0 Uvod´ - Ústav informatiky PF UPJŠkrajci/skola/vyucba/ucebneTexty/uvod.pdf0 Uvod´ 2 Matematika (a plat´ı to vo vˇseobecnosti pre kaˇzdu´ vedu) sa viac ˇci menej u´speˇsne

0 Uvod 10 Uvod 10 Uvod 1

0

Uvod

0 Uvod 20 Uvod 20 Uvod 2

Matematika (a platı to vo vseobecnosti pre kazdu vedu) sa viac ci menej uspesne pokusa zachytit’ istyzlomok poznatel’nej casti skutocnosti. Robı tak prostrednıctvom svojich pojmov (tento proces mozeme na-zvat’ formalizacia), jej hlavnou ulohou je potom skumat’ vzt’ahy medzi nimi. Takyto vyskum sa nazyva cistamatematika. Jej vysledky su samy osebe casto natol’ko zaujımave (a nezriedka krasne), ze

”cistı“ matematici

zabudaju na povodnu prakticku motivaciu. Tu vsak nastupuje uloha aplikovanej matematiky (a specialne jejdolezitej casti zvanej (teoreticka) informatika), ktorej ciel’om je transformovat’ vysledky cistej matematiky spat’do oblasti, ktora bola povodnou motivaciou skumanej problematiky.

”Aplikovany“ (ci skor aplikujuci) mate-

matik sa tak stava akymsi prekladatel’om z jazyka matematiky do reci realnej situacie. Je pozoruhodne, ba azfascinujuce, ze jazyk matematiky je dostatocne silny na to, aby sa (aspon na istej abstraktnej urovni) dokazalvyrovnat’ so vsakovakymi problemami realneho zivota. To je dovodom, preco ako informatici matematikevenujeme tol’ku pozornost’.

1 Specifika matematickeho textu 31 Specifika matematickeho textu 31 Specifika matematickeho textu 3

1

Specifika matematickeho textu

1.1.1 Definıcia 41.1.1 Definıcia 41.1.1 Definıcia 4

Uz pri letmom nazretı do matematickeho textu vidıme, ze sa od bezneho hladkeho textu znacne lısi. Najvyraz-nejsie su hadam tieto dve specificke crty:

• Niektore odseky maju specialne oznacenia ako”Definıcia“,

”Veta“, ci

”Dokaz“. Hovorıme tu o strukture

matematickeho textu.

• V texte sa vyskytuju zvlastne znaky nepatriace do abecedy jazyka, v ktorom je text napısany, ale anido ziadneho ineho prirodzeneho jazyka. Navyse su nimi obklopene aj niektore bezne pısmena, a pretosme si nie istı ani nimi. Tuto crtu mozeme nazvat’ matematicka symbolika.

Obe tieto specifika maju, pravdaze, svoje zakonitosti a kvoli porozumeniu matematickemu textu je vel’miuzitocne, ba az nevyhnutne dokladne porozumiet’ aj im. (Tu priznajme, ze tieto pravidla su samotnymi pisatel’minezriedka porusovane, ba ignorovane, v takom prıpade vsak hrozı, ze idey ukryte v matematickom texte samozu skreslit’ natol’ko, ze sa stanu nielen necitatel’nymi, ale i nejednoznacnymi.)

1.1 Struktura matematickeho textu

1.1.1 Definıcia

Ked’ matematik cıti, ze praca s existujucimi pojmami zacına byt’ neprehl’adna a komplikovana a na viacerychmiestach sa vyskytuju rovnake (alebo aspon vel’mi podobne) myslienkove konstrukcie, po nabratı dostatocnehomnozstva odvahy sa odhodla definovat’ novy pojem, ktory (ak sa mu to vydarı) situaciu sprehl’adnı a doterajsiekomplikacie odstrani. Ako taka definıcia vyzera?

Etymologia latinskeho slova”de-finit-ion“ napoveda, ze ide o vymedzenie ci ohranicenie. A naozaj, pri definıcii

premyslenou kombinaciou znamych pojmov vymedzıme istu specialnu situaciu, ktoru potom nazveme jednymslovom ci slovnym spojenım. Ak sa potom kdekol’vek neskor v texte tento novy pojem vyskytne, mozeme hochapat’ ako skratku za tuto kombinaciu a bez ujmy na zmysle povedaneho ho nou mozno nahradit’.

Z formalneho hl’adiska je definıcia v idealnom prıpade zlozena z dvoch castı. Prva z nich sa nazyva preambulaa su v nej uvedene predpoklady, bez ktorych nemozno o pozadovanej situacii ani len uvazovat’. Pream-bulu rozpozname podl’a toho, ze gramaticke vety v nej zacınaju slovom

”nech“. Mnohe definıcie su natol’ko

jednoduche, ze preambulu nepotrebuju. V druhej casti definıcie je obsiahnute samotne vymedzenie novehopojmu. Je to obvykle jedna gramaticka veta so strukturou

Hovorıme, ze . . . , ak . . . .

(zo stylistickych dovodov moze byt’, pravdaze, fraza”hovorıme, ze“ nahradena inymi slovnymi spojeniami

v podobnom duchu, ako naprıklad”budeme nazyvat’“,

”nazyva sa“,

”bude“ a podobne). V prvej casti vety

(pred”ak“) sa (jediny raz) vyslovı novy pojem (mozno pomocou uz znamych pojmov), pricom je jeho slovne

vyjadrenie od ostatneho textu obvykle graficky odlısene (naprıklad sikmym pısmom). V druhej casti (za”ak“)

je potom jednoznacne vymedzena situacia, ktoru tento novy pojem bude oznacovat’. Naprıklad v definıcii

Nech n a d su dve prirodzene cısla.Hovorıme, ze n je delitel’ne d, ak existuje prirodzene cıslo take, ze n je jehod-nasobkom.

preambula naznacuje, ze rec bude o dvoch prirodzenych cıslach. V druhej casti zavadzame medzi nimi novypojem, a to tak, ze pred

”ak“ povieme, ako sa bude nazyvat’, a za

”ak“, co znamena. Naprıklad v definıcii

Hovorıme, ze prirodzene cıslo je prvocıslo, ak je vacsie nez 1 a je delitel’neprave cıslom 1 a samym sebou.

1.1.3 Dokaz 51.1.3 Dokaz 51.1.3 Dokaz 5

sa zavadza (akoze) novy pojem”byt’ prvocıslom“, a to pomocou (akoze) znamych pojmov

”prirodzene cıslo“,

”byt’ vacsı nez“,

”byt’ delitel’ny“ a

”prave“.

Niekedy je preambula spolocna pre viacero zdruzenych definıciı, inokedy ju vzhl’adom na formulaciu definıcievobec netreba (naprıklad v predchadzajucej definıcii).

Spravna definıcia vsak musı splnat’ iste podmienky: Vsimnime si”definıciu“ (vymysleneho) pojmu

”dobrost’

cısla“:

Nech n a k su prirodzene cısla.Hovorıme, ze n je dobre, ak k je delitel’ne n.

Pri vol’be n = 4 a k = 8 vychadza, ze cıslo 4 je dobre, ale vol’ba n = 4 a k = 9 ukazuje, ze cıslo 4 dobrenie je. Tato

”definıcia“ je teda nekorektna. Ak ma byt’ definıcia korektna, musı na otazku, ci dany objekt

ma definovanu vlastnost’, odpovedat’ jednoznacne – bud’”ano, ma“, alebo

”nie, nema“. Inak to jednoducho

definıcia nie je.

1.1.2 Veta

Dalsım specifickym typom odseku v matematickom texte je veta. Aj jej ulohou je urobit’ vo veciach poriadok,nie vsak zavedenım noveho pojmu, ale objavom noveho vzt’ahu medzi uz zavedenymi pojmami. Kym teda pridefinıcii ide o zavedenie noveho pojmu (teda po nej sa pocet pojmov zvacsı o jeden), veta ziaden novy pojemnevytvara (teda pocet pojmov ostava nezmeneny).

Podobne ako definıcia ma aj veta svoju obvyklu strukturu, a to

Nech . . . .Potom . . . .

Prva cast’ (po”nech“) sa nazyva opat’ preambula (resp. predpoklady) a obsahuje podmienky, za ktorych platı

vyrok v druhej casti (po”potom“), nazyvany zaver. Naprıklad vo vete

Nech n je prirodzene cıslo.Potom ak n je delitel’ne 4, tak n je delitel’ne aj 2.

je preambulou, ze cıslo n, o ktorom je rec, je prirodzene, a zaverom, ze ak je toto cıslo delitel’ne styrmi, jedelitel’ne aj dvoma. Veta teda vyjadruje jednu z vlastnostı uz skor zavedeneho pojmu

”byt’ delitel’ny“.

Rovnako ako pri definıciach aj tu moze mat’ niekol’ko zdruzenych viet spolocnu preambulu, inokedy zase vobecnie je potrebna. V takom prıpade slovo

”potom“ zo zaciatku jadra vety jednoducho vynechame.

1.1.3 Dokaz

K vete neoddelitel’ne patrı dokaz. Obvykle nasleduje bezprostredne po jej znenı a spravidla ju svojou dlzkouznacne prevysuje. Ide o pokus postupnost’ou racionalnych argumentov presvedcit’ citatel’a, ze tvrdenie vetyje opodstatnene. Kvoli lepsej orientacii moze dokaz obsahovat’ aj svoje interne pomocne (a v dokaze aniv predpokladoch doposial’ nepouzite) oznacenia. Jednotlive v nom pouzite argumenty mozu byt’ iba tychtotypov:

• prepis pojmu na ine pojmy podl’a svojej definıcie,

• odvolavka na predpoklad vety,

• odvolavka na uz skor vyslovene (a dokazane) tvrdenie, ktore sa nachadza v tomto texte (pravdaze,pred touto vetou),


• odvolavka na”autoritu“, teda na vseobecne akceptovane tvrdenie,

• cisto logicky dosledok uz vyslovenych argumentov.

Naprıklad dokaz tvrdenia


z predchadzajucej kapitolky by mohol vyzerat’ takto:

Ked’ze predpokladame, ze n je delitel’ne 4, existuje prirodzene cıslo take, zen je jeho 4-nasobkom. Ak toto cıslo oznacıme k, tak n = 4k. Oznacmem prirodzene cıslo 2k, t. j. 2k = m. Potom platı 4k = 2m, cize n = 2m.Existuje teda prirodzene cıslo take, ze n je jeho 2-nasobkom, z coho vyplyva,ze n delitel’ne aj 2.

V prvej (gramatickej) vete dokazu nahradzujeme predpoklad”n je delitel’ne 4“, jeho definıciou, a to, ze

”existuje prirodzene cıslo take, ze n je jeho 4-nasobkom“. V druhej vete toto cıslo oznacıme k (mozeme tak

urobit’, lebo tato znacka je zatial’ nepouzita) a tentoraz formalne zopakujeme, ze n je jeho stvornasobkom.V tretej zavadzame novy pojem – oznacenie m dvojnasobku cısla k (opat’ sa pritom uistıme, ze tato znackaeste nebola obsadena), navyse si uvedomıme, ze m je prirodzene cıslo (vyuzijuc vseobecne znamy fakt, zedvojnasobok prirodzeneho cısla je prirodzene cıslo). Pomocou toho potom (vyuzijuc vseobecne akceptovanetvrdenie, ze ak sa rovnaju cısla, rovnaju sa aj ich dvojnasobky) vo stvrtej vete logicky odvodıme, ze 4k = 2m.Z toho, ze n = 4k a (zopakujme) 4k = 2m, a z d’alsieho vseobecne akceptovaneho vzt’ahu (a to, ze ak sarovna prve cıslo druhemu a druhe tretiemu, rovna sa aj prve tretiemu) opat’ logicky odvodıme, ze n = 2m.Napokon toto tvrdenie len preformulujeme, cım dostaneme presne definıciu toho, ze n je delitel’ne 2.

Vsimnime si tiez, akymi slovami ci frazami sa v dokaze naznacuje pouzitie nejakej logickej uvahy. Ide vacsinouo slovne ci vetne castice:

”ked’ze“,

”pretoze“,

”lebo“,

”t. j.“,

”cize“,

”potom“,

”preto“,

”z coho (vyplyva)“

a podobne.

Casto hrozı, ze dokaz vyslovenej vety moze byt’ prılis narocny alebo rozsiahly. Vtedy sa matematik uchyl’ujek takejto finte: Na chvıl’u akoby rezignuje na priamy dokaz a namiesto toho dokazuje ine, pomocne tvrdenie,z ktoreho uz platnost’ povodnej vety viac-menej okamzite vyplyva. Na sposob vyplyvania (inymi slovami typdokazu) je citatel’ obvykle upozorneny takymito kl’ucovymi slovami:

• Pri dokaze obmenou (casto sa pouzıva aj slovne spojenie nepriamy dokaz, za taky vsak mozno povazovat’vsetky uvedene sposoby) sa namiesto vety v tvare

”Ak platı A, tak platı B.“

dokazuje jej obmena – tvrdenie

”Ak neplatı B, tak neplatı A.“.

Vyuzıva sa pritom, ze tieto dve tvrdenia su ekvivalentne, t. j. bud’ platia obe, alebo ani jedno (a to bezohl’adu na obsah spolocnych castı A a B).

Predstavme si naprıklad, ze mame dokazat’ vetu

Ak cele cıslo nie je delitel’ne 4, nie je delitel’ne ani 8.

Priamy dokaz by si pravdepodobne vyzadoval zdlhavy rozbor prıpadov:


Ak cele cıslo n nie je delitel’ne 4, tak platı jedna z tychto moznostı:

– Platı n = 4k + 1 pre nejake cele cıslo k.Pre cıslo k mame dve moznosti:

∗ Ak je k parne, tak k = 2m pre nejake cele cıslo m. Potom platın = 4k + 1 = 4(2m) + 1 = 8m + 1, teda n nie je delitel’ne 8.

∗ Ak je k neparne, tak k = 2m+1 pre nejake cele cıslo m. Potomplatı n = 4k + 1 = 4(2m + 1) + 1 = 8m + 5, teda n nie jedelitel’ne 8.







Dokaz obmeny, ktora znie

Ak je cele cıslo je delitel’ne 8, je delitel’ne aj 4.

je omnoho rychlejsı:

Ak je cele cıslo n delitel’ne 8, ma tvar n = 8k pre nejake cele cıslo k. Potomvsak platı n = 4(2k), a teda n je delitel’ne aj 4.

• Pri dokaze sporom sa namiesto vety v tvare

”Ak platı A, tak platı B.“

dokazuje ine k nemu ekvivalentne tvrdenie, a to

”Nemoze zaroven platit’ A a neplatit’ B.“.

K predpokladu platnosti A teda pridame predpoklad neplatnosti B a po istych logickych uvahachdospejeme k sporu – situacii, ktora v skutocnosti nemoze nastat’. To vsak znamena, ze chybny je asponjeden z predpokladov. Avsak platnost’ A predpokladame uz globalne – v znenı vety, chybny teda musıbyt’ lokalny predpoklad neplatnosti B. Cize B musı platit’, a to bol nas ciel’.

Casto sa stava, ze veta predpoklad A nema – v takom prıpade zan mozeme pokladat’ l’ubovol’ne pravdivetvrdenie (inymi slovami, ignorovat’ ho) a pokracovat’ rovnako.

Ako prıklad pouzitia dokazu sporom uved’me dokaz tvrdenia

√2 je iracionalne cıslo.

(vsimnime si, ze tato veta nema ziaden explicitny predpoklad A):

1.1.4 Struktura matematickeho textu 81.1.4 Struktura matematickeho textu 81.1.4 Struktura matematickeho textu 8

Predpokladajme, ze√

2 je, naopak, racionalne cıslo. Existuju tedanesudelitel’ne cele cısla a a b take, ze

√2 = a

ba b > 0. Po umocnenı

dostavame 2 = a2

b2, po vynasobenı b2 zasa 2b2 = a2. Cıslo a2 je teda parne,

musı byt’ teda parne aj a. Existuje teda cele cıslo c take, ze a = 2c. Podosadenı dostavame 2b2 = (2c)2, z coho po vydelenı dvoma b2 = 2c2. Cıslob2 je teda parne, musı byt’ teda parne aj b. To je vsak spor, lebo sme cıslaa a b maju byt’ nesudelitel’ne.

• Vel’mi zaujımavym sposobom dokazu je matematicka indukcia vyuzıvajuca niektoru z verziı vety o mate-matickej indukcii. Najjednoduchsia a asi najcastejsie pouzıvana je tato:

Nech pre kazde prirodzene cıslo n je Vn nejake tvrdenie. Nech su splnenenasledujuce dva predpoklady:

1◦ (1. indukcny krok :)Platı tvrdenie V0.

2◦ (2. indukcny krok :)Pre kazde prirodzene cıslo k z platnosti tvrdenia Vk (nazyvame hoindukcny predpoklad) vyplyva platnost’ tvrdenia Vk+1.

Potom tvrdenie Vn platı pre kazde prirodzene cıslo n.

Majme naprıklad za ulohu dokazat’ nasledujucu vetu:

Pre kazde prirodzene cıslo n platı

02 + 12 + 22 + · · · + n2 =1

6n(n + 1)(2n + 1).

Ak oznacıme Vn tvrdenie 02+12+22+ · · ·+n2 = 1

6n(n+1)(2n+1), mame dokazat’ Vn platı pre kazde

prirodzene cıslo n. Namiesto komplikovanych pokusov o priamy dokaz stacı podl’a predchadzajucej vetyo matematickej indukcii dokazat’ dve omnoho jednoduchsie vety:

1◦ V0, t. j.

02 = 1

6· 0 · (0 + 1) · (2 · 0 + 1).

Tato veta je vsak trivialna, obe strany su rovne 0.

2◦ Pre kazde prirodzene cıslo k z platnosti tvrdenia Vk vyplyva platnost’ tvrdenia Vk+1, t. j.

Pre kazde prirodzene cıslo k z platnosti

02 + 12 + 22 + · · · + k2 =1

6k(k + 1)(2k + 1)

vyplyva platnost’

02 + 12 + 22 + · · · + k2 + (k + 1)2 =1

6(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1).

