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第九章 欧几里得空间 学时： 18 学时。 教学手段：

讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的：

基本内容：欧几里得空间定义与基本性质；标准正交基；同构；正交变换；子空间；对称矩阵的标准形；向量到子空间的距离、最小二乘法。教学目的：欧几里得空间定义与基本性质。掌握标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。了解向量到子空间的距离、最小二乘法。

重点和难点：重点：标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。难点：同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

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9.1 欧氏空间定义及其性质

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一 概念引入 物理学上力 F 所做之功： W=SFcosθ F 空间解析中 , 矢量的数量积一般表示： ξ,η V∈ 3 Fcosθ

1) ξ,η 均不为 0 ： ξη=|ξ||η|cos<ξz,η> R∈ ； 2) ξ 或 η 为 0 ：规定 ξη=0.

→ 由数量积最本质的属性出发，采用公理化方法在线性空间中引入内积概念，从而建立欧几里德几何的基本特征 .

, cos , ,

1 2 3 ( ) ( )a a

质

( ) ；( ) ( ) ；( )

且有性

Θ

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公理 1 称为对称性，公理 2 ， 3 合称为线性性，公理4 称为恒正性 . 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性 .

在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的，故称为欧氏空间 .

定义 1 V 是 R 上的线性空间， V 上定义二元实值函数，称为内积，是指 对任意的 α,β,γ V∈ ，对任意的 k R, ∈ 存在唯一的 (α,β) R, ∈ 使得 1) (α,β) = (β,α) ； 2) (kα,β) = k(α,β) 3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ)

4) (α,α)≥0 ，并且 α = 0 当且仅当 (αα) = 0这时，称 V 是欧几里德空间 .

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例 1 Rn 中，对任意的 ξ= (x1, ···, xn), η= (y1,···, yn )

R∈ n, 规定 (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn , 则 Rn 对此构成欧式空间 .

证明：显然 (ξ,η) R, ∈ 且具唯一性 . 对任意的 ξ,η,ζ R∈ n, k R,∈ 1) (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn = y1x1 + ··· + ynxn = (η,ξ). 2) (kξ,η) = kx1y1 + ··· +k xnyn = k(x1y1 + ··· + xnyn) = k (ξ,η) . 3) (ξ+η, ζ) = (x1+ y1)z1 + ··· + (xn+yn)zn = (x1z1+ ··· + xnzn ) + (y1z1 +

··· + ynzn ) = (ξ,ζ) + (η,ζ). 4) (ξ,ξ) = x1

2 + ··· + xn2≥0 . 而 ξ= 0 当且仅当

x1 = x2 = ··· = xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x12 + ··· + xn

2 = 0. 故 Rn 关于 (ξ,η) 构成一个欧氏空间 . □

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例 2 C(a, b) = { 定义在 [a, b] 上的实值连续函数 } 关于如下规定的二元函数构成 R 上的欧氏空间 . 对任意的 f(x), g(x) C(∈ a, b),

证明分析： 根据定积分的性质，易证欧氏空间定义中4 条公理成立，故 C(a, b)关于（ f, g ）构成欧氏空间 .注： R[x], R[x]n 关于如上定义的（ f, g ）也构成欧氏空间 .

( ( ), ( )) ( ) ( )b

af x g x f x g x dx

a f(x) b

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二 基本性质5 ） (α, kβ) = k(α, β) (α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) .6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ) (α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α) = (α,β) + (α,γ) .7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的 α V )∈ (0,α) = (0·0,α) = 0 (0,α) = 0 = (α,0) .8) 对任意的 β V∈ ， (αβ) = 0, 则 α= 0 取 β=α, 则 (αα) = 0, 据公理 4 得 α= 0 .9)

1 1 1 1

( , ) ( , )r s r s

i i j j i j i ji j i j

a b a b

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1 1 2 2

1 1 1

1 1 2 21 1 1

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1

1 1 2 2 2 2 2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

r s r

i i j j i i s si j i

r r r

i i i i i i s si i i

r r

r r i i i ii i

a b a b b b

a b a b a b

a b a b a b a b a b

a b a b

2 2 2 2 2 21 1

1 1 2 21 1

1 1 2 21 1 1

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

r r

r r i i i ii i

r r

s s s s r r s s i i s s i s i si i

r r r

i i i i i s i si i i

a b a b a b

a b a b a b a b a b

a b a b a b

1 1

1 1

( , )

( , ) .

s r

i j i jj i

r s

i j i ji j

a b

a b

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三 向量长度定义 2 V, 定义ξ 的长度为 ( , )

V, 都有长度；零向量的长度为 0；非零向量的长度＞0.

