallan sumergidas en un proceso dinámico siempre abierto.

Tradicionalmente se ha visto en la Matemática la ciencia fundamental que permea todas las demás ciencias, las cuales aparecen como tales en la medida de su matematización. Entendemos, como más adelante se afirma, que la lógica es posterior a la Matemática, o en todo caso, parte de la misma. Las Matemáticas constituyen la estructura formal de todas las ciencias, y las impregna de armazón lógico-deductivo. No obstante, como más adelante se expone, los sistemas formales que utiliza la matemática tienen límites, que hacen que los sistemas de verdades inferidos deban entenderse ciertos salvo en sus cimientos, donde hemos de realizar un auto de fe.

La Matemática aplica, con sumo rigor, el método racional; pero no será hasta el s. XX en que matemáticos como Frege, Hilbert, Brouwer y otros dan una satisfactoria explicación de la naturaleza de esta racionalidad del método matemático, aunque siguiendo distintas vías y sistemas filosóficos (formalismo, intuicionismo, etc...). El sistema más extendido hoy día es el formalismo matemático.

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3-. LA INTUICIÓN Y LA CREACIÓN EN LAS MATEMÁTICAS.

Las matemáticas que figuran en cualquier libro de texto aparecen al estudiante como algo definitivo y cerrado: antes de conocer el teorema de Pitágoras podía existir cierta curiosidad por saber si el cuadrado de un lado del triángulo rectángulo es mayor o menor que la suma de los cuadrados de los otros dos; una vez descubierto, la curiosidad se desvanece.

A pesar de lo que pueda parecer, una de las notas propias más importantes de la matemática moderna es su exigencia extraordinaria de intuición y creatividad. Entendamos esto con un símil: una demostración podría ser como el sol luminoso que convierte una flor en un fruto, pero ello no sucede sin que simultáneamente y a partir del mismo proceso de maduración surjan nuevas flores y despuntes yemas que puedan originar incluso nuevas ramas de la Matemática. La demostración definitiva mata la curiosidad previa, pero en compensación despierta nuevas sugerencias y conjeturas, de modo que la periferia del árbol de la matemática (frontera del saber matemático) ha aumentado a lo largo de la historia y todavía lo sigue haciendo.

El mismo proceso de demostración de un teorema no deja de tener gran valor en sí mismo. Si bien es verdad que destruye la previa expectación, también lo es que la demostración en sí misma tiene un valor estético y artístico, en tanto que se trata de un proceso que transforma los datos amorfos de partida en una estructura cristalina de resultado.

4-. FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA.

La matemática griega se centrará en el hecho de que la raíz última de método matemático parece, pues, que hay que ponerla en la aplicación de esa actividad típica y peculiar de la inteligencia: el razonamiento. Para un conocimiento del método matemático resulta imprescindible la experiencia personal de su ejercicio; como sucede con el conocimiento propio del color rojo, para lo cual las descripciones o definiciones son insuficientes y se requiere la vivencia de su visión. Los griegos recogen la matemática de civilizaciones anteriores (babilonios, egipcios) que habían resuelto ya ecuaciones de segundo grado (vg.). Pero en el hecho de la matemática griega hay, además de la formación de sistemas de verdades profundos y coherentes, la determinación de la entidad de los objetos matemáticos de una forma tan peculiar. Estos objetos aparecen espontáneamente en nuestra mente, como si súbitamente fuesen descubiertos o creados por ella, sin relación con el tiempo y el espacio, de modo que nos es fácil distinguir entre el polígono convexo regular inscrito en una circunferencia y con 123456 lados, del mismo polígono con 123457 lados. Todo ello en evidente oposición a los objetos del mundo sensible que nos son familiares a través de nuestros sentidos, que no suelen ser ni perfectos ni regulares ni responden fácilmente a modelos matemáticos.

En el sexto libro de la República, Platón sostiene que el carácter esencial de la matemática consiste en la naturaleza y grado peculiares de su abstracción, que es mayor que la de la física, pero menor que la abstracción de lo que hoy llamamos filosofía. Leeremos a continuación un fragmento de la República (coloquios VI y VII) donde se hace patente todo lo que venimos diciendo (ver aparte). Más adelante se describirá, como obra cumbre de la Matemática que es, el método axiomático que Euclides de Alejandría siguió en sus Elementos.

