11

2.Ťahatlak

2.1 Pružná tyč namáhaná ťahom a tlakom, Hookov zákon

Nech na tyč konštantného priečneho prierezu plochy S pôsobí v osi sila F (obr.2.1). Vyšetríme napätie v ľubovoľnom priereze kolmom k osi metódou mysleného rezu rovinou ρρρρ. Vnútorná sila je normálová a platí pre ňu N = F. Z obr.2.1 je zrejmé, že v tomto priereze vzniká normálové napätie, ktorého veľkosť určíme z rovnice :

σ .S F− = 0 teda : S

F

S

N ==σ (2.1)

O tomto napätí budeme predpokladať, že má rovnakú hodnotu v každom bode priečneho prierezu po celej dĺžke prúta. Zväčšovanie napätia v dôsledku vlastnej tiaže nebudeme zatiaľ uvažovať.

Obr. 2.1 Pôsobením vonkajšej sily F sa prút natiahne o dĺžku ∆∆∆∆l. Pokusy, ktoré prvý krát vykonal Róbert Hooke (1678), vedú k záveru, že predĺženie prúta ∆∆∆∆l je lineárnou funkciou sily F, pokiaľ sila neprekročí určitú medzu. Predĺženie prúta je ďalej priamo úmerné jeho dĺžke l a nepriamo úmerné ploche prierezu S. Platí teda:

SE

lFl

⋅⋅=∆ (2.2)

12

kde E - je koeficient úmernosti, ktorý je pre určitý materiál a teplotu konštantou (závislosť E na teplote môžeme pre bežné teplotné rozdiely zanedbať). Konštanta E sa nazýva Youngov modul resp. modul pružnosti v ťahu. Vzťah (2.2) sa označuje ako Hookov zákon. Ak zavedieme pomerné predĺženie εεεε = ∆∆∆∆l / l podľa (1.6) a napätie σσσσ = F / S podľa (2.1) môžeme Hookov zákon (2.2) prepísať do dôležitého vzťahu:

E⋅= εσ (2.3)

Z toho vzťahu je zrejmé, aký fyzikálny význam má Youngov modul. Je to napätie, ktoré by v prúte vzniklo pri pomernom predĺžení εεεε = 1 (t.j. ∆∆∆∆l = l), ak by sme prijali platnosť Hookovho zákona bez obmedzenia. V skutočnosti sa však väčšina materiálov poruší aj pri ďaleko menších napätiach. Preto definujeme Youngov modul ako pomer napätia a pomerného predĺženia prúta konštantného prierezu (E = σσσσ / εεεε ). Je zrejmé, že má rozmer napätia, t.j.: Pa = N.m-2 , resp. MPa = 106 N.m-2 . Zo vzťahu (2.2) vidíme, že predĺženie ∆∆∆∆l bude tým menšie, čím bude väčší súčin E.S. Preto sa tento súčin nazýva tuhosť v ťahu. Súčasne s predĺžením prúta sa zmenšujú jeho priečne rozmery. Napr. šírka prúta b sa podľa obr.2.1 zmenší na b - ∆∆∆∆b. Pomerné zúženie priečnych rozmerov ηηηη = ∆∆∆∆b / b je priamo úmerné pomernému predĺženiu prúta εεεε . Teda:

Eb

b σµεµ∆η ⋅=⋅== (2.4)

Konštanta úmernosti µµµµ sa nazýva Poissonovo číslo. Udáva v akom pomere je pomerné priečne zúženie k pomernému predĺženiu pri ťahu. V tabuľke 2.1 sú uvedené stredné hodnoty Youngovho modulu E, modulu pružnosti v šmyku G a Poissonovho čísla µµµµ niektorých materiálov pri normálnej teplote.

Rozmedzie hodnôt, ktoré môže nadobúdať Poissonovo číslo µµµµ, určíme z úvahy o zmene objemu ťahaného prúta. Dĺžka deformovaného prúta je : ( )ε∆ +⋅=+ 1lll

Zvoľme pre jednoduchosť priečny prierez obdĺžnikový o rozmeroch a, b (obr.2.1).

Po deformácii budú mať rozmery veľkosť : ( ) ( )( ) ( )εµη∆

εµη∆⋅−⋅=−⋅=−⋅−⋅=−⋅=−

1b1bbb

1a1aaa

Pôvodný objem prúta: lbaV0 ⋅⋅=

sa zmení na hodnotu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 11V1l1b1aV εµεεεµεµ ⋅−⋅+⋅=+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=

Pretože pomerné predĺženie je v medziach platnosti Hookovho zákona veľmi malá veličina, môžeme jej druhú a tretiu mocninu zanedbať oproti jednotke. Potom:

( )[ ]µε ⋅−⋅+⋅= 211VV 0

Pomerná zmena objemu je: ( )µε∆Θ ⋅−⋅=−== 21V

VV

V

V

0

0

0

(2.5)