例1中， n 2 2 21 2 1 2 n( , , , ) R , ( , )nx x x x x x .

例 2中, 2( ) C(a,b), ( ) ( , ) ( )b

af x f x f f f x dx .

10) k k k R, V .

证明： 2k (k , k ) k ( , ) k .

11) 长度 = 1 的向量叫单位向量， 0

为单位向量.

(称如上过程为向量的单位化).

证明： 1( , ) ( , ) 1

.

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四 向量夹角 为在 V 中引入夹角概念，先研究如下性质：12 ） (α,β)2 ≤ (αα)(ββ) ( 或 |(α,β)|≤|α||β| ) 其中等号成立当且仅当 α,β 线性相关 . 该不等式称为柯西 - 布涅柯夫斯基 - 施瓦茨不等式 .

柯西 : 法国数学家（ 1789-1857 年）其主要贡献在微积分，复变函数和微分方程方面，许多定理和公式均以他的名字命名 . 布涅柯夫斯基是俄国数学家，施瓦茨是德国数学家，他们各自都发现如上结论，故历史上一般称为柯 西 - 布涅柯夫斯基 - 施瓦茨不等式 . 柯 西

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证明： 1） β =0时，不等式显然成立.

2） β ≠ 0时，设 γ =α +tβ , t∈ R (这里 t具有任意性)

→ 据公理 4 γ，（ ,γ ）= α（ +tβ α， +tβ ≥） 0，即

α α（ ）+2(α β )t+(β β )t2 ≥ 0,对任意的 t∈ R

取 ( , )t( , )

代入上式，得 (α ,α )－2( , )

( , )

≥ 0 , 即

(α ,β )2≤ (α ,α )(β ,β ), 即|(α ,β )|≤ |α ||β |.

设 α ,β 线性相关，即α = kβ → (α ,β )2 = (kβ ,β )2 =

k2(β ,β )2 = (kβ ,kβ )( β ,β ) = (α ,α )(β ,β ),即等号成立.

设等号成立，即 (α ,β )2 = (α ,α )(β ,β ) → 若β ＝0，

α ,β 已经线性相关；若β ≠ 0， 由如上等式得

2( , )( , ) 0

( , )

据所设，这时 ( , )t( , )

，应有

( , )( , ) 0 0( , )

，即α ,β 线性相关. □

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柯西-施瓦茨不等式应用于例 1中 nR 的内积的具体表现形式：

n1 1( , , ), ( , , ) R ,n na a b b 据内积定义和柯-施不等式得

2 21 1( ) ( , )n na b a b ≤ 2 2 2 2

1 1( , )( , ) ( )( )n na a b b

即得数学分析中常用的所谓柯西不等式：

21 1( )n na b a b ≤ 2 2 2 2

1 1( )( )n na a b b .

柯西-施瓦茨不等式应用于例 2中C( , )a b 的内积具体表现形式：

( ), ( ) C( , )f x g x a b ，内积 ( ( ), ( )) ( ) ( )b

af x g x f x g x dx ，故

2( ) ( ) ( ( ), ( ))b

af x g x dx f x g x ≤ ( ( ), ( ))( ( ), ( ))f x f x g x g x

2 2( ) ( )b b

a af x dx g x dx ，

即得数学分析上常用的施瓦茨不等式:

2( ) ( )b

af x g x dx ≤ 2 2( ) ( )

b b

a af x dx g x dx 。

柯西-施瓦茨不等式将完全无关的两个著名不等式统一起来，揭示了他们之间的内在联系，是欧氏空间理论的一个成功典例.

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定义 3 非零向量 , V, , 的夹角θ 规定如下：

( , ) ( , )cos ( , arccos )

.

定义合理性分析：据柯西-施瓦茨不等式有 ( , ) ≤

→ ≤ ( , ) ≤ ，即 －1 ≤ ( , )

≤ 1 →

, 有唯一夹角θ ，且 0≤ θ ≤π .

欧氏空间中向量长度，夹角概念是几何空间相应概念的推广.

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定义 4 称向量 , ( V) 正交，记成 ( , ) 0 .

由定义 3可知， ( , ) cos ，故非零向量 , 具有如

下结论： , 互相垂直 夹角为 90度 cos 0 .

这里正交的定义与解析几何中正交定义是一致的.

