Tlak u Kapljici Kise Microphys

8/4/2019 Tlak u Kapljici Kise Microphys

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C h a p t e r 5

C l o u d M i c r o p h y s i c s

5 . 1 N u c l e a t i o n o f h y d r o m e t e o r s

5 . 1 . 1 H e t e r o g e n e o u s n u c l e a t i o n o f c l o u d d r o p l e t s

W h e n a p a r c e l o f m o i s t a i r r i s e s t o t h e c o n d e n s a t i o n l e v e l , t h e l i q u i d p h a s e

i n i t i a l l y t a k e s t h e f o r m o f s m a l l d r o p l e t s w h i c h f o r m , o r n u c l e a t e o n w a t e r -

s o l u b l e a e r o s o l p a r t i c l e s . T h e n u m b e r o f d r o p l e t s w h i c h f o r m i s t h e r e f o r e a

s t r o n g f u n c t i o n o f t h e c o n c e n t r a t i o n , c o n s t i t u t i o n , a n d s i z e d i s t r i b u t i o n o f

s u c h a e r o s o l s . A s t h e r e l a t i v e h u m i d i t y i n c r e a s e s , t h e s e p a r t i c l e s g r o w b y

a b s o r p t i o n o f w a t e r m o l e c u l e s , f o r m i n g a c o n c e n t r a t e d s o l u t i o n . H o w e v e r ,

f u r t h e r g r o w t h i n t o c l o u d d r o p l e t s d e p e n d s o n c r i t e r i a w h i c h w e n o w d i s c u s s .

G r o w t h o f t h e s e a e r o s o l s a n d d r o p l e t s o c c u r s w h e n t h e a c t u a l v a p o r p r e s -

s u r e o f w a t e r e x c e e d s t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e r e l a t i v e t o t h e d r o p l e t

i n q u e s t i o n . T h i s d r o p l e t - s p e c i c s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e d i e r s f r o m t h e

s t a n d a r d s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e a s t h e r e s u l t o f t w o c o m p e t i n g p r o c e s s e s :

( 1 ) T h e K e l v i n e e c t c a u s e s t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e o v e r t h e c u r v e d

s u r f a c e o f t h e d r o p l e t t o b e g r e a t e r t h a n t h a t o v e r a a t w a t e r s u r f a c e . ( 2 )

R a o u l t ' s l a w t e l l s u s t h a t t h e v a p o r p r e s s u r e o v e r w a t e r c o n t a i n i n g a s o l u t e

i s l e s s t h a n t h a t o v e r p u r e w a t e r .

K e l v i n e e c t

I n t h e c h a p t e r o n t h e r m o d y n a m i c s w e l e a r n e d , c o n t r a r y t o t h e c o m m o n a s -

s e r t i o n , t h a t t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e o f w a t e r v a p o r i s a c t u a l l y a ( w e a k )

f u n c t i o n o f t h e e n v i r o n m e n t a l p r e s s u r e p . W e c a n w r i t e t h i s d e p e n d e n c e i n

7 3


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C H A P T E R 5 . C L O U D M I C R O P H Y S I C S 7 4

Fp

FF

pd

a

p p

R

F i g u r e 5 . 1 : T h e p r e s s u r e pd i n s i d e a c l o u d d r o p l e t o f r a d i u s a i s g r e a t e r t h a n t h e s u r r o u n d i n g p r e s s u r e p d u e t o t h e s u r f a c e t e n s i o n . t h e f o r c e o f s u r f a c e t e n s i o n F o n a c i r c u l a r r e g i o n o f d r o p l e t s u r f a c e o f r a d i u s R i s b a l a n c e d b y t h e p r e s s u r e f o r c e a c r o s s t h e s u r f a c e .

t h e f o r m

eS(T, p) = eS(T) exp[p/(RVT w)], ( 5 . 1 )

w h e r e eS(T) i s t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e a t z e r o p r e s s u r e a n d t e m p e r a - t u r e T ( a n d i s t h e c o m m o n l y q u o t e d e x p r e s s i o n f o r s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e ; s e e t h e c h a p t e r o n t h e r m o d y n a m i c s ) . T h i s p r e s s u r e d e p e n d e n c e b e c o m e s i m -

p o r t a n t i n s m a l l d r o p l e t s i n w h i c h t h e p r e s s u r e i n s i d e t h e d r o p i s e n h a n c e d

o v e r t h e p r e s s u r e i n t h e s u r r o u n d i n g a i r . T h i s p r e s s u r e d i e r e n c e i s c a l l e d

t h e K e l v i n e e c t .

F i g u r e 5 . 1 s h o w s h o w t h i s i n c r e a s e d p r e s s u r e i n s i d e t h e d r o p i s p r o d u c e d .

D u e t o s u r f a c e t e n s i o n , a f o r c e p e r u n i t l e n g t h i s e x e r t e d a c r o s s t h e b o u n d - a r y o f t h e c i r c u l a r r e g i o n o f d r o p s u r f a c e i l l u s t r a t e d i n c r o s s - s e c t i o n i n t h i s

g u r e . T h e t o t a l d o w n w a r d c o m p o n e n t o f t h i s f o r c e i s 2R sin(/2) , w h i c h i n t h e s m a l l a n g l e a p p r o x i m a t i o n b e c o m e s R = 2R2/a , s i n c e 2R/a.

T h e u p w a r d p r e s s u r e f o r c e o n t h e s u r f a c e i s

R2

(pd p)w h e r e

pdi s t h e

p r e s s u r e i n s i d e t h e d r o p a n d p i s t h e p r e s s u r e o f t h e s u r r o u n d i n g a i r . E q u a t - i n g t h e s e t w o f o r c e s t e l l s u s t h a t

pd p = 2/a. ( 5 . 2 )


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S i n c e = 7.5 102 N m 1 f o r w a t e r n e a r t h e f r e e z i n g p o i n t , pd p =

1500h P a f o r a d r o p l e t o f r a d i u s

a = 10

6m , a n o t i n c o n s i d e r a b l e p r e s s u r e

d i e r e n c e .

I n e q u a t i o n ( 5 . 1 ) , t h e p r e s s u r e i s a c t u a l l y t h e p r e s s u r e pd i n t h e l i q u i d i n s i d e t h e d r o p . T h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e o v e r a d r o p l e t o f r a d i u s a i st h e r e f o r e

eS(T, pd) = eS(T, p) exp[2/(RVT wa)] eS(T)(1 + ak/a), ( 5 . 3 )

w h e r e t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n b y a r s t o r d e r T a y l o r

s e r i e s i s q u i t e a c c u r a t e f o r t h e r a n g e o f v a l u e s e n c o u n t e r e d i n t h e a t m o s p h e r e

a n d w h e r e ak = 2/(RVT w) ( 1.2 109 m a t T = 273 K ) . W e h a v e a l s o a p p r o x i m a t e d

eS(T, p)b y

eS(T, 0) = eS(T).

R e d u c t i o n o f s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e b y s o l u t e

R a o u l t ' s l a w i n d i c a t e s t h a t t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e o f w a t e r c o n t a i n i n g

a s o l u t e i s r e d u c e d f r o m t h e p u r e w a t e r v a l u e b y t h e a c t i v i t y

X =nw

nw + ns, ( 5 . 4 )

w h e r e nw i s t h e n u m b e r o f m o l e s o f w a t e r i n t h e d r o p l e t a n d ns i s t h e n u m b e r o f m o l e s o f s o l u t e . R a o u l t ' s l a w i s n ' t p a r t i c u l a r l y a c c u r a t e f o r e l e c t r o l y t e s ,

s u c h a s t h e t y p i c a l s a l t s e n c o u n t e r e d i n a t m o s p h e r i c a e r o s o l s , b u t w e w i l l

u s e i t h e r e f o r t h e p u r p o s e s o f i l l u s t r a t i o n . A m o r e e x a c t t r e a t m e n t m a y b e

f o u n d i n P r u p p a c h e r a n d K l e t t ( 1 9 7 8 ) . W e f u r t h e r a s s u m e t h a t ns nw , s ot h a t w e c a n a p p r o x i m a t e t h e a c t i v i t y a s

X = 1 ns/nw. ( 5 . 5 )

W e n o w s e t ns = Ms/ms w h e r e Ms i s t h e m a s s o f s o l u t e i n t h e d r o p l e t a n d ms i s i t s m o l e c u l a r w e i g h t . A s i m i l a r e x p r e s s i o n f o r t h e n u m b e r o f m o l e s o f w a t e r i n t h e d r o p l e t y i e l d s nw = Mw/mV = 4a3w/(3mV), w h e r e mVi s t h e m o l e c u l a r w e i g h t o f w a t e r s u b s t a n c e a n d w h e r e w e a s s u m e t h a t t h e

d e n s i t y o f t h e s o l u t e i s u n c h a n g e d f r o m t h e d e n s i t y w o f p u r e w a t e r . T h e a c t i v i t y t h u s b e c o m e s