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5-. LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA.

La Matemática posee un método propio de trabajo, que consiste en la obtención de consecuencias necesarias y suficientes a partir de diferentes situaciones hipotéticas. Ésta es su esencia y su definición, que no debe coincidir con la de la lógica deductiva: según R. Dedekind, la Matemática es una rama de la lógica pues “es la ciencia de la obtención de conclusiones necesarias” (lo cual coincidiría con la lógica deductiva); aunque realmente es más “la ciencia que obtiene conclusiones necesarias”, valiéndose de dicha lógica.

El matemático se interesa intensamente por métodos de razonamiento eficaces, considerando su posible ampliación a nuevos problemas; pero, qua matemático, no se molesta en analizar detalladamente las partes de su método cuya corrección es cosa admitida. Los diferentes aspectos que toma el álgebra de la lógica para las dos profesiones es instructiva a este respecto. El matemático se pregunta qué valor tiene esa álgebra en tanto que es cálculo. ¿Puede aplicarse para desenmarañar una cuestión complicada? ¿Producirá rápidamente alguna consecuencia remota? Al lógico no le interesa que ese álgebra tenga tal carácter. Por el contrario, el mayor número de pasos lógicos distintos en que el álgebra de la lógica descompone la inferencia constituye para él una superioridad respecto de otros cálculos que avancen más rápidamente hasta la conclusión. Lo que el lógico pide es que esa álgebra analice un razonamiento hasta sus pasos más elementales. Así pues, lo que para uno de esos dos profesionales es un mérito del álgebra lógica es un defecto para el otro. El uno estudia la ciencia de la obtención de conclusiones, el otro la ciencia que obtiene conclusiones necesarias.

Por tanto, todo en ella, excepto los primeros preceptos para la construcción de las hipótesis, tiene que ser de la naturaleza de la inferencia apodíctica1. Sin duda podemos razonar imperfectamente y saltar sin justificación a una conclusión; pero aun así la conclusión conseguida no significa en todo caso sino que dada cierta situación real, algo sería necesariamente verdadero. A la inversa, toda inferencia apodíctica es, hablando estrictamente, matemática. Pero la matemática, como ciencia seria, tiene, por encima de su carácter esencial, el ser hipotética, una peculiaridad característica accidental -un proprium, como decían los aristotélicos- que presenta el mayor interés lógico. Se trata de lo siguiente: aunque todos los "filósofos" siguen a Aristóteles en la doctrina de que la única demostración plenamente satisfactoria es la que llaman directa, o demostración quia o de por qué -una demostración que no usa más que conceptos generales y no concluye sino algo que quedaría absorbido por una definición si todos sus términos estuvieran precisa y explícitamente definidos-, los matemáticos, por el contrario, desprecian ese estilo de razonamiento y aprecian la demostración que los filósofos estigmatizan como "meramente" indirecta, o demostración quod o de qué.

A continuación se exponen resultados básicos de la lógica proposicional que el alumno debe conocer, pues se aplicarán en la demostración de algunos teoremas matemáticos a lo largo de este curso.

1 Que no admite contradicción ni discusión.

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Entenderemos por proposición a una afirmación efectuada en términos inequívocos que puede ser verdadera o falsa. Demostrar una proposición consiste en dar una sucesión coherente de pasos lógicos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis (conjeturas, supuestos a priori) permite asegurar la veracidad de una tesis (lo que se pretende demostrar).

Estos pasos deben estar fundamentados teóricamente (ya sea por un sistema de axiomas o por un conjunto de proposiciones-teoremas anteriormente demostrados):

El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Si una proposición P trae como consecuencia otra P`, diremos que P implica P`, denotándolo como sigue:

P P´

En este caso si P es verdadera también lo es P`.Suelen darse en Matemáticas numerosas cadenas de implicaciones, en el desarrollo de las diferentes teorías que la conforman, desde un punto de vista totalmente lógico-deductivo:

P P´

P´ P´´

Diremos que dos proposiciones son equivalentes cuando de una pueda inferirse la otra, y viceversa, en cuyo caso escribiremos:

A B

En este caso, si sabemos que B es cierta, también lo será A, ya que son equivalentes.