显然零向量与任何向量正交( (0, ) 0 ) ，仅有零向量与自己

正交( 0 ( , ) 0 ).

13) r

i i ii=1

(i 1, , r) a

证明： 题设得r r

i i i i ii 1 i 1

( , ) 0 (i 1, , r) ( , a ) a ( , ) 0

r

i ii 1

a

. □

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14） 2 2 2

证明： 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) . □

即勾股定理在欧氏空间中依然

成立,并可推广到更一般的情形,即

向量 1 2 m, , , 两两正交，则 2 2 2 2

2 m 1 2 m .

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五 向量的距离15) ｜ α+β ｜≤｜ α ｜ + ｜ β| （三角不等式）证明： |α+β|2 =(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)≤|α|2 + 2|α||β|+|β|2 =(|α|+|β|)2→ ｜ α+β ｜≤｜ α ｜ + ｜ β|. □ 几何意义：几何空间中，两边之和大于第三边 . 定义 5 向量 α,β 的距离 d(α,β)=|α － β| 几何意义如图示 .16) α≠β, 则 d(α,β) ＞ 0. α － β 17) d(α,β)= d(β,α). β18) d(α,γ)≤d(α,β) ＋ d(β,γ). α 证明： d(α,γ)=|α － γ|≤|α － β| ＋ |β － γ|= d(α,β) ＋ d(β,γ).19 ）欧氏空间的子空间关于其内积也构成欧氏空间 . 故可引入欧氏空间的子空间的概念 .

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定义 设 1 n, , 是欧氏空间V的基，令 ( , ) ( , 1, 2, , )ij i ja i j n

称矩阵A ( )ij n na 为基 1 n, , 的度量矩阵 .

由定义可知，矩阵 n nA R ，且 ( , 1,2, , )ij jia a i j n ，即矩阵

A是实对称矩阵（ /A A ），其中

1 1 1 2 1 n

2 1 2 2 2 n

n 1 n 2 n n

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

A

( , ) ( , ) ( , )

.

六 度量矩阵

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20) 设欧氏空间 V的基 1 n, , 的度量矩阵是 A， , V ，

1n

i i 1 n 1 ni=1

n

1n

i i 1 n 1 ni=1

n

xx ( , , ) ( , , )X

x

yy ( , , ) ( , , )Y

y

/( , ) X AY .

( 即 度量矩阵完全确定了内积 ).

证明： 据题设及性质 9 可知，

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )n n n n

i i i i i j i ji i i j

x y x y

= （见下页）

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1 1 1 1 1 2 1 2 1 n 1 n

2 1 2 1 2 2 2 2 2 n 2 n

n 1 n 1 n 2 n 2 n n n n

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

x y x y x yx y x y x y

x y x y x y

1 1 1 2 1 2 n 1 n

1 2 1 2 2 2 n 2 n1 2

1 n 1 2 n 2 n n n

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , , , )

( , ) ( , ) ( , )

n

y y yy y y

x x x

y y y

11 1 1 2 1 n

22 1 2 2 2 n /1 2

n 1 n 2 n n

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , , , ) X AY

( , ) ( , ) ( , )

n

n

yy

x x x

y

. □

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21) 度量矩阵是正定矩阵

22) 1 n 1 n

/1 n 1 n 1 n

1 n

, , , , V( , , ) ( , , )C , , B C AC

, , A

； 是 的基的度量矩阵

的度量矩阵是

（即 不同基下的度量矩阵合同）

复习概念：

（1） n阶矩阵A正定 A的顺序主子式均大于 0 n元实二

次型 /1 2( , , , ) X AXnf x x x 在任何一组赋值下均大于 0 ；

（2） 数域 P上 n阶矩阵 A，B合同，如果有 P上的 n阶可逆矩阵

C，使得 B = C/AC ( 合同关系是等价关系).

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证明： 21） 对任意的不全为 0的数1

21 2, , , R, X 0n

n

xx

x x x

x

/1 n( , , )X 0, V ( , ) X AX 0 实二

次型 /1 2( , , , ) X AX 0,nf x x x 故 A正定.