X = 1 3mVMs

4mswa3 1

a3sa3

( 5 . 6 )


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droplet radius

C

activation humidity

1

relativehumidity

A

B

activation radius

F i g u r e 5 . 2 : S c h e m a t i c p l o t s o f e q u i l i b r i u m r e l a t i v e h u m i d i t y v e r s u s d r o p l e t

r a d i u s f o r p u r e w a t e r ( c u r v e A C ) a n d s o l u t i o n ( c u r v e B C ) . T h e a c t i v a t i o n

r e l a t i v e h u m i d i t y i s g e n e r a l l y l e s s t h a n 1.01 a n d a c t i v a t i o n o c c u r s t y p i c a l l y f o r d r o p l e t r a d i i l e s s t h a n 1 m.

w h e r e as = [3mVMs/(4msw)]1/3

, a n d t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e o v e r a

d r o p l e t c o n s i s t i n g o f a s o l u t i o n w i t h a c t i v i t y X i s

eS(T, pd, X) = XeS(T, pd). ( 5 . 7 )

K h l e r c u r v e s

C o m b i n i n g t h e K e l v i n e e c t a n d R a o u l t ' s l a w r e s u l t s i n t h e e x p r e s s i o n

He = eS(T, pd, X)/eS(T)

1 +

aka

a3sa3

, ( 5 . 8 )

w h e r e He i s t h e e q u i l i b r i u m r e l a t i v e h u m i d i t y f o r t h e d r o p l e t , o r t h e v a l u e o f t h e r e l a t i v e h u m i d i t y r e l a t i v e t o a a t s u r f a c e o f p u r e w a t e r w h i c h r e s u l t s i n

a v a p o r p r e s s u r e e q u a l t o t h e s a t u r a t e d v a p o r p r e s s u r e o v e r t h e d r o p l e t o f

s o l u t i o n .

F i g u r e 5 . 2 s h o w s s c h e m a t i c p l o t s o f t h e e q u i l i b r i u m r e l a t i v e h u m i d i t y a s

a f u n c t i o n o f d r o p l e t r a d i u s f o r d r o p l e t s c o n s i s t i n g o f p u r e w a t e r ( c u r v e A C )

a n d s o l u t e ( c u r v e B C ) . I f t h e a c t u a l h u m i d i t y i s h i g h e r t h a n t h e e q u i l i b -

r i u m h u m i d i t y f o r t h e d r o p l e t ' s r a d i u s a n d s o l u t e c o n c e n t r a t i o n , t h e n t h e


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d r o p l e t w i l l e x p e r i e n c e c o n d e n s a t i o n a n d w i l l g r o w . C o n v e r s e l y , i f t h e a c t u a l

h u m i d i t y i s l e s s t h a n t h i s v a l u e , t h e d r o p l e t w i l l e v a p o r a t e .

T h e p o i n t s A a n d C i n g u r e 5 . 2 t h u s r e p r e s e n t u n s t a b l e e q u i l i b r i a , i n t h a t

i f t h e d r o p l e t r a d i u s s h o u l d b e c o m e s l i g h t l y l a r g e r t h a n t h e i n d i c a t e d v a l u e ,

t h e e q u i l i b r i u m r e l a t i v e h u m i d i t y b e c o m e s l e s s t h a n t h e a c t u a l v a l u e , a n d

t h e d r o p l e t g r o w s f u r t h e r , t h u s d e p a r t i n g m o r e f r o m t h e e q u i l i b r i u m p o i n t .

L i k e w i s e , a r a d i u s s l i g h t l y l e s s t h a n t h e e q u i l i b r i u m v a l u e p r o d u c e s a c c e l e r -

a t i n g e v a p o r a t i o n . I n c o n t r a s t , t h e p o i n t B r e p r e s e n t s a s t a b l e e q u i l i b r i u m ,

w i t h d e p a r t u r e s f r o m t h e s p e c i e d d r o p l e t r a d i u s r e s u l t i n g i n a t e n d e n c y t o

r e t u r n t o t h i s r a d i u s .

I f t h e r e l a t i v e h u m i d i t y i s i n c r e a s e d t o t h e a c t i v a t i o n h u m i d i t y f o r a s o l u t e

d r o p , a s i l l u s t r a t e d i n g u r e 5 . 2 , t h e d r o p r a d i u s w i l l i n c r e a s e b e y o n d t h e a c -

t i v a t i o n r a d i u s a n d t h e d r o p l e t w i l l t h e n u n d e r g o u n b o u n d e d c o n d e n s a t i o n a l

g r o w t h . W e s a y t h a t t h e o r i g i n a l a e r o s o l i s a c l o u d c o n d e n s a t i o n n u c l e u s o r

C C N a n d h a s b e c o m e a c t i v a t e d . T h i s i s t h e p r o c e s s o f h e t e r o g e n e o u s n u c l e -

a t i o n .

H o m o g e n e o u s n u c l e a t i o n i s t h e p r o c e s s b y w h i c h a n u m b e r o f w a t e r m o l e c u l e s

s p o n t a n e o u s l y a g g r e g a t e b y a c c i d e n t , t h u s f o r m i n g a v e r y s m a l l d r o p l e t . V e r y

h i g h v a l u e s o f t h e r e l a t i v e h u m i d i t y a r e r e q u i r e d f o r s u c h d r o p l e t s t o g r o w ,

b e c a u s e t h e i r i n i t i a l r a d i u s i s s o s m a l l a n d b e c a u s e t h e y h a v e n o s o l u t e c o n -

t e n t t o r e d u c e t h e i r e q u i l i b r i u m r e l a t i v e h u m i d i t y t o a m o r e r e a s o n a b l e v a l u e .

H o m o g e n e o u s n u c l e a t i o n r a r e l y o c c u r s i n t h e a t m o s p h e r e , a s w a t e r - s o l u b l e

a e r o s o l s a r e a l m o s t a l w a y s a v a i l a b l e i n s u c i e n t q u a n t i t i e s t o p r o d u c e e n o u g h

h e t e r o g e n e o u s n u c l e a t i o n t o t a k e u p t h e a v a i l a b l e w a t e r v a p o r a t v a p o r p r e s -

s u r e s o n l y s l i g h t l y a b o v e t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e . I t i s f o r t h i s r e a s o n

t h a t c l o u d m o d e l s g e n e r a l l y a s s u m e a l l w a t e r v a p o r i n e x c e s s o f t h a t r e -

q u i r e d t o p r o d u c e s a t u r a t i o n o v e r a p u r e , a t w a t e r s u r f a c e t o b e i n s t a n t l y

c o n d e n s e d .

C u m u l u s c l o u d u p d r a f t s i n v e r y c l e a n a i r o v e r o c e a n s o f t e n n u c l e a t e 200 o rf e w e r C C N p e r c u b i c c e n t i m e t e r , w h i l e c o m p a r a b l e u p d r a f t s i n c o n t a m i n a t e d

a i r o v e r l a n d c a n p r o d u c e o n e t o t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e h i g h e r d r o p l e t

c o n c e n t r a t i o n s . T h i s d i e r e n c e h a s s i g n i c a n t c o n s e q u e n c e s f o r t h e a b i l i t y

o f c u m u l u s c l o u d s t o p r o d u c e p r e c i p i t a t i o n i n t h e t w o s i t u a t i o n s , a s w e s h a l l

s e e .


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5 . 1 . 2 I c e n u c l e a t i o n

C l o u d d r o p l e t s d o n o t f r e e z e s p o n t a n e o u s l y w h e n t h e y a r e l i f t e d a b o v e t h e

f r e e z i n g l e v e l b y u p d r a f t s . I n f a c t , s p o n t a n e o u s f r e e z i n g d o e s n o t o c c u r u n t i l

d r o p l e t s a r e c o o l e d t o a t l e a s t 40 C . M o s t f r e e z i n g i n c l o u d s t h e r e f o r e o c c u r s b y t h e a c t i o n o f i c e n u c l e i .