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TEOREMA:

HIPÓTESIS TESIS

Teorema de Pitágoras. En el espacio euclideo, se verifica la siguiente relación entre los lados de un triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2

P P´´

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tesis_(matem%C3%A1tica)&action=edit

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hip%C3%B3tesis_(matem%C3%A1tica)&action=edit


Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:

Demostración por contraejemplos. Demostración por reducción al absurdo. Inducción matemática completa. Deducción (cadena de implicaciones, equivalencias...). Demostraciones automáticas: existen técnicas computacionales que permiten

hacer demostraciones sobre todo en el campo de las ecuaciones numéricas y diferenciales, y en la Teoría de Juegos y de Grafos.

Por otra parte el matemático busca y halla frecuentemente el cambio de un problema reducido que supone excepciones particulares por un problema más amplio y libre de ellas: no se puede negar, por ejemplo, que el ajedrez es matemática en un cierto sentido; pero, a causa de las excepciones particulares con que el matemático tropieza por todas partes en él -los límites del tablero, los particulares movimientos del rey, el caballo y el peón, el número finito de casillas, el particular modo de matar de los peones, el enroque, etc.-, resulta una matemática de alas cortadas, que no puede sino corretear por el suelo.

5.1-. El Método Axiomático. Los elementos de Euclides.

El razonamiento matemático debe ser llevado de tal modo que engendre convicción en el que lo ejercita, que obligue al asentimiento y cree una certeza necesaria en el sujeto. En el método axiomático es necesario apoyarse en proposiciones que no sean absolutamente convincentes, o susceptibles de ser demostradas. Habrá que especificar dicho sistema de proposiciones e indicar que el sistema de verdades que se está construyendo está basado en la admisión (auto de fe) de esas proposiciones que no se imponen per se. Estas proposiciones son de dos clases:

a-. Los axiomas o nociones comunes, que afectan a todas las ciencias y a todo razonar.

b-. Los postulados, que solo afectan a la ciencia, teoría o sistema de verdades que se está construyendo.

En Los Elementos de Euclides se establecen nueve axiomas (o nociones comunes) para la geometría:

1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.3. Si a cosas iguales se sustraen cosas iguales, las diferencias son iguales.4. Cosas que pueden llevarse a ser congruentes son iguales.5. El todo es mayor que la parte.

y cinco postulados (premisas referidas únicamente a la geometría):

1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto. 2. Un segmento rectilíneo puede ser indefinidamente prolongado. 3. Existe una única circunferencia con un centro y diámetro dados.

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4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Postulado de las paralelas: Si una secante corta a dos rectas formando a un

lado ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos rectas suficientemente prolongadas se cortan en este mismo lado.

Actualmente se llaman sencillamente axiomas a los principios que se aceptan sin demostración al desarrollar una teoría. O mejor aún, los axiomas caracterizan y definen la estructura que estudie la teoría en cuestión. Así, hablamos de los axiomas de grupo, los axiomas de anillo, los axiomas de la geometría proyectiva, de la geometría afín o de la geometría euclídea, etc. El método axiomático será, pues, el que se basa en la utilización de axiomas y postulados en el desarrollo de la base de una teoría o sistema de verdades, que deben ser independientes unos de otros, y con un carácter universal.

Nos falta ahora definir la familia de objetos matemáticos, que deben ser requisito para el comienzo del discurso matemático. La solución proporcionada por Euclides es suministrar de antemano una colección de entidades matemáticas mediante definiciones, descripciones que deben excitar en la mente del lector la idea u objeto matemático, cuya definición exacta e independiente debe parecer a los griegos como imposible y en ocasiones ciertamente ridícula. Ejemplos de definiciones son:

1-. Un punto es aquello que no tiene partes.

2-. Una línea es una longitud sin anchura.2

3-. Las extremidades de una línea son puntos.

4-. Una recta es una línea que yace por igual respecto todos sus puntos.

5-. Rectas paralelas son aquellas que, estando en el mismo plano, por más que se prolonguen en ambos sentidos nunca se encuentran.