13

Tabuľka 2.1 Materiál E (MPa) G (MPa) µ

Oceľ 2,10.105 8,04.104 0,30

Sivá liatina 1,05.105 4,20.104 0,25

Meď 1,18.105 4,41.104 0,35

Bronz 1,08.105 4,42.104 0,35

Mosadz 9,81.104 3,63.104 0,35

Hliník a jeho zliatiny 6,86.104 2,65.104 0,33

Horčíkové zliatiny 3,43.104 1,37.104 0,30

Zinok 8,34.104 3,24.104 0,27

Olovo 1,67.104 5,88.103 0,45

Sklo 5,88.104 2,45.104 0,23

Polystyrén 3,34.103 1,27.103 0,33

Bakelit 4,90.104 1,96.104 0,25

Celuloid 3,92.103 1,47.103 0,35

Polyetylén (malej hustoty) 235 85,3 0,38

Organické sklo (plexi) 2,10.103 800 0,35

Guma 2 až 8 0,7 až 2,5 0,49

Drevo (v smere vlákien) 1,20.104 5,00.103 -

Drevo (naprieč vlákien) 2,70.103 - -

Tehlové murivo 2,75.103 - -

Betón 1,80.104 8,00.103 0,13

Ak je tyč namáhaná ťahom, nemôže sa jej objem zmenšiť. Teda ΘΘΘΘ musí byť kladné. Z toho plynie, že µµµµ musí mať hodnotu menšiu ako 1/2 alebo v krajnom prípade µµµµ = 1/2. Veľkosť Poissonovho čísla závisí na materiáli a leží v medziach 0 <<<< µµµµ ≤≤≤≤ 0,5. U technicky bežných materiálov sa jeho hodnota pohybuje v medziach 0,25 až 0,5. Pre krehké materiály je menší ako pre húževnaté. Popri Youngovom module E a Poissonovom čísle µµµµ sa uvádza v tabuľke ešte tretia materiálová konštanta - modul pružnosti v šmyku G. Túto konštantu budeme definovať pri namáhaní na šmyk. Výsledky, ktoré sme odvodili pre namáhanie prúta ťahom, platia všeobecne aj pre namáhanie tlakom. Pri tomto spôsobe namáhania však pristupujú aj otázky stability a preto je možné výsledky odvodené pre ťah aplikovať len pre relatívne krátke prúty. Na rozdiel od ťahu majú veličiny pri tlaku opačné znamienka, teda σσσσ <<<< 0 , εεεε <<<< 0 (záporné pomerné predĺženie = skrátenie), ηηηη <<<< 0 (záporné pomerné zúženie = rozšírenie), ∆∆∆∆V/Vo <<<< 0 (objem sa zmenšuje). Relatívne štíhle prúty sa musia kontrolovať na vzper.

14

Príklad 2.1

Oceľová tyč kruhového prierezu o priemere d = 10 mm a dĺžke l = 1,5 m je ťahaná silou F = 16.103 N. Vypočítajte napätie, predĺženie, zmenšenie priemeru tyče a pomernú zmenu objemu.

Riešenie:

Napätie (2.1) : MPa204mN1004,2mN1010

1060,14

d

F4

S

F 28262

4

2 =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅== −−

−ππσ

Pomerné predĺženie (2.3) : %0971,01071,91010,2

204

E4

5 =⋅=⋅

== −σε

Absolútne predĺženie (1.6) : mm46,1m50,11071,9ll 4 =⋅⋅=⋅= −ε∆

Zmenšenie priemeru (2.4) : mm1091,2mm101071,930,0ddd 34 −− ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= εµη∆

Pomerná zmena objemu (2.5) : ( ) ( ) %039,0%30,0210971,021 =⋅−⋅=⋅−⋅= µεΘ

2.2 Deformačná práca a potenciálna energia napätosti pri namáhaní ťahom

Riešme otázku deformácie prúta v ťahu z hľadiska zákona zachovania energie. Zaťažujúca vonkajšia sila F vykonáva deformačnú prácu A. Táto práca sa všeobecne mení na potenciálnu energiu U a kinetickú energiu K podľa rovnice :

A U K= + (2.6)

Druhý člen zahŕňa jednak kinetickú energiu makroskopických častíc prúta, jednak zmenu kinetickej energie molekúl, teda zmenu tepelného stavu prúta. Zmena tepelného stavu je zvlášť významná pri plastickom pretvorení. Pri pružných deformáciách, ktoré budeme uvažovať je nepodstatná. Ak bude zaťaženie prúta narastať pomaly, rýchlosť častíc prúta bude malá a môžeme položiť K ≈≈≈≈ 0 . Takéto zaťaženie sa nazýva statické a platí :

A U= (2.7)

Teda práca vonkajších síl sa celá premení na potenciálnu energiu deformácie, ktorú budeme nazývať potenciálna energia napätosti alebo stručne energia napätosti.

Obr. 2.2

15

Vypočítajme veľkosť deformačnej práce (obr.2.2). K natiahnutiu prúta o ∆∆∆∆l je podľa (2.2) potrebná sila:

ll

SEF ∆⋅⋅= (2.8)

Všeobecne k natiahnutiu o x je to sila:

xl

SEFx ⋅⋅= (2.9)

Táto sila vykoná pri natiahnutí o elementárnu dĺžku dx prácu :

dxxl

SEdxFdA x ⋅⋅⋅=⋅=

Celková deformačná práca pri natiahnutí o ∆∆∆∆l je:

SE2

lFlF

2

1l

l2

SE

2

x

l

SEdxx

l

SEA

22

l

0

2l

0 ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅

⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫ ∆∆

∆∆

(2.10)

Prácu sme vyjadrili použitím sily (2.8) a celkového predĺženia (2.2). Z obr.2.2 je zrejmé, že práca (2.10) je úmerná ploche trojuholníka 0BC. Ak zavedieme do vzťahu (2.10) pomerné predĺženie εεεε a napätie σσσσ podľa (2.3), môžeme pre potenciálnu energiu napätosti napísať:

SlE2

Sl2

EAU

22

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅== σε (2.11)

Pretože: l.S=V je objem prúta, môžeme jednoducho vypočítať mernú energiu napätosti u, t.j. energiu akumulovanú v jednotke objemu prúta pri jeho deformácii:

E222

E

V

Uu

22

⋅=⋅=⋅== σσεε

(2.12)

Zo znalosti potenciálnej energie napätosti môžeme naopak odvodiť veľkosť vonkajšej sily. Zo vzťahu (2.10) je zrejmé, že potenciálna energia pri natiahnutí konca prúta o x je:

UE S

lx=

.

..

22 (2.13)

Deriváciou podľa x: dU

dx

E S

lx Fx= =

.. (2.14)

Príklad 2.2

Vypočítajte deformačnú prácu a mernú energiu napätosti ťahovo zaťaženého prúta z predchádzajúceho príkladu.

Riešenie:

Merná energia napätosti (2.12) v jednotkách sústavy SI:

( ) 34311

262

mJ1091,9mJ101,22

10204

E2u −− ⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅=

⋅= σ

16

Objem prúta: 343622

m1018,1m4

10105,1

4

dlV −

−

⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ππ

Deformačná práca: J7,11J1018,11091,9VuUA 44 =⋅⋅⋅=⋅== −

2.3 Experimentálne skúmanie materiálu v ťahu a tlaku

Mechanické vlastnosti materiálov je možné spoľahlivo určiť len experimentálne. Základnou statickou skúškou materiálov je skúška ťahom. Tyč sa napína v trhacom stroji rastúcou silou až dôjde k jej pretrhnutiu. Meria sa pritom veľkosť sily a odpovedajúce predĺženie. Skúška musí prebiehať za presne stanovených podmienok. Skúšobné tyče sú normalizované a majú väčšinou kruhový prierez (obr.2.3).