I c e n u c l e i a r e a e r o s o l s w h i c h c r e a t e i c e c r y s t a l s a t t e m p e r a t u r e s b e l o w

f r e e z i n g b y o n e o f t h r e e m e c h a n i s m s ( P r u p p a c h e r a n d K l e t t , 1 9 7 8 ) : d i r e c t

d e p o s i t i o n o n t o t h e a e r o s o l ; f r e e z i n g v i a a n a e r o s o l w h i c h h a s p r e v i o u s l y b e e n

i n c o r p o r a t e d i n t o t h e d r o p l e t ; a n d f r e e z i n g w h i c h o c c u r s w h e n a n a e r o s o l i n

t h e s u r r o u n d i n g a i r c o m e s i n c o n t a c t w i t h t h e d r o p l e t . T h e e e c t i v e n e s s o f

i c e n u c l e i b e c o m e s g r e a t e r a s t h e t e m p e r a t u r e d e c r e a s e s . A c c o r d i n g t o Y o u n g

( 1 9 9 3 ) , c o m p l e t e f r e e z i n g i n i t i a t e d b y c o m m o n l y p r e s e n t i c e n u c l e i g e n e r a l l y

o c c u r s i n t h e a t m o s p h e r e b y 20 C . P a r t i c u l a r l y e e c t i v e i c e n u c l e i s u c h a s s i l v e r i o d i d e c r y s t a l s c a n i n i t i a t e f r e e z i n g a t t e m p e r a t u r e s a s w a r m a s 4 C .

M a n y f a c e t s o f i c e n u c l e a t i o n a r e s t i l l n o t w e l l u n d e r s t o o d ; i t i s a e l d l l e d

w i t h f o r m i d a b l e o b s e r v a t i o n a l , e x p e r i m e n t a l , a n d t h e o r e t i c a l d i c u l t i e s .

5 . 2 D i u s i v e g r o w t h

H e r e w e c o n s i d e r t h e g r o w t h o f w a t e r d r o p l e t s , a n d b r i e y , t h e g r o w t h o f i c e

c r y s t a l s b y d i u s i v e p r o c e s s e s .

5 . 2 . 1 G r o w t h o f w a t e r d r o p l e t s

W e n o w i n v e s t i g a t e t h e d i u s i o n a l g r o w t h o f s m a l l w a t e r d r o p s i n t h e p r e s e n c e

o f s u p e r s a t u r a t i o n , i . e . , a r e l a t i v e h u m i d i t y H g r e a t e r t h a n t h e e q u i l i b r i u m r e l a t i v e h u m i d i t y He o f t h e d r o p l e t i n q u e s t i o n . A s i l l u s t r a t e d i n g u r e 5 . 3 , l a t e n t h e a t r e l e a s e d a t t h e s u r f a c e o f t h e d r o p b y c o n d e n s a t i o n o f t h e v a p o r

m u s t b e e x p o r t e d d i u s i v e l y .

G i v e n a g r a d i e n t i n t h e d e n s i t y o f w a t e r v a p o r V , t h e u x o f w a t e r v a p o r i s

FV = DV, ( 5 . 9 )

w h e r e D i s t h e d i u s i v i t y o f w a t e r m o l e c u l e s i n a i r . A d j u s t m e n t o f t h e w a t e r v a p o r d i s t r i b u t i o n c a n b e s h o w n i n t h i s c a s e t o o c c u r v e r y r a p i d l y c o m p a r e d

t o o t h e r p o s s i b l e p r o c e s s e s , w h i c h m e a n s t h a t t o a g o o d a p p r o x i m a t i o n t h e


7/19


a

r

F i g u r e 5 . 3 : A d r o p l e t g r o w i n g b y d i u s i o n i m p o r t s w a t e r v a p o r ( i n w a r d

a r r o w s ) a n d e x p o r t s t h e l a t e n t h e a t p r o d u c e d b y c o n d e n s a t i o n o f t h e v a p o r

o n t h e d r o p s u r f a c e ( o u t w a r d a r r o w s ) .

w a t e r v a p o r d i s t r i b u t i o n s a t i s e s t h e t i m e - i n d e p e n d e n t d i u s i o n e q u a t i o n

2V = 0. T h i s h a s t h e s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c s o l u t i o n

V r = V +(V a V)a

r, ( 5 . 1 0 )

w h e r e V r i s t h e v a p o r d e n s i t y a t r a d i u s r , w i t h V a b e i n g t h e v a l u e a t t h e s u r f a c e o f t h e d r o p l e t , a n d w h e r e V i s n o w t a k e n a s t h e d e n s i t y f a r f r o m t h e d r o p l e t . W i t h t h i s s o l u t i o n t h e r a d i a l c o m p o n e n t o f t h e u x a t t h e s u r f a c e

o f t h e d r o p i s

FV a =D(V a V)

a. ( 5 . 1 1 )

T h e t i m e r a t e o f c h a n g e o f t h e d r o p l e t m a s s Md c a n b e r e l a t e d t o t h i s u x :

dMddt

= 4a2FV a. ( 5 . 1 2 )

G i v e n t h a t f o r a s p h e r i c a l d r o p , Md = 4a3w/3 w h e r e w i s t h e d e n s i t y o f l i q u i d w a t e r , t h i s e q u a t i o n c a n b e r e c a s t i n t e r m s o f t h e t i m e r a t e o f c h a n g e

o f t h e d r o p l e t r a d i u s . s u b s t i t u t i n g e q u a t i o n ( 5 . 1 1 ) , w e n d

adadt

= D(V a V)w

. ( 5 . 1 3 )

T h e d i u s i v e h e a t u x i s

FH = KT ( 5 . 1 4 )


8/19


a n d b y t h e s a m e a r g u m e n t s a s m a d e a b o v e , t h e t e m p e r a t u r e a t r a d i u s r i s

Tr = T + (Ta T)a

r( 5 . 1 5 )

w h e r e Ta i s t h e t e m p e r a t u r e a t t h e s u r f a c e o f t h e d r o p l e t a n d T i s t h e t e m p e r - a t u r e f a r f r o m t h e d r o p l e t . T h e h e a t u x a t t h e d r o p l e t s u r f a c e i s t h e r e f o r e

FHa =K(Ta T)

a. ( 5 . 1 6 )

T h e s e n s i b l e h e a t o w a w a y f r o m t h e d r o p l e t m u s t j u s t b a l a n c e t h e l a t e n t

h e a t o w t o w a r d t h e d r o p l e t , w h i c h m e a n s t h a t t h e u x e s o f v a p o r a n d h e a t

a r e r e l a t e d b y FHa = LFV a , w h e r e L i s t h e l a t e n t h e a t o f c o n d e n s a t i o n . T h u s , w e h a v e

K(Ta T) = LD(V a V). ( 5 . 1 7 )

A s l o n g a s t h e d r o p l e t r a d i u s i s m u c h g r e a t e r t h a n t h e m e a n f r e e p a t h o f

a i r m o l e c u l e s , i . e . , g r e a t e r t h a n a m i c r o m e t e r o r s o , t h e a i r a t t h e d r o p l e t

s u r f a c e w i l l b e s a t u r a t e d . B y t h e i d e a l g a s l a w ,

V a =eSd(Ta)

RVTa

eSd(Ta)

RVT

eSd(T)

RVT

1 +

1

eS

deSdT

(Ta T)

, ( 5 . 1 8 )

w h e r e eSd(Ta) i s t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e s p e c i c t o t h e d r o p , a t t h e d r o p l e t t e m p e r a t u r e . S e v e r a l a p p r o x i m a t i o n s h a v e b e e n m a d e : t h e d r o p l e t

t e m p e r a t u r e h a s b e e n r e p l a c e d b y t h e t e m p e r a t u r e d i s t a n t f r o m t h e d r o p i n

t h e d e n o m i n a t o r , b u t n o t i n t h e e x p r e s s i o n f o r t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e ,

s i n c e t h e v a p o r p r e s s u r e i s a v e r y s e n s i t i v e f u n c t i o n o f t h e t e m p e r a t u r e ; a

T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n h a s b e e n u s e d t o w r i t e t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e

a t t e m p e r a t u r e Ta i n t e r m s o f t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e a t t e m p e r a t u r e T; n a l l y , t h e d r o p l e t - s p e c i c s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e h a s b e e n r e p l a c e d b y t h e v a p o r p r e s s u r e o v e r a a t , p u r e w a t e r s u r f a c e i n t h e r s t o r d e r t e r m

o f t h e T a y l o r s e r i e s .

C o m p u t i n g t h e l o g r i t h m i c d e r i v a t i v e o f t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e

y i e l d s

1

eS

deSdT

=LL

RVT2( 5 . 1 9 )

w h e r e LL i s t h e l a t e n t h e a t o f c o n d e n s a t i o n . S u b s t i t u t i n g t h i s i n t o e q u a t i o n ( 5 . 1 8 ) n a l l y y i e l d s

V a =eS(T)He

RVT

1 +

LL(Ta T)

RVT2

, ( 5 . 2 0 )


9/19


w h e r e w e h a v e s e t eSd(T) = eS(T)He . R e c a l l t h a t He i s t h e e q u i l i b r i u m r e l - a t i v e h u m i d i t y o v e r t h e d r o p ( a t t e m p e r a t u r e

T) a n d

eS(T)i s t h e s a t u r a t i o n

m i x i n g r a t i o o v e r a p u r e , a t w a t e r s u r f a c e a t t h i s t e m p e r a t u r e .