A lo largo de la historia numerosos matemáticos dedicaron su vida, infructuosamente, a demostrar que el postulado de las paralelas podía ser inferido a partir de los anteriores. Aunque la estructura de los Elementos es extraordinariamente lógica en el sentido moderno, en Euclides no aparece referencia alguna a reglas lógicas de inferencia, ya que posiblemente no se considerasen un requisito para la matemática, sino más bien como un producto espontáneo de la misma. Naturalmente, en los Elementos también se encuentran algunas insuficiencias y puntos oscuros:

a-. Defectos producidos por las definiciones: la definición de recta es igualmente conveniente a una circunferencia, a ciertas espirales y a la hélice. Los verdaderos objetos matemáticos son solamente sugeridos o “iluminados”· como afirma Aristóteles (ver texto) mediante las figuras que se hacen y las definiciones.

b-. La distribución entre postulados y nociones comunes dista de ser clara. Además, algunas definiciones tienen también carácter de postulado: por ejemplo, la definición cuarta del libro V afirma que “dos magnitudes forman razón cuando cada una admite un múltiplo que es mayor que la otra” es equivalente al actualmente llamado “postulado de Arquímedes”.

2 Línea aquí se entiende como curva, finita o indefinidamente prolongable.

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c-. La lista de postulados es insuficiente; así, la proposición I del libro I supone, sin que pueda derivarse de la lista de axiomas y postulados previos, que dos circunferencias, cada una pasando por el centro de la otra, se cortan en dos puntos. Faltan, además, postulados de orden.

d-. Falsedad de la proposición 16 del libro I: “en todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores adyacentes al lado opuesto”. La demostración es falsa, y el fallo consiste en la excesiva confianza de la intuición geométrica de la infinitud de la longitud de una recta.

Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que cualquier sistema axiomático (con unos axiomas y métodos de deducción bien definidos y establecidos) que sea consistente (sin contradicciones) e incluya a la Aritmética posee serias limitaciones, pues siempre habrá una proposición P que es verdadera pero no es demostrable a partir de tales axiomas con las reglas de deducción establecidas3. De hecho Gödel prueba que en cualquier sistema formal que incluya la Aritmética puede formarse una proposición P que esencialmente afirma «Este enunciado no es demostrable». Si se pudiera demostrar P, el sistema tendría contradicción: no sería consistente. Luego P no es demostrable ¡y por tanto P es verdadero! Este teorema de Gödel a menudo ha sido interpretado en un sentido pesimista, como una especie de limitación esencial del conocimiento humano o algo así. Pero ese no es el caso, debe notarse que Gödel demuestra que tal enunciado P es verdadero, así que el resultado de Gödel realmente muestra que ningún sistema axiomático consistente (entendido como máquina de deducir) agota la capacidad de demostración de la razón humana. Por el contrario, su verdadero sentido es que ningún ordenador ni proceso meramente mecánico puede emular el raciocinio humano, que nuestro espíritu no es lo que hoy en día entendemos como máquina.

5.2 La “reducción al absurdo”.

El argumento pitagórico original sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 dependía de una clase de argumento llamado reducción al absurdo: suponemos de entrada la verdad de una afirmación, seguimos sus consecuencias y desembocamos en una contradicción, lo que nos permite determinar su falsedad. Tomemos un ejemplo moderno y consideremos el aforismo del gran físico del siglo veinte, Niels Böhr: “Lo contrario de cualquier gran idea es otra gran idea.” Si así es, la afirmación contraria, “lo contrario de cualquier gran idea no es una gran idea” también debe ser cierta. Hemos llegado entonces a una reducción al absurdo. Si la afirmación contraria es falsa podemos dejar de lado el aforismo porque ha confesado claramente que no es una gran idea.

El modo de interpretar en lógica proposicional este método es el siguiente: la implicación “AB” es equivalente a la implicación “no Bno A”. Por eso, si queremos demostrar una proposición X, podemos hacerlo negándola (no X) y deducir de ahí alguna falsedad con nuestro sistema lógico. De donde se concluirá que X es verdadera.

Teorema: 2p es un número irracional (no puede expresarse como razón entre dos números enteros).

3 Teorema de incompletud de Gödel.

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Demostración: utilizaremos la reducción al absurdo y un álgebra sencilla en lugar de la demostración exclusivamente geométrica descubierta por los pitagóricos. El estilo del argumento, el modo de pensar, es por lo menos tan interesante como la conclusión:

Consideremos un cuadrado cuyos lados miden una unidad de longitud. La línea diagonal BC divide al cuadrado en dos triángulos, cada uno de los cuales contiene un angulo recto. En estos triángulos rectángulos es válido el teorema de Pitágoras:

1² + 1²= X2. Pero 1²+1²=2 , por lo tanto x2 = 2 y escribiremos x = 2p .