22） 设

/11 12 1 1

/21 22 2 / 2

1 2 n

/1 2 n

C ( , , , ), C

n

n

n n nn

c c cc c c

c c c

→ /1 1( , , ) , ( , , ) ( , ) Ai n i j n j i j i j

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其中 , 1, 2, ,i j n ，故

/ / /1 1 1 2 1 1 1 1 2 1

/ / /2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

/ / /1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

n n

n n

n n n n n n n n

A A AA A A

B

A A A

/ /1 1

/ //2 2

1 2 1 2

/ /

( , , , ) ( , , , ) C ACn n

n n

A A A A

. □

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不同基的度量矩阵之间的关系：

设 1 2 n, , , 和 1 2 n, , , 是欧氏空间 V的两组基，则

1 2 n 1 2 n

/

( , , , ) ( , , , )T

B T AT

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9.2 标准正交基

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一 . 概念及基本性质定义 1 V 中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组 .

单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向量组中找不到两个向量不正交） .

性质 1 {α1 ,α2 , ···,αm} 是正交组，则 α1 ,α2 , ···,αm 线性无关 .

证明： 设 k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm= 0, 用 αi (i =1, ···, m) 于该式两边作内积，即 (αi , k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm ) =

k1(αi , α1) + ··· + ki(αi , αi) + ··· + km(αi , αm) = (αi , 0) = 0

→ ki(αi , αi) = 0 → 因 αi≠ 0 ，得 (αi , αi) ≠ 0 ，故 ki = 0

(i =1, ···, m) → α1 ,α2 , ···,αm 线性无关 . □

dimV = n 时， V 中两两正交的向量不会超过 n 个 ( 如平面上找不到三个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量 ).

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定义 2 n 维欧氏空间 V 中， n 个向量的正交向量组称为 V 的正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基 .

性质 2 1 2 n, , , 是 V的标准正交基 i j

1 i j( , )

0 i j

.

证明： i = j时，由单位向量的定义得 i i i( , ) 1 ，故 i i( , ) 1 ；

i j 时, 由正交向量的定义得 i j( , ) 0 ，故命题成立. □

性质 3 n维欧氏空间 V的基为标准正交基 该基的度量矩阵

为单位矩阵.

证明： 设 1 2 n, , , 是 V的标准正交基，据性质 2得该基的

度量矩阵

1 1 1 2 1 n

2 1 2 2 2 n

n 1 n 2 n n

( , ) ( , ) ( , ) 1( , ) ( , ) ( , ) 1

A E

( , ) ( , ) ( , ) 1

.

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设 V的基 1 2 n, , , 的度量矩阵是单位矩阵 E → 则

i j

1 i j( , )

0 i j

→ i i i i j( , ) 1 ( , ) 0 (i j) ； ，即知

1 2 n, , , 是 V的标准正交基. □

性质 4 n维欧氏空间 V中存在一个基，其度量矩阵是单位矩阵.

证明： 设 V的基 1 2 n, , , 的度量矩阵是 A → A是正定矩阵

→ A与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 n nT R ，使 /T AT E

→ 取 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )T ，则 1 2 n, , , 是 V的基，

而 T是过渡矩阵 → 据 P364（11）得基 1 2 n, , , 的度量矩阵

/B T AT E . □

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性质 5 1 2 n, , , 是 V的标准正交基 V

1 1 1 2 1 n( , ) ( , ) ( , )

证明： n n n

i i i i i j j j i j ii 1 j 1 j 1

x ( , ) ( , ) ( , x ) x ( , ) x

→ 1 1 n n 1 1 1 nx x ( , ) ( , ) . □

性质 6 1 2 n, , , 是 V的标准正交基，n

i ii 1

x ,

n

j jj 1

y V

1 1 2 2 n n

2 2 21 2 n

n2

i ii 1

( , ) x y x y x y

x x x

d( , ) (x y )

.

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证明： 1

21 2 n 1 1 2 2 n n

n

yy

( , ) (x , x , , x )E x y x y x y

y

；

2 2 21 2 n( , ) x x x ；

由 1 1 1 n n n(x y ) (x y ) 推出

n2 2 2

1 1 n n i ii=1

d( , ) (x y ) (x y ) (x y ) . □

如上内积的坐标表达式对任意一个标准正交基都是一样的，

故所有标准正交基在欧氏空间中有相同的地位.

性质 4-性质 6说明：在标准正交基下，内积、向量长度、距

离及度量矩阵均具有较简单的表达形式.

作业： p393 习题 1；习题 2. 1), 3)；习题 4；习题 5.

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二 标准正交基的计算定理 1 n维欧氏空间中任一正交组均可扩充为正交基.

证明： 设 1 2 m, , , 是 V的任一正交组，对 n－m进行归纳.

当 n－m = 0时， 1 2 n, , , 已是 V的正交基.