Dokaz by mohol vyzerat’ takto:

02 + 12 + 22 + · · · + k2 + (k + 1)2 == (02 + 12 + 22 + · · · + k2) + (k + 1)2,= 1

6k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 (tu sme vyuzili indukcny predpoklad Vk),

= 1

6(k + 1)(k(2k + 1) + 6(k + 1)),

= 1

6(k + 1)(2k2 + 7k + 6),

= 1

6(k + 1)(k + 2)(2k + 3),

= 1

6(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1).

1.2 Matematicka symbolika 91.2 Matematicka symbolika 91.2 Matematicka symbolika 9

Dodajme, ze niektore vety su uvadzane bez dokazu. Neznamena to, pravdaze, ze autor textu takuto vetudokazat’ nevie, alebo ze nebodaj veta neplatı, ale to, ze podl’a jeho nazoru niektore v dokaze pouzite argumentysvojou narocnost’ou mozu presahovat’ uroven textu a chapania jeho predpokladaneho citatel’a, alebo privel’kadlzka ci technicka zlozitost’ celeho dokazu odvadza pozornost’ od zmyslu kontextu, v ktorom je tato vetazasadena.

1.1.4 Struktura matematickeho textu

Zdoraznime, ze dobre napısany matematicky text by mal zachovat’ istu chronologiu – kazdy pojem sa moze(v tvrdeniach ci d’alsıch definıciach) pouzıvat’ az vtedy, ked’ uz bol definovany. Podobne ak sa dokaz vetyodvolava na ine tvrdenie, toto odkazovane tvrdenie mu musı predchadzat’. Ak je uz pojem raz definovany,nemozno ho definovat’ nanovo, a uz vobec nie v inom vyzname.

Na sprehl’adnenie struktury textu sa odseky s vetami (a zriedkavo i s definıciami) zvyknu cıslovat’. Pri neskorsomodvolavanı sa na tuto vetu potom stacı pouzit’ tento index.

Nie vsetky vety z matematickeho textu maju rovnaku dolezitost’. Ak chce autor na tento fakt upozornit’,namiesto oznacenia

”veta“ moze pouzit’ alternatıvne nazvy:

• Pozorovanım rozumieme takmer okamzite nahliadnutel’nu vlastnost’ novo zavedeneho pojmu, ktora sidokaz hadam ani nezasluzi.

• Pod slovom lema treba rozumiet’ vetu skor pomocneho, casto technickeho charakteru.

• Dosledok (vel’mi zriedkavo aj dnes uz usmevne znejuci korolar) je veta, ktorej dokaz v podstate spocıvalen v odvolavke na vetu spravidla jej tesne predchadzajucu.

Vyznamne vety maju casto aj svoj specialny nazov, ktory v kratkosti zhrna ich vyznam (napr.”veta o pevnom

bode“,”veta o matematickej indukcii“,

”veta o styroch farbach“), alebo sa odkazuje na ich objavitel’a (

”Weier-

strassova veta“,”Eulerova veta“,

”Euklidove vety“).

Definıcie a vety s ich dokazmi su podstatnymi, ale nie jedinymi cast’ami matematickeho textu. Nezanedbatel’nuulohu tu hraju (ilustracne) prıklady, obrazky, ale i cely zvysny text – komentar –, ktore citatel’ovi pomahajupochopit’ zmysel definıcie ci tvrdenia nezriedka zastrety narocnou symbolikou.

1.2 Matematicka symbolika

Uz Maly princ vedel, ze”rec je pramenom nedorozumenı“. Viacznacnosti prirodzeneho jazyka vsak nie su

jeho nedostatkom, ale jeho neoddelitel’nou sucast’ou. Upozornuju nas, ze zlozitu realitu okolo nas mozemechapat’ len v jej paradoxoch. Akykol’vek pokus zbavit’ realny svet jeho paradoxicity s ciel’om plne ho uchopit’je teda dopredu odsudeny na neuspech. Ak vsak k problemu pristupime pokornejsie a sustredıme sa len narozumom poznatel’nu cast’ sveta, redukcia jazyka je nevyhnutna. Symbolika matematickeho jazyka je volenazamerne tak, aby tvrdenia mohli byt’ pochopene principialne jedinym sposobom a neboli zdrojom ziadnehonedorozumenia.

Ak v beznej reci (omylom alebo aj zamerne) skomolıme ci vynechame nejaku hlasku, obvykle sa vyznamnasej vypovede skoro vobec nezmenı – akoby nasa rec mala holograficky charakter. Redukovany matematickyjazyk vsak natol’ko stabilny nie je. Tym, ze kazdy jeho symbol ma svoj presny vyznam, nemoze byt’ suplovanysusednym znakom, a sanca zmeny ci straty vyznamu sa tak po jeho vynechanı vyrazne zvysi. Matematickasymbolika je preto v porovnanı s prirodzenym jazykom omnoho narocnejsia a ak ju chceme zmysluplnepouzıvat’, musıme dokladne pochopit’ pravidla jej tvorby.

Symbolicke oznacenia matematickych pojmov su z typografickeho hl’adiska viacerych druhov:

• specialne symboly.

• logicke symboly (spojky a kvantifikatory),

1.2.2 Logicke spojky 101.2.2 Logicke spojky 101.2.2 Logicke spojky 10

• latinske (cize anglicke) a inojazycne pısmena,

• zatvorky.

1.2.1 Specialne symboly

Tato skupina ma azda neohranicene moznosti, preto sa o symboloch v nej vel’a spolocneho povedat’ neda. Zazmienku vsak stoja tieto casto (niektore uz od raneho detstva) pouzıvane symboly:

• Vyznam symbolu = je rovnost’ objektov na jeho l’avej a pravej strane, a to v jednom z tychto zmyslov:

– totoznost’ (t. j. identita) cize vyjadrenie, ze na oboch stranach ide o ten isty objekt (napr. akA a B su body, zapis A = B znamena, ze ide vlastne o jeden bod), toto chapanie sa castozdoraznuje

”zosilnenım“ symbolu = do formy ≡;

– rovnakost’, cize vyjadrenie, ze oba objekty maju v danom kontexte rovnake vlastnosti (napr.2+2 = 4 neznamena, ze rovnake su aritmeticke vyrazy na oboch stranach, rec je o ich hodnotach,a tie rovnake su).

Tuto nejednoznacnost’ chapania mozeme nazvat’ problem identity (t. j. (ne)jednoty objektu a jehooznacenia), treba vsak povedat’, ze z kontextu by malo byt’ vzdy jasne, coho sa vyslovena rovnost’ tyka.

Vsimnime si tu prirodzene vlastnosti rovnosti:

– Kazdy objekt sa (v l’ubovol’nom zmysle) rovna sam sebe. (Tejto vlastnosti hovorıme reflexivitarovnosti.)

– Ak sa prvy objekt rovna druhemu, druhy sa (v tom istom zmysle) rovna prvemu. (Tato vlastnost’sa nazyva symetria rovnosti.)

– Ak sa prvy objekt rovna druhemu a druhy sa (v tom istom zmysle) rovna tretiemu, musı sa ajprvy (opat’ v tom istom zmysle) rovnat’ tretiemu. (Tato vlastnost’ sa vola tranzitivita rovnosti.)

Zdoraznime este, ze rovnost’ sa netyka len cısel, ale mozeme pomocou nej vyjadrit’ vzt’ah l’ubovol’nychdvoch objektov.

• Dolezitym (dokonca jedinym zakladnym) symbolom teorie mnozın, ktora je spolocnou platformouvsetkych ostatnych disciplın, je znak ∈ vyjadrujuci, ze objekt po jeho l’avici patrı do objektu po jehopravici, inymi slovami, ze je jeho prvkom.

• Ak dva rozne objekty mozno porovnat’, napıseme medzi ne bud’ znak < (cıtany”mensı nez“), alebo

znak > (”vacsı nez“), prıpadne ich kombinacie s rovnost’ou, a to ≤ (

”mensı (nez) alebo rovny“) ci ≥

(”vacsı (nez) alebo rovny“) so zrejmym vyznamom.

• Vsetky doteraz uvedene prıklady su z gramatickeho hl’adiska skratkami akehosi prısudku (”rovna sa“,

”patrı“,

”je mensı nez“, . . . ). Taketo vzt’ahy nazveme predikaty a ich pouzitım vznika zmysluplne (ci

uz pravdive alebo nepravdive) tvrdenie. Tieto tvrdenia maju aj svoje negatıvne formy, ktore sa znaciapreskrtnutım prıslusneho symbolu. A tak trebars 6= znamena roznost’ a vyznamom /∈ je, ze objekt vl’avonie je prvkom objektu vpravo. Takze naprıklad x 6= y je opak x = y a x /∈ A je opak x ∈ A.

• Spomenme tiez zname symboly obvyklych aritmetickych operaciı ako +, −, ·, :, ale i zlomkova ciara,znak − pre opacne cıslo,

√pre odmocninu, ci ! pre specialnu funkciu zvanu faktorial. Vsimnime si, ze

tieto operacie nie su predikaty, a tak ziaden aritmeticky vyraz neobsahuje prısudok.

Vacsina matematickych symbolov ma binarny charakter – oznacuje interakciu medzi dvoma objektmi. Pretosa spravidla zapisuju v tzv. infixovom tvare, ked’ ich vkladame medzi tieto dva objekty. V prıpade unarnychsymbolov infixovy tvar, samozrejme, pouzit’ nemozno. Niektore preto zapisujeme v tzv. prefixovom tvare –pred svoj operand (naprıklad − ci

√), niekedy v tzv. postfixovom tvare – zan (naprıklad ! ci znak ′ pre

derivaciu funkcie).

1.2.2 Logicke spojky 111.2.2 Logicke spojky 111.2.2 Logicke spojky 11

1.2.2 Logicke spojky

V minulej podkapitolke sme si vsimli, ze predikaty zodpovedaju gramatickym vetam. Presnejsie: ide o”hole

vety“, ktore (podobne ako v gramatike prirodzeneho jazyka) mozeme spajat’ do suvetı, a to prostrednıctvom(tzv. logickych) spojok.

Logicke spojky sa delia na unarne, prevadzajuce (jedno) tvrdenie do zlozitejsieho tvaru, a binarne, ktorespajaju dve jednoduchsie tvrdenia do jedneho zlozitejsieho. Rozoberme vyznam tych dolezitejsıch z nich:

• Jedinou zakladnou unarnou spojkou je negacia so znackou ¬, ktoru cıtame”nie je pravda, ze“ (alebo

”non“). Pouzıvame ju prefixovym sposobom, takze ak V je nejake tvrdenie, ¬V bude znamenat’

”nie

je pravda, ze V “.

Vo vol’nejsom chapanı sa za negaciu povazuje akekol’vek tvrdenie W , ktoreho pravdivostna hodnotaje opacna ako pravdivostna hodnota tvrdenia V . Zdoraznime vsak, ze toto chapanie nie je ktovieakokorektne, pretoze takato definıcia negacie nie je jednoznacna – tvrdenı s opacnou pravdivostnou hod-notou nez V je hned’ niekol’ko, a tak (pri tomto akoze vel’korysom chapanı) nie je jasne, ktore z nichje mienene oznacenım ¬V . Z rovnakych dovodov nemaju jednoznacne riesenie klasicke stredoskolskeulohy typu

”Negujte vyrok . . .“.

V suvislosti so strednou skolou este dodajme, ze namiesto ¬V sa tam pouzıva typograficky trochunest’astne oznacenie V ′ (mala skvrna na tabuli povazovana za ciarku totiz radikalne menı vyznam).Vsimnime si tiez, ze znak ′ sa v tomto prıpade zapisuje v postfixovej forme, t. j. az na konci.

• Pod konjunkciou rozumieme binarnu spojku ∧ (alternatıvne oznacovanu aj &), ktoru cıtame”a zaroven“

alebo len kratko”a“. Ak su teda V1 a V2 nejake tvrdenia, tak tvrdenie V1 ∧ V2 je (v zhode s tym,

ako tuto spojku cıtame) pravdive jedine vtedy, ked’ je pravdive ako V1, tak V2. V opacnom prıpade jenepravdive.

• Disjunkcia je binarna spojka znacena ∨ a cıtana”alebo“. Tvrdenie V1 ∨ V2 je pritom pravdive, ak je

pravdive V1, alebo je pravdive V2, alebo (a to je trochu rozdiel voci obvykle vylucujucemu chapaniuspojky

”alebo“) ak su pravdive obe tieto tvrdenia. Inymi slovami, disjunkcia je nepravdiva v jedinom

prıpade – ak su obe jej zlozky nepravdive.

• Vel’mi dolezitou binarnou spojkou je → (alternatıvne zapisovana ⇒) zvana implikacia. Tvrdenie V1 →V2 cıtame

”V1 implikuje V2“ alebo

”z V1 vyplyva V2“ alebo tiez

”ak platı V1, tak platı V2“. V1 tu

nazyvame predpoklad (zriedka aj premisa), V2 sa vola zaver (alebo konzekvencia). Implikacia je takpravdiva vtedy, ak su splnene ako predpoklad, tak zaver, ale aj vtedy (co na prvy pohl’ad posobı trochanepochopitel’ne), ked’ je predpoklad nesplneny. Inymi slovami, implikacia je nepravdiva iba vtedy, aknapriek tomu, ze predpoklad je splneny, zaver splneny nie je.

• Poslednou spomenutou binarnou spojkou je ekvivalencia so znackou ↔ (ale aj ⇔ ci ≡), ktoru cıtame

”prave vtedy, ked’“,

”vtedy a len vtedy“, ale tiez

”akk“, co je prof. Bukovskeho elegantny preklad

skratky”iff“ anglickeho slovneho spojenia

”if and only if“. Ak si uvedomıme etymologiu tohto slova

(predpona”ekvi-“ znamena

”rovnaky“, vyznam korena

”-val-“ je

”hodnota“), l’ahko si odvodıme, kedy

je tvrdenie V1 ↔ V2 pravdive: obe zlozky – V1 aj V2 – musia mat’ rovnaku pravdivostnu hodnotu, tedabud’ su obe naraz pravdive, alebo su obe naraz nepravdive.

Zhrnme tieto fakty do tabuliek:

V ¬V

nepravda pravdapravda nepravda

V1 V2 V1 ∧ V2 V1 ∨ V2 V1 → V2 V1 ↔ V2

nepravda nepravda nepravda nepravda pravda pravdanepravda pravda nepravda pravda pravda nepravdapravda nepravda nepravda pravda nepravda nepravdapravda pravda pravda pravda pravda pravda

1.2.3 Kvantifikatory 121.2.3 Kvantifikatory 121.2.3 Kvantifikatory 12

Z toho, co znamenaju (a ako cıtame) jednotlive spojky vyplyvaju nasledujuce vlastnosti (V , V1, V2 a V3 sul’ubovol’ne tvrdenia):

• V1 ∧ V2 platı prave vtedy, ked’ platı V2 ∧ V1 (lebo prave vtedy platia obe – V1 aj V2). Tuto vlastnost’nazyvame komutativita konjunkcie.

• Analogicky V1 ∨ V2 platı prave vtedy, ked’ platı V2 ∨ V1 (prave vtedy platı aspon jedno z V1 a V2) –komutativita disjunkcie.

• (V1∧V2)∧V3 platı prave vtedy, ked’platı V1∧(V2∧V3) (lebo prave vtedy platia vsetky tri) – asociativitakonjunkcie.

• Analogicky (V1 ∨ V2) ∨ V3 platı prave vtedy, ked’ platı V1 ∨ (V2 ∨ V3) (lebo prave vtedy platı asponjedno z nich) – asociativita disjunkcie.

• (V1 ∨ V2) ∧ V1 platı prave vtedy, ked’ platı V1 (na V2 to teda vobec nazavisı) – absorpcia disjunkcie.

• Analogicky (V1∧V2)∨V1 platı prave vtedy, ked’platı V1 (opat’ je V2 ”pohltene“) – absorpcia konjunkcie.

• (V1 ∧ V2) ∨ V3 platı prave vtedy, ked’ platı (V1 ∨ V3) ∧ (V2 ∨ V3) (teda V3 sme zopakovali pri obochprıpustnych moznostiach – V1 a V2) – distribucia disjunkcie k clenom konjunkcie.

• Analogicky (V1 ∨ V2) ∧ V3 platı prave vtedy, ked’ platı (V1 ∧ V3) ∨ (V2 ∧ V3) – distribucia konjunkciek clenom disjunkcie.

• ¬¬V platı prave vtedy, ked’ platı V – negacia negacie.

• ¬(V1 ∧ V2) platı prave vtedy, ked’ platı ¬V1 ∨ ¬V2 – de Morganovo pravidlo pre negaciu konjunkcie.

• Analogicky ¬(V1 ∨ V2) platı prave vtedy, ked’ platı ¬V1 ∧ ¬V2 – de Morganovo pravidlo pre negaciudisjunkcie.

• V1 → V2 platı prave vtedy, ked’ platı ¬V2 → ¬V1 – obmena.

• V1 ↔ V2 platı prave vtedy, ked’ platı V1 → V2 a zaroven V2 → V1 (obojstrannost’ sıpky ↔ je tedaopodstatnena).

Vsimnime si tu jemny rozdiel (trebars) medzi formulaciou”¬¬V platı prave vtedy, ked’ platı V .“ a v podstate

to iste tvrdiacim zapisom”(¬¬V ) ≡ V “. Kym prva, slovna podoba hovorı cosi o vzt’ahu dvoch roznych

tvrdenı, druha, formalna uz iba vyslovuje jedno (z nich dvoch zlozene) tvrdenie, pricom sa vlastne vobecnevyjadruje k jeho pravdivosti. Aby sme tuto jemnu odlisnost’ zdoraznili, tvrdenie o tvrdeniach v prvom prıpadebudeme nazyvat’ metatvrdenie. Miesanie jazyka a metajazyka (t. j. jazyka, v ktorom su tieto metatvrdeniaformulovane) moze sposobit’ neprıjemne paradoxy. Preto je uzitocne rozlisovat’ uroven a

”metauroven“ –

v nasom prıpade bude jazykom matematicka symbolika a metajazykom slovencina. Matuce formulacie typu(¬¬V ) ≡ V (v ktorej hra ≡ v podstate ulohu metatvrdenia) preto nebudeme pouzıvat’.