Obr. 2.3

Pracovná premeriavaná dĺžka tyče l je kratšia ako valcová časť. Tyč sa upevňuje v upínacích hlavách trhacieho stroja tak, aby sa neohýbala. Závislosť zaťažujúcej sily F na predĺžení ∆∆∆∆l, resp. závislosť napätia σσσσ na pomernom predĺžení εεεε sa nazýva pracovný diagram. Tento názov je odvodený od toho, že plocha vymedzená krivkou σσσσ = f(εεεε), osou εεεε a priamkou εεεε = konšt. je rovná práci potrebnej k deformácii εεεε tyče jednotkového objemu. Na obr.2.4 je príklad pracovného diagramu pre húževnatý a krehký materiál. Napätie v pracovnom diagrame je definované ako podiel zaťažujúcej sily a plochy pôvodného (nedeformovaného) prierezu. Jedná sa teda o dohovorené napätie. Skutočné napätie je väčšie, pretože plocha prierezu sa deformáciou zmenšuje.

Obr. 2.4

17

Na pracovnom diagrame si vyznačíme dôležité body a napätia, ktoré im odpovedajú: RU - napätie na medzi úmernosti (medza úmernosti): Pre σσσσ ≤≤≤≤ RU je závislosť σσσσ = f(εεεε) približne lineárna a preto je v tejto oblasti splnený Hookov zákon σσσσ = εεεε.E. Je zrejmé, že smernica priamky OU (tg αααα) je rovná modulu pružnosti E. R0,005 - napätie na medzi pružnosti (medza pružnosti): Ak prekročí napätie túto hranicu vznikajú trvalé deformácie. Podľa normy definujeme medzu pružnosti ako napätie, pri ktorom trvalé pomerné predĺženie je 0,005 %. Re - napätie na medzi sklzu v ťahu (medza sklzu): Pri tomto napätí sa čiastočne zrúti štrukturálna väzba v kryštalickej mriežke, ktorá doposiaľ bránila väčším deformáciám. Pri tomto napätí teda vznikajú väčšie deformácie, ktoré súčiastku znehodnocujú. Rm - napätie na medzi pevnosti v ťahu (pevnosť v ťahu): Ak sa zväčší napätie nad medzu sklzu, začne sa materiál znova spevňovať. Pri prekročení napätia Rm dôjde k trvalému porušeniu materiálu. To nastane v bode X pri menšom dohovorenom napätí. Skutočné napätie je v dôsledku značného zúženia prierezu väčšie. Ocele s väčším obsahom uhlíka majú väčšiu pevnosť. Ich pracovný diagram sa vyznačuje tým, že má menej výraznú medzu sklzu. Medza sklzu sa potom definuje ako napätie, pri ktorom vzniká pomerné plastické predĺženie 0,2 %. Táto dohovorená medza sklzu sa označuje tiež ako Rp0,2. V tabuľke 2.2 sú uvedené mechanické vlastnosti niektorých druhov konštrukčných ocelí.

Tabuľka 2.2 Označenie materiálu Najmenšia medza sklzu

Re [MPa] Pevnosť v ťahu

Rm [MPa]

11 340 (10 340) 180 až 210 340 až 420

11 370 (10 370) 200 až 240 370 až 450

11 500 260 až 290 500 až 620

11 600 300 až 340 600 až 720

12 050 400 650 až 800

13 251 (pružinová) 980 1150 až 1500

Pri statickej skúške na tlak sa používa skúšobné teleso tvaru kocky alebo nízkeho valca. Pritom sa musí zaťažujúca sila rovnomerne rozložiť na oboch koncoch skúšobného telesa. Ak sa stláča skúšobné teleso z húževnatého materiálu, správa sa materiál do medze úmernosti alebo medze sklzu rovnako ako pri ťahu. Preto sú hodnoty medze úmernosti aj sklzu (u ocelí) a hodnoty modulov pružnosti húževnatých materiálov pri tlaku aj ťahu približne rovnaké. Pri prekročení medze sklzu nadobúda skúšobné teleso z húževnatého materiálu tvar súdka. Dôležitá je tlaková skúška krehkých materiálov (liatina, betón, kameň), u ktorých sa mechanické vlastnosti v tlaku výrazne odlišujú od vlastností v ťahu. Majú podstatne väčšiu pevnosť v tlaku ako v ťahu. Na medzi pevnosti nastáva rozdrvenie skúšobného telesa. Mechanické vlastnosti niektorých krehkých konštrukčných materiálov sú uvedené v tabuľke 2.3. U liatiny je tu navyše uvedená ešte pevnosť pri skúške na ohyb.

18

Tabuľka 2.3 Materiál Pevnosť v ťahu

Rm t [MPa] Pevnosť v tlaku

Rm d [MPa] Pevnosť v ohybe

Rm o [MPa]

Sivá liatina 42 24 12 120 500 280

Sivá liatina 42 24 24 240 950 430

Betón 1,3 až 3,5 5 až 35 1,3 až 3,5

Tehla 0,2 až 4 7,4 až 30 0,2 až 4

Žula 3 120 až 260 -

Poznámka: Pre rozlíšenie ťahu a tlaku sa ťahové napätie označuje σσσσt a pevnosť v ťahu Rmt a tlakové napätie sa označuje σσσσd a pevnosť v tlaku Rmd

Príklad 2.3

Pri ťahovej skúške oceľovej tyče o menovitom priemere do = 20mm a dĺžke lo = 200mm bolo pri zaťažení F = 5,55.104 N namerané predĺženie ∆∆∆∆l = 0,172mm a priečne zúženie ∆∆∆∆d = 4,9.10-3mm. Tieto hodnoty sú pod medzou pružnosti materiálu. Určite Youngov modul a Poissonovo číslo ocele.