Supongamos que 2p sea un número racional: 2p = p / q. donde p y q son números enteros y no tienen factores comunes. Si elevamos al cuadrado los dos

términos de la ecuación 2p = p / q, obtenemos 2 = p2/q2, y luego multiplicando ambos términos de la ecuación por q2 llegamos a:

Por lo tanto p2 es algún número multiplicado por 2. Es decir que p2 es un número par. Pero el cuadrado de cualquier numero impar es también impar (1²=1 , 3²2=9 , 5²=25, etc.). Por lo tanto también p ha de ser par, y podemos escribir 2s, siendo s algún entero. Si sustituimos este valor de p en la ecuación anterior obtenemos:

Dividiendo ambos miembros de esta última igualdad por 2, obtenemos:

Por lo tanto q2 es también un número par y se deduce por el mismo argumento utilizado con p que q también es un número par. Pero si p y q son ambos números pares, ambos divisibles por 2, no se redujeron a su mínimo común denominador, lo cual contradice uno de nuestros supuesto (contradicción con la hipótesis).

Ejercicios:

1-. Demostrar que si dos rectas no coincidentes y contenidas en un plano son perpendiculares a otra recta, entonces las dos primeras son paralelas.

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2-. Tres de los ángulos de un cuadrilátero miden 30º, 130º y 140º. Demuestra que dicho cuadrilátero no puede inscribirse en una circunferencia.

5.3 La inducción natural completa.

Cuando pretendemos demostrar una proposición para todos los números naturales (de ahí el nombre de inducción natural), vamos a seguir un método muy útil, que para entendernos podría ser equivalente a resolver el problema: si tenemos una escalera con infinitos peldaños, ¿cómo describir un proceder que nos permita asegurar que subimos todos los peldaños, una vez subido el primero? Una manera de resolver esto sería:

a-. Subo el primer peldaño.

b-. Suponiendo que hemos subido hasta un peldaño cualquiera, siempre es posible subir hasta el siguiente.

El método inductivo pretende, pues, generalizar el caso particular, mediante un proceso ascendente, y obtener una formulación general que resuma todos los casos posibles.

El Principio de Inducción natural puede resumirse, formalmente, en el siguiente enunciado:

“Si pretendemos demostrar una proposición P sobre todos los números naturales, que esté definida con total precisión, el método será:

a-. Comprobar que dicha proposición se verifica para el primer número natural (el 0 o el 1, según diferentes corrientes filosóficas).

b-.Suponiendo que P es cierta para cualquier número natural, demostraremos que es cierta para el siguiente: P(n) cierta P(n+1) cierta”

Normalmente el proceso suele ser así: si es cierto para n=0 o n=1, supongámoslo cierto hasta n=k-1; a partir de aquí se demuestra para n=k, y como k es cualquier natural, la proposición P puede considerarse cierta.

Ejemplo: Demostrar, mediante el método de inducción, que la suma de los “n” primeros números naturales responde a la siguiente fórmula.

Ejercicios:

1-. Demuestra que n3-n es múltiplo de 6 para cualquier natural n.

2-. Demuestra la igualdad natural : (1+2+...+n)2=13+23+...+n3

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3-. Demuestra que 62n-1 es divisible por 35 para cualquier valor de n natural.

5.4 La deducción matemática.

A partir de un sistema formal (definiciones, axiomas, postulados, otros teoremas y proposiciones), y mediante un proceso lógico-deductivo, se pretende demostrar cierta proposición P enunciada como un binomio hipótesis-tesis.

El método deductivo puede resumirse en los siguientes pasos:

“Deseamos demostrar la veracidad de una proposición X. Partimos del conocimiento de ciertas proposiciones-teoremas cuya veracidades ya están contrastadas, o tienen el carácter de axioma o postulado: de una P1 llegamos a otra P2, de esta a otra P3, etc..., y así, mediante una cadena de implicaciones (finita) se llega a concluir la proposición X.”

El método deductivo está considerado, en la actualidad, como el método de demostración por excelencia de las Matemáticas. Una variante del mismo es, precisamente, la reducción al absurdo que ya hemos visto, y también la reducción por deducción a proposiciones equivalentes ya demostradas.