假定 n－m = k时命题成立，即 可找到 1 2 k, , , V ，使得

1 2 m 1 2 k, , , , , , , 是 V的正交基，现证 n－m = k+1命题成立.

这时，由 n－m = k+1＞0得 m＜n → 存在 ( 0) V ，不

能由 1 2 m, , , 线性表出（否则，得 1 2 mV L( , , , ) →

1 2 m, , , 是 V的基 → dimV = m＜n, 出现矛盾） → 构造

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向量 m 1 1 1 m m 1 ma a , a , , a 为待定系数，使得

i m 1 i( , ) 0 (i 1, , m), a 解出 即可 → 事实上

i m 1 i 1 i 1 i i m i m( , ) ( , ) a ( , ) ( , ) a ( , )

i i i i( , ) a ( , ) 0 (i 1, , m)

由于 ii i i i

i i

( , )0, , 0 a,

可知( ) , 故 ( ) (i 1, , m) →

m1 2 m i

m 1 1 2 m ii=11 1 2 2 m m i i

( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , , ,

( ) ( ) ( ) ( )

由 m 10 0 +可知 (否则推出 1 m{ , , } 线表 ，这与 的

取法矛盾)，且 i m 1( , ) 0 (i 1, , m) → 1 2 m m 1, , , ,

是 V 的正交组 → 由归纳假定 n (m 1) n m 1 k 1 1 k

时命题成立，即 1 2 m m 1, , , , 可扩充为 V的正交基. □

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该定理的证明过程给出了求标准正交基的方法：1. 取 1 1 1V, 0, { } . 则 是正交组 .

2. 取 1 1 1V, ， 线性无关 → 构造 1 12 1 1

1 1

( , )( , )

，

则 1 2{ , } 是正交组； → 取 2 2 1 2V, , ， 线性无关 →

构造 2 1 2 23 2 1 2

1 1 2 2

( , ) ( , )( , ) ( , )

，则 1 2 3{ , , } 是正交组；

→ · · · → 取 n 1 n 1 1 2 n 1V, , , ， 线性无关 → 构造

n 1 1 n 1 2 n 1 n 1n n 1 1 2 n 1

1 1 2 2 n 1 n 1

( , ) ( , ) ( , ), , ,

( ) ( ) ( ) ，

（以上过程称为正交化），则 1 2 n, , 是 V的正交基．

3. 取 1 2 n1 2 n

1 2 n

, , , ( V)

（该过程称为单位化）,

则 1 2 n, , , 是 V的标准正交基.

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例：在 R3中构造一组标准正交基，内积如 P360例 1所给.

解：1. 任取一非零向量，如 1 (1,1,1) , 则 1{ } 是正交组；

2. 取 1 (0,1, 2) ，显然 1 1, 线性无关. 构造

1 12 1 1

1 1

( , ) 0 1 1 1 2 1(0,1,2) (1,1,1) ( 1,0,1)( , ) 1 1 1 1 1 1

，则

1 2{ , } 是正交组；取 2 (2,0,3) ，易验证 2 1 2, , 线性无关. 构造

2 1 2 23 2 1 2

1 1 1 2

( , ) ( , ) 2 1+0 1+3 1(2,0,3) (1,1,1)( , ) ( , ) 1 1+1 1+1 1

2 ( 1) 0 0 3 1 5 5 5( 1,0,1) ( , , )( 1) ( 1) 0 0 1 1 6 3 6

则 1 2 3{ , , } 是正交组.

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9

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3. 11

1

(1,1,1) 1 (1,1,1)1 1+1 1+1 1 3

； 22

2

( 1,0,1) 1 ( 1,0,1)( 1) ( 1)+0 0+1 1 2

； 3

33

1 (1, 2,1)6

. 故

1 2 3, , 是 3R 的一组标准正交基. □

定理 2 1 2 n, , , 是 V的基 V存在标准正交基 1 2 n, , , ，

使得 1 2 n 1 2 nV L( , , , ) L( , , , ), i 1, 2, , n .

证明： 1) 取 11 1 1

1

1, { }

即 是单位正交组，且

1 1L( ) L( ) （ 1 1, 可互相线性表出）.

