空间向量

在立体几何中的应用 5

前段时间我们研究了用空间向量求角 ( 包括线线角、线面角和面面角 ) 、求距离 ( 包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离 )

今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明及计算问题。

一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握 二、立体几何问题的解决─ ─ 向量是很好的工具

复习空间向量(一)

是平面向量的推广, 有关运算方法几

(一)平行与垂直的判断

乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.

(二)夹角与距离的计算

设直线 ,l m的方向向量分别为 ,a b，平面 ,

的法向量分别为 ,u v，则

l ∥ m a

∥ b

a kb

；

线面平行

∥ u

∥ v

.u kv

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行

包括线在面内，面面平行包括面面重合.

线线平行

l ∥ a

u

0a u

；

面面平行

一、 用空间向量处理“平行”问题

R

D

B

C

A

A1

Q

P

NM

D1C1

B1

例 1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， P 、Q 分别是 A1B1 和 BC 上的动点，且 A1P=BQ ， M 是 AB1 的中点， N 是 PQ 的中点 . 求证： MN∥平面 AC.（１） M 是中点， N 是中点 MN RQ ∥

MN∥平面 AC

D

B

C

A

A1

Q

P

NM

D1C1

B1

法（２）　　　　作 PP1 AB⊥ 于 P1 ，

作 MM1 AB⊥ 于M1 ，连结 QP1 ，

作 NN1 QP⊥ 1 于N1 ，连结 M1N1

N1

M1P1

NN1 PP∥ 1

MM1 AA∥ 1

又 NN1 、 MM1 均等于边长的一半故 MM1N1N 是平行四边形，故 MN M∥ 1N1

MN∥平面 AC

D

B

C

A

A1

Q

P

NM

D1C1

B1

z

y

x

o

证明：建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz

设正方形边长为 2 ，又 A1P=BQ=2x

则 P(2 ， 2x ， 2) 、Q(2-2x ， 2 ， 0) 故 N(2-x, 1+x, 1), 而M(2, 1, 1)

MN所以向量 (-x, x, 0) ，又平面 AC 的法向量为 (0, 0, 1) ，∴ ∴ n

0 nMN

又 M 不在平面 AC 内，所以 MN∥平面AC

nMN

DC

BA

D1 C1

B1

A1

例 2. 在正方体 ABCD-A

1B1C1D1 中，求证： 平面 A1BD∥平面 CB1D1

(1) 平行四边形 A1BCD

1 A1B D∥ 1C

平行四边形 DBB1D1

B1D1 BD∥

于是平面 A1BD∥平面 CB1

D1

DC

BA

D1 C1

B1

A1

o

z

y

x

(2) 证明：建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz设正方形边长为 1 ，则向量 )1,0,1(

1DA)0,1,1(DB

设平面 BDA1 的法向量为 ),,( zyxn

则有

x+z=0

x+y=0令 x=1, 则得方程组的解为

x=1 y=-1 z=-1

故平面 BDA1 的法向量为

)1,1,1( n

同理可得平面 CB1D1 的法向量为

)1,1,1(m

则显然有 mn

即得两平面 BDA1 和 CB1D1 的法向量平行

所以 平面 BDA1 CB∥ 1D1

DC

BA

D1 C1

B1

A1

o

z

y

x

DC

BA

D1 C1

B1

A1

FG

H

E

例 3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 、 F 、G 、 H 分别是 A1B1 、B1C1 、 C1D1 、 D1A1

的中点 . 求证： 平面 AEH∥平面 BDGFAD GF∥ ， AD=GF

又 EH B∥ 1D1 ， GF B∥ 1D1 EH GF∥平行四边形 ADGE AE D∥G

故得平面 AEH∥平面 BDGF

DC

BA

D1 C1

B1

A1

HG

F

E

o

z

y

x

略证：建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz

则求得平面 AEF 的法向量为 )1,2,2(n

求得平面 BDGH 的法向量为 )1,2,2(m

显然有 nm

故 平面 AEH∥平面 BDGF

设直线 ,l m的方向向量分别为 ,a b，平面 ,

的法向量分别为 ,u v，则

线线垂直

线面垂直

⊥ u⊥ v .0 vu

l⊥ m a

⊥ b

0a b

；

l⊥ a

∥ u

a ku

；

面面垂直

二、 用空间向量处理“垂直”问题

二、 用空间向量处理“垂直”问题

0mnn

m↑nm

n

m

: ' ' ' ' ',

' .