1.2.3 Kvantifikatory

Ulohou kvantifikatorov je urcit’ mieru, do akej platı nejake parametrizovane tvrdenie. Budeme pouzıvat’ ibadve extremne kvantifikacie – vsetko a nic (presnejsie – jej negaciu aspon jeden).

• Predstavme si, ze mame pred sebou tvrdenia 0 · 0 = 0, 1 · 0 = 0, 2 · 0 = 0, 3 · 0 = 0, a tak d’alej, aleaj (−1) · 0 = 0, (−2) · 0 = 0, (−3) · 0 = 0, a tak d’alej. Su to teda vsetky tvrdenia tvaru x · 0 = 0,kde x je l’ubovol’ne cele cıslo. Kym nevieme, o ake x ide, samotny zapis x · 0 = 0 nie je tvrdenım, aleakousi schemou, parametrizovanym tvrdenım, nazyvanym aj vyrokova funkcia. Pre kazde konkretnecele cıslo x vsak x · 0 = 0 tvrdenım je, a l’ahko vidıme, ze je pravdive. Symbolicky tento fakt zapıseme(∀x ∈ Z)x · 0 = 0.

Ak teda mame pre kazde x z nejakej mnoziny M (v predoslom prıklade slo o mnozinu Z) nejaketvrdenie S(x) (u nas to bolo x · 0 = 0), mozeme z nich skonstruovat’ tvrdenie (∀x ∈ M)S(x).Znacku ∀ nazyvame vseobecny (alebo vel’ky) kvantifikator a cıtame ju

”pre vsetky“. Celkovo teda nase

tvrdenie (∀x ∈ M)S(x) mozno precıtat’ ako vetu”Pre vsetky prvky x z mnoziny M platı tvrdenie

S(x).“. V sulade s tym je toto tvrdenie pravdive prave vtedy, ked’ je tvrdenie S(x) pravdive pre vsetkyprvky x z mnoziny M , co je v nasom prıklade (∀x ∈ Z)x · 0 = 0 pravda. Ak by sme vsak namiesto

1.2.4 Pısmena 131.2.4 Pısmena 131.2.4 Pısmena 13

toho mali pre kazde cele cıslo x tvrdenie x · 1 = 0, tvrdenie (∀x ∈ Z)x · 1 = 0 by nebolo pravdive, lebonaprıklad pre cele cıslo 1 je tvrdenie 1 · 1 = 0 nepravdive.

• Teraz budeme skromnejsı – nebudeme pozadovat’ platnost’ tvrdenia x · 1 = 0 pre kazde cele cıslo, aleuspokojıme sa aspon s jednym, ak vobec existuje. L’ahko vidıme, ze vyhovuje naprıklad cele cıslo 0,teda mozeme povedat’, ze existuje cele cıslo x, pre ktore tvrdenie x · 1 = 0 platı. A tento fakt zapısemev tvare (∃x ∈ Z)x · 1 = 0.

Ak teda mame opat’ pre kazde x z mnoziny M nejake tvrdenie S(x) (tu to bolo x · 1 = 0), mozemeskonstruovat’ aj tvrdenie (∃x ∈ M)S(x). Symbol ∃ nazyvame existencny (alebo maly) kvantifikatora cıtame ho

”existuje“. Celkovo teda tvrdenie (∃x ∈ M)S(x) mozno precıtat’ ako vetu

”Existuje prvok

x z mnoziny M , pre ktory platı tvrdenie S(x).“. A opat’ v sulade s tym je toto tvrdenie pravdive pravevtedy, ked’ je tvrdenie S(x) pravdive aspon pre jeden prvok x z mnoziny M . A to v nasom prıklade(∃x ∈ Z)x · 1 = 0 pravda je, ved’ sme take cele cıslo nasli – 0.

Vsimnime si ulohu mnoziny M . V skutocnosti sa pri definıcii kvantifikaciı nepouzıva, teda prvotne kvan-tifikatorove vyjadrenia su (∀x)T (x) a (∃x)T (x). Nami uvazovane zapisy pomocou M sa potom daju jednodu-cho ekvivalentne prepısat’ takto:

(∀x ∈ M)S(x), akk (∀x)“

(x ∈ M) → S(x)”

a(∃x ∈ M)S(x), akk (∃x)

“

(x ∈ M) ∧ S(x)”

.

1.2.4 Pısmena

Najrozsırenejsımi symbolmi na oznacenie matematickych objektov su latinske pısmena, a to zrejme preto,ze nie je problem ich precıtat’. Tato vyhoda ma vsak aj svoje tieniste stranky – citatel’ je s tymito znakmizoznameny az privel’mi, a potom ignoruje ich pre symboliku rovnako dolezite formalne vlastnosti. Za najdolezi-tejsiu z nich treba povazovat’ typ (alebo rez ci font) pısma (vcıtane jeho vel’kosti ci hrubky). Nezriedka sanest’astne zamienaju naprıklad znaky x, x, x, x, x, ci dokonca X, zrejme s

”odovodnenım“, ze ved’ stale ide

o”iks“. Rozne typy pısma vsak spravidla maju svoje obvykle vyznamy:

Sikme pısmena (nazyvane aj italika) su najrozsırenejsie a sluzia ako temporalne (t. j. docasne) ci lokalne (t. j.miestne) oznacenie. Nazyvame ich preto premenne.

Samozrejme, pri premennej musı byt’ vzdy jasny jej rozsah, t. j. odkial’ pokial’ ju chapeme v tom istom zmysle.Spravidla ide o niekol’ko odsekov (napr. v ramci jednej vety), niekedy je vsak rozsah minimalny – vtedyhovorıme o viazanej premennej. Typickymi prıkladmi viazanosti premennej su:

• index (alebo pocıtadlo) i v oznacenı suctunP

i=1

ai,

• premenna n v oznacenı limity limn→∞

f(n),

• kvantifikovana premenna x v zapise (∀x ∈ M)S(x),

• premenna x v mnozinovom zapise {x ∈ M : S(x)}.

V zapisenP

i=1

i +nP

i=1

i2 tak premenna i vystupuje dvakrat, no nedorozumenie nevznikne, lebo rozsahy oboch i

sa nepretınaju. Podobne je to pri zapisoch limn→∞

1

n+ lim

n→∞

1

n2 alebo ((∀x ∈ Z)x · 0 = 0)∨ ((∃x ∈ Z)x · 1 = 0)

(vsimnime si tu ulohu okruhlych zatvoriek – vyjasnuju rozsah oboch viazanych premennych).

Docasny charakter oznacenia rozozname jednoducho: je to vtedy, ak je mozne vsetky vyskyty premennej(v danom rozsahu) nahradit’ bez zmeny vyznamu inym (pravdaze, doteraz v ramci tohto rozsahu nepouzityma stale tym istym) symbolom. Naprıklad zapisy (∀x ∈ M)S(x) a (∀y ∈ M)S(y) maju rovnaky zmysel

(zrejme nezavisiaci od x ci y) anP

i=1

ai anP

j=1

aj maju rovnaku hodnotu (nezavisiacu na i ani na j). Platı tiez

{x ∈ Z : x · 0 = 0} = {y ∈ Z : y · 0 = 0} a rovnaky vyznam maju aj vety

1.2.4 Pısmena 141.2.4 Pısmena 141.2.4 Pısmena 14


a

Nech k je prirodzene cıslo.Potom ak k je delitel’ne 4, tak k je delitel’ne aj 2.

ci ich dokazy

Ked’ze predpokladame, ze n je delitel’ne 4, existuje prirodzene cıslo take, zen je jeho 4-nasobkom. Ak toto cıslo oznacıme k, tak n = 4k. Oznacmem prirodzene cıslo 2k, t. j. 2k = m. Potom platı 4k = 2m, cize n = 2m.Existuje teda prirodzene cıslo take, ze n je jeho 2-nasobkom, z coho vyplyva,ze n delitel’ne aj 2.

a

Ked’ze predpokladame, ze k je delitel’ne 4, existuje prirodzene cıslo take, zek je jeho 4-nasobkom. Ak toto cıslo oznacıme p, tak k = 4p. Oznacmem prirodzene cıslo 2p, t. j. 2p = m. Potom platı 4p = 2m, cize k = 2m.Existuje teda prirodzene cıslo take, ze k je jeho 2-nasobkom, z coho vyplyva,ze k delitel’ne aj 2.

Tu si vsimnime, ze vymena n za k v znenı vety si vynutila aj zmenu oznacenia lokalnej premennej k z prvehodokazu, inak by totiz nastal konflikt rozsahov oboch k, ked’ze rozsah oznacenia vo vete siaha do celehoprıslusneho dokazu.

Vidıme teda, ze premenne mozu byt’ oznacene v podstate akokol’vek. Napriek tomu sa vsak vyvinuli istenepısane pravidla na to, kedy ake pısmeno pouzit’:

• Na oznacenie prirodzeneho cısla sa obvykle pouzıva pısmeno n (zrejme skratka anglickeho”natural“),

ak je potrebne oznacit’ prirodzenych cısel viac, nastupuju pısmena z jeho blızkeho okolia v abecede ka m, zriedkavo aj (vzhl’adom na prılisnu podobu s cıslom 1 typograficky nest’astne) l, prıpadne vo verziiℓ.

• Pre jedno realne cıslo sa nuka oznacenie x, v prıpade potreby su naporudzi d’alsie pısmena z koncaabecedy – y, z, ci w.

• Ako symbol pre funkciu zvykne sluzit’ f (zrejme skratka anglickeho slova”function“), ale i g ci h z jeho

abecedneho okolia.

• Pre relaciu analogicky pouzıvame R (zrejme skratka anglickeho slova”relation“), prıpadne S a T .

• Na oznacenie (nijako specialnych) mnozın sa pouzıvaju vel’ke pısmena – A, B, C, ale i K, L, M , ciX, Y , Z.

• Na oznacenie (opat’ nijako zvlastnych) systemov mnozın obvykle sluzia vel’ke kaligraficke pısmena A,B, C a podobne.

• Ako index v suctoch (P

) sa pouzıva hlavne i, v prıpade potreby potom aj j a k.

Rovne pısmena su urcene na oznacenie objektov s trvalou platnost’ou, a to ako konstant – napr. e preEulerovo cıslo, i pre komplexnu jednotku, ci znaky N, Z, Q, R, C pre mnoziny (vsetkych) prirodzenych,celych, racionalnych, realnych a komplexnych cısel –, tak funkciı – napr. S pre obsah ci V pre objem. (Dotejto kategorie mozno zaradit’ aj cifry 0, 1, . . . , 9.) Obvykle sa vsak pre funkcie pouzıvaju viacpısmenneskratky ako max, min, log, lg, exp, sin, cos, ci lim. Nedodrzanie tohto pravidla je dost’ nebezpecne, pretozenaprıklad na rozdiel od sin sikmy zapis sin znamena sucin premennych s, i a n.

Casto sa stava, ze pracujeme s vacsım poctom objektov rovnakeho typu, a preto ich potrebujeme nejakooznacit’. Vtedy je vsak nepohodlne pouzit’ trebars a, b, c, d, e, atd’., pretoze jednak pocet pısmen je dost’

1.2.5 Zatvorky 151.2.5 Zatvorky 151.2.5 Zatvorky 15

obmedzeny, nemusı byt’ uplne zrejme ich poradie, a navyse, co je podstatnejsie, stracame informaciu o rov-nakosti ich druhu, a tym i moznost’ pracovat’ s nimi

”hromadnejsie“. V takom prıpade pouzijeme len jedno

pısmeno, ale dodame k nemu rozne indexy, napr. a0, a1, a2, a3, a4, atd’.. (Vsimnime si, ze presne takto riesimetento problem aj pri programovanı, ked’ v analogickej situacii pouzıvame datovu strukturu pole.) Tak vyriesimevsetky naznacene t’azkosti – jednak takychto indexov je potencialne nekonecne vel’a, jednak ich poradie jeuplne zrejme, a jednak nestracame ani rovnakost’ typov. A vieme s nimi pracovat’ i vseobecne, ak nieco platıpre vsetky tieto objekty, jednoducho napıseme, ze

”to platı pre vsetky ai, kde i je prvok tej a tej mnoziny“. Ak

je objektov konecne vel’a,”touto mnozinou“ je spravidla nejaky pociatocny usek mnoziny N, napr. v nasom

prıklade 0, 1, 2, 3, 4. Cıslo 0 sa vzhl’adom na svoj specificky charakter (v niektorych kruhoch nepovazuje zaprirodzene cıslo) vel’mi casto vynechava, a tak indexy zacınaju az cıslom 1. V prıpade (nekonecnej) postup-nosti objektov sa pouzıvaju indexy z mnoziny N (opat’ niekedy bez nuly). Indexovou mnozinou nemusia byt’len prirodzene cısla, ak treba, mozeme pouzit’ l’ubovol’nu mnozinu.

Na rozdiel od typov pısma matematicka symbolika nie je vobec citliva na”fyzicku“ vel’kost’ pısmen, takze

trebars v zapisenP

i=1

i22i

maju vsetky tri vyskyty italickeho pısmena i napriek roznej vel’kosti rovnaky vyznam.

Na zaver dodajme, ze uvedene zasady sıce nemaju univerzalnu platnost’, ich pouzıvanie vsak znacne zjednodu-suje chapanie textu, preto by si autor textu mal vzdy dobre rozmysliet’, ci ich porusenie stojı za to.

Analogicke zasady by mohli platit’ aj pre pısmena z inych abecied (greckej ci hebrejskej), tam su vsak nasetypograficke moznosti podstatne obmedzenejsie.

1.2.5 Zatvorky

Osobitnu zmienku si zasluzia zatvorky. Jeden zo stredoskolskych zlozvykov je miesat’ rozne ich typy (naprıkladpri uprave vyrazov). V skutocnosti vsak ma kazdy druh zatvoriek svoje osobitne urcenie a nemozno ich vol’nezamienat’:

• Mnozinove (alebo aj kucerave ci chlpate) zatvorky – otvarajuca { a zatvarajuca } – sluzia na oznacenierozsahom (extenzionalne) alebo obsahom (intencionalne) zadanej mnoziny. Naprıklad {0, 1, 5, 6} jeextenzionalne (t. j. svojım rozsahom) zadana mnozina obsahujuca prave styri prvky 0, 1, 5 a 6, kym{x ∈ R : x ≥ 0} je intencionalne (t. j. svojım obsahom) zadana mnozina obsahujuca prave nezapornerealne cısla.

Zdoraznime, ze pri mnozinach nezalezı na poradı ci pocetnosti prvkov, teda naprıklad {0, 1, 5, 6},{0, 6, 5, 1}, {0, 1, 1, 0, 5, 6, 5} ci dokonca {3 − 3, 2 : 2, 2 + 3, 2 · 3} su sıce rozne vyjadrenia, ale staletej istej stvorprvkovej mnoziny.

• Spicate (alebo aj lomene) zatvorky – otvarajuca 〈 a zatvarajuca 〉 – sa pouzıvaju na oznacenie (uspo-riadanych) tıc (naprıklad (suradnıc) bodov ci vektorov), pri ktorych na rozdiel od prvkov mnozın zalezına poradı ich zloziek. Naprıklad 〈2, 3, 5〉 je usporiadana trojica, ktorej prva zlozka je 2, druha 3 a tretia5, kym 〈5, 2, 3〉 je ina usporiadana trojica – s prvou zlozkou 5, druhou 2 a tret’ou 3.

• Hranate zatvorky – otvarajuca [ a zatvarajuca ] – budeme pouzıvat’ na oznacenie (hranıc) uzavretehointervalu realnych cısel. Naprıklad [0, 1] je mnozina {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

• Okruhle zatvorky – otvarajuca ( a zatvarajuca ) – maju neutralny charakter a sluzia na zdoraznenieporadia vykonavania operaciı. Naprıklad (4− 3)− 2 naznacuje, ze najprv treba vypocıtat’ rozdiel 4− 3,a az potom od jeho vysledku odratat’ 2, kym 4− (3− 2) hovorı, ze ako prvy treba zistit’ rozdiel 3 − 2,a az potom ho odcıtat’ od cısla 4. To, ze vysledky tychto vyrazov lısiacich sa len zatvorkami su rozne,dorazne naznacuje, ze ani ulohu tychto neutralnych zatvoriek nemozno vo vseobecnosti podcenovat’.

Okrem toho maju tieto zatvorky aj jednu specialnu ulohu: pouzıvaju sa na oznacenie (hranıc) otvorenehointervalu realnych cısel. Naprıklad (0, 1) je mnozina {x ∈ R : 0 < x < 1}.

Netreba azda zdoraznovat’, ze zatvorky ziju v paroch a otvarajuca zatvorka predchadza zatvarajucu. Doleziteje tiez zachovavat’ spravne uzatvorkovanie, co znamena dodrziavanie zasobnıkoveho princıpu: Ak je otvarajucazatvorka prveho paru medzi oboma zatvorkami druheho paru, tak medzi nimi musı byt’ aj zatvarajuca zatvorkaprveho paru.

1.3 Symboly v definıciach a vetach 161.3 Symboly v definıciach a vetach 161.3 Symboly v definıciach a vetach 16

Obe zatvorky z jedneho paru musia byt’ rovnakeho druhu. Jedinou vynimkou z tohto pravidla je oznacovaniepolootvorenych intervalov, ked’ partnerom otvarajucej zatvorky ( je zatvarajuca zatvorka ], resp. partneromotvarajucej zatvorky [ je zatvarajuca zatvorka ).

Ak riadok matematickeho textu z typografickych dovodov presahuje obvyklu vysku (hrubku), pouzıvaju sazvacsene verzie zatvoriek (napr.

˘

namiesto {). Rovnaku vel’kost’ vsak potom musı mat’ aj partnerska zatvorka.

Na zaver este dve poznamky:

• V niektorych matematickych textoch je uloha spicatych a hranatych zatvoriek vymenena – [0, 1] jetam usporiadana dvojica, 〈0, 1〉 uzavrety interval. Ked’ze su vsak zatvorky 〈 a (, resp. 〉 a ) (najma prinedoslednom rucnom zapisovanı) graficky prılis podobne, moze l’ahko dojst’ k vaznemu nedorozumeniu,ci ide o uzavrety, polootvoreny alebo otvoreny interval. Pri v tomto texte uvedenej symbolike taketonebezpecenstvo nehrozı, ked’ze rozdiel medzi [0, 1] a (0, 1) je omnoho vyraznejsı nez pri dvojici 〈0, 1〉a (0, 1).

