000012 Vibraciones Forzadas Con Amortiguamiento

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO

Detalles Pág.

Excitación

indirecta.................................................................................................................. 66

Desbalanceamiento

rotacional.................................................................................................. 69

Decremento logarítmico........................................................................................................... 71

Aislamiento de las

vibraciones................................................................................................. 79

Transmisibilidad......................................................................................................................

. 80

Energía disipada por

amortiguamiento..................................................................................... 83

Cuando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, su respuesta de vibración

tiene lugar a la misma frecuencia de excitación.

Una fuente común de excitación armónica es el desbalance en máquinas rotatorias, aunque la

excitación armónica es menos probable que la periódica u otros tipos de excitación. Pero se

estudia la excitación armónica para comprender como el sistema responde a tipos más generales

de excitación.

Considerando un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una

fuerza armónica

“Vibración excitada armónicamente” Página: 60

Facultad de Ciencias y TecnologíaIngeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

En el nivel de equilibrio estático

(1)

Aun desplazamiento “x”

(2)

Se sabe que la solución de la ecuación (2) consta de dos partes: Una parte complementaria

(Solución homogénea) y una solución particular; es decir:

(3)

la solución complementaria o transitoria es la solución de un sistema libre amortiguado y está

dado por una de estas tres, según cual sea el caso

- Caso sobre - amortiguado

( son reales y diferentes)

- Caso amortiguado crítico

( iguales y reales)

- Caso sub – amortiguado

( son complejos)

La solución particular o estacionaria es una solución estacionaria de la misma frecuencia de

excitación.

Existen varias formas de resolución de la ecuación diferencial (2); una de ellas es:

Sea:

(4)

O también: (5)

Donde Amplitud de oscilación



Fase de desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.

Derivando dos veces (4)

(6)

(7)

Reemplazando (4), (6) y (7) en (2)

Multiplicando y factorizando senos y cosenos

Igualando términos según sean senos o cosenos se tiene:

(a)

(b)

Resolviendo el sistema: Despejando A de (b)

(c)

Reemplazando (c) en (a)

Reemplazando en (c)

Reemplazando en (4)



Factorizando:

(7)

Según (3), la solución es:

Considerando la ecuación (5) también se puede resolver por el método de la impedancia

mecánica, que es un método sencillo y directo para la vibración del estado estacionario.

(5)

(8)

(9)

Recordando que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y la aceleración están

delante del desplazamiento en 90 y 180 respectivamente.

.La suma vectorial es:

la magnitud será:

(10)

La fase se obtiene del gráfico:



(11)

Dividiendo entre K el numerador y denominador de (10) y (11) se obtiene:

Considerando las expresiones:

Frecuencia natural de oscilación no amortiguado

Amortiguamiento crítico

Factor de amortiguamiento

Reemplazando en estas últimas ecuaciones

Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional y la fase son funciones solamente



de la razón de frecuencias y el factor de amortiguación , que gráficamente se representan

como:

Estas curvas muestran que el factor de amortiguación tiene gran influencia sobre la amplitud y el

ángulo de fase en la región de frecuencia próxima a resonancia.

Un entendimiento adicional sobre el comportamiento del sistema puede obtenerse estudiando el

diagrama de fuerzas para , pequeño, igual a uno y grande.

Para valores pequeños, las fuerzas de inercia y las de amortiguamiento son pequeñas, lo que

implica un (ángulo de fase) pequeño. Por tanto la magnitud de la fuerza global es igual a la

fuerza del resorte.

Para el ángulo de fase es 90, note que la fuerza de inercia es mayor y es equilibrada por la

fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amortiguación.

Para , se aproxima a 180 y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en vencer la

gran fuerza de inercia.

Por tanto : La solución a la ecuación diferencial (1) puede escribirse como:



Hasta aquí se ve que la fuerza externa actúa directamente sobre la masa vibratoria; pero puede

ocurrir también que esta fuerza actúe de forma indirecta.

Excitación indirecta.

Si la fuerza excitadora se origina en un elemento intermedio

Como

Considerando un sistema inercial se tiene:

Pero

Derivando

Donde:



a) Cuando no hay elementos intermedios conectados al sistema vibratorio y el movimiento

armónico de la fuente de excitación se transmite directamente al punto base del resorte y

amortiguador. Es el caso de los instrumentos sísmicos.

