Ispitivanje osobina i crtanje grafika

funkcija

IX nedelja

Primena diferencijalnog računapri analizi funkcija

Neka je funkcija neprekidna N(f)(a,b) i diferencijabilna D(f) (a,b)

: ( , )f a b R

Funkcija f je monotono rastuća na intervalu (a,b)

Funkcija f je monotono opadajuća na intervalu (a,b)

Monotonost funkcije

'( ) 0, ( , )f x x a b

'( ) 0, ( , )f x x a b

Ekstremne vrednosti funkcije

min max0Neka je funkcija f diferencijabilna u okolini tačke x , ekstremne vrednosti funkcije

su . i . funkcije :

min- minimum funkcijemax- maksimum funkcije

Potreban uslov za egzistenciju ekstremnih vrednosti min, max u tački xo∈(a,b) funkcije f je:

Ekstremne vrednosti funkcije

0'( ) 0f x

Dovoljan uslov za postojanje ekstremnih vrednosti (min, max):

Ekstremne vrednosti funkcije

0 00 0

0 0

0 00 0

0 0

'( ) 0, ( , )max( , )

'( ) 0, ( , )

'( ) 0, ( , )min( , )

'( ) 0, ( , )

f x za x x xx y

f x za x x x

f x za x x xx y

f x za x x x

Prvi izvod menja znak dok x prelazi tačku x0

Tabelarno, to se može predstaviti:

Ekstremne vrednosti funkcije

2

2

2 2

1 2

2Odrediti tačke minimuma i maksimuma i intervale monotonosti funkcije 1

2(1 ) '(1 )

' 0 1 1

xyx

xyx

y x x

min

max

( 1, 1) (1,1)

AB

Primer

Geometrijska interpretacija konveksnosti i konkavnosti funkcija

f’’(x)<0 f’’(x)>0Xє(a,b)

sgn ''( )f x

Potreban uslov:

Dovoljan uslov:

Prevojne tačke

0 0''( ) 0 ( , )f x x a b

''f menja znak 0 0

0 0

''( ) 0 ( 0) ( , )''( ) 0 ( 0) ( , )f x x x xf x x x x

Primer

Za ispitivanje funkcije potrebno je preko sledećih koraka ispitati neke osobine i nacrtati grafik:

Korak br. 1 Odrediti oblasti definisanosti funkcije;Korak br. 2 Ispitati ponašanje funkcije na rubovima domena i odrediti asimptote;Korak br. 3 Ispitati da li je funkcija parna, neparna ili periodična;Korak br. 4 Odrediti tačke preseka grafika sa osama. Znak funkcije;Korak br. 5 Ispitati monotonost funkcije i naći ekstremne tačke funkcije;Korak br. 6 Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije i naći prevojne tačke;Korak br. 7 Na osnovu dobijenih tačaka i ispitanih osobina nacrtati grafik funkcije.

Primena diferencijalnog računa

Primer

Primer

Primer

Test

4 3 3

2

3

2

3

a) 4 8 32)

1

) 3

) 1

a)

x

y x x xxb yxxc yx

d y x e

y

1. Odrediti tačke maksimuma i minimuma i intervale monotonosti funkcije :

2. Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevojne tačke funkcija :

4 2

2

2

2

2

6 4

2) 1

) ln 1

- 2 2

x 1) y=1

)

x x

xb yx

c y x

xx

bx

a y

3. Nacrtati grafik funkcija :