• Dodajme, ze mnozinove zatvorky sa este aj dnes v mnohych kruhoch pouzıvaju na oznacovanie postup-nosti – {fn : n ∈ N}. Toto pouzitie je vsak vel’mi nest’astne, pretoze postupnost’ nie je mnozinou svojichclenov (okrem ineho aj preto, ze v nej zalezı na ich poradı). Oznacenie sa tak stava vnutorne nekonzis-tentnym, a tym aj matucim. Odporuca sa preto pouzıvat’ oznacenie 〈fn : n ∈ N〉 alebo neutralne(fn : n ∈ N).

1.3 Symboly v definıciach a vetach

Dotkli sme sa uz matematickej symboliky i struktury matematickeho textu. Urobme teraz kratku zaverecnusyntezu – odpovedzme na otazku, ako je to s premennymi vo vetach a definıciach. Uvedomme si, ze ak nanejakom mieste zavadzame nejake oznacenie, robıme to preto, aby sme ho na inom mieste aspon raz pouzili.Inak je totiz toto oznacenie zbytocne, ba az kontraproduktıvne.

Pokial’ ide o vetu, rozsah prıpadnych premennych v nej zavedenych je len tato veta, avsak vcıtane svojhodokazu. Ak by sa vsak toto oznacenie pouzıvalo len v dokaze, stacilo by ho zaviest’ na jeho zaciatku. Znamenato teda, ze toto zavedene oznacenie by malo byt’ pouzite uz v znenı vety. Ak to zhrnieme, kazda premennav znenı spravne sformulovanej vety sa v nej musı vyskytnut’ aspon dvakrat. Naprıklad vo vete

Nech n je prirodzene cıslo.Potom cıslo nk je delitel’ne n.

sa premenna k vyskytuje iba raz, preto ju treba upravit’ bud’ na tvar

Nech n a k su prirodzene cısla.Potom cıslo nk je delitel’ne n.

alebo na tvar

Nech n je prirodzene cıslo.Potom pre vsetky prirodzene cısla k je cıslo nk je delitel’ne n.

Aj pri definıcii z rovnakych dovodov platı, ze kazda premenna sa v nej musı vyskytnut’ aspon dvakrat. Tu vsakmusıme pozadovat’ este nieco navyse, pretoze uz spomınana nekorektna

”definıcia“

Nech n a k su prirodzene cısla.Hovorıme, ze n je dobre, ak k je delitel’ne n.

2 Zakladne matematicke pojmy 172 Zakladne matematicke pojmy 172 Zakladne matematicke pojmy 17

tuto podmienku splna. Kde je teda problem? Rozsah premennej zavedenej v preambule (teda v casti po

”Nech“) je od miesta jej zavedenia az po koniec definıcie. Ak sa vsak taka premenna nevyskytuje v prvej

casti jadra definıcie (teda v casti medzi”Hovorıme, ze“ a

”ak“) – ako je to s nasou premennou k –, hrozı, ze

definıcia bude nekorektna. Vyhneme sa tomu uplne jednoducho – v preambule zavedieme len take premenne,ktore sa v prvej casti jadra definıcie vyskytuju. Ak ma byt’ teda nasa definıcia

”dobroty“ korektna, bude treba

urobit’ nejaku zmenu, naprıklad

Nech n je prirodzene cıslo.Hovorıme, ze n je dobre, ak pre vsetky prirodzene cısla k je k delitel’ne n.

V takom prıpade uz definıcia korektna je (a vyplyva z nej, ze dobre cıslo je len jedno, a to 1).

2 Zakladne matematicke pojmy 182 Zakladne matematicke pojmy 182 Zakladne matematicke pojmy 18

2

Zakladne matematicke pojmy

2.1.2 Podtriedy a podmnoziny 192.1.2 Podtriedy a podmnoziny 192.1.2 Podtriedy a podmnoziny 19

2.1 Mnoziny

2.1.1 Trieda a mnozina

Pojmy triedy a mnoziny radsej nebudeme na tomto mieste presne definovat’, uspokojıme sa len s niektorymiich dolezitymi vlastnost’ami. Pod triedou rozumieme subor objektov splnajucich nejaku dobre definovanuvlastnost’, co symbolicky zapıseme {x : S(x)}, kde S je nejaka vyrokova funkcia. Niektore z tried sa nazyvajumnoziny, a to prave tie, ktore mozu vystupovat’ na l’avej strane znaku ∈, teda tie, ktore mozu byt’ prvkomniektorej triedy (ano, treba zabudnut’ na predsudok, ze objekt je bud’ mnozina, alebo prvok).

Kazda mnozina je teda trieda, ale zd’aleka nie vsetky triedy su mnoziny. Take triedy nazyvame vlastne triedy.Klasickym prıkladom je trieda T = {x : x /∈ x}. Ak by to bola mnozina, mohli by pre nu nastat’ dve moznosti– bud’ T ∈ T , alebo T /∈ T . Ale ak je T prvkom T , tak pren podl’a definıcie T platı T /∈ T , a ak T nie jeprvkom T , tak podl’a definıcie T nemoze platit’ T /∈ T , a teda musı platit’ T ∈ T . To teda znamena, ze T ∈ Tprave vtedy, ked’ T /∈ T , co je zrejmy nezmysel. Trieda T teda nie je mnozina, cize je to vlastna trieda.

Kazda trieda je dana len svojimi prvkami, do hry nevstupuje ziadna ich vlastnost’ ci vzajomny vzt’ah. Platıpreto vlastnost’ zvana extenzionalita:

Ak su X a Y triedy, tak

X = Y , prave vtedy, ked’ (∀x)“

(x ∈ X) ↔ (x ∈ Y )”

.

Specialne to, pravdaze, platı pre mnoziny.

2.1.2 Podtriedy a podmnoziny

Hovorıme, ze trieda Y je podtrieda triedy X a zapisujeme to Y ⊆ X, ak kazdy prvok triedy Y je aj prvkomtriedy X. Symbolicky to mozeme vyjadrit’

Y ⊆ X, akk (∀x ∈ Y )x ∈ X, akk (∀x)“

(x ∈ Y ) → (x ∈ X)”

.

Tento vzt’ah, zvany inkluzia, mozeme vyjadrit’ aj graficky:

X

Y

Naopak, X bude nadtriedou triedy Y (co zapıseme X ⊇ Y ), ak Y je podtriedou X, teda

X ⊇ Y , akk Y ⊆ X.

Pod podmnozinou rozumieme podtriedu mnoziny. Treba zdoraznit’, ze takato podtrieda je vzdy mnozina(tento fakt je sucast’ou tu neuvadzanej definıcie pojmu mnozina). Naopak, nadmnozinou nazveme nadtriedu,ktora je mnozinou (tu tato vlastnost’ nie je samozrejma).

Naprıklad mnozina {1, 2, 4} je podmnozinou mnoziny {1, 2, 3, 4}, lebo kazdy jej prvok – aj 1, aj 2, aj 4 patriado {1, 2, 3, 4}. Naproti tomu nie je podmnozinou mnoziny {1, 2, 3}, lebo do tejto mnoziny nepatrı prvok 4:

2.1.3 Prienik a zjednotenie 202.1.3 Prienik a zjednotenie 202.1.3 Prienik a zjednotenie 20

1

2 3

4

Vsimnime si, ze podl’a definıcie je kazda mnozina sama sebe podmnozinou (i nadmnozinou). Ak tuto specialnumoznost’ vylucime, budeme hovorit’ o vlastnej podmnozine a znacit’ to znakom ⊂ (tu stojı za povsimnutiesulad grafickej a obsahovej podobnosti dvojıc ⊆ vs. ≤ a ⊂ vs. <). Takze

Y ⊂ X, akk Y ⊆ X, ale Y 6= X.

Naprıklad {1, 2, 4} je vlastnou podmnozinou mnoziny {1, 2, 3, 4}, ale nie je vlastnou podmnozinou mnoziny{1, 2, 4} (samej seba).

Pojem podmnoziny nam poskytuje vhodnu prılezitost’ narusit’ spomınany predsudok, ze objekty sa delia na dveprincipialne odlisne skupiny – prvky a mnoziny. Vsetky podmnoziny danej mnoziny su totiz prvkami specialnej,tzv. potencnej mnoziny, ktoru oznacujeme P(X). Symbolicky teda

P(X) = {Y : Y ⊆ X}.Aj tu treba podotknut’, ze potencna mnozina je vzdy mnozina (opat’ je to preto, lebo tento fakt je sucast’oudefinıcie pojmu mnoziny).

Naprıklad potencna mnozina mnoziny {1, 2} obsahuje ako prvky mnoziny {1}, {2}, {1, 2} a prazdnu mnozinu{}, oznacovanu alternatıvne a castejsie ∅ ci ∅, symbolicky teda

P({1, 2}) =n

∅, {1}, {2}, {1, 2}o

.

2.1.3 Prienik a zjednotenie

Tak ako su pre realne cısla definovane zakladne aritmeticke operacie, istu aritmetiku maju aj mnoziny. Vstupommnozinovych operaciı su teda mnoziny, ich vysledkami tiez mnoziny.

Najprv definujme tie jednoduchsie z mnozinovych operaciı:

Nech A a B su l’ubovol’ne dve mnoziny.

• Prienikom dvoch mnozın (s oznacenım”∩“) rozumieme mnozinu obsahujucu prave vsetky ich spolocne

prvky, co symbolicky mozeme zapısat’ rovnost’ou

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

• Zjednotenie dvoch mnozın (oznacene”∪“) bude mnozina zlozena z prvkov oboch mnoziny, teda

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Definıcie mozeme znazornit’ aj graficky, pomocou tzv. Vennovych diagramov :

A B A B

2.1.3 Prienik a zjednotenie 212.1.3 Prienik a zjednotenie 212.1.3 Prienik a zjednotenie 21

Tieto dva vzt’ahy mozeme prepısat’ este v trochu inej, mozno trochu prehl’adnejsej forme:

• x ∈ A ∩ B, akk x ∈ A ∧ x ∈ B.

• x ∈ A ∪ B, akk x ∈ A ∨ x ∈ B.

Tu vel’mi pekne vidıme suvis znakov ∩ a ∧ a tiez ∪ a ∨. Su dokonca typograficky vel’mi podobne, co obcaszvadza k ich (samozrejme) nespravnemu zamienaniu. Vzhl’adom na prıslusne vlastnosti logickych spojok ∧a ∨ l’ahko vidıme, ze podobne su na tom aj operacie prieniku a zjednotenia, t. j. platia tieto vlastnosti:

Nech A, B a C su mnoziny. Potom:

• A ∩ B = B ∩ A (komutativita ∩).

• A ∪ B = B ∪ A (komutativita ∪).

• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativita ∩).

• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociativita ∪).

• (A ∩ B) ∪ A = A (absorpcia ∩).

• (A ∪ B) ∩ A = A (absorpcia ∪).

• (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distribucia ∪ vzhl’adom na ∩).

• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (distribucia ∩ vzhl’adom na ∪).

Na ukazku dokazeme jedno z tychto tvrdenı, trebars predposledne. Pripomenme pritom, ze dokazat’ rovnost’dvoch mnozın X a Y znamena ukazat’, ze tvrdenia x ∈ X a x ∈ Y su pre kazde x ekvivalentne:

Nech x je l’ubovol’ny (prıpustny) prvok. Potom platı nasledujuca seria ekvivalenciı:

x ∈ (A ∩ B) ∪ C,

akk (x ∈ A ∩ B) ∨ x ∈ C (podl’a definıcie zjednotenia),

akk (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ C (podl’a definıcie prieniku),

akk (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) (distribucia disjunkcie k clenom konjunkcie),

akk (x ∈ A ∪ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) (podl’a definıcie zjednotenia),

akk (x ∈ A ∪ C) ∧ (x ∈ B ∪ C) (podl’a definıcie zjednotenia),

akk x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (podl’a definıcie prieniku).

Celkovo teda platı x ∈ (A∩B)∪C prave vtedy, ked’ platı x ∈ (A∪C)∩ (B∪C), co znamena (A∩B)∪C =(A ∪ C) ∩ (B ∪ C), a to je presne to, co sme chceli dokazat’.

Ukazali sme, ako zjednocovat’ a prenikat’ dve mnoziny. Analogicke operacie su vsak definovane pre l’ubovol’nysystem mnozın {Ai : i ∈ I} (I je nejaka (mozno i nekonecna) mnozina indexov).

• Prienikom tohto systemu (s oznacenım”

T

“) rozumieme aj tu mnozinu obsahujucu prave vsetky ichspolocne prvky, co symbolicky mozeme zapısat’ rovnost’ou

\

{Ai : i ∈ I} = {x : (∀i ∈ I)x ∈ Ai}.

• Zjednotenie tohto systemu (oznacene”

S

“) bude mnozina zlozena z prvkov patriacich aspon do jednejz mnozın systemu, teda

[

{Ai : i ∈ I} = {x : (∃i ∈ I)x ∈ Ai}.

NamiestoT{Ai : i ∈ I} obvykle pıseme jednoduchsie

T

i∈IAi a analogicky namiesto

S{Ai : i ∈ I} zasaS

i∈IAi

Takymto sposobom naprıklad mozeme vyjadrit’, ze interval (0, 1) mozeme pokryt’ intervalmi tvaru ( 1

n+1, 1),

kde n je prirodzene cıslo, a to zapisom

[

n∈N

„

1

n + 1, 1

«

= (0, 1).

2.1.4 Rozdiel a komplement 222.1.4 Rozdiel a komplement 222.1.4 Rozdiel a komplement 22

Ako prıklad pouzitia prieniku systemu nech posluzi rovnost’

\

n∈N

„

− 1

n + 1,

1

n + 1

«

= {0}.

Vsimnime si tiez, ze v prıpade dvojprvkovej indexovej mnoziny I = {1, 2} platı

(∀i ∈ {1, 2})x ∈ Ai, akk x ∈ A1 ∧ x ∈ A2

a(∃i ∈ {1, 2})x ∈ Ai, akk x ∈ A1 ∨ x ∈ A2,

z coho vyplyva\

i∈{1,2}

Ai = A1 ∩ A2

a[

i∈{1,2}

Ai = A1 ∪ A2.

Vidıme teda, ze pojem prieniku, resp. zjednotenia dvoch mnozın je specialnym prıpadom prieniku, resp.zjednotenia systemu.

Na zaver este jeden dolezity pojem, suvisiaci s prienikom: Hovorıme, ze mnoziny A a B su disjunktne, akA ∩ B = ∅. Disjunktne su teda naprıklad mnoziny parnych a neparnych prirodzenych cısel, alebo trebarsmnoziny {1, 2, 3} a {4, 5, 6}, ci ∅ a X (a to pre l’ubovol’nu mnozinu X).

2.1.4 Rozdiel a komplement

Nech A a B su l’ubovol’ne dve mnoziny. Rozdielom dvoch mnozın (s oznacenım”r“, ale nezriedka aj

”−“

ci”\“) rozumieme mnozinu obsahujucu prave tie prvky prvej mnoziny, ktore nepatria do druhej mnoziny.

Symbolicky tedaA r B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Aj tuto definıciu mozeme znazornit’ pomocou Vennovho diagramu:

A B

Takze naprıklad {1, 2, 3, 4} r {1, 2, 5, 6} = {3, 4}, ale {1, 2, 5, 6} r {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. Vidıme teda, zerozdiel na rozdiel od prieniku a zjednotenia nie je komutatıvny. Aby sa tato z isteho hl’adiska nepekna crtaodstranila, definuje sa pre mnoziny A a B vzt’ahom

A△B = (A r B) ∪ (B r A).

tzv. symetricky rozdiel mnozın A a B.

2.1.5 Karteziansky sucin 232.1.5 Karteziansky sucin 232.1.5 Karteziansky sucin 23

A B

L’ahko tiez vidiet’, ze platı vzt’ahA△B = (A ∪ B) r (A ∩ B).

Uved’me teraz dolezity specialny prıpad rozdielu mnozın: Ak M je l’ubovol’na mnozina a A jej podmnozina,mnozinu M r A nazyvame komplement (alebo aj doplnok) mnoziny A (v mnozine M).

A

M

L’ahko vidiet’, ze komplement komplementu je povodna mnozina, t. j. pre l’ubovol’nu mnozinu M a jejpodmnozinu A platı

M r (M r A) = A.

Z deMorganovych pravidiel tiez l’ahko odvodıme (pre l’ubovol’nu mnozinu M a jej dve podmnoziny A a B)vzt’ahy

M r (A ∪ B) = (M r A) ∩ (M r B)

aM r (A ∩ B) = (M r A) ∪ (M r B).

Analogicky pre l’ubovol’ny system {Ai : i ∈ I} podmnozın mnoziny M platı

M r

[

i∈I

Ai

!

=\

i∈I

(M r Ai)

a

M r

\

i∈I

Ai

!

=[

i∈I

(M r Ai),

teda vol’nymi slovami:

• komplement zjednotenia je prienik komplementov,

• komplement prieniku je zjednotenie komplementov.

2.1.5 Karteziansky sucin

Dalsou crtou nami neuvedenej definıcie je moznost’ vytvarat’ dvojprvkove mnoziny, teda fakt, ze pre kazde xa y je {z : z = x ∨ z = y} = {x, y} nielen trieda, ale i mnozina. V specialnom prıpade, ked’ x = y, takdostavame jednoprvkovu mnozinu {x}. Pri nej zdoraznime, ze sa nerovna svojmu prvku, t. j.

{x} 6= x.

2.1.5 Karteziansky sucin 242.1.5 Karteziansky sucin 242.1.5 Karteziansky sucin 24

Existencia dvoj- a jedno-prvkovych mnozın umoznuje definovat’ usporiadanu dvojicu – pre kazde x a yoznacıme

〈x, y〉 = {{x}, {x, y}}.L’ ahko potom vidiet’, ze platı ocakavana vlastnost’ usporiadanych dvojıc

〈x1, y1〉 = 〈x2, y2〉 prave vtedy, ked’ (x1 = x2) ∧ (y1 = y2),

a teda naprıklad 〈2, 3〉 6= 〈3, 2〉. Ako uz nazov”usporiadana dvojica“ napoveda, zalezı na poradı jej clenov.