Riešenie:

Napätie (2.1) a pomerné predĺženie (1.6) je: MPa177Pa10400

1055,54

d

F46

4

2 =⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅= −ππ

σ

4

0

10.60,8200

172,0

l

l −=== ∆ε

Youngov modul z (2.3): MPa1008,2MPa1060,8

177E 5

4 ⋅=⋅

== −εσ

Poissonovo číslo z (2.4): 29,020106,8

109,4

d

d4

3

=⋅⋅

⋅=⋅

== −

−

ε∆

εηµ

2.4 Vplyv fyzikálnych a geometrických faktorov na mechanické vlastnosti materiálov

Základný pracovný diagram materiálu bol získaný za určitých laboratórnych podmienok. Pri zmene podmienok sa menia vlastnosti materiálu. a) Vplyv teploty. S rastúcou teplotou T Youngov modul E, medza sklzu Re a pevnosť Rm všeobecne klesajú (obr.2.5). b) Vplyv rýchlosti zaťažovania. Základný pracovný diagram (obr.2.6-krivka a) bol získaný pri malej rýchlosti zaťažovania (rýchlosť deformácie dεεεε / dt bola rádovo 10-3m.s-1). So vzrastajúcou rýchlosťou zaťažovania sa medza sklzu zvyšuje, postupne mizne a mení sa celý diagram v plastickej oblasti (obr.2.6-krivka b). c) Vplyv doby zaťažovania. Po zaťažení silou F1 dôjde k deformácii εεεε1, ktorá sa s narastajúcou dobou zaťažovania t zvyšuje aj keď je zaťaženie konštantné (obr.2.7). Tento jav je zvlášť výrazný pri vyšších teplotách a nazýva sa tečenie materiálu.

19

d) Vplyv veľkosti skúšobnej tyče. So zväčšovaním priemeru d skúšobnej tyče klesá medza sklzu Re (obr.2.8). Experimentálne bolo napr. zistené, že pri zväčšení priemeru z 10mm na 500mm klesla medza sklzu až o 35 %.

Obr. 2.5 Obr. 2.6

Obr. 2.7 Obr. 2.8 e) Vplyv náhlej zmeny prierezu. Na strojných súčiastkach sa často vyskytujú náhle zmeny prierezu tzv. vruby (zápichy, osadenie, závity, otvory). Aj keď vruby zasahujú len malú časť rozmeru tyče, podstatne ovplyvňujú priebeh napätí po priereze (obr.2.9). Pôsobenie vrubov je zvlášť nepriaznivé u súčiastok z krehkých materiálov. V mieste koncentrácie napätí vzniká trhlina, ktorá sa šíri po priereze až do úplného porušenia tyče. Vruby pôsobia zvlášť nepriaznivo pri dynamickom zaťažení lebo vytvárajú zárodky tzv. únavového lomu.

Obr. 2.9

Z týchto dôvodov sa musí konštruktér vyvarovať vrubom na mechanicky exponovaných miestach. Prechody musí dostatočne zaobliť. Podrobnejšie zásady sú prebrané v predmete Časti strojov, kde budú uvedené aj kvantitatívne faktory zachytávajúce vplyv koncentrácie napätia v jednotlivých prípadoch.

20

2.5 Dovolené napätie a miera bezpečnosti

Ako sme spomenuli v predchádzajúcej kapitole, na laboratórne zistené mechanické vlastnosti materiálov má vplyv celý rad fyzikálnych, konštrukčných a prevádzkových faktorov. Pri vlastnom pevnostnom výpočte k tomu pristupuje aj určitá idealizácia výpočtu. To vnáša do výpočtu určitú chybu. Z týchto dôvodov je nutné navrhovať rozmery súčiastok tak, aby skutočné napätie σσσσ bolo menšie alebo v krajnom prípade rovné dovolenému napätiu σσσσD . Pevnostná podmienka, ktorú musí spĺňať normálové napätie v súčiastkach namáhaných na ťah má tvar:

Dtσσ ≤ (2.15)

kde: σσσσDt - je dovolené napätie pre namáhanie ťahom. U materiálov, ktoré majú výraznú medzu sklzu Re sa dovolené napätie stanovuje ako zlomok medze sklzu:

kRe

Dt =σ (2.16)

kde: k >>>> 1 je miera bezpečnosti. U materiálov, ktoré nemajú medzu sklzu sa dovolené napätie stanovuje z medze pevnosti Rm:

k

RmDt ′

=σ (2.17)

kde: k’ >>>> k je miera bezpečnosti pri výpočte z medze pevnosti. Pri namáhaní tlakom, keď σσσσ <<<< 0, označíme dovolené napätie σσσσDd <<<< 0. Potom budú mať pevnostná podmienka (2.15) a výrazy (2.16) a (2.17) tvar:

σ σ≥ Dd k

R tlakeDd =σ

k

R tlakmDd ′

=σ

Veľkosť miery bezpečnosti pre bežné výpočty je uvedená v tabuľke 2.4:

Tabuľka 2.4 Materiál Miera bezpečnosti

Oceľ k = 1,5 ÷ 2

Oceľ kalená k’ = 2,5 ÷ 4

Sivá liatina k’ = 4 ÷ 5

Hliník liaty k’ = 8 ÷ 10

Drevo k’ = 6 ÷ 12

Betón k’ = 4 ÷ 8

Pri voľbe rozhodujú súčasne otázky spoľahlivosti a ekonomiky. Obe hľadiská pôsobia proti sebe. Správne posúdenie miery bezpečnosti si vyžaduje podrobnú znalosť prevádzkových, materiálových a radu ďalších v jednotlivých prípadoch odlišných faktorov. Uvedené hodnoty platia pre statické zaťaženie. Pri dynamickom zaťažení sa ich veľkosť znižuje.

21

Príklad 2.4

Reťaz, ktorou sa majú zdvíhať bremená do hmotnosti m = 2500 kg, má byť vyrobená z ocele 11370. Navrhnite potrebný priemer článku d. Obmedzte sa pritom len na ťahové sily vo vetvách článku (obr.2.10). Mieru bezpečnosti volte k = 2. Re = 200 MPa.

