000012_Vibraciones Forzadas Con Amortiguamiento

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Todo sobre vibraciones forzadas con amortiguadores.

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  • Vibracin excitada armnicamente Pgina: 60

    Facultad de Ciencias y Tecnologa

    Ingeniera Mecnica - Vibraciones Mecnicas

    m

    c

    K

    x

    mg

    x

    cx

    K( + x)

    F

    se

    nw

    t0

    VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO

    Detalles Pg.

    Excitacin indirecta.................................................................................................................. 66

    Desbalanceamiento rotacional.................................................................................................. 69

    Decremento logartmico........................................................................................................... 71

    Aislamiento de las vibraciones................................................................................................. 79

    Transmisibilidad....................................................................................................................... 80

    Energa disipada por amortiguamiento..................................................................................... 83

    Cuando un sistema est sometido a una excitacin armnica forzada, su respuesta de vibracin

    tiene lugar a la misma frecuencia de excitacin.

    Una fuente comn de excitacin armnica es el desbalance en mquinas rotatorias, aunque la

    excitacin armnica es menos probable que la peridica u otros tipos de excitacin. Pero se

    estudia la excitacin armnica para comprender como el sistema responde a tipos ms generales

    de excitacin.

    Considerando un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una

    fuerza armnica tsenF0

    En el nivel de equilibrio esttico

    mgK (1)

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    Aun desplazamiento x

    tsenFmgxcxKxm 0

    tsenFgmxcKxKxm 0

    tsenFKxxcxm 0 (2)

    Se sabe que la solucin de la ecuacin (2) consta de dos partes: Una parte complementaria

    (Solucin homognea) y una solucin particular; es decir:

    pc xxx (3)

    la solucin complementaria o transitoria es la solucin de un sistema libre amortiguado y est

    dado por una de estas tres, segn cual sea el caso

    - Caso sobre - amortiguado CCc

    tt

    c21 BeAex

    ( 21 , son reales y diferentes)

    - Caso amortiguado crtico CCc

    tc eBtAx ( 21 , iguales y reales)

    - Caso sub amortiguado CCc

    tsenBtcosAex 00t

    c ( 21 , son complejos)

    La solucin particular o estacionaria es una solucin estacionaria de la misma frecuencia de

    excitacin.

    Existen varias formas de resolucin de la ecuacin diferencial (2); una de ellas es:

    Sea: tcosBtsenAxp (4)

    O tambin: tsenxxp (5)

    Donde x Amplitud de oscilacin

    Fase de desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.

    Derivando dos veces (4)

    tsenBtcosAxp (6)

    tcosBtsenAx22

    p (7)

    Reemplazando (4), (6) y (7) en (2)

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    tsenFtcosBtsenAKtsenBtcosActcosBtsenAm 022

    Multiplicando y factorizando senos y cosenos

    tsenFtcosKBAcBmtsenKABcAm 022

    Igualando trminos segn sean senos o cosenos se tiene:

    0

    2FKABctm (a)

    0KBAcBm2 (b)

    Resolviendo el sistema: Despejando A de (b)

    c

    KBBmA

    2 (c)

    Reemplazando (c) en (a)

    0

    222

    Fc

    KBBmKBc

    c

    KBBmm

    c

    0

    2222242FcBKKBmBcKBmm

    0222242 FccKKm2mB

    022222

    FccKKm2mB

    1

    222

    0

    0

    222

    cKm

    FcBFccKmB

    Reemplazando en (c)

    222

    0

    2

    cKm

    FmKA

    Reemplazando en (4)

    tcoscKm

    Fctsen

    cKm

    FmKx

    222

    0

    222

    0

    2

    p

    Factorizando:

    tcosctsenmK

    cKm

    Fx

    2

    222

    0

    p

    (7)

    Segn (3), la solucin es:

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    Considerando la ecuacin (5) tambin se puede resolver por el mtodo de la impedancia

    mecnica, que es un mtodo sencillo y directo para la vibracin del estado estacionario.

    tsenxx (5)

    tcosxx (8)

    tsenxx 2 (9)

    Recordando que en el movimiento armnico las fases de la velocidad y la aceleracin estn

    delante del desplazamiento en 90 y 180 respectivamente.