Tu pripomenme, ze pri mnozinach to tak nie je, naprıklad {2, 3} = {3, 2}.A teraz uz mozeme vytvorit’ karteziansky sucin: Ak A a B su mnoziny, tak polozme

A × B = {z : (∃x ∈ A)(∃y ∈ B)z = 〈x, y〉},

alebo skrateneA × B = {〈x, y〉 : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

(To, ze je to mnozina, je opat’ zabezpecene definıciou pojmu mnoziny.)

A

B

Teda naprıklad {1, 2} × {3, 4, 5} = {〈1, 3〉, 〈1, 4〉, 〈1, 5〉, 〈2, 3〉, 〈2, 4〉, 〈2, 5〉} – kazdy prvok jednej mnoziny jeskombinovany s kazdym prvkom druhej mnoziny. L’ahko vsak vidiet’, ze karteziansky sucin nie je komutatıvny,lebo {3, 4, 5} × {1, 2} = {〈3, 1〉, 〈4, 1〉, 〈5, 1〉, 〈3, 2〉, 〈4, 2〉, 〈5, 2〉}, co je ina mnozina.

1 2

3

4

5

〈1, 3〉

〈1, 4〉

〈1, 5〉

〈2, 3〉

〈2, 4〉

〈2, 5〉

1

2

3 4 5

〈3, 1〉〈4, 1〉〈5, 1〉

〈3, 2〉〈4, 2〉〈5, 2〉

Pojem usporiadanej dvojice umoznuje definovat’ aj usporiadane trojice, stvorice, ba n-tice pre l’ubovol’neprirodzene n ≥ 3:

• 〈x1, x2, x3〉 = 〈〈x1, x2〉, x3〉,• 〈x1, x2, x3, x4〉 = 〈〈x1, x2, x3〉, x4〉,• . . .

• 〈x1, . . . , xn−1, xn〉 = 〈〈x1, . . . , xn−1〉, xn〉.

2.2.2 Inverzna relacia k binarnej relacii 252.2.2 Inverzna relacia k binarnej relacii 252.2.2 Inverzna relacia k binarnej relacii 25

Kvoli uplnosti este definujeme usporiadanu jednicu 〈x〉 = x a usporiadanu nulicu 〈〉 = ∅. Skratene budemevsetky usporiadane n-tice pre vsetky prirodzene cısla n nazyvat’ jednotnym nazvom tica (z anglickeho tuple).

Podobne iteratıvne mozeme definovat’ aj karteziansky sucin l’ubovol’neho konecneho poctu n mnozın pre n ≥ 3:

• A1 × A2 × A3 = (A1 × A2) × A3,

• A1 × A2 × A3 × A4 = (A1 × A2 × A3) × A4,

• . . .

• A1 × · · · × An−1 × An = (A1 × · · · × An−1) × An.

Zhrnutım teda pre kazde prirodzene n ≥ 1 dostavame

A1 × · · · × An = {〈x1, . . . , xn〉 : x1 ∈ A1 ∧ · · · ∧ xn ∈ An}.

2.2 Relacie

2.2.1 Relacia ako podmnozina kartezianskeho sucinu

Pokusme sa graficky vyjadrit’ porovnanie < pre prvky mnoziny M = {1, 2, 3, 4, 5}. Nacrtneme tabul’ku, ktorejriadky i stlpce budu prvky tejto mnoziny a hodnoty budu odpovede na otazku, ci cıslo z prıslusneho riadku jemensie nez cıslo z prıslusneho stlpca (• znamena

”ano“, ×

”nie“):

1 2 3 4 5

1 × • • • •2 × × • • •3 × × × • •4 × × × × •5 × × × × ×

Tento vzt’ah mozeme vyjadrit’ aj symbolicky formou mnoziny tych usporiadanych dvojıc, pre ktore je odpoved’

”ano“:

{〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈1, 4〉, 〈1, 5〉, 〈2, 3〉, 〈2, 4〉, 〈2, 5〉, 〈3, 4〉, 〈3, 5〉, 〈4, 5〉},co je podmnozina kartezianskeho sucinu M × M . Uvedomme si, ze porovnanie < medzi prvkami 1, 2, 3, 4,5 je vlastne touto mnozinou plne popısane, ved’ je (na mnozine {1, 2, 3, 4, 5}) vyjadrene prave vzt’ahmi

1 < 2, 1 < 3, 1 < 4, 1 < 5, 2 < 3, 2 < 4, 2 < 5, 3 < 4, 3 < 5, 4 < 5.

Preto ho s nou mozeme stotoznit’, a teda zapis x < y chapat’ ako skratku za 〈x, y〉 ∈ <.

Takuto uvahu mozeme zopakovat’ pre l’ubovol’ny (binarny) vzt’ah medzi prvkami l’ubovol’nej mnoziny, dokoncaani nemusıme vyzadovat’, aby v riadkoch i stlpcoch bola ta ista mnozina. Ak X a Y su mnoziny, tak l’ubovol’nupodmnozinu R kartezianskeho sucinu X × Y nazveme binarna relacia (skratene len relacia) nad mnozinamiX a Y (ak X = Y = M , tak nad mnozinou M). Pre l’ubovol’ne prvky x ∈ X a y ∈ Y potom zapisujemexR y namiesto 〈x, y〉 ∈ R a obvykle tiez x 6R y namiesto ¬(〈x, y〉 ∈ R).

Pojem relacie mozeme, pravdaze, zovseobecnit’ na l’ubovol’ny pocet n mnozın, kde n ≥ 1: Pod n-arnou relaciou(alebo tiez predikatom) budeme aj tu rozumiet’ l’ubovol’nu podmnozinu ich kartezianskeho sucinu. Podobneako pri binarnych relaciach aj tu mozeme kazdy n-arny predikat povazovat’ za vyjadrenie akehosi vzt’ahu medzin objektmi – tato n-tica objektov don patrı prave vtedy, ak medzi nimi tento vzt’ah je. Este raz zdoraznime,ze relaciou je kazda podmnozina kartezianskeho sucinu, avsak iba niektore z nich maju svoje pomenovanie(ako naprıklad spomınane <).

2.2.3 Usporiadanie 262.2.3 Usporiadanie 262.2.3 Usporiadanie 26

2.2.2 Inverzna relacia k binarnej relacii

Dalsım dolezitym (a pritom jednoduchym) pojmom je inverzna relacia k binarnej relacii, nejde o nic ine akoo vymenu poradia zloziek usporiadanych dvojıc:

R−1 = {〈y, x〉 : 〈x, y〉 ∈ R},

alebo inymi slovamiy R−1 x, akk xR y.

V predchadzajucom prıklade je to teda

{〈2, 1〉, 〈3, 1〉, 〈4, 1〉, 〈5, 1〉, 〈3, 2〉, 〈4, 2〉, 〈5, 2〉, 〈4, 3〉, 〈5, 3〉, 〈5, 4〉},

ktorej tabul’ka

1 2 3 4 5

1 × × × × ×2 • × × × ×3 • • × × ×4 • • • × ×5 • • • • ×

vznikne z povodnej transpozıciou (otocenım okolo hlavnej diagonaly). L’ ahko vidiet’, ze tato inverzna relaciaje vlastne >. Navyse je tiez zrejme, ze pre kazdu relaciu R platı

(R−1)−1 = R.

Pri niektorych binarnych relaciach nas bude zaujımat’ mnozina druhych zloziek niektorych ich prvkov. Presnej-sie, ak R ⊆ X × Y a Z ⊆ X, tak

R[Z] = {y : (∃x ∈ Z)〈x, y〉 ∈ R}

(vsimnime si pritom pouzitie hranatych zatvoriek). Pre vyssie uvedenu relaciu < nad mnozinou {1, 2, 3, 4, 5}tak naprıklad < [{3, 4}] = {4, 5} (vysledna mnozina obsahuje 4 preto, lebo je to druha zlozka prvku 〈3, 4〉,ktoreho prva zlozka 3 patrı do mnoziny {3, 4}, a 5 obsahuje preto, lebo je to druha zlozka prvku 〈3, 5〉,ktoreho prva zlozka 3 patrı do mnoziny {3, 4}, alebo aj preto, lebo je to druha zlozka prvku 〈4, 5〉, ktorehoprva zlozka 4 patrı do mnoziny {3, 4}). L’ ahko vidiet’, ze analogicku mnozinu prvych zloziek vieme vyjadrit’pomocou inverznej relacie: Ak R ⊆ X × Y a W ⊆ Y , tak

R−1[W ] = {x : (∃y ∈ W )〈y,x〉 ∈ R−1} = {x : (∃y ∈ W )〈x, y〉 ∈ R}.

Teda naprıklad <−1 [{3, 4}] = {1, 2, 3} (lebo napr. 〈1, 3〉, 〈2, 3〉, 〈3, 4〉 ∈ <).

2.2.3 Usporiadanie

Vsimnime si lepsie dolezitu vlastnost’ relacie < (dokonca sa ani nemusıme obmedzovat’ na povodnu mnozinu{1, 2, 3, 4, 5}), a to, ze ak je prve cıslo mensie od druheho a druhe od tretieho, tak je nutne prve mensie odtretieho. L’ahko vidiet’, ze analogicku vlastnost’ maju aj d’alsie porovnania >, ≤ a ≥, ba dokonca, ako smeuz kedysi spomınali, aj = (pravdaze, slovo

”mensı“ treba v kazdom z tychto prıpadov nahradit’ inym). Tato

vlastnost’ sa nazyva tranzitivita a mozeme ju definovat’ aj vseobecne:

Relacia R ⊆ M × M sa nazyva tranzitıvna, ak pre vsetky prvky x, y, z z mnoziny M platı

((xR y) ∧ (y R z)) → (xR z).

Pravdaze, okrem <, >, ≤, ≥ a = existuju aj ine tranzitıvne relacie na M , z tych pomenovanych spomenmevobec najmensiu, prazdnu relaciu ∅ i najvacsiu, plnu relaciu M × M .


Tu si este povsimnime, ze nie kazda relacia je tranzitıvna. Naprıklad pre 6= platı 1 6= 2, 2 6= 1, ale neplatı1 6= 1 (teda predchadzajuci vzt’ah pre x = z = 1 a y = 2 neplatı).

V d’alsıch vlastnostiach sa vsak porovnania ≤, ≥ a = na jednej strane a <, > a 6= na strane druhej lısia: Kympre vsetky x ∈ M platı x ≤ x, x ≥ x a x = x, vzt’ahy x < x, x > x a x 6= x neplatia pre ziadne x. Tieto dvevlastnosti definujme vseobecne:

• Relaciu R ⊆ M × M nazveme reflexıvna, ak pre kazdy prvok x mnoziny M platı x R x.

• Relaciu R ⊆ M × M nazveme antireflexıvna, ak pre ziadny prvok x mnoziny M neplatı x R x.

Relacie ≤, ≥ a = su teda reflexıvne, kym <, > a 6= su antireflexıvne. Zdoraznime, ze tieto dve vlastnostinie su, ako by sa z ich nazvov mohlo zdat’, navzajom opacne, su to skor dva extremy. Existuje mnoho relaciı,ktore sa nachadzaju medzi tymito krajnost’ami, naprıklad pre relaciu R = {〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈2, 1〉} (na mnozine{1, 2}) platı 1R 1, ale neplatı 2 R 2. Dokonca existuje aj relacia, ktora je reflexıvna i antireflexıvna zaroven.Vtedy vsak nutne M = ∅, a teda aj R = ∅, takyto prıpad je teda jediny.

Pri”ostrych“ porovnaniach < a > si vsimnime este jednu ich spolocnu vlastnost’, zvanu asymetria: Ak x a y

su l’ubovol’ne prvky, pre ktore platı x < y (t. j. y > x), tak pre ne neplatı y < x (t. j. x > y). Tuto vlastnost’

”tupe“ porovnania ≤ a ≥ nemaju (lebo naprıklad platı 1 ≤ 1 a zaroven 1 ≥ 1), zato vsak maju podobnu,

a to antisymetriu, ktora rovnost’ pripust’a (a teda ostre porovnania ju nemaju): Ak pre nejake prvky x a yplatı x ≤ y (t. j. y ≥ x) a zaroven y ≤ x (t. j. x ≥ y), tak jedine v prıpade, ze ide o ten isty prvok. Vovseobecnosti teda mozeme definovat’:

• Relacia R ⊆ M × M sa nazyva asymetricka, ak pre ziadne prvky x, y ∈ M nemoze naraz platit’ xR yaj y R x.

• Relaciu R ⊆ M ×M sa nazyva antisymetricka, ak pre kazde prvky x, y ∈ M z platnosti xR y a y R xvyplyva x = y.

Aj ked’ obe tieto vlastnosti idu proti symetrii, zretel’ne su odlisne. Vsimnime si, ze relacia = je tiez antisy-metricka, zato asymetricka rozhodne nie je. Posledne porovnanie 6= (aspon na mnozine M s aspon dvomaprvkami) nie je ani take, ani take (ved’ naprıklad platı 1 6= 2 a zaroven 2 6= 1, ale 1 = 2 neplatı). Plna relaciaM×M tiez nie je (v prıpade aspon dvojprvkovej M) ani asymetricka, ani antisymetricka, kym prazdna relaciaje vzdy aj asymetricka, aj antisymetricka.

Vymenovane vlastnosti uz stacia na charakterizaciu kazdeho (ostreho i tupeho) usporiadania:

• Relacia sa nazyva ostre usporiadanie, ak je antireflexıvna, asymetricka a tranzitıvna.

• Relacia sa nazyva usporiadanie, (alebo tiez (na zdoraznenie odlisnosti od ostreho) neostre ci tupe)usporiadanie, ak je reflexıvna, antisymetricka a tranzitıvna.

Takze nase porovnania < a > su ostrymi usporiadaniami, kym ≤ a ≥ (ale aj =) su neostrymi usporiadaniami.Zvysne porovnanie 6= (ani ostrym, ani tupym) usporiadanım nie je a nie je nım (vo vseobecnosti) ani plnarelacia. Zato prazdna relacia je ostrym usporiadanım.

Vsimnime si, ze ak je relacia (ostrym) usporiadanım, je nım aj k nej inverzna relacia – naprıklad < vs. >,resp. ≤ vs. ≥. Vzt’ah takychto dvoch usporiadanı nazyvame dualita.

Za zmienku stojı aj vzajomny vzt’ah < a ≤ (analogicky > a ≥): Relacia ≤ je zjednotenım < ∪ = relaciı <a = (su to mnoziny, mozeme ich teda pokojne zjednocovat’), a naopak, relacia < je rozdielom ≤ r = relaciı≤ a =. Pritom < je ostre a ≤ neostre usporiadanie. L’ahko vidiet’, ze tento vzt’ah platı aj vo vseobecnosti:

• Ak je R relaciou ostreho usporiadania, tak je R ∪ = relaciou tupeho usporiadania.

• Ak je R relaciou tupeho usporiadania, tak je R r = relaciou ostreho usporiadania.

Dalej sa teda stacı zaoberat’ trebars neostrymi usporiadaniami, vsetky ostre usporiadania z nich vieme vyrobit’jednoduchym odcıtanım relacie rovnosti.

Vsimnime si este jeden dolezity prıklad z uplne ineho sudku – inkluziu ⊆. Aj ona je:


• reflexıvna (lebo pre kazdu mnozinu X platı X ⊆ X),

• antisymetricka (lebo pre kazde dve mnoziny X a Y z platnosti X ⊆ Y a Y ⊆ X vyplyva X = Y ),

• tranzitıvna (lebo pre kazde tri mnoziny X, Y a Z z platnosti X ⊆ Y a Y ⊆ Z vyplyva X ⊆ Z),

takze to je relacia usporiadania. (Analogicky mozeme l’ahko uvidiet’, ze ⊂ je ostrym usporiadanım.) Napriektomu sa toto usporiadanie od usporiadania ≤ realnych cısel vyrazne lısi: kym porovnat’ (t. j. usporiadat’) viemekazde dve cısla, pri mnozinach to tak nie je – naprıklad neplatı ani {1, 2} ⊆ {1, 3}, ani {1, 3} ⊆ {1, 2}, tietodve mnoziny su skratka neporovnatel’ne. Opat’ to zhrnme do definıciı:

• Prvky x a y z mnoziny M nazveme porovnatel’ne v usporiadanı R, ak pre ne platı x R y alebo y R x.(Inak ich nazveme neporovnatel’ne.)

• Usporiadanie na mnozine M sa nazyva linearne (alebo uplne), ak su kazde dva prvky mnoziny Mporovnatel’ne.

Usporiadanie ≤ realnych cısel je teda uplne, kym usporiadanie ⊆ na mnozinach nie.

Relacia ⊆ nie je, samozrejme, jedinym nelinearnym usporiadanım. Peknym prıkladom je relacia | delitel’nostina prirodzenych cıslach. V prvom rade si uvedomme, ze je to usporiadanie:

• reflexivita – pre kazde prirodzene cıslo x platı x |x,

• antisymetria – pre kazde dve prirodzene cısla x a y z platnosti x | y a y |x vyplyva x = y (na celychcıslach vsak tato vlastnost’ zrejme neplatı),

• tranzitivita – pre kazde tri prirodzene cısla x, y a z z platnosti x | y a y | z vyplyva x | z.

Avsak naprıklad prvky 2 a 3 su neporovnatel’ne – neplatı 2 | 3 ani 3 | 2.Objasnime si este, preco sa spomınana vlastnost’ usporadania vola linearita. Usporiadanie si totiz mozemepredstavit’ graficky, pomocou tzv. Hasseho diagramu. Ide o obrazok, na ktorom su iba uzly, reprezentujuceprvky mnoziny, a ich spojnice, reprezentujuce susednost’ v tomto usporiadanı, a to v takomto zmysle:

• Hornym susedom prvku x v usporiadanı R nazveme taky prvok y 6= x, pre ktory platı xR y, ale preziaden prvok z rozny od x a y neplatı xR z R y.