Obr. 2.10

Riešenie:

V každej vetve článku pôsobí sila: N1023,1N2

81,92500

2

gm

2

FF 4

1 ⋅=⋅=⋅==

Uprostred článku vznikne v každej vetve normálové napätie, pre ktoré musí platiť:

k

R

d

F etD =σ≤

⋅π⋅=σ

214

potom : eR

kFd

⋅π⋅⋅≥ 14

Oceľ 11370 má minimálnu zaručenú medzu sklzu Re = 200 MPa.

Potom: mm5,121025,110200

21023,14d 2

6

4

=⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅≥ −

π

Minimálny priemer článku je 12,5 mm.

Príklad 2.5

Navrhnite priemer tyčí prútovej sústavy podľa obr.2.11. Zadané hodnoty sú: F = 1.104 N, l = 1 m, αααα = 300 , materiál 10370.

Riešenie:

Z podmienok statickej rovnováhy určíme veľkosť síl N1 , N2:

F

F

x

y

∑∑

=

=

0

0

0cosNcosN

0sinNsinN

21

21

=′⋅+⋅=⋅−⋅

αααα

Riešením dostaneme: αcos2

FNN 21 ⋅

==

Obr. 2.11

22

Pevnostná podmienka: k

R

cosd

F2

S

N eDt2

1 =≤⋅⋅⋅== σ

απσ

Potom: απ cosR

Fk2d

e ⋅⋅⋅⋅≥

Pre daný materiál (Re = 200 MPa) , voľbu k = 2 a dané hodnoty dostávame:

m106,8m3102

21022d 3

8

4−⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥

π Volíme prúty priemeru 10 mm.

2.6 Výpočet prútov konštantného prierezu na ťah a tlak

a) Zaťaženie osamelými silami

Ak bude prút zaťažený niekoľkými osamelými silami v osi (obr.2.12), bude napätie v úsekoch medzi osamelými silami konštantné. V k-tom úseku od čela prúta bude napätie:

∑=

⋅=k

1iik F

S

1σ (2.18)

Predĺženie prúta vo vzdialenosti x od čela prúta sa vypočíta superpozíciou predĺžení vypočítaných pre jednotlivé úseky prúta:

( ) ( )[ ]1kk121 lxF....lxFxFSE

1x −−⋅++−⋅+⋅⋅

⋅=∆ (2.19)

Obr. 2.12

Celkové predĺženie dostaneme, ak nahradíme x dĺžkou prúta l. Pre návrh plochy S priečneho prierezu prúta je rozhodujúci úsek, na ktorom je maximálne napätie.

23

Pri dosadzovaní do vzťahov (2.18) a (2.19) je nutné brať ohľad na orientáciu síl. Napr. v konkrétnom prípade podľa obr.2.12 sa dosadí veľkosť sily F2 so záporným znamienkom.

Príklad 2.6

Prút konštantného priečneho prierezu podľa obr.2.12 je zaťažený osovými silami F1 = 800N, F2 = - 450N, Fk = F3 = 1 600N. Dĺžky majú veľkosť l1 = 1,2m , lk-1= l2 =3m , l = 5m. Vypočítajte priemer prúta, ak má byť vyrobený z materiálu 10370. Mieru bezpečnosti zvolíme k = 2. Ďalej vypočítajte celkové predĺženie prúta.

Riešenie:

Maximálne napätie je v treťom úseku. Musí platiť: k

ReDt3 =≤ σσ

Vzhľadom k (2.18) platí: ( )

e

321

3

3212

R

FFFkFFF

4

dS

++⋅≥++=⋅=σ

π

Potom : ( ) ( )

m10200

160045080024

R

FFFk4d

6e

321

⋅⋅+−⋅⋅=

⋅++⋅⋅≥

ππ

m1098,4d 3−⋅≥ Volíme prút priemeru: d mm= 5 Celkové predĺženie prúta:

( ) ( )[ ]

[ ] m1033,1m216008,34505800101,2105

4

llFllFlFEd

4l

31162

231212

−− ⋅=⋅+⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

=−⋅+−⋅+⋅⋅⋅⋅

=

π

π∆

b) Zaťaženie objemovými silami

Nech na prút s konštantným priečnym prierezom plochy S pôsobia objemové sily, ktoré sú spôsobené zrýchlením a, rovnobežným s osou prúta. Na element prúta o dĺžke dξξξξ (obr.2.13) potom pôsobí elementárna objemová sila o veľkosti: ξρξ dSadmadF ⋅⋅⋅=⋅=

kde: ρρρρ - je hustota materiálu. Celková sila pôsobiaca v reze x je potom:

∫ ⋅⋅⋅=x

0

x daSF ξρ

Napätie: ∫ ⋅⋅==x

0

xx da

S

F ξρσ (2.20)

Vypočítame ďalej predĺženie úseku prúta dĺžky x. Pre predĺženie elementu dξξξξ podľa

Hookovho zákona platí:

ξξρξσ

ξ∆ξ

ξ ddaE

dE

d0

⋅

⋅⋅=⋅= ∫

24

kde: σσσσξξξξ - je napätie vyvolané objemovými silami pôsobiacimi na úseku dĺžky ξξξξ. Integráciou pre predĺženie úseku dĺžky x dostaneme:

ξξρξσ∆ξ

ξ ddaE

dE

1x

x

0 0

x

0

⋅

⋅⋅=⋅⋅= ∫ ∫∫ (2.21)

Celkové predĺženie prúta ∆∆∆∆l dostaneme ak nahradíme vo vzťahu (2.21) x = l .

Obr. 2.13 Obr. 2.14

Predchádzajúci postup má praktický význam pri výpočte prútov (resp. drôtov, lán) zaťažených vlastnou tiažou a ďalej pre výpočet rotujúcich tyčí. Tieto zvláštne prípady si preberieme na nasledujúcich príkladoch.

Príklad 2.7

Riešte zvisle zavesenú tyč dĺžky l s konštantným priečnym prierezom S. Vypočítajte napätie v reze x a najväčšie napätie v dôsledku pôsobenia vlastnej tiaže prúta. Nakoniec určte príslušné predĺženie.