Ejemplo: Demostrar, mediante deducción, que la suma de los “n” primeros números naturales responde a la siguiente fórmula.

Ejemplo: Demostrar que, en un triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los semicírculos que pueden trazarse tomando como diámetro cada cateto coincide con el área del semicírculo que puede trazarse tomando como como diámetro la hipotenusa.

Ejercicio (investigación): Demuestra el teorema de Pitágoras a partir del teorema del cateto y del teorema de la altura.

5.5 Búsqueda de contraejemplos.

Consiste en la búsqueda de un caso particular que haga evidente la falsedad de la proposición.

Ejemplo: todo número de la forma n2 – n + 41 es un número primo.

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Un evidente caso particular que no cumple la proposición es n=41.

6-. REPRESENTACIÓN Y SIMBOLISMO MATEMÁTICO.

La Matemática, como venimos diciendo, trabaja fundamentalmente con entidades abstractas e investiga relaciones entre las mismas, estableciendo pratrones y modelos teóricos, que algunas veces tienen aplicaciones en otras áreas de la Ciencia. A lo largo de su desarrollo histórico, la Matemática ha necesitado, y lo sigue haciendo, de una simbología y notaciones que les son propias: notación algebraica, notación geométrica, notación del análisis, etc... Las primeras representaciones de entes matemáticos aparecieron en el ámbito de la Aritmética Elemental: los sistemas numéricos que nuestros antepasados inventaron al descubrir o intuir el concepto de número, cualidad o cantidad que tenían en común distintos tipos de conjuntos que aparecían en su universo. Este primer paso de simbolizar una idea abstracta mediante símbolos o signos supuso el primer gran salto en el pensamiento humano para emanciparnos definitivamente de un pensamiento animal, basado en el instito, para llegar a un pensamiento transcendente y racional.

El problema del simbolismo y notaciones matemáticas es el de su idoneidad para representar las teorías abstractas. Estas representaciones son totalmente independientes del mundo real, sin posibilidad de comparación con objetos reales, ya que se trata de objetos creados por el intelecto, aunque eso si, sobre intuiciones reales. Esto no ocurre con la mayoría de representaciones en el arte o la técnica, que se basan en objetos que si están en nuestro universo. Recordemos la obra pictórica de René Magritte:

Ceci n´est pas une pipe

Podemos preguntarnos ¿es realmente una pipa? ¿o una representación de la idea de pipa que tenemos en nuestra mente? En este caso, existe una clara correspondencia entre:

El mundo de las representaciones de los objetos reales no está exento de trampas y e interpretaciones sesgadas, pues cada cual puede tener una noción del objeto representado según sus propias experiencias; recordemos el cuento El principito, de A. de Saint-Exupéry, en el que el mismo autor representaba un dibujo (para él una boa que se había tragado un elefante) que a todos parecía un modelo de sombrero:

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MUNDO REALPipa material

MUNDO DE LAS IDEASIdea de pipa

REPRESENTACIÓNDe una pipa


Boa con elefante (de A. De Saint-Exupéry)

En el universo matemático no ocurre esto, pues no hemos tenido contacto con los entes matemáticos; por ejemplo, el símbolo “2”, del sistema numérico decimal indio, no existe realmente en nuestro mundo, es un símbolo arbitrario pero inequívoco, y sabemos bien que su significado es la “dualidad” o “paridad”:

Aunque lo verdaderamente importante es la idea de “número dos”, y cualesquier otro tipo de ente matemático, definido independientemente de cualquier situación real, nosotros deberemos inevitablemente trabajar con símbolos que representen esas abstracciones.

No debemos sentir miedo ante esos símbolos, pues no son más que representaciones de lo que es puro, eterno, inmutable. Los conceptos de la Matemática no son fácilmente asimilables, requieren de un estudio sistemático, sosegado y no exento de esfuerzo, sobre una simbología y notaciones adecuadas. Aprendamos este curso a manejar dichos símbolos matemáticos y habremos dado el primer paso para amar las Matemáticas por sí mismas y no solo por las aplicaciones reales que puedan tener. Recuerda: nada material sacaremos de esta vida; por tanto, ¿por qué preocuparse de ello?.