• Analogicky dolnym susedom prvku x v usporiadanı R nazveme taky prvok y 6= x, pre ktory platı y R x,ale pre ziaden prvok z rozny od x a y neplatı y R z R x.

(Z toho okrem ineho l’ahko vidiet’, ze dolny sused je vlastne horny sused v inverznom usporiadanı.) Prvkysu pritom na obrazku usporiadane tak, ze ak je dvojica 〈x, y〉 v relacii, prvok x bude pod urovnou prvku y(horizontalne posuny su povolene). Takze naprıklad pre usporiadanie < na mnozine {1, 2, 3, 4, 5} dostavamediagram:

1

2

3

4

5

pre usporiadanie cısel tej istej mnoziny {1, 2, 3, 4, 5} podl’a delitel’nosti takyto Hasseho diagram:


1

2 3

4

5

a pre usporiadanie podmnozın mnoziny {1, 2, 3} takyto diagram:

{}

{1} {2} {3}

{1, 2} {1, 3} {2, 3}

{1, 2, 3}

Podl’a obrazku teda l’ahko rozozname, ktore usporiadanie je linearne – jeho grafom je usecka (resp. polpriamkaalebo priamka), tak ako je to v nasom prvom prıklade.

Tieto tri prıpady maju jednu spolocnu (a trochu zavadzajucu) vlastnost’ – pracuju s konecnymi mnozinami.Hasseho diagram je vsak myslitel’ny aj v prıpade nekonecneho mnozstva prvkov, v takom prıpade sa vsakzrejme musıme uspokojit’ s neuplnym obrazkom, prıpadne dokonca rezignovat’ na znazornenie susedov (tıtotiz vobec nemusia existovat’, ako naprıklad pri realnych cıslach, – ak by bolo y susedom x, kde by smeznazornili ich aritmeticky priemer x+y

2?). Tu si uvedomme, ze s Hasseho diagramom zobrazujucim klasicke

usporiadanie ≤ realnych cısel sme sa stretli uz vel’mi davno, hoci sme ho nekreslili zdola nahor, ale zl’avadoprava – je to stara dobra cıselna os!

Vsimnime si, ze predchadzajuce tri Hasseho diagramy maju aj inu spolocnu vlastnost’ – existuje v nich prvok,ktory jediny je najnizsie, lebo je mensı (v zmysle prıslusneho usporiadania) od vsetkych ostatnych. Prve dvamaju dokonca aj najvyssı prvok, kym o tret’om (s delitel’nost’ou) sa to povedat’ neda. Aj tam sıce mozemehovorit’ o akomsi extreme – prvky 3, 4 a 5 nemaju horneho suseda –, ale ziaden z nich nie je najvacsı. Zhrnmeto do definıciı:

• Prvok x nazveme maximalny v danom usporiadanı R, ak neexistuje prvok y, pre ktory platı xR y.

• Dualne, prvok nazveme minimalny v danom usporiadanı R, ak neexistuje prvok y, pre ktory platı y R x.

• Prvok x nazveme najvacsı v danom usporiadanı R, ak pre kazdy prvok y platı y R x.

• Dualne, prvok x nazveme najmensı v danom usporiadanı R, ak pre kazdy prvok y platı xR y.

Uvedomme si, ze pojmy maximalny a najvacsı nie su totozne: Trebars vo vyssie uvedenom prıklade s deli-tel’nost’ou na mnozine {1, 2, 3, 4, 5} su prvky 3, 4 a 5 maximalne (ked’ze neexistuje ziaden prvok od nichv tomto zmysle vacsı), ani jeden z nich vsak zrejme nie je najvacsı – ak totiz najvacsı prvok existuje, zrejmeje jediny maximalny. Treba si vsak dat’ pozor na lakavy opacny smer: ze ak ma mnozina jediny maximalnyprvok, tento prvok musı byt’ najvacsı – toto tvrdenie neplatı, ako svedcı nasledujuci diagram:

.

.

.

2.2.4 Skladanie binarnych relaciı 302.2.4 Skladanie binarnych relaciı 302.2.4 Skladanie binarnych relaciı 30

Vzt’ahy medzi pojmami minimalny a najmensı su dualne.

Zdoraznime este, ze uvedene pojmy vyrazne zavisia na usporiadanı – naprıklad v usporiadanı podl’a vel’kosti(≤) je najvacsım prvkom mnoziny {1, 2, 3, 4, 5} cıslo 5, kym ta ista mnozina v usporiadanı podl’a delitel’nosti(|) najvacsı prvok nema.

Na zaver este dodajme, ze pre relaciu usporiadania sa obvykle namiesto prılis vseobecneho R pouzıva znak≤ (i ked’ ho pozname len zo specialneho prıpadu pre klasicke usporiadanie na R), prıpadne jeho vsakovakeverzie ako �, ≦, 6, ., 4, ⊑, ci E (mozno tu zaradit’ aj specialny prıpad ⊆ pre podmnoziny).

2.2.4 Skladanie binarnych relaciı

Vrat’me sa k ostremu usporiadaniu

{〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈1, 4〉, 〈1, 5〉, 〈2, 3〉, 〈2, 4〉, 〈2, 5〉, 〈3, 4〉, 〈3, 5〉, 〈4, 5〉}

na mnozine {1, 2, 3, 4, 5}. Z hl’adiska uchovavania informaciı je tato relacia zbytocne vel’ka, stacı si totizpamatat’ iba styri dvojice

{〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 4〉, 〈4, 5〉},znazornene v ich uz spomınanom Hasseho diagrame

1

2

3

4

5

hranami, a zvysne odvodit’ z tranzitivity usporiadania. Budeme vsak na to potrebovat’ operaciu skladaniarelaciı, ktorej motivaciou je takyto fakt: Vsimnime si, ze dvojica 〈1, 3〉 vznikne akymsi prepojenım dvojıc〈1, 2〉 a 〈2, 3〉, ked’ z prveho vezmeme prvu zlozku, z druheho druhu, pricom zvysne dve zlozky (teda druhazlozka prveho prvku a prva zlozka druheho prvku) sa musia zhodovat’. Analogicky vznikne dvojica 〈2, 4〉prepojenım dvojıc 〈2, 3〉 a 〈3, 4〉, ci 〈3, 5〉 z 〈3, 4〉 a 〈4, 5〉.Skladanie relaciı vsak definujme vseobecnejsie: Nech R ⊆ X × Y a S ⊆ Y ×Z (vsimnime si dvakrat pouzitumnozinu Y – vyberame z nej druhe zlozky prvkov relacie R a prve zlozky prvkov relacie S). Zlozenım tychtorelaciı nazyvame relaciu

R ◦S = {〈x, z〉 : (∃y)(〈x, y〉 ∈ R ∧ 〈y, z〉 ∈ S)}.Ak naprıklad R = {〈1, 2〉, 〈1, 3〉} a S = {〈2, 4〉, 〈3, 5〉}, tak R ◦S = {〈1, 4〉, 〈1, 5〉} a S ◦R = ∅ (prvkyS maju druhe zlozky 4 a 5 a prvky R prve zlozky 1 a 1, nie je teda cez co prepajat’). Vidıme teda, zeskladanie relaciı nie je (vo vseobecnosti) komutatıvne. Je vsak asociatıvne, teda (pre R ⊆ X ×Y , S ⊆ Y ×Za T ⊆ Z × W ) platı

(R ◦S) ◦T = R ◦(S ◦T ) = {〈x,w〉 : (∃y)(∃z)(〈x, y〉 ∈ R ∧ 〈y, z〉 ∈ S ∧ 〈y,w〉 ∈ T )}.

L’ ahko tiez vidiet’, ze (pre R ⊆ X × Y a S ⊆ Y × Z) platı

(R ◦S)−1 = S−1 ◦R−1.

Vrat’me sa k nasmu prıkladu: Ak oznacıme

R = {〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 4〉, 〈4, 5〉},

2.2.5 Ekvivalencia a rozklad 312.2.5 Ekvivalencia a rozklad 312.2.5 Ekvivalencia a rozklad 31

nase doterajsie pozorovania mozeme zhrnut’ do zapisu

R2 = R ◦R = {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 5〉}.

Aby to bolo ostre usporiadanie, potrebujeme este tri prvky 〈1, 4〉, 〈2, 5〉 a napokon 〈1, 5〉. L’ ahko vidiet’, ze prvedve budu prvkami dvojiteho zlozenia R3 = R ◦R ◦R (vzhl’adom na spomenutu asociativitu zatvorky pısat’netreba) a posledny prvkom R4 = R ◦R ◦R ◦R. Dalsie zlozenie R5 = R ◦R ◦R ◦R ◦R uz neobsahuje ziadenprvok Vysledne ostre usporiadanie mnozina teda vznikne zjednotenım vsetkych tychto zlozenı s povodnourelaciou:

R ∪ R2 ∪ R3 ∪ R4.

Tu, pravdaze, vyuzıvame, ze v nasom prıklade stacilo iterovat’ po R4, to vsak zavisı od dvojıc v povodnejrelacii. Aj ked’v praxi obvykle pracujeme s konecnymi mnozinami, vo vseobecnosti musıme pocıtat’ s nekonecnevel’a iteraciami :

Pre danu relaciu R na mnozine M definujeme jej tranzitıvny uzaver vzt’ahom

R∗ =[

i∈Nr{0}

Ri.

L’ ahko vidiet’, ze tranzitıvny uzaver je najmensia tranzitıvna relacia obsahujuca povodnu relaciu.

V nasom prıpade teda

R∗ = {〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 4〉, 〈4, 5〉} ∪ {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 5〉} ∪ {〈1, 4〉, 〈2, 5〉} ∪ {〈1, 5〉},

co je povodne ostre usporiadanie.

Na zaver zhrnme uz naznacovanu suvislost’ skladania relaciı a tranzitivity: Ak R je relacia na mnozine M , tak

R je tranzitıvna prave vtedy, ked’ R ◦R ⊆ R.

2.2.5 Ekvivalencia a rozklad

Vezmime si mnozinu, naprıklad, M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a rozdel’me na ju niekol’ko neprazdnycha navzajom disjunktnych skupın, trebars M1 = {4, 6}, M2 = {1, 2, 10}, M3 = {5}, M4 = {3, 7, 8, 9}. Kazdyz prvkov povodnej mnoziny teda patrı prave do jednej zo skupın tohto rozkladu.

Vo vseobecnosti teda rozkladom mnoziny M nazyvame system {Mi : i ∈ I} jej neprazdnych a disjunktnychpodmnozın, pre ktore platı

M =[

i∈I

Mi.

Vsimnime si teraz, ze ak je nejake cıslo x v tej istej skupine s nejakym cıslom y, a toto y je v rovnakej skupines nejakym z, nutne to musı byt’ ta ista skupina (lebo y lezı len v jednej skupine, nie v dvoch). Tato skupinateda obsahuje popri y aj oba zvysne prvky x a z, cize aj x a z lezia v rovnakej skupine (stale je, pravdaze, reco tej istej). Inymi slovami, ak si definujeme relaciu R obsahujucu prave tie dvojice, v ktorych druha zlozkalezı v tej istej skupine ako prva zlozka, cize

R = {〈4, 4〉, 〈4, 6〉, 〈6, 4〉, 〈6, 6〉} ∪

∪ {〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 10〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 10〉, 〈10, 1〉, 〈10, 2〉, 〈10, 10〉} ∪∪ {〈5, 5〉} ∪

∪ {〈3, 3〉, 〈3, 7〉, 〈3, 8〉, 〈3, 9〉, 〈7, 3〉, 〈7, 7〉, 〈7, 8〉, 〈7, 9〉, 〈8, 3〉, 〈8, 7〉, 〈8, 8〉, 〈8, 9〉, 〈9, 3〉, 〈9, 7〉, 〈9, 8〉, 〈9, 9〉},tak takato relacia bude tranzitıvna. Navyse l’ahko vidıme, ze je aj reflexıvna. Napokon si vsimnime kostrbatost’nasej formulacie

”v ktorych druha zlozka lezı v tej istej skupine ako prva zlozka“, omnoho sikovnejsie by

2.2.5 Ekvivalencia a rozklad 322.2.5 Ekvivalencia a rozklad 322.2.5 Ekvivalencia a rozklad 32

predsa bolo povedat’”v ktorych obe zlozky su z tej istej skupiny“. Naozaj, vyplyva to z vlastnosti tejto relacie

zvanej symetria, ktoru mozeme definovat’ uplne vseobecne:

Relaciu R ⊆ M×M nazveme symetricka, ak pre kazdu dvojicu x, y ∈ M z platnosti x R y vyplyva aj platnost’y R x.

Z nasich znamych porovnanı su symetrickymi iba = a 6=, symetrickymi su aj plna a prazdna relacia. Napokon,l’ahko vidiet’, ze relacia R je symetricka prave vtedy, ked’ R = R−1, t. j. ked’ je jej tabul’ka symetricka podl’a(hlavnej) diagonaly.

Teraz uz mozeme definovat’ dolezity pojem:

Relaciu nazveme ekvivalencia, ak je zaroven reflexıvna, symetricka aj tranzitıvna.

Z nasich znamych prıkladov su ekvivalenciami len rovnost’ a plna relacia (a to na l’ubovol’nej mnozine).Naopak, ekvivalenciou nie je ziadne usporiadanie obsahujuce aspon jednu dvojicu s roznymi zlozkami, leboz antisymetrie by nesmelo obsahovat’ inverznu dvojicu, ale zo symetrie by ju obsahovat’ muselo. Ani prazdnarelacia (na neprazdnej mnozine) nie je ekvivalencia, ked’ze nie je reflexıvna.

Vrat’me sa k nasmu prıkladu. Vysli sme z rozkladu nejakej mnoziny a skoncili sme pri akejsi relacii, o ktorejsme ukazali, ze je ekvivalencia. Tento postup mozeme aj obratit’: Ak je R ekvivalencia na mnozine M , prekazdy prvok x z mnoziny M mozeme definovat’ triedu ekvivalencie, (slovo

”trieda“ tu ma iny vyznam ako

v kapitole 2.1) ako mnozinu [x]R prvkov z M , s ktorymi je v tejto relacii, t. j.

[x]R = {y ∈ M : xR y} = {y ∈ M : 〈x, y〉 ∈ R}.

V nasom prıklade teda mame:

• [1]R = {1, 2, 10} (lebo iba 〈1, 1〉 ∈ R, 〈1, 2〉 ∈ R a 〈1, 10〉 ∈ R),

• [2]R = {1, 2, 10} (lebo iba 〈2, 1〉 ∈ R, 〈2, 2〉 ∈ R a 〈2, 10〉 ∈ R),

• [3]R = {3, 7, 8, 9} (lebo iba 〈3, 3〉 ∈ R, 〈3, 7〉 ∈ R, 〈3, 8〉 ∈ R a 〈3, 9〉 ∈ R),

• [4]R = {4, 6} (lebo iba 〈4, 4〉 ∈ R a 〈4, 6〉 ∈ R),

• [5]R = {5} (lebo iba 〈5, 5〉 ∈ R),

• [6]R = {4, 6} (lebo iba 〈6, 4〉 ∈ R a 〈6, 6〉 ∈ R),

• [7]R = {3, 7, 8, 9} (lebo iba 〈7, 3〉 ∈ R, 〈7, 7〉 ∈ R, 〈7, 8〉 ∈ R a 〈7, 9〉 ∈ R),

• [8]R = {3, 7, 8, 9} (lebo iba 〈8, 3〉 ∈ R, 〈8, 7〉 ∈ R, 〈8, 8〉 ∈ R a 〈8, 9〉 ∈ R),

• [9]R = {3, 7, 8, 9} (lebo iba 〈9, 3〉 ∈ R, 〈9, 7〉 ∈ R, 〈9, 8〉 ∈ R a 〈9, 9〉 ∈ R),

• [10]R = {1, 2, 10} (lebo iba 〈10, 1〉 ∈ R, 〈10, 2〉 ∈ R a 〈10, 10〉 ∈ R).

Vidıme teda, ze niektore mnoziny sa opakuju, ba dokonca, ze su to prave skupiny povodneho rozkladu:

• M1 = [4]R = [6]R,

• M2 = [1]R = [2]R = [10]R,

• M3 = [5]R,

• M4 = [3]R = [7]R = [8]R = [9]R.

Mozeme teda napısat’ (a l’ahko vidiet’, ze to platı aj vo vseobecnosti), ze pre kazde dva prvky x a y z M platı

[x]R = [y]R, akk 〈x, y〉 ∈ R.

Z tohto vzt’ahu uz l’ahko vidıme, ze system vsetkych tried ekvivalenciı je rozkladom (prıpadne formalneopakovanie niektorych mnozın v rozklade je nepodstatne, lebo system mnozın je sam mnozina).

Zhrnme to:

• Ak {Mi : i ∈ I} je rozklad mnoziny M , tak relacia {〈x, y〉 : (∃i ∈ I)(x ∈ Mi ∧ y ∈ Mi)} je relaciouekvivalencie.

2.3.1 Pojem funkcie 332.3.1 Pojem funkcie 332.3.1 Pojem funkcie 33

• Naopak, ak R je relaciou ekvivalenciı na mnozine M , system {[x]R : x ∈ M} jej tried ekvivalencie jerozkladom mnoziny M .

Existuju, pravdaze, aj duchaplnejsie prıklady rozkladu a zodpovedajucej ekvivalencie. Za najznamejsı trebapovazovat’ klasicky rozklad mnoziny Z na tzv. zvyskove triedy podl’a delitel’nosti prirodzenym cıslom n(specialne pre n = 2 ide o zname rozdelenie na parne a neparne cısla). Do jednej zvyskovej triedy (prekladne n) potom patria vsetky cele cısla, ktore davaju po delenı cıslom n rovnaky zvysok. Zapisom (x ≡ ymod n) potom rozumieme, ze x a y patria do tej istej triedy ekvivalencie, cize zvyskovej triedy.

Specialnym prıpadom ekvivalencie je, pravdaze, rovnost’, vsetky jej triedy su jednoprvkove. Je to teda (v mnozi-novom zmysle) najmensia relacia ekvivalencie. Naopak, najvacsia trieda ekvivalencie je plna relacia, zod-povedajuci rozklad v takom prıpade pozostava z jedinej mnoziny.