ABCD A B C D CC BD

A F BDE

例5 在正方体 中. E, F分别是 的中点.求证： 平面

F

E

X

Y

Z, , '

'

DA DC DD x y z

A

������������������������������������������证明:如图取 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), (2, 0, 2)

E(0, 2, 1), F(1, 1, 0)

' ( 1,1, 2), (2,2,0), (0,2,1)

' ( 1,1, 2) (2,2,0) 0

' ( 1,1, 2) (0,2,1) 0

' , ' , . '

A F DB DE

A F DB

A F DE

A F DB A F DE DB DE D A F BDE

������������������������������������������

��������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

又 平面

例 4

已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平面 , 、M N 分别是 、AB PC 的中点 , 并且PA AD ,求证: MN 平面 PDC

A

D

B

P

C

M

N分析:坐标系容易建立, 应考虑用坐标法,解题思路水到渠成.

练习 1

. 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面 , 、M N 分别是 、AB PC 的中点 , 并且PA AD ,求证: MN 平面 PDC

A

D

B

P

C

M

N证明 :

分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 , ,i j k

A xyz

x

y

z, ,

, , , 1

PA AD AB PA AC AD AB

DA i AB j AP k PA

������������������������������������������������������������������������������������

且 平面

可设

(0,0,0), (0,1,0), ( 1,1,0), ( 1,0,0),A B C D (0,0,1)P 1 1 1 1

(0, ,0), ( , , )2 2 2 2

M N 1 1

( ,0, )2 2

MN ��������������

( 1,0, 1)PD ��������������

(0,1,0)DC ��������������

1 1( ,0, ) ( 1,0, 1) 0

2 2MN PD MN PD ��������������������������������������������������������

1 1( ,0, ) (0,1,0) 0

2 2MN DC MN DC ��������������������������������������������������������

PD DC D MN PDC 又 平面

例 6 ：如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1

中， AB=AA1/3=a ， E 、 F 分别是 BB1 、CC1 上的点，且 BE=a ， CF=2a 。 求证 : 面 AEF 面 ACF 。

A

F

E

C1

B1

A1

C

Bx

z

y

不防设 a =2 ，则 A （ 0 ， 0 ，0 ）， B （ 3 ， 1 ， 0 ） C（ 0 ， 2 ， 0 ）， E （ 3 ， 1 ，2 ） F （ 0 ， 2 ， 4 ）， AE=（ 3 ， 1 ， 2 ） AF= （ 0 ， 2 ，4 ），因为， x 轴面 ACF 所以 可取面 ACF 的法向量为 m= （ 1 ，0 ， 0 ），设 n= （ x,y,z) 是面AEF 的法向量，则

A

F

E

C1

B1

A1

C

B

z

y

x

{nAE=3x+y+2z=0

nAF=2y+4z=0{x=0

y= -2z

令 z=1 得 ,

n= （ 0 ， -2 ， 1 ）显然有 m n=0 ，即， m

n面 AEF 面 ACF

证明：如图，建立空间直角坐标系 A-xyz ，

A

D C

B

求证：平面 MNC⊥平面 PBC ；

已知 ABCD 是矩形， PD⊥平面 ABCD ， PD ＝ DC ＝ a， AD ＝ ，M 、 N 分别是 AD 、 PB 的中点。

a2

P

M

N

练习 2

小结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题 ( 如：求角、求距离等 ) ，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。

用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。