S u b s t i t u t i o n o f e q u a t i o n ( 5 . 2 0 ) i n t o e q u a t i o n ( 5 . 1 7 ) r e s u l t s i n

Ta T = LLDeS(He H)

KRVT + L2LDeS/(RVT2)

, ( 5 . 2 1 )

w h e r e t h e m i n o r a d d i t i o n a l a p p r o x i m a t i o n t h a t He i s s e t t o u n i t y w h e r e i t o c c u r s b y i t s e l f . B e t w e e n t h i s e q u a t i o n a n d e q u a t i o n s ( 5 . 1 3 ) a n d ( 5 . 1 7 ) , w e

n a l l y a r r i v e a t a n e x p r e s s i o n f o r d r o p l e t g r o w t h :

ada

dt=

rSD(/w)(H He)

1 + rS(D/)[L2L/(CPDRVT2)]

A. ( 5 . 2 2 )

I n t h i s e q u a t i o n w e h a v e d e n e d t h e h e a t d i u s i o n c o e c e n t f o r a i r =K/(CPD) w h e r e i s t h e a i r d e n s i t y , a n d w e h a v e e l i m i n a t e d t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e i n f a v o r o f t h e s a t u r a t i o n m i x i n g r a t i o rS = eS/(RVT ). W er e f e r t o H He a s t h e s u p e r s a t u r a t i o n .

T h e d i u s i v i t y o f w a t e r v a p o r i s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e a n d p r e s s u r e ,

D = 2.14 105(T /TF)1.94(pR/p) m

2s

1( 5 . 2 3 )

a c c o r d i n g t o P r u p p a c h e r a n d K l e t t ( 1 9 7 8 ) , w h e r e TF = 273.15 K a n d pR =1000 h P a . T h e d i u s i v i t y o f h e a t a n d w a t e r v a p o r s h o u l d s c a l e t h e s a m e w a y w i t h r e s p e c t t o t e m p e r a t u r e a n d p r e s s u r e . T h e r a t i o o f t h e t w o i s a p p r o x i -

m a t e l y

D/ = 1.15. ( 5 . 2 4 )

A s s u m i n g t h a t t h e r i g h t s i d e o f e q u a t i o n ( 5 . 2 2 ) t a k e s o n a c o n s t a n t v a l u e

A > 0, t h e d r o p l e t r a d i u s w i l l i n c r e a s e w i t h t i m e a c c o r d i n g t o

a(t) = (2At)1/2 ( 5 . 2 5 )

a n d t h e d r o p l e t m a s s w i l l o b e y

Md(t) =4a3w

3 =4(2At)3/2w

3 .( 5 . 2 6 )

T h u s , t h e r a t e o f i n c r e a s e o f d r o p l e t m a s s i t s e l f i n c r e a s e s w i t h t i m e u n d e r

t h e s e c o n d i t i o n s . T h e i m p l i c a t i o n o f t h i s r e s u l t i s t h a t i f c o n d e n s a t i o n s u p -

p l i e s m a s s t o a x e d n u m b e r o f d r o p l e t s a t a c o n s t a n t r a t e , t h e n t h e v a l u e o f


10/19


t h e s u p e r s a t u r a t i o n H He m u s t d e c r e a s e w i t h t i m e . T h u s , u n d e r n o r m a l c i r c u m s t a n c e s , a p a r c e l o f a i r r e a c h e s a r e l a t i v e l y h i g h v a l u e o f s u p e r s a t u r a -

t i o n j u s t a s c o n d e n s a t i o n b e g i n s , a n d t h i s s u p e r s a t u r a t i o n d e c r e a s e s a s t h e

r e s u l t i n g d r o p l e t s g r o w i n s i z e .

T h e s q u a r e - r o o t d e p e n d e n c e o f d r o p l e t r a d i u s o n t i m e m e a n s t h a t a n i n i -

t i a l s i z e d i s t r i b u t i o n o f d r o p l e t s w i l l b e c o m e n a r r o w e r a s d r o p l e t s g r o w b y

d i u s i o n . T h i s h a s i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e s f o r t h e p r o d u c t i o n o f p r e c i p i t a -

t i o n b y c o l l i s i o n - c o a l e s c e n c e p r o c e s s e s , a s w e s h a l l s e e .

5 . 2 . 2 B e r g e r o n p r o c e s s

A s w e n o t e d e a r l i e r , l i q u i d w a t e r d r o p l e t s i n c l o u d s d o n o t s p o n t a n e o u s l y

f r e e z e w h e n t h e y a r e l i f t e d a b o v e t h e f r e e z i n g l e v e l b y u p d r a f t s . T h e f r e e z i n g

p r o c e s s i s a g r a d u a l o n e , a s s o m e o f t h e d r o p l e t s e n c o u n t e r i c e n u c l e i a n d

f r e e z e i n t o i c e c r y s t a l s a s a r e s u l t . T h e S w e d i s h m e t e o r o l o g i s t T o r B e r g e r o n

r s t r e a l i z e d t h a t a m i x e d e n v i r o n m e n t o f s u p e r c o o l e d d r o p l e t s a n d a f e w i c e

c r y s t a l s p r o m o t e s r a p i d d i u s i o n a l g r o w t h o f t h e i c e c r y s t a l s a s a c o n s e q u e n c e

o f t h e s a t u r a t i o n v a p o r p r e s s u r e o v e r i c e b e i n g l o w e r t h a n t h a t o v e r l i q u i d

w a t e r .

5 . 3 A c c r e t i o n a l g r o w t h

D r o p l e t s a n d i c e c r y s t a l s p r o d u c e d b y d i u s i o n a l g r o w t h i n t h e t i m e a v a i l a b l e

i n a c o n v e c t i v e c l o u d a r e g e n e r a l l y t o o s m a l l t o f a l l o u t o f t h e c l o u d a n d r e a c h

t h e g r o u n d . P r e c i p i t a t i o n i s p r o d u c e d w h e n s m a l l h y d r o m e t e o r s g e n e r a t e d

b y t h e d i u s i o n m e c h a n i s m c o l l i d e a n d s t i c k t o g e t h e r , r e s u l t i n g i n c o m p o s i t e

p a r t i c l e s w i t h a g r e a t e r f a l l v e l o c i t y r e l a t i v e t o t h e a i r p a r c e l i n w h i c h t h e y

a r e e m b e d d e d a n d a g r e a t e r r e s i s t a n c e t o e v a p o r a t i o n a s t h e y f a l l t h r o u g h

t h e u n s a t u r a t e d e n v i r o n m e n t .

I n o r d e r f o r c o l l i s i o n s , a n d t h u s c o a l e s c e n c e t o o c c u r , t h e d i s t r i b u t i o n o f

f a l l v e l o c i t i e s o f h y d r o m e t e o r s m u s t b e b r o a d e n o u g h f o r t h e r e t o b e s i g n i -

c a n t d i e r e n t i a l m o t i o n b e t w e e n t h e m . O n l y i f t h i s i s t r u e c a n h y d r o m e t e o r s

c o l l i d e w i t h e a c h o t h e r . T h u s , t h e r s t t o p i c w e t a k e u p i s h o w t o e s t i m a t e

h y d r o m e t e o r f a l l v e l o c i t i e s .


11/19


5 . 3 . 1 H y d r o m e t e o r f a l l v e l o c i t i e s

P r u p p a c h e r a n d K l e t t ( 1 9 7 8 ) a n d o t h e r r e f e r e n c e s o n c l o u d p h y s i c s p r o v i d e

d e t a i l e d i n f o r m a t i o n o n t e r m i n a l f a l l s p e e d wT , i . e . , t h e e q u i l i b r i u m f a l l s p e e d s o f h y d r o m e t e o r s r e l a t i v e t o t h e a i r p a r c e l i n w h i c h t h e y a r e i m b e d d e d

o f a l l s o r t s o f h y d r o m e t e o r s . H e r e w e c o n n e o u r s e l v e s t o u n d e r s t a n d i n g t h e

b a s i c p r i n c i p l e s t h a t d e t e r m i n e t h e s e f a l l s p e e d s .

I n t h e e q u i l i b r i u m c a s e , w e h a v e a b a l a n c e b e t w e e n t h e f o r c e o f g r a v i t y o n

t h e h y d r o m e t e o r a n d t h e d r a g f o r c e o f t h e a i r . A s a h y d r o m e t e o r g e t s b i g g e r ,

i t t a k e s l o n g e r t o e s t a b l i s h t h i s e q u i l i b r i u m , b u t i n m o s t c a s e s t h e t r a n s i e n t

r e g i m e i s u n i m p o r t a n t . T h u s , w e c o n n e o u r s e l v e s t o t h e e q u i l i b r i u m s i t u a -

t i o n .

