Existen varios tipos devibraciones forzadas,destacando las siguientes:(a) Vibraciones forzadas sin amortiguamiento.Aquellasvibracionesenlascualesnoexiste amortiguamientodeningntipoperoson producidas por fuerzas externas(b)Vibraciones forzadas conamortiguamiento. Aquellas vibracionesproducidas o fuerzas externas yenel cualexiste amortiguamiento por ejemploviscosoFuerza armnica de excitacin. Consideremos una partcula de masa munidaaunresorteideal derigidez kyalacual se aplica una fuerza externa F = FoSen(t) tal como se muestra en la figura.Donde Fo es la amplitud de la vibracinarmnica y es la frecuencia de la vibracinexternaFuerza armnica de excitacin. Aplicando las segunda ley de Newton se tiene00 (1)*x xF maF sen t kx mxmx kx F sen t= =+ =

Fuerza armnica de excitacin. La ecuacin es una ecuacin diferencial desegundo orden no homogneacon coeficientesconstantes. Susolucinestcompuestapor: i)unasolucin complementaria; y ii) una solucinparticular. La solucin complementaria se determinahaciendoigual aceroel segundotrminodelaecuaciny resolviendolaecuacinhomognea,es decir. La solucin de esta ecuacin es de la forma0(2) mx kx + =

( ) (3)m nx x sen t = +Fuerza armnica de excitacin. Como el movimiento es peridico la solucinparticular es de la forma Determinando dos veces esta ecuacin yremplazando en la ecuacin (1) se tiene Despejando el valor de la constanteB resulta (4)Px Bsen t = )20Bm sen t k bsen t F sen t + =0 02 2/ / (5)*1 ( )nF m F kBkm= = Fuerza armnica de excitacin. Remplazando (5) en (4) resultaLa solucin general ser02/ (6)1PnF kx sen t = +

' ' )02/(7)1C P nnF kx x x Asen t sen t = + = + + +

' 'Fuerza armnica de excitacin. Delaecuacin(7)seobservaquelaoscilacintotalestcompuestapor dos tipos demovimiento. Unavibracin libre de frecuencia nfigura a, y unavibracin forzada causada por la fuerza exteriorfigurab. Deestoseobservaquelavibracinlibreseextingue quedando la vibracin permanente oparticular como lo muestra la figura c.Factor de amplificacinEnlaecuacin(6)seobservaquelaamplituddelavibracinparticular dependedelaraznentrelasfrecuenciasforzadaynatural.Sedefinecomo factorde amplificacinal cocienteentrelaamplitud delavibracin estable y la deflexin esttica.Deestaecuacinpuedeobservarsequeaparecelaresonancia cuando las dos frecuencias sonaproximadamente iguales esto es /n =1 . Elfenmeno de resonancia no es deseable en lasvibraciones de elementos estructurales porqueproducenesfuerzosinternosquepuedenproducir elcolapso de la estructura.max20( ) 1/1PnxMFF k= = +

' 'Desplazamiento excitador peridico Las vibraciones forzadas tambinpuedensurgir aparir de la excitacin peridica de la cimentacin deun sistema. El modelo indicado en la figura,representalavibracinperidicadeunbloquequees originada por el movimiento armnico = 0sent.Desplazamiento excitador peridicoEnlafigura, semuestrael DCLycinticodelbloque. En este caso la coordenada x semideapartir del puntodedesplazamientocero del soporte es decir cuando el radiovector OAcoincideconOB. Por lotantoeldesplazamientogeneral del resorteser(x0sent)Desplazamiento excitador peridicoAplicando la ecuacin de movimiento segn ladireccin horizontal se tiene )00x xF mak x sen t mxmx kx k sen tH H ==+ =

Para determinar las ecuaciones que lagobiernanaestemovimientoconsideremosun sistema masa, resorte y amortiguadorsometidoaunafuerzaperidicaexterna P=P0sen, tal como se muestra en la figura. Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, seobtiene.00 (1)x xF maP sen t kx cx mxmx cx kx P sen t=O=+ + = O La ecuacin diferencial (1)* es una ecuacindiferencial lineal,desegundoorden,nohomogneayconcoeficientesconstantes.Susolucinseobtienesumando una solucin complementaria y unasolucin particular. La solucin complementariasatisface alaecuacin homogneay lasolucinparticular esunafuncincualquieraquesatisfacelaecuacindiferencial.Porlotanto,lasolucintotal seescribe La solucin complementaria depende delcoeficientedeamortiguamiento.As si el movimientoes subamortiguado( ) ( ) ( )(2)C Pxt x t x t = + )0 (3)tdx xe Sen tE o

= + La solucin complementaria estudiadaanteriormente, se extingue rpidamente segn elvalor del coeficiente de amortiguamiento. Por elcontrariolasolucinparticular opermanenteodeestadoestacionariaes laquesemantiene, siendoesta de carcter armnico y viene expresada por Derivando esta ecuacin se obtiene )(4)P mx x sen t = O ) )2cos(5)(6)P mP mx x tx x sen t= O O= O O

Remplazando (4), (5) y (6), resulta Haciendo(t-) sucesivamenteigual aceroyT/2,resulta Elevandoal cuadradoambos miembros delas dosecuaciones anteriores y sumndolos, resulta ) ) )20cosm m mm x sen t c x t kx sen t P sen t O O + O O + O = O0 (7)mc x P sen O = )20cos(8)mk m x P O = ) )222 2 20 mk m c x P O + O = | Delaecuacinseobtienelaamplitudlamismaqueest dada por El desfasaje est dado por ) )0222mPxk m c= O + O2ctgk mO= O Bajo estas circunstancias la solucin particular seescribe Perolafrecuencianatural estdadapor, =k/m,yel valor del coeficiente crtico de amortiguamiento esccr =2mn, el factor de amplificacin ser ) ) )0222Px sen tk m c = O O + O ) ) )22201/1 / 2 / /mn cr nxMFP kc c = = O + O | | ) ) )22 / /1 /cr nnc ctgO=O Enlafigura, semuestrael factor deamplificacinenfuncinde la razn de frecuencias para distintos valores de la razn deamortiguamiento.