Uvedomme si este, ze aj ekvivalenciu vyrokov mozeme povazovat’ za relaciu ekvivalencie na mnozine (formalnezapısanych) tvrdenı. Tie su rozdelene na dve vel’ke triedy ekvivalencie – pravdive a nepravdive.

Na oznacenie relaciı ekvivalencie sa namiesto znaku R pouzıvaju ≡, ≃, ∼, ≈, ∼=, prıpadne ine ziadnu zo stranneuprednostnujuce znaky.

2.3 Funkcie, t. j. zobrazenia

2.3.1 Pojem funkcie

Existuje ista skupina binarnych relaciı so specialnou vlastnost’ou, ze ku kazdej prvej zlozke prislucha len jednadruha zlozka. V kazdej z tychto relaciı z tejto skupiny teda prva zlozka jednoznacne urcuje tu druhu. Naprıklad{〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈2, 3〉} tuto vlastnost’ nema (ked’ze cıslu 1 ako prvej zlozke prisluchaju dve druhe zlozky, a to 2a 3), kym relacia {〈1, 3〉, 〈2, 3〉} ano (aj 1 aj 2 maju jedinu druhu zlozku, hoci tu istu). Tato skupina relaciıje natol’ko dolezita, ze si vysluzila specialny nazov – funkcie. (Tu pripomenme nest’astny nazor (vyskytujucisa dokonca v niektorych stredoskolskych ucebniciach), ze funkcia je akysi predpis dany vzorcom. Pravda jetaka, ze vzorcom sa daju vyjadrit’ iba niektore (hoci obvykle tie dolezitejsie) funkcie.)

Definujme: Relaciu f ⊆ X × Y nazyvame funkcia alebo (rovnako dobre) zobrazenie z X do Y , ak pre kazdex ∈ X a y1, y2 ∈ Y

z platnosti 〈x, y1〉 ∈ f a 〈x, y2〉 ∈ f vyplyva y1 = y2.

Vzhl’adom na tuto jednoznacnost’ namiesto 〈x, y〉 ∈ f mozeme pısat’ (a skoro vzdy to tak naozaj aj robıme)f(x) = y (zriedkavejsie, ale niekedy prehl’adnejsie sa pouzıva aj alternatıvny zapis f : x 7→ y). Prvok x tunazyvame argument, obcas aj parameter alebo (hlavne v informatickom prostredı) vstup.

V prıpade, ze x = 〈x1, . . . , xn〉, namiesto f(〈x1, . . . , xn〉) pıseme len f(x1, . . . , xn) (spicate zatvorky tedavynechavame) a hovorıme, ze funkcia f je n-arna (specialne unarna pre n = 1, binarna pre n = 2 a obcasternarna pre n = 3). Cıslo n nazyvame arita (alebo arnost’) funkcie f .

Vsimnime si, ze (hoci trochu patologickym, ale dobrym) prıkladom funkcie je prazdna relacia ∅ (preco nie,ved’ definıcii vyhovuje).

Pri funkcii je vel’mi dolezite poznat’ mnozinu jej prvych zloziek, ktoru nazyvame jej definicny obor (alebo ajpo anglicky domain). Formalne je teda pre funkciu f ⊆ X × Y definovany vzt’ahom

Dom(f) = {x ∈ X : (∃y ∈ Y )f(x) = y},

zrejme Dom(f) ⊆ X (teda nemusı nastat’ rovnost’). V prıpade nasej funkcie f = {〈1, 3〉, 〈2, 3〉} je tedaDom(f) = {1, 2}. Fakt, ze f ⊆ X × Y je funkcia s definicnym oborom D, zapisujeme f : D → Y . Akx ∈ X r D, povieme, ze f nie je v x definovana (alebo skratene a trochu nepresne, ze hodnota f(x) nie jedefinovana). Ak naopak Dom(f) = X, povieme, ze funkcia f je na mnozine X totalna.

Komplementarne mozeme k funkcii definovat’ i mnozinu jej druhych zloziek: Ak f ⊆ X × Y je funkcia,

2.3.2 Inverzna funkcia 342.3.2 Inverzna funkcia 342.3.2 Inverzna funkcia 34

mnozinuRng(f) = {y ∈ Y : (∃x ∈ X)f(x) = y}

nazyvame jej obor hodnot (po anglicky range). Nasa funkcia {〈1, 3〉, 〈2, 3〉} ma obor hodnot jednoprvkovy,a to {3}. Tak ako Dom(f) ⊆ X, platı zrejme aj Rng(f) ⊆ Y . Ak sa vsak stane, ze medzi tymito dvomamnozinami platı rovnost’, hovorıme, ze funkcia f je surjekciou na Y . Formalne:

Hovorıme, ze funkcia f : D → Y je surjektıvna na Y (alebo tiez skratene, ze je na Y ), a znacıme f : Xna→Y ,

ak (∀y ∈ Y )(∃x ∈ D)f(x) = y.

Tu si uvedomme, ze tato vlastnost’ nezavisı len od samotnej funkcie f , ale aj od mnoziny Y . Ak totiz Y1 ⊆ Y2

a f : D → Y1, tak f : D → Y2. A ak je f na Y1 a Y1 ⊂ Y2, tak f nie je na Y2. Naprıklad pre f = {〈1, 3〉, 〈2, 3〉}platı, ze f : {1, 2} → {3} a vtedy je na {3}, ale tiez platı, ze f : {1, 2} → {3, 4}, a vtedy nie je na {3, 4}.Vsimnime si este, ze ak f : X → Y (a teda Dom(f) = X) a Z ⊆ X, tak mnozinu f [Z] vieme zapısat’ ajjednoduchsie:

f [Z] = {y : (∃x ∈ Z)〈x, y〉 ∈ f} = {y : (∃x ∈ Z)f(x) = y} = {f(x) : x ∈ Z}.

Tuto mnozinu nazyvame obraz mnoziny Z vo funkcii f . Teda naprıklad pre funkciu g = {〈1, 3〉, 〈2, 3〉, 〈3, 4〉}obraz mnoziny {1, 2} je g[{1, 2}] = {g(1), g(2)} = {3, 3} = {3} a obraz mnoziny {3} je g[{3}] = {g(3)} ={4}. Vsimnime si pritom rozne typy zatvoriek po g: v prıpade jedneho prvku su okruhle, v prıpade podmnozinydefinicneho oboru hranate.

Za zmienku tiez stojı, ze pre l’ubovol’nu funkciu f : X → Y platı f [∅] = ∅ a f [X] = Rng(X).

Specialnym a dolezitym prıpadom funkcie su identity : Ak X je l’ubovol’na mnozina, tak idX : X → X jedefinovana vzt’ahom idX(x) = x pre vsetky x ∈ X.

Dodajme, ze funkcie, ktorych definicny obor je N, maju specialny nazov – (nekonecne) postupnosti. V ichprıpade casto namiesto zapisu f(n) pıseme fn.

2.3.2 Inverzna funkcia

Ako pri kazdej relacii, aj pri funkcii mozeme hovorit’ aj o relacii k nej inverznej. V takom prıpade pre f : X → Ya W ⊆ Y mozeme zjednodusit’:

f−1[W ] = {x : (∃y ∈ W )〈y, x〉 ∈ f−1} = {x : (∃y ∈ W )〈x, y〉 ∈ f} =

= {x : (∃y ∈ W )f(x) = y} = {x : f(x) ∈ W}.Tuto mnozinu nazyvame vzor (slangovo aj

”proobraz“) mnoziny W vo funkcii f . Naprıklad pre funkciu

f = {〈1, 3〉, 〈2, 3〉, 〈3, 4〉} vzor mnoziny {3} je f−1[{3}] = {1, 2} a vzor mnoziny {4, 5} je f−1[{4, 5}] = {3}(hoci hodnota 5 sa nenadobuda). L’ahko vidiet’, ze f−1[Y ] = X aj f−1[Rng(f)] = X a f−1[∅] = ∅.

Vzory mnozın maju aj taketo pekne vlastnosti (pre funkciu f z X do Y a system podmnozın {Wi : i ∈ I}mnoziny Y ):

• f−1

»

T

i∈I

Wi

–

=T

i∈I

f−1[Wi].

• f−1

»

S

i∈I

Wi

–

=S

i∈I

f−1[Wi].

Analogicke vlastnosti totiz pre obrazy vo vseobecnosti neplatia.

Inverzna relacia nemusı byt’ funkcia, naprıklad ak f = {〈1, 3〉, 〈2, 3〉}, tak f−1 = {〈3, 1〉, 〈3, 2〉}. Funkciouby bola iba (a prave) vtedy, keby sa lısili vsetky jej prve zlozky, co su vlastne druhe zlozky povodnej funkcie.Prichadzame teda k dolezitej definıcii injekcie:

Funkcia f : X → Y sa nazyva prosta (alebo injektıvna), ak pre kazde dva prvky x1, x2 ∈ X platı f(x1) 6=f(x2), alebo (ekvivalentne) ak

z f(x1) = f(x2) vyplyva x1 = x2.

2.3.5 Bijekcia 352.3.5 Bijekcia 352.3.5 Bijekcia 35

Prostotu tejto funkcie oznacujeme f : X1-1→Y .

Teda funkcia f = {〈1, 3〉, 〈2, 3〉} nie je prosta (lebo platı f(1) = 3 a f(2) = 3, ale nie 1 6= 2), kym funkcia{〈1, 3〉, 〈2, 4〉} prosta je. Dodajme, ze prosta je aj funkcia ∅, a zrejme aj kazda jednoprvkova funkcia.

K funkcii teda existuje inverzna funkcia prave vtedy, ak je tato funkcia prosta.

2.3.3 Zlozena funkcia

Ked’ze funkcie su relacie, ma vyznam hovorit’ aj o ich skladanı. L’ ahko vidiet’, ze takto vzniknuta relacia je tiezfunkcia, a nazyva sa zlozena funkcia. Konkretne ak f : X → Y a g : Y → Z (opat’ si vsimnime dvojity vyskytY ), tak pre zlozenie tychto funkciı platı f ◦ g : X → Z a

(f ◦ g)(x) = g(f(x)).

(Vzhl’adom na tento vzt’ah dost’ casto pouzıva opacna notacia – g ◦ f , my vsak ostaneme pri chronologickomporadı skladanych funkciı.) Naprıklad ak f = {〈1, 3〉, 〈2, 3〉, 〈3, 4〉} a g = {〈3, 5〉, 〈4, 6〉, 〈5, 7〉}, tak:

• (f ◦ g)(1) = g(f(1)) = g(3) = 5,

• (f ◦ g)(2) = g(f(2)) = g(3) = 5,

• (f ◦ g)(3) = g(f(3)) = g(4) = 6,

teda f ◦ g = {〈1, 5〉, 〈2, 5〉, 〈3, 6〉}, co je v sulade s definıciou zlozenia relaciı f a g.

Vsimnime si este, ze zlozenım dvoch funkciı, ktore su na, je tiez funkcia na. Podobne zlozenie prostych funkciıje zrejme tiez prosta funkcia, z coho l’ahko vidiet’, ze ak k funkciam f a g existuju inverzne funkcie, existujeaj inverzna funkcia k f ◦ g. To, ze pre nu platı

(f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1,

uz vieme z kapitoly o relaciach.

2.3.4 Zuzenie a rozsırenie funkcie

Kol’ko je 2 − 3? Spravna odpoved’ na tuto zdanlivo jednoducho otazku prekvapivo zavisı od toho, komu jupolozıme. Kym vsetci ostatnı okamzite vystrelia, ze −1, malı prvacikovia po chvıli rozpakov rovnako spravneodpovedia, ze sa to neda (co v preklade do reci matematiky znamena, ze vysledok tohto rozdielu nie jedefinovany). Ako mozu byt’ pravdive obe odpovede? Pes je zakopany v tom, ze obe skupiny hovoria o inejoperacii rozdiel. V prvom rade si uvedomme, ze kazda (obvykle binarna) operacia je funkcia, ktora teda dvojicisvojich argumentov (v prıpade rozdielu sa volaju mensenec a mensitel’) priradı vysledok (v nasom prıpade ichrozdiel). Pri kazdej funkcii je vsak dolezity jej definicny obor. Kym prvak pracuje na mnozine prirodzenychcısel, teda jeho rozdiel je funkcia −N definovana na istej podmnozine N × N, my ostatnı uz uvazujemev sirsom kontexte realnych cısel, pouzıvame teda funkciu −R : R × R → R. Je dolezite si uvedomit’, ze ideo dve rozne funkcie, hoci ani v jednom prıpade index (N ci R) v praxi nikdy nepıseme. Mozeme si to dovolit’(bez rizika nedorozumenia vacsieho, nez sme spomınali v uvode) preto, lebo medzi tymito dvoma funkciamije isty dolezity vzt’ah: operacia −R zachovava vysledky operacie −N (napr. ked’ze 5 −N 3 = 2, tak nutne aj5 −R 3 = 2), teda −R je rozsırenım −N, resp. −N je zuzenım −R. Formalne teda:

Nech f : X → Y a g : Z → W , pricom Z ⊆ X. Povieme, ze f je rozsırenım g, alebo (ekvivalentne), ze gje zuzenım f , ak pre vsetky z ∈ Z platı, ze g(z) = f(z). V takom prıpade funkciu g (ktora je funkciou fa mnozinou Z jednoznacne dana) oznacıme f ↾ Z.

Podobny vzt’ah je aj medzi verziami tejto operacie: −C je rozsırenım −R, −R je rozsırenım −Q, −Q je rozsırenım−Z a −Z je rozsırenım −N. Analogicky je to s d’alsımi binarnymi operaciami, napr. sucet +R je rozsırenımsuctu +Z alebo sucin ·R je rozsırenım sucinu ·N. Nemusıme sa obmedzovat’ len na binarne operacie – napr. ajunarna operacia

√R

je rozsırenım operacie√

N.

2.3.5 Bijekcia 362.3.5 Bijekcia 362.3.5 Bijekcia 36

Jedinou vynimkou je azda podiel. Kym vysledkom realneho delenia je jedno realne cıslo (mozeme pısat’:R: R × (R r {0}) → R), celocıselne delenie ma za vysledok usporiadanu dvojicu celych cısel zvanych podiela zvysok (t. j. :Z: Z × (Z r {0}) → Z × Z) – napr. 5 :R 3 = 1 2

3, ale 5 :Z 3 = 〈1, 2〉 (obvykle tento fakt

zapisujeme v tvare 5 : 3 = 1zv.2).

2.3.5 Bijekcia

Vrat’me sa este raz k dvom dolezitym vlastnostiam funkciı – k injektivite a k surjektivite a predstavme si ichgraficky: Ak f : X → Y , tak z kazdeho prvku x mnoziny X ved’me sıpku do prvku f(x) mnoziny Y .

L’ ahko vidiet’, ze v prıpade prostej funkcie sa ziadne dve sıpky”nezlepia“, t. j. nemaju spolocny koniec. Moze

sa stat’, ze tym”spotrebujeme“ vsetky prvky mnoziny Y , ale aj to, ze nejake prvky Y zvysia, kazdopadne to

znamena, ze prvkov Y je aspon tol’ko, kol’ko je prvkov Y .

X Y

V prıpade surjektıvnej funkcie z X na Y nezlepenie koncov sıpok zarucit’ nemozeme, mame vsak istotu, zetym spotrebujeme vsetky prvky mnoziny Y , co zase naopak znamena, ze prvkov mnoziny X je aspon tol’ko,co prvkov mnoziny Y (a ak v tom istom prvku Y koncı viacero sıpok, tym skor).

X Y

Ak teda chceme zarucit’, aby mali obe mnoziny”rovnaky pocet“ prvkov (uvodzovky su namieste v prıpade

nekonecnych mnozın), mali by sme pozadovat’ obe tieto vlastnosti:

Hovorıme, ze funkcia f : X → Y je bijekciou medzi X a Y , a znacıme f : X1-1

−→na

Y , ak je injektıvnaa surjektıvna na Y zaroven.

X Y

Ked’ze zlozenım dvoch injekciı je injekcia a zlozenım dvoch surjekciı je surjekcia, zlozenım dvoch bijekciı

f : X1-1

−→na

Y a g : Y1-1

−→na

Z je bijekcia f ◦ g : X1-1

−→na

Z. L’ ahko tiez vidiet’, ze ku kazdej bijekcii f : X1-1

−→na

Y

2.4.2 Cantorova diagonala 372.4.2 Cantorova diagonala 372.4.2 Cantorova diagonala 37

existuje inverzna funkcia f−1 : Y → X, ktora je navyse aj bijekciou (ale zrejme v opacnom poradı, medzi Y

a X), teda f−1 : Y1-1

−→na

X.

Na zaver vyslovme dolezite a netrivialne tvrdenie zvane Cantorova-Bernsteinova veta:

Nech X a Y su l’ubovol’ne mnoziny take, ze existuje prosta funkcia z X do Y a aj prosta funkcia z Y do X.Potom existuje aj bijekcia z X do Y .

2.4 Mohutnosti

2.4.1 Cısla ako mohutnosti

Ak dame dvom trojrocnym det’om (so zhruba rovnakou silou a zmyslom pre spravodlivost’) balıcek (s parnympoctom) cukrıkov, aby sa podelili, zvladnu to pomerne hravo, a nemusia ani vediet’ pocıtat’:

”Moj, tvoj, moj,

tvoj, . . .“. Tym, ze cukrıky takto poparovali, vlastne vytvorili bijektıvnu funkciu, ktora kazdemu cukrıkuprveho diet’at’a priradı iny cukrık druheho diet’at’a, Takato bijekcia je zarukou spravodlivosti – obe

”mnoziny“

cukrıkov su rovnako pocetne.

Tuto myslienku vytvorenia parov urcite nevedomky pouzıval na kontrolu stada aj kazdy (vel’kych poctovzrejme neznaly) staroveky pastier, ked’ kazdej svojej ovci priradil zarez na svojej palici, a aj kazdy novovekyakvapark, ked’ kazdeho svojho navstevnıka stotoznı s l’ahko evidovatel’nym a kontrolovatel’nym cipom.