A n i m p o r t a n t p a r a m e t e r i n d e t e r m i n i n g t h e c h a r a c t e r o f t h e o w p a s t a

h y d r o m e t e o r i s t h e R e y n o l d s n u m b e r o f t h e o w . T h e R e y n o l d s n u m b e r i s

a n e s t i m a t e o f t h e r a t i o o f i n e r t i a l t o v i s c o u s f o r c e s i n a o w :

Re |v v|

|2v|. ( 5 . 2 7 )

I n e s t i m a t i n g t h i s d i m e n s i o n l e s s n u m b e r , w e a p p r o x i m a t e s p a t i a l d e r i v a t i v e s

b y i n v e r s e l e n g t h s a n d v e l o c i t i e s b y t y p i c a l v e l o c i t y v a l u e s o c c u r r i n g i n t h e

p r o b l e m . H e r e w e a s s u m e t h a t 1/a w h e r e a i s t h e h y d r o m e t e o r r a - d i u s ( o r o t h e r c h a r a c t e r i s t i c d i m e n s i o n f o r a n o n - s p h e r i c a l h y d r o m e t e o r ) a n d

|v| wT , r e s u l t i n g i n

Re = wTa

. ( 5 . 2 8 )

L o w R e y n o l d s n u m b e r

S m a l l p a r t i c l e s f a l l s l o w l y a n d t h e r e f o r e e x h i b i t l o w R e y n o l d s n u m b e r o w

a r o u n d t h e m . I n t h i s c a s e t h e d r a g f o r c e i s d o m i n a t e d b y t h e v i s c o u s t e r m

r e l a t i v e t o t h e p r e s s u r e t e r m , w h i c h t e n d s t o s c a l e w i t h t h e i n e r t i a l t e r m

v v . A n e x a c t s o l u t i o n t o t h e v i s c o u s d r a g m a y b e o b t a i n e d i n t h i s c a s e , b u t a n a p p r o x i m a t e f o r m f o r t h e d r a g w h i c h s c a l e s w i t h t h e a c t u a l d r a g m a y

b e o b t a i n e d u s i n g s i m p l e a r g u m e n t s .

T h e v i s c o u s s t r e s s o n t h e s u r f a c e o f t h e d r o p i s e q u a l t o t h e s t r a i n r a t e

a t t h e s u r f a c e o f t h e d r o p , d o t t e d w i t h t h e o u t w a r d n o r m a l t o t h e d r o p l e t

s u r f a c e , t i m e s t h e d y n a m i c v i s c o s i t y . T h e s t r a i n i s p r o d u c e d b y t h e d r o p l e t i t s e l f , a n d a s c a l e a n a l y s i s i n d i c a t e s t h a t i t s c a l e s w i t h wT/a, w h e r e a i s t h e d r o p r a d i u s . M u l t i p l y i n g t h i s b y t h e v i s c o s i t y a n d a2 , w h i c h i s p r o p o r t i o n a l


12/19


t o t h e s u r f a c e a r e a o f t h e d r o p l e a d s t o a n e s t i m a t e f o r t h e v i s c o u s d r a g :

Fd awT. T h e a c t u a l d r a g o b t a i n e d f r o m a d e t a i l e d c a l c u l a t i o n i s

Fd = 6awT. ( 5 . 2 9 )

E q u a t i n g t h i s t o t h e f o r c e o f g r a v i t y o n t h e d r o p Fg = Mdg = 4a3wg/3y i e l d s

wT =2wga2

9, ( 5 . 3 0 )

w h e r e g i s t h e a c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y a n d w i s t h e d e n s i t y o f l i q u i d w a t e r . T h e R e y n o l d s n u m b e r m a y b e e v a l u a t e d r e t r o s p e c t i v e l y i n o r d e r t o d e -

t e r m i n e t h e r a n g e o f v a l i d i t y o f t h i s e q u a t i o n ,

Re =2wga3

92, ( 5 . 3 1 )

w h e r e w e h a v e w r i t t e n t h e d y n a m i c v i s c o s i t y i n t e r m s o f t h e k i n e m a t i c v i s -

c o s i t y : = . T h e R e y n o l d s n u m b e r a p p e a r s t o i n c r e a s e w i t h d e c r e a s i n g d e n s i t y , b u t t h i s f a i l s t o t a k e i n t o a c c o u n t t h a t t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y i t s e l f

i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e d e n s i t y , w h i c h m e a n s t h a t t h e R e y n o l d s n u m -

b e r a c t u a l l y d e c r e a s e s w i t h d e c r e a s i n g d e n s i t y ! U s i n g t y p i c a l s e a l e v e l v a l u e s

= 1.2 k g m 3 a n d = 1.5 105 m 2 s 1 , w e n d t h a t

a(Re) = 5.0 10

5

Re

1/3m

.( 5 . 3 2 )

T h u s d r o p s u p t o a b o u t 25 m i n r a d i u s h a v e R e y n o l d s n u m b e r s o f 0.1 o r l e s s , a n d d r o p l e t s w i t h t h i s r a d i u s h a v e a t e r m i n a l v e l o c i t y o f a b o u t 0.075 m s 1 .B e l o w t h i s r a d i u s t e r m i n a l v e l o c i t y s c a l e s a s t h e s q u a r e o f t h e d r o p l e t r a d i u s .

H i g h R e y n o l d s n u m b e r

A t h i g h R e y n o l d s n u m b e r t h e p r e s s u r e p a r t o f t h e s t r e s s e x c e e d s t h e v i s c o u s

p a r t . I n t h i s c a s e t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e p r e s s u r e o n t h e f r o n t a n d r e a r

o f t h e d r o p i s t h e p r i m a r y s o u r c e o f d r a g . T h e p r e s s u r e a t t h e v e r y f r o n t

o f t h e d r o p w i l l b e

w

2

T/2g r e a t e r t h a n t h e a m b i e n t p r e s s u r e , a r e s u l t w h i c h

m a y b e o b t a i n e d u s i n g t h e B e r n o u l l i e q u a t i o n a n d a s s u m i n g t h a t t h e o w

v e l o c i t y t h e r e i s z e r o . T h e p r e s s u r e o n t h e r e a r o f t h e d r o p v a r i e s w i t h

R e y n o l d s n u m b e r , b u t i s g e n e r a l l y n o t t o o f a r f r o m t h e a m b i e n t p r e s s u r e a t

h i g h R e y n o l d s n u m b e r .


13/19


D r o p p i n g n u m e r i c a l f a c t o r s , w e c a n t h e r e f o r e e s t i m a t e t h e d r a g f o r c e o n

t h e d r o p t o b e o f o r d e r

Fd a

2

w

2

T, s i n c e t h e p r o j e c t e d a r e a o f t h e d r o p

s c a l e s w i t h a2 . W e w r i t e t h i s

Fd = CDa2w2T ( 5 . 3 3 )

w h e r e t h e d r a g c o e c i e n t CD i s a d i m e n s i o n l e s s p a r a m e t e r o f o r d e r u n i t y w h i c h i s a f u n c t i o n o n l y o f R e y n o l d s n u m b e r . E q u a t i n g t h i s t o t h e f o r c e o f

g r a v i t y o n t h e d r o p y i e l d s a t e r m i n a l v e l o c i t y e q u a l t o

wT =

4wga

3CD

1/2

. ( 5 . 3 4 )

T h e R e y n o l d s n u m b e r t h e r e f o r e b e c o m e s

Re =

4wga3

32CD

1/2

, ( 5 . 3 5 )

w h e r e t h i s i s a n i m p l i c i t e q u a t i o n , a s CD i s i t s e l f a f u n c t i o n o f R e y n o l d s n u m b e r . S o l v i n g f o r d r o p l e t r a d i u s , w e n d

a(Re) = 1.9 105C1/3

D Re2/3

m . ( 5 . 3 6 )

I f CD = 1 a n d Re = 300 , t h e n a 0.85 m m a n d wT 5.4 m s1

, w h i c h i s

n o t t o o f a r a w a y f r o m t h e m e a s u r e d s e a l e v e l v a l u e ( s e e , e . g . , G u n n a n d

K i n z e r , 1 9 4 9 ) . B e t w e e n R e y n o l d s n u m b e r s o f 0.1 a n d 300 , t h e r e i s n o s i m p l e s o l u t i o n , b u t m e a s u r e m e n t s h a v e b e e n t t o c o n v e n i e n t e q u a t i o n s b y B e a r d

( 1 9 7 6 ) .