Riešenie:

Ide o zvláštny prípad riešený v predchádzajúcom odstavci. Riešenie dostaneme, ak položíme vo vzťahoch (2.20) a (2.21) a = g = konšt. Platí teda:

lg

xgdg

max

x

0

x

⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅= ∫

ρσ

ρξρσ

SE2

lGl

E2

gl

xE2

gdd

E

gx

2

2x

0 0

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅= ∫ ∫

ρ∆

ρξξρ∆ξ

kde: gSlgmG ⋅⋅⋅=⋅= ρ je vlastná tiaž prúta.

Príklad 2.8

Riešte prút podľa obr.2.14 rotujúci konštantnou uhlovou rýchlosťou ωωωω . Vypočítajte priebeh napätí a predĺžení pozdĺž osi prúta.

25

Riešenie:

Ide o prípad, ktorý bol všeobecne popísaný vzťahmi (2.20) a (2.21). V danom prípade je zrýchlenie odstredivé a má veľkosť:

( )ξω −⋅= la 2

Potom:

( )

−⋅⋅⋅=⋅

−⋅⋅⋅=

−⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅=

∫

∫

6

x

2

lx

Ed

2l

Ex

2

xlxdl

22x

0

2

2x

0

2x

ωρξξξωρ∆

ωρξξωρσ

Celkové predĺženie: 32 lE3

l ⋅⋅⋅

= ωρ∆ (2.22)

2.7 Jednoduché rotačne symetrické úlohy vedúce na ťah

a) Tenký prstenec

Na čistý ťah vedie pevnostné riešenie tenkého prstenca (obruče, potrubie s vnútorným pretlakom, tlaková nádoba). Po nasadení prstenca na hriadeľ nalisovaním (za tepla alebo za studena) vznikne na styčnej ploche medzi prstencom a hriadeľom tlak p za súčasného zväčšenia priemeru prstenca. Vzniká teda trvalé pružné zväčšenie obvodu prstenca - prstenec je namáhaný na ťah. V dôsledku tlaku na styčnej ploche vzniká trecia sila, ktorá bráni pohybu prstenca v axiálnom smere.

Obr. 2.15

Uvažujme teda prstenec podľa obr.2.15. Keďže platí predpoklad h <<<<<<<< r, môžeme uvažovať, že napätie v radiálnom reze je rozložené rovnomerne ako pri čistom ťahu. Z prstenca vyberieme radiálnymi rezmi element. V dôsledku vnútorného pretlaku p bude na vnútornú plochu elementu pôsobiť radiálna sila:

αdrbpdSpdF ⋅⋅⋅=⋅=

Zo zložkového obrazca síl (obr.2.15) dostaneme podmienku rovnováhy:

αdNdF ⋅=

kde: N - je vnútorná obvodová sila, pre ktorú platí: rbpN ⋅⋅=

26

Obvodové napätie pôsobiace na priečnom reze plochy So = b.h má potom veľkosť:

h

rp

hb

N

S

N

0

⋅=⋅

==σ (2.23)

Ak označíme ∆∆∆∆r zväčšenie polomeru prstenca, dostaneme z Hookovho zákona vzťah pre pomerné predĺženie:

( ) ⋅⋅⋅⋅=∆⇒⋅⋅=σ=∆=

⋅π⋅⋅π⋅−∆+⋅π⋅=ε r

hE

rp

Er

r

r

rrr

2

22 (2.24)

Zo vzťahu (2.24) môžeme vypočítať, aký musí byť rozdiel medzi polomerom hriadeľa a vnútorným polomerom prstenca (tzv. presah), aby na styčnej ploche vznikol po nalisovaní prstenca na hriadeľ tlak p:

hE

rpr

2

⋅⋅=∆ (2.25)

Príklad 2.9

Navrhnite krúžok, ktorý po nalisovaní na hriadeľ polomeru r =25mm má zachytiť axiálnu silu Fa = 2000 N. Krúžok má byť vyrobený z ocele 12050. Súčiniteľ trenia f = 0,1. Rm = 650 MPa, k´= 3 , b = 6 mm

Riešenie:

Axiálnu silu zachytí trecia sila na styčnej ploche medzi krúžkom a hriadeľom: fpbr2fpSFa ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= π

Odtiaľ: fbr2

Fp a

⋅⋅⋅⋅=

π Potom môžeme zo vzťahu (2.23) vypočítať obvodové napätie, pričom σσσσ ≤≤≤≤ σσσσD:

k

R

fhb2

F mD

at ′

=≤⋅⋅⋅⋅

= σπ

σ

Ak zvolíme šírku prstenca b = 6 mm a pre daný materiál Rm = 650 MPa, k’= 3, môžeme vypočítať hrúbku prstenca:

m105,2106501,01062

3102

Rfb2

kFh 3

63

3

m

a −− ⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅′⋅≥

ππ

Volíme h = 3 mm. Potom vznikne napätie:

MPa177Pa1,01031062

102

fhb2

T33

3

t =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅⋅

= −−ππσ

Potrebný minimálny presah určíme zo vzťahu (2.25) :

mm101,2101,2

1771025

E

rr 2

5

3

min−

−

⋅=⋅

⋅⋅=⋅= σ∆

27

Maximálny prípustný presah je obmedzený pevnosťou materiálu. Ak zvolíme pre tento krajný prípad k’=2,5 , dostaneme:

mm101,3101,25,2

6501025

Ek

Rrr 2

5

3m

max−

−

⋅=⋅⋅⋅⋅=

⋅′⋅=∆

Z hodnôt ∆∆∆∆rmin , ∆∆∆∆rmax určíme šírku tolerančného poľa hriadeľa a otvoru krúžku.

b) Rotujúci veniec zotrvačníka

Analogicky ako krúžok po nalisovaní je namáhaný veniec rotujúceho zotrvačníka, ak si odmyslíme rušivé pôsobenie ramien, ku ktorým je veniec prichytený. Obvodové napätie a zväčšenie polomeru venca vypočítame zo vzťahov (2.23) a (2.25), ak dosadíme namiesto tlaku p veľkosť odstredivej sily pripadajúcej na jednotku obvodovej plochy venca:

rhbr2

r.hbr2

S

r.mp 2

22

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= ωρπ

ωρπω

kde: ρρρρ - je hustota materiálu, ωωωω - uhlová rýchlosť: 30/n⋅= πω n - otáčky za minútu.