Abstrakciou tejto idey je obycajne pocıtanie. Kazdemu objektu priradıme iste cıslo zo vseobecne akceptovanejpostupnosti

”jeden, dva, tri, . . .“ a najvacsie z nich potom prehlasime za pocet. Ak takto pocıtame inu

skupinu objektov a vyjde nam to iste cıslo, (po)vieme, ze tato skupina ma rovnako vel’a prvkov ako ta prva.Skupiny objektov sa teda rozdelia do kategoriı – nulaprvkove, jednoprvkove (tie nazyvame aj singletony),dvojprvkove, trojprvkove, a tak d’alej. Prirodzene cısla su potom akymisi charakteristikami takychto skupın.Stavaju sa tak vseobecnym ekvivalentom, podobne ako sa nım stali peniaze na konci obdobia naturalnejvymeny tovarov.

V praxi sa stretavame len s konecnymi poctami, no tieto myslienky mozno pouzit’ aj pri nekonecnychmnozinach. Aj tu mozeme (za isteho, hoci pomerne casto diskutabilneho, predpokladu zvaneho axiomavyberu) kazdej skupine prvkov priradit’ nejake charakterizujuce cıslo. Nemoze uz ıst’, pravdaze, o cısla priro-dzene (tie sme bezo zvysku minuli na konecne mnoziny), taketo cısla nazyvame (nekonecne) kardinaly. Zakonecne kardinaly potom povazujeme prirodzene cısla (isteze vcıtane nuly). Funkciu, ktora mnozine priradıjej kardinalnu charakteristiku, uz nebudeme nazyvat’ pocet prvkov, ale mohutnost’ alebo kardinalita. Ak X jemnozina, je kardinalitu zapisujeme v tvare card(X) alebo – castejsie – |X|.

2.4.2 Cantorova diagonala

Praveky clovek vedel pocıtat’ azda do troch, a zvysne pocty pren boli”vel’a“. My vieme pocıtat’, do kol’ko

chceme, ale od nasho praprapredka sa prılis nelısime: ked’ nam (prirodzene) cısla nestacia, povieme”nekonec-

no“ (a este ho aj oznacıme – ∞). Matematik vsak s tymto modernym”vel’a“ nevystacı, pretoze, ako o chvıl’u

uvidıme, nie je nekonecno ako nekonecno. Ukazeme totiz, ze nekonecna mnozina N prirodzenych cısel a rov-nako nekonecna mnozina [0, 1) realnych cısel nemaju rovnaku mohutnost’.

Prv nez to urobıme, uvedomme si, ze kazde realne cıslo z [0, 1) sa da napısat’ v tvare desatinneho rozvoja0, x1x2x3 . . . (co je vlastne sucet nekonecneho radu

P

i∈Nr{0}

xi ·10−i = x1 ·10−1 +x2 ·10−2 +x3 ·10−3 + . . . ),

kde (xi : i ∈ N r {0}) su cifry, teda cısla z mnoziny {0, 1, . . . , 9}. Zla sprava je, ze takyto zapis nemusı byt’jednoznacny, ved’ naprıklad 0, 09 = 0, 10 (ano, je tam naozaj rovnost’, kto neverı, nech scıta geometricky rad:

0, 09 =P

i∈Nr{0,1}

9 · 10−i =9

100

1− 1

10

= 1

10). Dobra sprava vsak je, ze jedina nejednoznacnost’ je tohto typu –

ze jeden zapis ma od isteho miesta same nuly a druhy od isteho miesta same deviatky. Ak teda zakazeme

2.4.2 Cantorova diagonala 382.4.2 Cantorova diagonala 382.4.2 Cantorova diagonala 38

trebars ten druhy typ zapisu (teda ak by sa nahodou vyskytol, nahradıme ho prvym typom), zapis cısla dotakto upraveneho desatinneho tvaru uz bude uplne jednoznacny. Tento dolezity fakt vyuzijeme v nasledujucomdokaze:

Predpokladajme teda, ze tieto dve mnoziny maju rovnaku mohutnost’, cize ich prvky vieme navzajom bezo

zvysku poparovat’ – t. j. existuje bijekcia f : N1-1

−→na

[0, 1), trebars takato:

n f(x)

0 0, 3462940294 . . .1 0, 5611123907 . . .2 0, 0007654878 . . .3 0, 1112342908 . . .4 0, 4445638457 . . .5 0, 0000099897 . . .6 0, 9090909090 . . .7 0, 0707070707 . . .8 0, 8775698583 . . .9 0, 8747900876 . . .

. . . . . .

Znamena to teda, ze v pravom stlpci tejto tabul’ky sa vyskytuju vsetky cısla z intervalu [0, 1), a to v desatinnomzapise obmedzenom v zmysle predchadzajuceho odseku.

Na tomto mieste urobil jeden zo zakladatel’ov teorie mnozın Georg Cantor genialny trik, v dejinach mysleniazapısany zlatymi pısmenami. Vsimol si totiz diagonalu praveho stlpca, teda z cısla f(i) cifru na (i + 1).desatinnom mieste:

n f(n)

0 0, 3462940294 . . .1 0, 5611123907 . . .2 0, 0007654878 . . .3 0, 1112342908 . . .4 0, 4445638457 . . .5 0, 0000099897 . . .6 0, 9090909090 . . .7 0, 0707070707 . . .8 0, 8775698583 . . .9 0, 8747900876 . . .

. . . . . .

a kazdu z nich nejako zmenil, naprıklad sestku na dvojku a kazdu inu cifru na sestku. Ak tieto cıslanapısal v prirodzenom poradı za sebou a pred ne dodal povinny zaciatok 0,, dostal cıslo (v nasom prıpade0, 6266266662 . . . ) z intervalu [0, 1). Ked’ze, zopakujme, v pravom stlpci sa vyskytuju vsetky cısla z tohto in-tervalu, musı tam byt’ aj toto novovzniknute cıslo. Ale v ktorom riadku? Od cısla f(0) sa lısi v prvej desatinnejcifre, teda (vzhl’adom na spomınanu jednoznacnost’ zapisu) to nemoze byt’ ono. Ale aj od cısla f(1) sa lısi,a to v druhej cifre, z rovnakych dovodov to preto tiez nemoze byt’ ono. Tento argument vsak mozeme pouzit’pre kazde prirodzene n, f(n) a nove cıslo sa lısia v (n + 1). cifre (prave jedno z nich tam ma sestku). Toale znamena, ze novovzniknute cıslo nemoze byt’ v pravom stlpci, hoci, ako sme uz povedali, tam byt’ musı.Nejaky nas predpoklad musel byt’ chybny, mali sme vsak jediny – ze existuje bijekcia medzi N a [0, 1). A pretoziadna taka bijekcia neexistuje, cize tieto dve nekonecne mnoziny nemaju rovnaku mohutnost’.

”Nekonecna“

su teda aspon dve – mohutnost’ [0, 1) ma znacku c (cıtame”kontinuum“) a mohutnost’ N oznacıme ℵ (cıtame

”alef“) alebo (presnejsie) ℵ0. Kazdu mnozinu mohutnosti ℵ alebo mensej nazveme spocıtatel’na, ostatne budu

nespocıtatel’ne.

Myslienku Cantorovej diagonaly v jemnych modifikaciach mozno pouzit’ aj na dokaz odlisnosti mohutnostıinych dvojıc mnozın. Ak X je l’ubovol’na mnozina, ukazeme, ze mohutnost’ jej potencnej mnoziny P(X) je ina.

Aj tu sporom predpokladajme, ze medzi nimi existuje bijekcia f : X1-1

−→na

P(X). A teraz si vsimnime mnozinu

2.4.4 Mohutnosti znamych mnozın 392.4.4 Mohutnosti znamych mnozın 392.4.4 Mohutnosti znamych mnozın 39

Y tych prvkov mnoziny X, ktore nepatria do im priradenej mnoziny, t. j.

Y = {x ∈ X : x /∈ f(x)}

(je to analogia Cantorovej diagonaly – prvok x sme v istej forme pouzili na l’avej i na pravej strane relacie ∈).Mnozina Y je, ako vidıme z jej definıcie, podmnozinou mnoziny X, z predpokladanej bijektıvnosti zobrazeniaf preto musı existovat’ taky prvok y ∈ X, ze Y = f(y). Aky je vsak vzt’ah y a Y ? Ak y ∈ Y , tak podl’adefinıcie Y platı y /∈ f(y) = Y , co nie je pravda, a ak y /∈ Y , tak podl’a definıcie Y platı y ∈ f(y) = Y , cotiez nie je pravda. Predpoklad existencie bijekcie medzi X a P(X) bol teda nespravny – tieto mnoziny majuroznu mohutnost’.

2.4.3 Usporiadanie mohutnostı

Teraz uz tusıme, ze nekonecien je dost’ vel’a, ma preto zmysel uvazovat’ o ich usporiadanı. Pritom vieme,ze dobrym kandidatom na porovnavanie mohutnostı mnozın (aspon v konecnom prıpade) bola existencianejakeho prosteho zobrazenia medzi nimi. Definujme preto:

Nech κ a λ su dve kardinalne cısla. Polozme κ ≤ λ, ak existuje mnozina X mohutnosti κ, mnozina Y

mohutnosti λ a proste zobrazenie f : X1-1→Y .

Vsimnime si, ze ak κ ≤ λ, tak takato injekcia existuje pre l’ubovol’ne mnoziny X ′ a Y ′ mohutnostı κ a λ.

Potom totiz existuju bijekcie g : X ′ 1-1

−→na

X (lebo X ′ a X maju rovnaku mnohutnost’ κ) a h : Y1-1

−→na

Y ′

(lebo Y a Y ′ maju rovnaku mnohutnost’ λ), zlozenie g ◦ f je injekcia z X ′ do Y a hl’adana injekcia jef ′ = g ◦ f ◦ h : X ′ → Y ′.

Teraz uz l’ahko vidıme, ze relacia ≤ je naozaj relaciou usporiadania:

• Reflexivita:Platı κ ≤ κ, pretoze pre l’ubovol’nu mnozinu X mohutnosti κ je idX proste zobrazenie (dokoncabijekcia) z X do X.

• Antisymetria:

Nech κ ≤ λ a λ ≤ κ, teda pre nejake mnoziny X a Y mohutnostı κ a λ existuju injekcie f : X1-1→Y

a g : Y1-1→X. Podl’a Cantorovej-Bernsteinovej vety vsak potom existuje bijekcia z X do Y , teda tieto

mnoziny maju rovnaku mohutnost’, t. j. κ = λ.

• Tranzitivita:Nech κ ≤ λ a λ ≤ µ, teda pre l’ubovol’ne mnoziny X, Y a Z mohutnostı κ, λ a µ existuju injekcie

f : X1-1→Y a g : Y

1-1→Z. Potom je vsak f ◦ g hl’adanou injekciou z X do Z, a teda κ ≤ µ.

Ked’ze ≤ je neostre usporiadanie, mozeme z neho standardnym sposobom urobit’ ostre usporiadanie < ako≤ r =.

Ilustrujme to na kardinalnych cıslach ℵ a c: L’ ahko vidıme, ze proste zobrazenie z N do [0, 1) existuje, a tonaprıklad postupnost’ f s definıciou f(n) = 1

n+2pre kazde prirodzene n. To znamena, ze ℵ ≤ c. Avsak

bijekcia medzi mnozinami N a [0, 1), ako sme uz ukazali, neexistuje, t. j. ℵ 6= c. Platı teda ℵ < c.

Podobne pre kazdu mnozinu X mozeme napısat’ |X| < |P(X)|. L’ ahko totiz zostrojıme proste zobrazenief z X do P(X), a to naprıklad f(x) = {x}. Bijektıvne zobrazenie vsak, ako sme videli, neexistuje, t. j.|X| 6= |P(X)|. Z toho uz dostavame |X| < |P(X)|.

2.4.4 Mohutnosti znamych mnozın

Predchadzajuce nerovnosti nie su ktovieako prekvapive. Nasledujuci vzt’ah mohutnostı mnozın N a Z je vsakna prvy pohl’ad zarazajuci. Naivny pohl’ad hovorı, ze celych cısel je viac, pretoze N je vlastnou podmnozinou Z.Medzi tymito mnozinami vsak l’ahko zostrojıme bijekciu, a to naprıklad f s definıciou f(2n) = n a f(2n+1) =


−n pre kazde prirodzene cıslo n: To vsak znamena, ze |Z| = |N| = ℵ. Vidıme teda, ze pre nekonecne mnozinyuz neplatı naoko zrejma vlastnost’, ze mnozina musı mat’ mensiu mohutnost’ ako jej vlastna nadmnozina.

Este prekvapujucejsie je, ze aj |N × N| = ℵ. Funkcia f : N × N → N definovana vzorcom

f(m, n) = 2m(2n + 1) − 1

je totiz bijekcia medzi N × N a N.

Aby sme tieto tvrdenia zdovodnili, vsimnime si niekol’ko jednoduchych vlastnostı:

L’ ahko vidiet’, ze ak X1, X2 a Y su mnoziny a |X1| = |X2|, t. j. existuje nejaka bijekcia f : X1

1-1

−→na

X2, tak platı

aj |X1 ×Y | = |X2 ×Y |, lebo existuje bijekcia g : X1 ×Y1-1

−→na

X2×Y definovana vzorcom g(x, y) = 〈f(x), y〉.Dalsım zrejmym vzt’ahom pre kazdu binarnu relaciu R je |R−1| = |R|, lebo existuje bijekcia z R do R−1 lenvymienajuca poradie suradnıc. Specialne potom pre kazdu dvojicu mnozın X a Y je |X × Y | = |Y × X|.Z tychto a predoslych vzt’ahov l’ahko odvodıme, ze |Z × Z| = |N × Z| = |Z × N| = |N × N| = |N| = ℵ, ale ajto, ze |N × · · · × N| = |N × N × N| = |N × N| = |N| = ℵ.

Teraz asi uz neprekvapı, ze platı aj |Q| = ℵ. Hl’adanie bijekcie medzi mnozinami Q a N je narocnejsie, pretonan radsej rezignujeme a tuto rovnost’ ukazeme inak – pomocou Cantorovej-Bernsteinovej vety: Ak kazdemuracionalnemu cıslu v zakladnom tvare p

qpriradıme dvojicu 〈p, q〉, dostavame proste zobrazenie z Q do Z×N,

z coho |Q| ≤ |Z × N| = ℵ. Opacny smer je jednoduchsı – stacı si uvedomit’, ze N ⊆ Q, a teda idN je prostezobrazenie z N do Q, z coho ℵ = |N| ≤ |Q|.Zistili sme teda, ze platı |Q| = |Z| = |N| = ℵ, cize vsetky tieto mnoziny su spocıtatel’ne.

Zamerajme sa teraz na nespocıtatel’ne mnoziny. V prvom rade si vsimnime, ze |(0, 1]| = |[0, 1)| = c, zabezpecı

to bijekcia f : (0, 1]1-1

−→na

[0, 1) definovana f(x) = 1 − x. Potom |(0, 1)| = |(0, 1]| = c, pretoze existuje bijekcia

g : (0, 1)1-1

−→na

(0, 1] definovana g( 1

n+2) = 1

n+1pre vsetky prirodzene n (teda g( 1

2) = 1, g( 1

3) = 1

2, g( 1

4) = 1

3

a tak d’alej) a g(x) = x pre vsetky x nepatriace do mnoziny { 1

2, 1

3, 1

4, . . . }.

1/2

1/3

1/4

1/51/6

1

1/2

1/3

1/4

1/5

.

.

.

Opat’ trochu prekvapiva je rovnost’ |(0, 1)| = |(0, 2)|, ved’druhy interval je dvakrat dlhsı! Dovodom je existencia

bijekcie h : (0, 1)1-1

−→na

(0, 2) definovanej h(x) = 2x. L’ ahko to zovseobecnıme na rovnost’ |(0, 1)| = |(a, b)| prel’ubovol’ne realne cısla a < b, co zariadi bijekcia k definovana k(x) = a + x(b − a). A napokon si vsimnimezuzenie znamej funkciu tangens na interval (−π

2, π

2), ktora je bijekciou tohto intervalu na celu mnozinu R.

Platı teda |R| = |(−π

2, π

2)| = |(0, 1)| = c, t. j. mnozina realnych cısel je nespocıtatel’na.

Dalsım necakanym vysledkom (ale uz sme si na to asi zvykli) je, ze stvorec [0, 1) × [0, 1) ma rovnaky

”pocet bodov“ ako usecka [0, 1): Zrejme platı |[0, 1)| ≤ |[0, 1) × [0, 1)|, zabezpecuje to prosta funkcia f :


[0, 1)1-1→[0, 1) × [0, 1) definovana vzt’ahom f(x) = 〈x, 0〉. V opacnom smere znova vyuzijeme desatinny zapis

(prıpadne upraveny ako v kapitolke o Cantorovej diagonale). Definujeme totiz funkciu g : [0, 1) × [0, 1) →[0, 1) takto: g(0, x1x2x3x4 . . . , 0, y1y2y3y4 . . . ) = 0, x1y1x2y2x3y3x4y4 . . . (cize

”zipsovito“ striedame cifry

z jedneho a druheho zapisu). L’ahko vidiet’, ze medzi vysledkami sa neobjavı cıslo, ktore ma od isteho miestasame deviatky (to by take museli byt’ oba argumenty, ale takyto zıpis sme zakazali), a to znamena, ze tatofunkcia je prosta. Platı teda aj opacna nerovnost’ |[0, 1) × [0, 1)| ≤ |[0, 1)|, a teda zhrnutım |[0, 1) × [0, 1)| =|[0, 1)| = c. (Za zmienku este stojı, ze obor hodnot funkcie g nie je cela mnozina [0, 1), lebo naprıklad cıslo0, 090909090909 . . . don nepatrı.)

A napokon ukazeme, ako je to s komplexnymi cıslami, teda s mnozinou C = R × R. Zhrnutım niektorychpredchadzajucich vysledkov dostavame:

|C| = |R × R| = |[0, 1) × R| = |R × [0, 1)| = |[0, 1) × [0, 1)| = c.

Documents

0 Uvod´ - Ústav informatiky PF UPJŠkrajci/skola/vyucba/ucebneTexty/uvod.pdf0 Uvod´ 2 Matematika (a plat´ı to vo vˇseobecnosti pre kaˇzdu´ vedu) sa viac ˇci menej u´speˇsne