D i s t o r t i o n o f l a r g e d r o p s

W h e n d i e r e n c e s i n p r e s s u r e o n d i e r e n t p a r t s o f a r a i n d r o p b e c o m e c o m -

p a r a b l e t o t h e p r e s s u r e e x c e s s i n s i d e a d r o p d u e t o s u r f a c e t e n s i o n , t h e n t h e

d r o p d e f o r m s . E q u a t i n g t h e s u r f a c e t e n s i o n - i n d u c e d p r e s s u r e e x c e s s i n s i d e a

d r o p f r o m e q u a t i o n ( 5 . 2 ) t o t h e p r e s s u r e e x c e s s a t t h e n o s e o f a d r o p , w2T/2,a n d t h e n e l i m i n a t i n g wT w i t h e q u a t i o n ( 5 . 3 4 ) r e s u l t s i n a c r i t i c a l r a d i u s

ac =

3CD

wg

1/2

1.3 m m , ( 5 . 3 7 )


14/19


w h e r e a s u s u a l w e h a v e a s s u m e d s e a l e v e l v a l u e s a n d CD = 1. D r o p l e t s w i t h r a d i i o f t h i s o r d e r o r l a r g e r a r e s u b j e c t t o s i g n i c a n t d i s t o r t i o n b y p r e s s u r e

f o r c e s .

S i n c e t h e h i g h e s t p r e s s u r e e x i s t s o n t h e b o t t o m o f t h e f a l l i n g d r o p a n d

t h e l o w e s t p r e s s u r e e x i s t s a r o u n d t h e h o r i z o n t a l p e r i p h e r y , l a r g e r a i n d r o p s

t e n d t o b e d i s t o r t e d i n t o t h e s h a p e o f a h o r i z o n t a l l y o r i e n t e d p a n c a k e . D r o p s

g r e a t e r t h a n a b o u t 4 m m i n r a d i u s c a n n o t e x i s t d u e t o t h e s e p r e s s u r e s , a n d e v e n s m a l l e r d r o p s a r e s o m e t i m e s d i s r u p t e d , a s w e s h a l l s e e b e l o w . T h e

g r e a t e r c r o s s s e c t i o n p r e s e n t e d b y d i s t o r t e d r a i n d r o p s c a u s e s a d d i t i o n a l d r a g

o v e r t h a t w h i c h w o u l d h a v e o c c u r r e d i f t h e d r o p w e r e s p h e r i c a l . T h i s e e c t

i n c r e a s e s w i t h d r o p l e t m a s s , r e s u l t i n g i n a m a x i m u m t e r m i n a l v e l o c i t y o f r a i n

d r o p s a t s e a l e v e l o f o r d e r 10 m s 1 .

I c e h y d r o m e t e o r s

I c e h y d r o m e t e o r s a r e n o t s u b j e c t t o d i s r u p t i o n b y p r e s s u r e f o r c e s a s a r e l i q u i d

d r o p s , s o i n p r i n c i p l e ( a n d o c c a s i o n a l l y i n p r a c t i c e ) t h e y c a n b e c o m e b i g g e r

t h a n r a i n d r o p s . H o w e v e r , i c e h y d r o m e t e o r s a r e o f t e n l e s s d e n s e t h a n l i q u i d

w a t e r , a n d t h i s n e e d s t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e c a l c u l a t i o n o f t e r m i n a l

v e l o c i t i e s a s w e l l . I n a d d i t i o n , s m a l l e r i c e c r y s t a l s c a n d i e r s i g n i c a n t l y

f r o m t h e s p h e r i c a l s h a p e w e h a v e a s s u m e d s o f a r , w h i c h m a k e s c a l c u l a t i o n

o f t h e i r t e r m i n a l v e l o c i t i e s d i c u l t . H o w e v e r , t h e s t r o n g e s t d e v i a t i o n s f r o m

a s p h e r i c a l s h a p e o c c u r f o r s m a l l c r y s t a l s r e s u l t i n g f r o m d i u s i o n a l g r o w t h ,

w h e r e t h e t e r m i n a l v e l o c i t i e s t e n d t o b e s m a l l i n a n y c a s e .

5 . 3 . 2 P r e c i p i t a t i o n p r o d u c t i o n

P r e c i p i t a t i o n i s p r o d u c e d w h e n s m a l l h y d r o m e t e o r s p r o d u c e d b y d i u s i v e

g r o w t h c o l l i d e a n d s t i c k t o g e t h e r . W e r s t l i s t t h e t y p e s o f p r e c i p i t a t i o n

p a r t i c l e s p r o d u c e d a n d t h e m e c h a n i s m s b y w h i c h t h i s p r o d u c t i o n o c c u r s .

W e t h e n i n v e s t i g a t e t i m e s c a l e s f o r t h e p r e c i p i t a t i o n p r o d u c t i o n b y c o l l i s i o n

a n d s u b s e q u e n t c o a l e s c e n c e .

T y p e s o f p r e c i p i t a t i o n p a r t i c l e s

W a r m r a i n a r i s e s f r o m c o l l i s i o n s b e t w e e n d r o p l e t s . C a l c u l a t i o n s o f t h i s p r o c e s s a r e o f t e n u n a b l e t o e x p l a i n t h e r a p i d i t y w i t h w h i c h i t h a p p e n s


15/19


u n d e r c e r t a i n c i r c u m s t a n c e s , s u c h a s m o i s t t r o p i c a l c o n d i t i o n s . A h y -

p o t h e s i s w h i c h h a s g o n e i n a n d o u t o f f a v o r o v e r t h e y e a r s i s t h a t w a r m

r a i n i s i n i t i a t e d b y u l t r a - g i a n t s a l t n u c l e i , w h i c h a r e c a p a b l e o f g r o w i n g

m u c h l a r g e r t h a n t h e u s u a l d r o p l e t s v i a d i u s i o n a l g r o w t h . S u c h n u c l e i

m i g h t b e p r o d u c e d b y e v a p o r a t i o n o f s p r a y f r o m b r e a k i n g o c e a n w a v e s .

S n o w a k e s r e s u l t f r o m t h e a g g r e g a t i o n o f i c e c r y s t a l s c r e a t e d b y t h e B e r g e r o n p r o c e s s . T h e e x i s t e n c e o f a g g r e g a t e s o f p r i s t i n e c r y s t a l s i n -

d i c a t e s t h a t p r e c i p i t a t i o n f o r m a t i o n t o o k p l a c e i n t h e a b s e n c e o f s u -

p e r c o o l e d l i q u i d w a t e r o n c e t h e i c e c r y s t a l s h a v e e x h a u s t e d t h e i n i t i a l

s u p p l y v i a d i u s i v e t r a n s f e r . S n o w a k e s h a v e a v e r y l o w d e n s i t y , a n d

h e n c e f a l l r e l a t i v e l y s l o w l y t h r o u g h t h e a i r ( 1 m s 1 ) .

G r a u p e l c o n s i s t s o f i c e c r y s t a l s o r s n o w a k e s w h i c h h a v e e n c o u n t e r e d a d d i t i o n a l s u p e r c o o l e d l i q u i d . W h e n s u c h d r o p l e t s i m p a c t t h e s e p a r t i -

c l e s , t h e y f r e e z e i n s t a n t l y , a p r o c e s s c a l l e d r i m i n g . R i m i n g t e n d s t o l l

i n t h e g a p s b e t w e e n c r y s t a l s , r e s u l t i n g r o u g h l y s p h e r i c a l p a r t i c l e s w i t h

d e n s i t i e s h i g h e r t h a n t h a t o f s n o w a k e s , b u t l e s s t h a n t h a t o f p u r e i c e .

W h e n g r a u p e l e n c o u n t e r s s u p e r c o o l e d d r o p l e t s w i t h r a d i i o f a t l e a s t

12 m b e t w e e n t e m p e r a t u r e s o f 3 C a n d 8 C , t h e f r e e z i n g p r o c e s s c a n c a u s e t h e e j e c t i o n o f n u m e r o u s s m a l l i c e c r y s t a l s . T h i s i s c a l l e d t h e

H a l l e t t - M o s s o p i c e m u l t i p l i c a t i o n p r o c e s s ( H a l l e t t a n d M o s s o p , 1 9 7 4 ) .

T h e H a l l e t t - M o s s o p p r o c e s s c a n g e n e r a t e f a r m o r e i c e c r y s t a l s t h a n c a n

b e p r o d u c e d b y t h e t y p i c a l e n v i r o n m e n t a l c o n c e n t r a t i o n o f i c e n u c l e i .

T h e s e i c e c r y s t a l s c a n t h e n g r o w v i a t h e B e r g e r o n p r o c e s s a n d s e r v e a s

n u c l e i f o r a d d i t i o n a l g r a u p e l p a r t i c l e s , e t c .