    .La suma vectorial es:

    02 FxcxmKx la magnitud ser:

    2022222

    FxcxmK

    2220

    cmK

    Fx

    (10)

    La fase se obtiene del grfico:

    2mKc

    arctagxmK

    xctag

    (11)

    Dividiendo entre K el numerador y denominador de (10) y (11) se obtiene:

    tcosctsenmKcKm

    FtsenBtcosAex

    2

    222

    0

    00

    t

    Kxx

    mw x

    cwx

    wt

    x

    o

    Fo

    2

    o(K - mw)x

    cwx

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    222

    0

    K

    c

    K

    m1

    K

    F

    x

    K

    m1

    K

    c

    arctag2

    Considerando las expresiones:

    m

    K Frecuencia natural de oscilacin no amortiguado

    m2Cc Amortiguamiento crtico

    cC

    c Factor de amortiguamiento

    22

    Km2

    KC

    C

    c

    K

    c2c

    c

    Reemplazando en estas ltimas ecuaciones

    22

    2

    20

    21

    1

    F

    xK

    2

    1

    2

    arctag

    Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional 0F

    xKy la fase son funciones solamente

    0

    1.0

    1.0

    2.0

    3.0

    2.0 3.0 4.0 5.0

    -1.0 0.5

    0.375

    0.25

    0.10

    0.050.00

    0 1 2 3 4 5

    90

    180

    Razn de frecuencias w/w

    Ang

    ulo

    de fa

    se

    Razn de frecuencias w/w

    0.375

    0.15

    0.05

    0F

    xK

    cC

    C

    1

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    de la razn de frecuencias

    y el factor de amortiguacin , que grficamente se representan

    como:

    Estas curvas muestran que el factor de amortiguacin tiene gran influencia sobre la amplitud y el

    ngulo de fase en la regin de frecuencia prxima a resonancia.

    Un entendimiento adicional sobre el comportamiento del sistema puede obtenerse estudiando el

    diagrama de fuerzas para

    , pequeo, igual a uno y grande.

    Para valores pequeos, las fuerzas de inercia y las de amortiguamiento son pequeas, lo que

    implica un (ngulo de fase) pequeo. Por tanto la magnitud de la fuerza global es igual a la

    fuerza del resorte.

    Para 1

    el ngulo de fase es 90, note que la fuerza de inercia es mayor y es equilibrada por

    la fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amortiguacin.

    Para 1

    , se aproxima a 180 y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en vencer la

    gran fuerza de inercia.

    cwx

    Kxx

    Fo

    o

    mw x2

    cwx

    Kx

    mw x2

    o o = 90

    mw x2

    cwx

    KxFo xo

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    Por tanto : La solucin a la ecuacin diferencial (1) puede escribirse como:

    Hasta aqu se ve que la fuerza externa acta directamente sobre la masa vibratoria; pero puede

    ocurrir tambin que esta fuerza acte de forma indirecta.

    Excitacin indirecta.

    Si la fuerza excitadora se origina en un elemento intermedio

    Como tcosUy

    Considerando un sistema inercial se tiene:

    xyKxycxKxcxm 2211

    xKyKxcycxKxcxm 222211

    yKycxKKxccxm 22K

    21

    c

    21

    yKycKxxcxm 22

    Pero tcosUy

    Derivando tsenUy

    tcosUKtsenUcKxxcxm 22

    tsenUctcosUKKxxcxm 22

    tcosPKxxcxm

    Donde: 222

    2 cKUP

    mx

    K1

    K2 c2

    c1

    yy (t) = Ucoswt

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    2

    2

    K

    carctag

    a) Cuando no hay elementos intermedios conectados al sistema vibratorio y el movimiento

    armnico de la fuente de excitacin se transmite directamente al punto base del resorte y

    amortiguador. Es el caso de los instrumentos ssmicos.

    La ecuacin diferencial del movimiento, se obtiene considerando un sistema inercial, por tanto la

    deformacin del resorte es:

    xmyxKyxc (a)

    sea

    yzxyxz (b)

    yxz

    Derivando dos veces:

    yzx (c)

    Reemplazando en (a)

    yzmKzzc

    ymKzzczm

    Pero tsenAy tsenAy 2

    tsenAmKzzczm 2 tsenAmKzzczm

    Note que la ecuacin siempre es la misma y lo nico que cambia es la amplitud de excitacin.

    c(x -