Význam ostatných veličín je rovnaký ako na obr.2.15. Potom po dosadení do (2.23) a (2.25) dostaneme:

222 vr ⋅=⋅⋅= ρωρσ (2.26)

rvE

rE

r 232 ⋅⋅=⋅⋅= ρωρ∆ (2.27)

kde: v = ωωωω . r je obvodová rýchlosť venca.

Ak porovnáme vzťahy (2.22) a (2.27) vidíme, že zväčšenie polomeru rotujúceho venca vychádza trikrát väčšie ako predĺženie rotujúceho prizmatického ramena o dĺžke rovnej polomeru venca (l = r). V dôsledku toho je deformácia venca spojeného s ramenami zložitejšia (časti obvodu medzi ramenami sa deformujú viac).

2.8 Jednoduché staticky neurčité prípady ťahu a tlaku

Staticky neurčitá sústava je sústava, pri ktorej rovnice statickej rovnováhy nepostačujú k určeniu všetkých reakcií. Ináč povedané - rovníc je menej ako počet neznámych síl. K týmto rovniciam preto musíme pripojiť doplňujúce nezávislé rovnice, aby ich celkový počet bol rovný počtu neznámych. Doplňujúce rovnice dostaneme vyšetrením deformácie sústavy. K rovniciam statickej rovnováhy pripájame tzv. deformačné rovnice, vyjadrujúce deformačné podmienky sústavy. Ich zostavenie si ukážeme na konkrétnych prípadoch staticky neurčitých sústav. Uvažujme prizmatickú tyč uchytenú pevne na oboch koncoch a zaťaženú podľa obr.2.16 silou F.

Silu F zachytia reakcie R1, R2 na koncoch tyče. Pretože ide o tri sily pôsobiace na jednej vektorovej priamke, je možné napísať jednu rovnicu statickej rovnováhy:

0RFR 21 =+− (2.28)

28

Obr. 2.16 Obr. 2.17

Pretože táto rovnica obsahuje dve neznáme sily, nepostačuje k riešeniu úlohy. Úloha je jeden krát staticky neurčitá. K vyšetreniu oboch reakcií je potrebné vyšetriť deformáciu tyče a zostaviť deformačné rovnice. Metódou mysleného rezu (obr.2.17a,b) určíme, že v spodnej časti tyče pôsobí vnútorná sila N1 = -R1 a v hornej časti tyče sila N2 = F - R1 . Celkové predĺženie tyče je:

( )SE

lF

SE

llR

SE

lN

SE

lNlll 22112211

21 ⋅⋅+

⋅+⋅−=

⋅⋅+

⋅⋅=+= ∆∆∆ (2.29)

Pretože je tyč pevne votknutá, je celkové predĺženie tyče nulové:

0ll 21 =+ ∆∆

Po dosadení z (2.29) a po násobení E.S ≠≠≠≠ 0 dostaneme: ( ) 0lFllR 2211 =⋅−+⋅ (2.30)

Toto je hľadaná deformačná rovnica, ktorá spolu s rovnicou (2.28) postačuje k určeniu reakcií:

21

21 ll

lFR

+⋅=

21

12 ll

lFR

+⋅=

Riešenie staticky neurčitých sústav si ďalej ukážeme na prípade prútovej sústavy podľa obr.2.18a.

Obr. 2.18

29

Rovnice statickej rovnováhy majú v danom prípade tvar:

0Fx =∑ 0sinNsinN 31 =⋅+⋅− αα (2.31)

0Fy =∑ 0FcosNNcosN 321 =−⋅++⋅ αα (2.32)

0M =∑

Momentovú podmienku nie je potrebné uvažovať, lebo všetky sily prechádzajú jedným bodom A. K dvom rovniciam (2.31) a (2.32) o troch neznámych musíme pripojiť ešte deformačnú rovnicu. Deformačnú rovnicu zostavíme na základe podmienky, že po zaťažení silou F sa spoločný bod A dostane do polohy A’. Budeme predpokladať, že deformácia sústavy je taká malá, že uhol αααα sa prakticky nemení. Vzťah medzi deformáciami prútov nájdeme z deformačného trojuholníka na obr.2.18c:

α∆∆ cosll 21 ⋅=

Ak dosadíme do tohoto vzťahu z Hookovho zákona:

SE

lNl 111 ⋅

⋅=∆ SE

coslN

SE

lNl 12222 ⋅

⋅⋅=⋅⋅= α∆

Dostaneme: α221 cosNN ⋅= (2.33)

Riešením rovníc (2.31) až (2.33) dostaneme :

α32 cos21

FN

⋅+=

αα3

2

31 cos21

cosFNN

⋅+⋅==

Záverom je potrebné poznamenať, že vôľa v kĺboch, výrobné nepresnosti v dĺžkach prútov a montážne nepresnosti môžu výrazne ovplyvniť skutočnú veľkosť síl staticky neurčitých sústav. V prútoch potom vznikajú napätia aj bez pôsobenia vonkajších síl. Na rozdiel od toho u staticky určitých sústav nevyvolávajú montážne a výrobné nepresnosti žiadne napätia v sústave.

Príklad 2.10

Sústava podľa obr.2.19a pozostávajúca z dokonalo tuhého nosníka a dvoch pružných oceľových prútov dĺžky l = 500 mm s plochou priečneho prierezu S = 50 mm2 je zaťažená silou F = 5000 N. Vypočítajte: a) Veľkosť síl a napätí v jednotlivých prútoch.

b) Ako sa zmenia sily a napätia v prútoch, ak v dôsledku výrobnej nepresnosti bude prút 2

o δδδδ = 0,48mm kratší.