H a i l i s p r o d u c e d w h e n g r a u p e l e n c o u n t e r s e s p e c i a l l y h i g h c o n c e n t r a - t i o n s o f s u p e r c o o l e d w a t e r . T h e l a t e n t h e a t r e l e a s e e x c e e d s t h e a b i l i t y

o f t h e h a i l s t o n e t o t r a n s f e r h e a t t o t h e e n v i r o n m e n t , r a i s i n g t h e t e m -

p e r a t u r e o f t h e h a i l s t o n e t o t h e f r e e z i n g p o i n t . F r e e z i n g i s t h u s d e l a y e d ,

w h i c h m e a n s t h a t t h e l i q u i d w a t e r c a n e a s i l y o w i n t o t h e r e m a i n i n g

n o o k s a n d c r a n n i e s o f t h e h y d r o m e t e o r , r e s u l t i n g i n a d e n s e b o d y o f

i c e . H a i l s t o n e s c a n g r o w t o l a r g e s i z e s ( 10 c m d i a m e t e r o r g r e a t e r ) i n s e v e r e s t o r m s .

W h e n t h e f r e e z i n g l e v e l i s f a r e n o u g h a b o v e t h e s u r f a c e , m o s t p r e c i p i t a t i o n

p a r t i c l e s m e l t a n d t h u s f o r m r a i n d r o p s b e f o r e t h e y r e a c h t h e s u r f a c e . T h e

e x c e p t i o n i s l a r g e h a i l s t o n e s . T h e s e h y d r o m e t e o r s c a n f a l l w i t h o u t m e l t i n g


16/19


t h r o u g h a t h i c k l a y e r o f a b o v e - f r e e z i n g a i r , d u e t o t h e i r l a r g e s i z e a n d r e s u l t i n g

t h e r m a l i n e r t i a .

T i m e s c a l e f o r p a r t i c l e c o l l i s i o n s

L e t u s a t t e m p t t o c a l c u l a t e t h e t i m e b e t w e e n c o l l i s i o n s o f c l o u d d r o p l e t s . I n

o r d e r t o c o l l i d e a t a l l , d r o p l e t s m u s t h a v e d i e r e n t r a d i i , s o a s t o h a v e d i e r e n t

f a l l s p e e d s . A s s u m i n g a t r s t t h a t a i r o w p e r t u r b a t i o n s a r o u n d d r o p s c a u s e

n o d e v i a t i o n s i n d r o p t r a j e c t o r i e s , a c l o u d d r o p l e t o f r a d i u s a w i l l c o l l i d e w i t h a d r o p l e t o f r a d i u s b i f t h e l a t t e r d r o p l e t i s l o c a t e d w i t h i n a h o r i z o n t a l d i s t a n c e a + b o f a v e r t i c a l l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e c e n t e r o f t h e r s t d r o p l e t . T h e d i e r e n t i a l s p e e d b e t w e e n t h e t w o d r o p l e t s w i l l b e |wT(a)wT(b)| , w h i c h m e a n s t h a t t h e e e c t i v e v o l u m e s w e p t o u t p e r u n i t t i m e b y t h e r s t d r o p i n

e n c o u n t e r s w i t h d r o p l e t s o f r a d i u s b i s (a + b)2|wT(a) wT(b)| . I f t h e r e a r e N(b)db p a r t i c l e s w i t h r a d i u s b e t w e e n b a n d b + db, t h e n t h e r a t e a t w h i c h t h e i n i t i a l p a r t i c l e e n c o u n t e r s t h e s e p a r t i c l e s i s (a + b)2|wT(a) wT(b)|N(b)db.

I n a c t u a l i t y , a e r o d y n a m i c f o r c e s t e n d t o s w e e p e a c h p a r t i c l e a r o u n d t h e

o t h e r , t h u s a v o i d i n g a c o l l i s i o n . T h i s r e d u c t i o n i n t h e c o l l i s i o n r a t e o v e r t h e

g e o m e t r i c a l l y s p e c i e d v a l u e i s a c c o u n t e d f o r b y m u l t i p l y i n g t h e a b o v e c o l l i -

s i o n r a t e b y a c o r r e c t i o n E(a, b) c a l l e d t h e c o l l i s i o n e c i e n c y . T h e c o l l i s i o n e c i e n c y i s a s t r o n g f u n c t i o n o f t h e r a d i i o f t h e t w o d r o p l e t s . S i n c e w h a t

w e a r e g e n e r a l l y i n t e r e s t e d i n i s n o t j u s t t h e c o l l i s i o n r a t e , b u t t h e r a t e a t

w h i c h t h e d r o p l e t s c o a l e s c e , w e c a n i n c l u d e t h e e c i e n c y f o r c o a l e s c e n c e i n

E a s w e l l , a t w h i c h p o i n t w e c a l l E t h e c o l l e c t i o n e c i e n c y . I n t e g r a t i n g o v e r a l l r a d i i f o r t h e s e c o n d p a r t i c l e , w e c o m e u p w i t h a n o v e r a l l c o l l e c t i o n r a t e ,

w h i c h w e e x p r e s s a s t h e i n v e r s e o f a t i m e c o n s t a n t :

1 =

0

(a + b)2E(a, b)|wT(a) wT(b)|N(b)db. ( 5 . 3 8 )

T h i s t i m e c o n s t a n t i s a g o o d i n d i c a t i o n o f t h e a b i l i t y o f a c o n v e c t i v e c l o u d

t o i n i t i a t e w a r m r a i n . I f t h e t i m e c o n s t a n t i s c o m p a r a b l e t o t h e l i f e t i m e o f a

c l o u d , t h e n p r e c i p i t a t i o n c a n o c c u r . T h e r s t s e t o f c o l l i s i o n s i s t h e h a r d e s t ,

a s i n c r e a s e d p a r t i c l e s i z e s r e s u l t i n l a r g e r t e r m i n a l v e l o c i t i e s a n d c o l l e c t i o n

e c i e n c i e s . O n t h e o t h e r h a n d , i f t h i s t i m e c o n s t a n t i s m u c h l a r g e r t h a n a

c l o u d l i f e t i m e , t h e n p r e c i p i t a t i o n i s u n l i k e l y t o f o r m i n s i g n i c a n t q u a n t i t i e s .

C o l l e c t i o n e c i e n c i e s a r e c o m p l i c a t e d t o c a l c u l a t e t h e o r e t i c a l l y a n d t o

d e t e r m i n e e x p e r i m e n t a l l y . I n a d d i t i o n t o t e r m i n a l v e l o c i t y d i e r e n c e s , t u r -

b u l e n c e c a n b r i n g p a r t i c l e s i n t o c l o s e e n o u g h p r o x i m i t y t o c o a l e s c e . H o w e v e r ,


17/19


a s a g e n e r a l r u l e , f o r b o t h p a r t i c l e s h a v i n g r a d i i g r e a t e r t h a n 50 m, c o l l e c - t i o n e c i e n c i e s a r e o f o r d e r u n i t y . F o r p a r t i c l e s o f r a d i u s

20 m, c o l l e c t i o n

e c i e n c i e s a r e o f o r d e r 0.1, w h i l e f o r s m a l l e r p a r t i c l e s t h a n t h i s , c o l l e c t i o n e c i e n c i e s d e c r e a s e s t r o n g l y w i t h d e c r e a s i n g r a d i u s . T h u s , f o r w a r m r a i n t o

o c c u r , i t i s i m p o r t a n t f o r d r o p l e t s t o g r o w t o a s l a r g e a s i z e a s p o s s i b l e b y

d i u s i o n ( s e e P r u p p a c h e r a n d K l e t t , 1 9 7 8 ) .

T i m e s c a l e s f o r c o l l i s i o n s o f n o n - s p h e r i c a l p a r t i c l e s s u c h a s i c e c r y s t a l s a r e

e v e n m o r e c o m p l e x t o d e t e r m i n e t h a n f o r s p h e r i c a l d r o p l e t s .

5 . 4 E v a p o r a t i o n a n d b r e a k u p o f r a i n d r o p s

E v a p o r a t i o n i s l i k e d i u s i o n a l g r o w t h i n r e v e r s e , e x c e p t t h e l a r g e d r o p s i z e

m e a n s t h a t a v e n t i l a t i o n f a c t o r m u s t b e i n c l u d e d . T h i s v e n t i l a t i o n f a c t o r

t a k e s t h e f o r m o f a m u l t i p l i c a t i v e t e r m i n t h e d r o p l e t g r o w t h e q u a t i o n :

ada

dt=

rSD(/w)(H He)(1 + FRe1/2)

1 + rS(D/)[L2L/(CPDRVT2)]

, ( 5 . 3 9 )

w h e r e t h e R e y n o l d s n u m b e r Re i s d e n e d a s p r e v i o u s l y , a n d w h e r e F =F(Re) i s a d i m e n s i o n l e s s q u a n t i t y w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y u n i t y f o r l a r g e R e y n o l d s n u m b e r s .