7-. LA MATEMÁTICA DE LAS APLICACIONES.

En el fondo de la actividad matemática subyacen motivaciones muy variadas que, lejos de ser antagónicas, se complementan profundamente. La matemática nació con el intento de explorar las armonías y recurrencias del universo físico en las culturas mesopotámicas y se hizo adulta en el mundo griego constituyéndose en ciencia, en enseñanza (mazesis) por antonomasia, en método de pensamiento. Ha sido cultivada como disciplina formativa del pensamiento, como matriz de estructuras mentales bellas y armoniosas, como modelo y dechado de conocimiento... Pero, especialmente desde los tiempos de Galileo, su desarrollo ha estado íntimamente ligado con aquellos fenómenos del mundo físico en los que el hombre ha estado interesado, guiando al mismo tiempo

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MUNDO REALNo existe

MUNDO DE LAS IDEASLo dual

REPRESENTACIÓN2


este interés al proporcionarle herramientas que de algún modo posibilitan el acceso del conocimiento humano a tales fenómenos. El progreso del pensamiento colectivo del hombre manifiesta así una profunda unidad. La que hemos llamado matemática fundamental está fuertemente condicionada en su desarrollo, lo hemos podido observar, por los problemas internos propios de cada campo, pero no deja de experimentar en los puntos de cambio de rumbo de su trayectoria la robusta influencia que ha ejercido sobre ella la posibilidad, siempre presente, de su utilización para la exploración de nuevos fenómenos. ¿Dónde se detecta especialmente en la matemática contemporánea esta interacción profunda con la intención exploratoria del entorno del hombre? No se puede pretender aquí realizar una enumeración exhaustiva de los numerosísimos puntos de todas las ciencias actuales en que se proponen a la matemática problemas propios y muy profundos que están estimulando la elaboración de herramientas matemáticas originales para su tratamiento.

La física matemática ha sido y sigue siendo el campo de las aplicaciones en que esta interacción alcanza su mayor amplitud y profundidad. Tanto es así, que durante mucho tiempo matemática aplicada ha sido sinónimo de física matemática. Tal vez una de las características más importantes de nuestros días en este terreno consista en que los avances del análisis matemático actual han comenzado a hacer posible una aproximación no lineal a fenómenos que no son lineales y que en tiempos pasados, o no pudieron ser tratados en absoluto, o fueron tratados en una primera aproximación burda como si fuesen lineales, por carecerse de herramientas suficientemente poderosas para enfrentarse con el fenómeno en toda su complejidad.

Uno de los impactos más llamativos, en las ciencias contemporáneas y en nuestra cultura en general, de los desarrollos matemáticos de nuestros días ha corrido a cargo de la estadística. El desarrollo de la teoría de la probabilidad y su aplicación a los fenómenos aleatorios han conseguido crear una matemática que en cierto modo logra dominar y manejar con acierto la incertidumbre misma. Lo que originariamente aparece como caos regido por el azar y opaco a la intelección, la estadística lo ordena y lo somete finalmente a leyes aleatorias que arrojan sobre los fenómenos una luz tan intensa como la que las leyes deterministas de la física matemática irradian sobre los objetos a los que se aplican. Un enorme número de ciencias y técnicas se han beneficiado de esta iluminación y dominio de la incertidumbre que la estadística proporciona. Entre ellas la biología, la medicina, las técnicas y ciencias económicas, el estudio de poblaciones, la investigación sobre la producción industrial y sobre mercados, la psicología, la sociología, la antropología, la lingüística...

8-. EL PAPEL DE LA MATEMÁTICA EN NUESTRA CULTURA

La matemática, tal como la entendemos y practicamos hoy día, nació en la comunidad científico-religiosa de los pitagóricos, en el siglo VI a. de C., y fue concebida como una vía, un método, a través del cual el hombre pudiera asomarse a lo profundo del universo, a eso que los pitagóricos expresaban como "las raíces y fuentes de la naturaleza". En aquel tiempo, el quehacer matemático estaba muy lejos de ser la mera técnica rutinaria para dominar algunos aspectos de nuestro entorno físico en que en gran parte lo hemos convertido hoy. Lo que Pitágoras y los pitagóricos comenzaron a percibir en su contemplación matemática, y de ello fueron muy conscientes, eran las

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armonías más hondas presentes en la estructura misma de este universo en el que vivimos. Y en tal contemplación basaban su misma vida ética y religiosa. El punto de vista Pitagórico era el de las Matemáticas como una vía de entendimiento y participación de lo sagrado.