Riešenie:

a) Sústavu uvoľníme podľa obr.2.19b tak, že zavedieme reakcie N1, N2 ako osové sily v prútoch a reakciu R v závesnom bode 0. Pretože reakcia R nás nezaujíma, napíšeme momentovú rovnicu statickej rovnováhy vzhľadom k bodu 0:

0aF3aN.2aN 21 =⋅⋅−⋅+⋅ alebo: 0F3N2N 21 =⋅−⋅+ (2.34)

30

Obr. 2.19

Úloha je jeden krát staticky neurčitá. Musíme teda pripojiť jednu deformačnú rovnicu. Z obr.2.19b je zrejmé, že medzi deformáciami ∆∆∆∆l1, ∆∆∆∆l2 platí vzťah ∆∆∆∆l2 = 2 . ∆∆∆∆l1 . Ak tu dosadíme z Hookovho zákona:

SE

lNl 11 ⋅

⋅=∆ SE

lNl 22 ⋅

⋅=∆

Dostaneme rovnicu : 12 N2N ⋅= (2.35)

Riešením rovníc (2.34) a (2.35) dostaneme výsledok :

F5

3N1 ⋅= F

5

6N2 ⋅= (2.36)

Číselne : N3000N1 = N6000N2 =

Príslušné napätia : MPa60S

N11 ==σ MPa120

S

N22 ==σ (2.37)

b) Ak bude prút 2 kratší o dĺžku δδδδ (obr.2.19c), bude potrebné pri montáži prút 1 stlačiť o dĺžku ∆∆∆∆l10 a prút 2 o dĺžku ∆∆∆∆l20 natiahnuť. Z obr.2.19c je zrejmé, že pre počiatočné deformácie musí platiť:

δ = − ′ +∆ ∆l l10 20

Kde: ∆∆∆∆l’10 <<<< 0 je tlaková deformácia prúta 1 prevedená do miesta prúta 2 . Platí: ∆∆∆∆l’10 = 2 . ∆∆∆∆l10

Potom: 2010 ll2 ∆∆δ +⋅−= (2.38)

31

Pri týchto deformáciách vzniknú v prútoch 1, 2 sily N10, N20. Ak pre tieto sily napíšeme momentovú rovnicu statickej rovnováhy:

02 2010 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−− aNaN

Dostaneme: 2010 N2N ⋅= (2.39)

Z Hookovho zákona dostaneme:

SE

lN2

SE

lNl 201010 ⋅

⋅⋅−=⋅

⋅−=∆ SE

lNl 2020 ⋅

⋅=∆

Dosadením do (2.38) vzhľadom k (2.39) dostaneme:

l5

SEN20 ⋅

⋅⋅= δ

l5

SE2N10 ⋅

⋅⋅⋅−= δ (2.40)

Aj keď nebude pôsobiť na sústavu vonkajšia sila, vznikne v prúte 1 tlakové napätie:

MPa80MPa5,05

101,21048,02

l.5

E2

S

N 5310

10 −=⋅

⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅−==−δσ

a v prúte 2 ťahové napätie:

MPa402S

N 102020 === σσ

Po pripojení vonkajšej sily F bude výsledné zaťaženie prútov dané superpozíciou síl (2.36) a (2.40):

N8000l5

SEF

5

6NNN

N1000l5

SE2F

5

3NNN

2022

1011

=⋅

⋅⋅+⋅=+=′

−=⋅

⋅⋅⋅−⋅=+=′

δ

δ

Príslušné napätia: MPa20S

N11 −=

′=′σ (tlak)

MPa160S

N22 =

′=′σ (ťah)

2.9 Napätie spôsobené zmenou teploty

Zmenou teploty sa menia rozmery súčiastok a konštrukcií. Ak zabránime možnosti voľných teplotných dilatácií, vzniknú teplotné pnutia. Podstatu vzniku teplotných pnutí si ukážeme na jednoduchom príklade prúta upnutého medzi pevné steny podľa obr.2.20.

Obr. 2.20

32

Nech je prút vložený medzi steny bez predpätia. Po ohriatí sa prút bude snažiť predĺžiť a bude rozpínať oporné plochy. Stena je však nehybná a bude pôsobiť na prút reakciami R, ktoré vyvolajú vnútorné pnutie v prúte. Veľkosť reakcie nie je možné určiť z podmienok statiky, lebo ide o úlohu staticky neurčitú. Je preto potrebné zostaviť deformačnú rovnicu prúta. Počítame pritom s tým, že celková dĺžka prúta sa nezmení. Ak by bol prút voľný, predĺžil by sa v dôsledku nárastu teploty z t1 na t2 o hodnotu:

( )12t ttll −⋅⋅= α∆

kde: αααα - je súčiniteľ tepelnej rozťažnosti. Pôsobením reakcie R by sa prút skrátil o hodnotu:

SE

lRlR ⋅

⋅=∆

Pretože celkové predĺženie prúta je nulové, platí :

0ll Rt =+ ∆∆

Potom: ( )12 ttSER −⋅⋅⋅−= α

Napätie: ( )12 ttES

R −⋅⋅−== ασ (2.41)

Ak t2 >>>> t1 vzniká namáhanie tlakové, ak je t2 <<<< t1 je namáhanie ťahové. Zo vzťahu (2.41) jednoducho určíme, že u oceľového prúta (αααα = 1,2.10-5 K-1) pri zmene teploty o 10C sa zmení napätie o ∆∆∆∆σσσσ = -αααα . E = -1,2.10-5. 2,1.105 MPa = -2,5 MPa.

Príklad 2.11

Vypočítajte ako sa zmení napätie v prútoch sústavy podľa predchádzajúceho príkladu (obr.2.19), ak vzrastie teplota prúta 1 oproti prútu 2 o ∆∆∆∆t = 500C .

Riešenie:

Riešenie môžeme previesť na riešenie predchádzajúceho príkladu (po b), ak uvážime, že pri náraste teploty prúta 1, bude prút 2 kratší o:

tllt ∆α∆δ ⋅⋅==

Potom:

tE5

1

S

F

tE5

2

S

F

22

2

11

1

∆ασσ

∆ασσ

⋅⋅⋅+=′

=′

⋅⋅⋅−=′

=′

Číselne: MPa145

MPa10

2

1

=′=′

σσ