La ecuación diferencial del movimiento, se obtiene considerando un sistema inercial, por tanto la

deformación del resorte es:

(a)

sea

(b)

Derivando dos veces:

(c)

Reemplazando en (a)

Pero

Note que la ecuación siempre es la misma y lo único que cambia es la amplitud de excitación.

Ejm. El pistón mostrado en la Fig. oscila con un movimiento armónico dentro de

un cilindro de masa “m” el cual es soportado por un resorte de cte. “K”. Si entre el pistón y la



pared del cilindro hay amortiguamiento viscoso “c”; encuentre la amplitud del movimiento del

cilindro y su diferencia de fase con el pistón.

Sistema equivalente

Pero

(1)

La solución particular tiene la forma:

Reemplazando en (1)

Factorizando senos y cosenos

Igualando términos

Resolviendo este sistema, se halla las constantes y

Sea:



Reemplazando a y b en el sistema

La amplitud

La fase:

Desbalanceamiento rotacional.

El desbalance en máquinas rotatorias es una causa de excitación vibratoria.

Existe desbalanceamiento rotacional en una máquina, si en centro de gravedad de la parte

rotatoria no coincide con el eje de rotación.



Considerando que el sistema está restringido a moverse en dirección vertical.

El desbalance está representado por una masa excéntrica “m” con excentricidad “e” que rota con

velocidad .

La fuerza centrífuga debido al desbalanceamiento en la parte rotatoria de la máquina es:

La proyección vertical de F es:

Por tanto la ecuación diferencial del movimiento es:

(1)

Esta ecuación es idéntica al caso de la oscilación forzada con amortiguación; siendo

Decremento logarítmico.

Un modo conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema,

consiste en medir la rata de caída de las oscilaciones libres.



Se sabe que a mayor amortiguamiento, mayor rata de caída.

Considerando una vibración amortiguada (Sub – amortiguada) expresada por la ecuación

El decremento logarítmico, se define como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes

sucesivas cualesquiera.

Como el seno y el coseno son funciones periódicas, pueden simplificarse los factores y queda:

Como :

Cuando



Valor aproximado

El gráfico muestra los valores exactos y aproximados de como función de

Al determinar experimentalmente; se debe notar que cualquier pequeño error al medir dos

amplitudes sucesivas dará resultados erróneos, ya que generalmente estas amplitudes son muy

próximas una de otra.

Para evitar esta dificultad, se mide dos amplitudes separadas “n” ciclos. Sea la primera

amplitud medida y la amplitud después de “n” ciclos transcurridos.

Como

La razón:



Ejm. Los datos siguientes están dados para un sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso,

donde m = 10 lb., K = 30 lb/plg y c = 0.12 (lb/plg)seg. Determine el decremento logarítmico y la

razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera.

Se sabe que

1. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda

cuadrada o función quebrada.



Se sabe que:

Donde T = Periodo

Según el gráfico 1

1

Según las fórmulas:

(1)

(2)

(3)

Cálculo de

Cálculo de

Como ;



Si n = impar

Si n = par

Cálculo de

Para todo n par o impar

Por tanto:

Para los cuatro primeros términos; es decir: n = 1, 3, 5, 7

2. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda

triangular.



Para

Para

Como ;

Cálculo de

Cálculo de

(1) (2) (3) (4)

Integrando por partes

(1) = (4)

sea

Desarrollando



(1)

(2)

(3)

(4)

Por tanto:

Si n es par

Si n es impar

Cálculo de

De tabla:

(1) (2) (3) (4)

(1)

(2)



(3)

(4)

Por tanto:

Si n es par

Si n es impar

Por tanto:

p/n = 1,3,5,7

Aislamiento de las vibraciones.

A menudo se presentan dificultades durante la instalación de máquinas, ya que fuerzas de inercia

no compensadas producen vibraciones en las máquinas y éstas pasan a través del bastidor de la

máquina a la fundación, de donde se transmiten a otras máquinas.

La manera más simple de evitar estas vibraciones es suprimirlas en su origen, asegurando un

equilibrado correcto, sin embargo, es difícilmente practicable, por tanto la única alternativa es

aislar el equipo montándolas sobre resortes y amortiguadores.