Si el universo todo está construido de forma tan armoniosa como lo percibimos a través del conocimiento matemático, les resultaba claro que nuestra propia vida humana debería tratar de acomodarse a esa armonía, primero contemplándola, y después respetándola y favoreciéndola, tanto en sus aspectos físicos más externos como también en los más específicamente humanos, a través del respeto especial hacia los seres vivos, y muy en particular a través de las relaciones mutuas con los demás seres, tanto humanos como divinos. El quehacer matemático fue entre los pitagóricos en cierto modo una guía de contemplación y de comportamiento

Esta vía estaba, no obstante, sujeta a una vida que Artistofonte describe despectivamente en una de sus comedias (sentimiento generalizado en la Grecia Clásica hacia los mismos):

La matemática ha cumplido, a lo largo de la historia del pensamiento, una función muy peculiar. Desde los tiempos de Pitágoras la matemática ha constituido el armazón, en su forma más pura, del pensamiento fundamental de nuestra cultura occidental: la inteligibilidad del universo mediante la razón, y precisamente mediante la razón cuantificadora. Para la cultura occidental el universo no es caos , es cosmos, orden . La naturaleza es regular, es decir, sigue unas reglas, unas pautas. Nuestro pensamiento puede captar estas normas de actuación de la naturaleza. La matemática es la herramienta a su disposición para hacerse con ellas. Para la cultura oriental india, la matemática formaba parte de lo sagrado, eterno e inmutable, aspectos que en nuestro mundo, hoy día, ya no existen y son difícilmente imaginables en el sentido antiguo. La matemática no era entonces, en absoluto, una ciencia aplicada ni fácilmente asimilable, sino solo para iniciados e se estudiaba como independiente del mundo material, cercano a lo sagrado.

Actualmente, la matemática es consenso, es sometimiento a la realidad, pero es también, y de forma muy importante, libertad creativa. Como George Cantor, el creador de la teoría de conjuntos afirmaba solemnemente al comienzo del siglo XX, "la esencia de la matemática es la libertad". Y es que, al igual que el artista que pretende expresar para los demás una vivencia, una visión muy especial que tiene, también el matemático dispone de muchos procedimientos posibles para hacerlo. La matemática es, sin duda, descubrimiento, pero también creación libre, aventura. Y es este espíritu, este sentimiento de fusión de creatividad, libertad, espontaneidad y orden que subyace a la actividad matemática, la contribución más importante que la matemática puede ofrecer a

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nuestra sociedad actual. Contribución que va mucho más allá de la mera utilidad práctica de las diferentes creaciones concretas de la matemática.

Aquí estriba, por otra parte, el valor educativo más profundo de la matemática, el que los filósofos más profundos, Pitágoras, Platón, Descartes, Leibnitz, Pascal, Gauss, Hilbert,.... han sabido ver en ella. En nuestra transmisión de la herencia matemática es éste el aspecto que deberíamos tratar de hacer más explícito. He aquí cómo lo ha expresado uno de los filósofos más clarividentes de nuestro propio siglo, Alfred North Whitehead:

«La noción de modelo (pattern) es tan antigua como la civilización. Todo arte está fundamentado en el estudio del modelo. La cohesión de los sistemas sociales depende del mantenimiento de modelos de conducta, y los progresos de la civilización dependen de la modificación acertada de ellos. Por eso la impregnación de modelos en el curso de la naturaleza y la estabilidad de tales modelos, así como la modificación de ellos es la condición necesaria para la realización del Bien. La matemática es la técnica más poderosa para la comprensión del modelo y para el análisis de la relación entre modelos... Considerando la inmensidad de su campo de acción, la matemática, incluso la matemática moderna, es una ciencia en su infancia. Si la civilización continúa avanzando, en los próximos dos mil años, la novedad predominante en el pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática».

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TEMA 0-ficus.pntic.mec.es/~jgog0066/TEMA0.doc · Web viewA partir de un sistema formal (definiciones, axiomas, postulados, otros teoremas y proposiciones), y mediante un proceso lógico-deductivo,