W e h a v e a l r e a d y s e e n t h a t d r o p s l a r g e r t h a n a c e r t a i n s i z e a r e l i k e l y t o

b r e a k u p . R e p e a t e d g r o w t h - b r e a k u p c y c l e s t e n d t o r e s u l t i n a n e x p o n e n t i a l

d r o p s i z e d i s t r i b u t i o n r s t d i s c o v e r e d b y M a r s h a l l a n d P a l m e r ( 1 9 4 8 ) . T h i s

t a k e s t h e f o r m

N(a) = N0 exp(a), ( 5 . 4 0 )

w h e r e N(a)da i s t h e n u m b e r o f r a i n d r o p s p e r u n i t v o l u m e w i t h r a d i u s b e - t w e e n a a n d a + da. E m p i r i c a l l y , N0 1.6 10

7m

4a n d i s a d j u s t e d t o

p r o d u c e t h e o b s e r v e d m a s s o f r a i n w a t e r p e r u n i t v o l u m e o f a i r . I t s h o u l d b e

e m p h a s i z e d t h a t t h i s i s a n e m p i r i c a l r e s u l t a v e r a g e d o v e r m a n y r a i n e v e n t s

a n d i s n o t n e c e s s a r i l y r e p l i c a t e d i n e v e r y c a s e .

5 . 5 R e f e r e n c e s

B e a r d , K . V . , 1 9 7 6 : T e r m i n a l v e l o c i t y a n d s h a p e o f c l o u d a n d p r e c i p i t a t i o n

d r o p s a l o f t . J . A t m o s . S c i . , 3 3 , 8 5 1 - 8 6 4 .


18/19


G u n n , R . a n d G . D . K i n z e r , 1 9 4 9 : T h e t e r m i n a l v e l o c i t y o f f a l l f o r w a t e r

d r o p s i n s t a g n a n t a i r . J . M e t e o r . , 6 , 2 4 3 - 2 4 8 . T h e o r i g i n a l s o u r c e o n

r a i n d r o p f a l l s p e e d .

H a l l e t t , J . , a n d S . C . M o s s o p , 1 9 7 4 : P r o d u c t i o n o f s e c o n d a r y i c e p a r t i c l e s

d u r i n g t h e r i m i n g p r o c e s s . N a t u r e , 2 4 9 , 2 6 - 2 8 .

M a r s h a l l , J . S . , a n d W . M . P a l m e r , 1 9 4 8 : T h e d i s t r i b u t i o n o f r a i n d r o p s

w i t h s i z e . J . M e t e o r . , 5 , 1 6 5 - 1 6 6 .

P r u p p a c h e r , H . R . , a n d J . D . K l e t t , 1 9 7 8 : M i c r o p h y s i c s o f c l o u d s a n d p r e -

c i p i t a t i o n . D . R e i d e l , D o r d r e c h t , 7 1 4 p p . T h i s m o n o g r a p h p r o v i d e s

e n c y c l o p e d i c c o v e r a g e o f c l o u d m i c r o p h y s i c s , a n d i s a n e x c e l l e n t r e f e r -

e n c e .

5 . 6 P r o b l e m s

1 . D e r i v e e q u a t i o n s f o r t h e a c t i v a t i o n r a d i u s a n d h u m i d i t y o f s o l u b l e

a e r o s o l s a s a f u n c t i o n o f ak a n d as . P l o t t h e s e a s a f u n c t i o n o f aso v e r t h e r a n g e 108 m t o 106 m w i t h ak c a l c u l a t e d f o r a t e m p e r a t u r e o f 273 K .

2 . S u p p o s e t h e s o l u b l e a e r o s o l c o n s i s t s o f N p a r t i c l e s p e r u n i t v o l u m e o f a i r , a l l w i t h t h e s a m e v a l u e o f

as, a n d h e n c e

He, i n a p a r c e l a s c e n d -

i n g s u c h t h a t drS/dt r e m a i n s c o n s t a n t ( a n d n e g a t i v e ) . T h i s s u p p l i e s c o n d e n s a t e t o t h e a e r o s o l s a t t h e a p p r o x i m a t e r a t e drS/dt, a s s u m i n g t h a t t h e r e l a t i v e h u m i d i t y i n t h e p a r c e l n e v e r g r e a t l y e x c e e d s u n i t y .

( a ) D e t e r m i n e t h e r a d i u s a(t) o f t h e r e s u l t i n g d r o p l e t s a s a f u n c t i o n o f t i m e .

( b ) F i n d H He a s a f u n c t i o n o f t i m e . Y o u m a y a s s u m e t h a t , T,a n d rS r e m a i n e e c t i v e l y c o n s t a n t f o r t h e p u r p o s e o f e v a l u a t i n g t h e r i g h t s i d e o f e q u a t i o n ( 5 . 2 2 ) .

( c ) F o r

200a e r o s o l p a r t i c l e s p e r c u b i c c e n t i m e t e r , p r e s s u r e

900h P a ,

t e m p e r a t u r e 290 K , a n d drS/dt = 105

s

1( e q u i v a l e n t t o a n

u p d r a f t o f r o u g h l y 5 m s 1 ) , p l o t a(t) a n d H He a s a f u n c t i o n o f t i m e f o r t h e r s t 100 s . ( I g n o r e t h e c h a n g e s i n a l l q u a n t i t i e s e x c e p t H He i n t h i s 500 m a s c e n t . )


19/19


( d ) D o t h e s a m e a s a b o v e f o r 10000 a e r o s o l p a r t i c l e s p e r c u b i c c e n - t i m e t e r .

3 . S u p p o s e a c l o u d c o n t a i n s t w o g r o u p s o f d r o p s , t h e r s t w i t h i n i t i a l

r a d i u s 5 106 m , t h e s e c o n d w i t h i n i t i a l r a d i u s 1 106 m . B o t h g r o u p s o f d r o p s a r e s u p p l i e d w i t h t h e s a m e c o n s t a n t v a l u e o f H He .W h a t w i l l t h e r a d i u s o f t h e s e c o n d g r o u p o f d r o p s b e w h e n t h e r s t

g r o u p h a s r e a c h e d 10 106 m ?

4 . E s t i m a t e t h e d i u s i o n a l g r o w t h r a t e o f a s p h e r i c a l i c e c r y s t a l ( a r a t h e r

r a r e c r i t t e r ! ) o f r a d i u s a a t t e m p e r a t u r e T = 5 C a n d p r e s s u r e p =500 h P a , a s s u m i n g a v a p o r p r e s s u r e e q u a l t o w a t e r s a t u r a t i o n a t t h a t t e m p e r a t u r e . C o m p u t e h o w l o n g s u c h a c r y s t a l t a k e s t o g r o w f r o m z e r o

t o 50 106 m r a d i u s .

5 . E s t i m a t e t h e t e r m i n a l f a l l s p e e d o f h a i l s t o n e s 6 c m i n d i a m e t e r . A s s u m e t h a t t h e y a r e s o l i d i c e s p h e r e s .

6 . O b t a i n a n e x p r e s s i o n f o r ( t h e t i m e c o n s t a n t f o r d r o p l e t c o l l i s i o n s ) f o r a d r o p l e t o f r a d i u s a, o t h e r w i s e a s s u m i n g a d e l t a f u n c t i o n d i s t r i - b u t i o n o f d r o p l e t s N(b) = N0(b b0). T a k e a = 2b0 a n d a s s u m e a c o n s t a n t c o l l e c t i o n e c i e n c y o f E = 0.1. A s s u m e t h e l o w Re r e g i m e f o r c o m p u t i n g t e r m i n a l v e l o c i t y .

( a ) C o m p u t e t h e v a l u e o f f o r a l i q u i d w a t e r m a s s p e r u n i t v o l u m e o f a i r L = 3 g m

3s p r e a d u n i f o r m l y o v e r 200 c o n d e n s a t i o n n u c l e i

p e r c u b i c c e n t i m e t e r .

( b ) D o t h e s a m e f o r 3 g m 3 o f l i q u i d w a t e r s p r e a d o v e r 5000 n u c l e i p e r c u b i c c e n t i m e t e r .

7 . T h e s u r f a c e t e n s i o n m a y b e c o n s i d e r e d a s t h e b i n d i n g e n e r g y o f a l i q u i d

d r o p p e r u n i t s u r f a c e a r e a o f t h e d r o p . A t r o u g h l y w h a t r a d i u s d o e s

t h e k i n e t i c e n e r g y o f a f a l l i n g d r o p i n s t i l l a i r e x c e e d t h e t o t a l b i n d i n g

e n e r g y o f t h e d r o p ?

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