El aislamiento puede llevarse a cabo de dos maneras:



a) Impidiendo que la vibración pase de su fuente a la fundación de la máquina; este tipo se

denomina “Aislamiento Activo”.

b) Impidiendo que la vibración transmitida a través del suelo pase al bastidor de la máquina y se

le llama “Aislamiento Pasivo”.

El aislamiento activo y pasivo difieren el uno del otro, solamente en cuanto que el primero

supone una acción directa de la fuerza perturbadora sobre la masa (Fig. a); mientras que el

segundo es el punto base del resorte – amortiguador, lo que es excitado por la fuerza perturbadora

(Fig. b).

Transmisibilidad.

Con el propósito de reducir tanto como sea posible la cantidad de fuerza transmitida a los

cimientos debido a la vibración de la maquinaria; las máquinas generalmente están aisladas de los

cimientos, montándolas sobre resortes y amortiguadores.

La “transmisibilidad” se define como la razón entre la fuerza transmitida a la fuerza impresa.

Cada una de estas razones es conocida como trasmisibilidad de fuerza o de desplazamiento. Las

curvas muestran que la transmisibilidad es menor que la unidad sólo para , estableciendo

por lo tanto el hecho de que el aislamiento vibratorio es posible únicamente cuando , un



resorte no amortiguado es superior a un resorte amortiguado, para efectos de reducir la

transmisibilidad.

Demostración.

Como resultado la fuerza transmitida a los cimientos es la suma de las fuerzas del resorte y del

amortiguador; es decir:

(1)

Bajo las condiciones estudiadas anteriormente (Vibración en estado estacionario )

La solución está dada por:

(2)

(2) en (1)

(3)

Pero la fuerza en el resorte es máxima cuando la velocidad es cero ( es decir, x es máximo) y la

amortiguación es máxima cuando la velocidad es máxima y el desplazamiento es cero.

Como entre la fuerza del resorte y la fuerza de amortiguación forman 90, la fuerza resultante es:

(4)

La fuerza impresa está dada por:



Frecuencia natural

Amortiguamiento crítico

Factor o razón de amortiguamiento

Cuando el amortiguamiento es despreciable, la ecuación de transmisibilidad se reduce a:

Ejm. Un motor pesa 200 lb. y está girando a una velocidad de 1800 rpm., si la transmisibilidad

de la fuerza entre el motor y el piso es 0.1 o 10 %.¿Cuál será la constante elástica de la armadura

del motor?

Suponiendo que tiene muy poca amortiguación:

Reemplazando en:



Note el cambio de orden en el denominador

Energía disipada por amortiguamiento.

El amortiguamiento está presente en todos los sistemas oscilatorios. Su efecto es retirar energía

del sistema, que se disipa en forma de calor o de radiación. La pérdida de energía se traduce en

decrementos de la amplitud de la vibración libre. En el estado estacionario de las vibraciones

forzadas, la pérdida de energía es compensada por la energía suministrada por la excitación.

Un sistema vibratorio puede encontrar muchos tipos de fuerzas de amortiguación, desde la

fricción interna molecular hasta la fricción de deslizamiento y la resistencia de un fluido.

La disipación de energía es determinada usualmente bajo condiciones de oscilaciones cíclicas.

Dependiendo del tipo de amortiguamiento presente, la relación fuerza desplazamiento, cuando se

la grafica puede variar grandemente. En todos los casos, la curva fuerza desplazamiento encerrará

un área, llamada “Bucla de histéresis” que es proporcional a la energía disipada por ciclo. La



energía perdida por ciclo, debido a la fuerza de amortiguación “ ” se calcula de la ecuación

general.

(1)

En general, “ ” dependerá de muchos factores, tales como temperatura, frecuencia o amplitud.

Se considerará en este caso la más simple disipación de energía, el de un sistema resorte-masa

con amortiguación viscosa.

Reemplazando en (1)

(2)

De interés particular es la energía disipada en vibración forzada a resonancia. Sustituyendo:

en (2)

(3)

La energía disipada por ciclo de la fuerza de amortiguación puede representarse como sigue.

Escribiendo la velocidad en la forma:

Por tanto:

(4)

Reordenando la ecuación se tiene:

(5)



Esta ecuación se conoce como la de una elipse con “ ” y “x” representada a lo largo de los ejes

vertical y horizontal. La energía disipada por ciclo está dada por el área encerrada por la elipse.



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