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2) 取 2 12 2 1 2 2 1 1

1 1

( , ) ( , )( , )

（ 2 不能由 1 线性表

∴示， 用定理 1的方法取 2 ） → 2 0 （否则将推出 2 可由 1

线性表示，与 1 2, 线性无关矛盾） → 取 22

2

，则 1 2, 是单

位正交组，且 1 2 1 2L( , ) L( , ) （ 11

1

； 22

2

=

2 12 2 1 1 2 1

2 2 2 1

( , )1 1( ( , ) )

， ∴ 1 2, 与 1 2, 等价）.

3） 一般地，假定已求出 1 2 m, , , 是单位正交组（m n ），

且 1 2 m 1 2 mL( , , , ) L( , , , ) ，现取

m m

m 1 im 1 m 1 i m 1 m 1 i i

i 1 i 1i i

( , ) ( , )( , )

→ m 1 0

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（否则推出 m 1 可由 1 2 m, , , 线性表出） → 取 m+1m+1

m+1

，

则 1 2 m m 1, , , , 是单位正交组，且

1 2 m 1 2 mL( , , , ) L( , , , ) ，

由归纳原理，即知命题成立. □ 定理 1，2的联系与区别：

相同点： 正交化，单位化的基本方法是一样的.

不同点： （1） 定理 1 中事先未给线性无关的向量组，要自己确

定，而定理 2事先给定线性无关组，只需将其正交化，正交化；

（2） 定理 2先正交化，后对角化，定理 2逐个向量正交化，对

角化.

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综合定理 1、2，给出《schimidt正交化》方法：

设 1 2 m, , , ( V) 是线性无关向量组，先正交化，后对角化.

1） 取 1 1 .

2） 取 2 12 2 1

1 1

( , )( , )

， 3 1 3 23 3 1 2

1 1 2 2

( , ) ( , )( , ) ( , )

，…，

i 1 i 2 i i 1i i 1 2 i 1

1 1 2 2 i 1 i 1

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

，…，

m 1 m 2 m m 1m m 1 2 m 1

1 1 2 2 m 1 m 1

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

.

即 i 1

i ji i j

j 1 j j

( , )i 2, ,m

( , )

，则 1 2 m, , , 是正交组.

3) 取 ii

i

i 1,2, ,m

, 则 1 2 m, , , 是单位正交组.

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定理 2中 1 2 n 1 2 nV L( , , , ) L( , , , ), i 1,2, , n

的意义分析：

命题： T是基 1 2 n, , , 到基 1 2 n, , , 的过渡矩阵；

1 2 n 1 2 nV L( , , , ) L( , , , ), i 1,2, , n

T是上三角矩阵. 证明： 由题设条件可得

1 1 1 11 1

1 2 1 2 2 12 1 22 2

1 2 n 1 2 n n 1n 1 2n 2 nn n

L( ) L( ) tL( , ) L( , ) t t

L( , , , ) L( , , , ) t t t

，

即

11 12 1n

22 2n1 2 n 1 2 n

nn

t t t0 t t

( , , , ) ( , , , )T, T

0 0 t

. □

推论： 设由基 1 2 n, , , 经《schimidt正交化》方法所得标准正交

基为 1 2 n, , , 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )T,T 是上三角矩阵.

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例 1 2 3 4(1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1) ，

将其化成单位正交组.

解： 1） 取 1 1 (1,1,0,0) .

2) 取 2 12 2 1

1 1

( , ) 1 1 0 1 1 0 0 0(1,0,1,0) (1,1,0,0)( , ) 1 1 1 1 0 0 0 0

1 1( , ,1, 0)2 2

. 3 1 3 23 3 1 2

1 1 2 2

( , ) ( , ) ( 1,0,0,1)( , ) ( , )

1 1( 1) +0 ( )+0 1+1 01 1 1 12 2(1,1,0,0) ( , ,1,0) ( 1,1,1,3)1 1 1 12 2 2 3+( ) ( )+1 1+0 02 2 2 2

,

4 34 1 4 24 4 1 2 3

1 1 2 2 3 3

( , )( , ) ( , ) (1, 1, 1,1) 0 0 0( , ) ( , ) ( , )

(1, 1, 1,1) .

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3) 取 11

1

(1,1,0,0) 2 2( , , 0, 0)2 21 1 1 1 0 0 0 0

， 同理得

322 3

2 3

6 6 6 1 1 1 3( , , , 0), ( , , , )6 6 3 12 12 12 12

，

44

4

1 1 1 1( , , , )2 2 2 2

.

则 1 2 3 4, , , 是单位正交向量组. □

作业： P393 习题 7，8，9.

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三 正交矩阵定义 7 n nA( R ) 称为正交矩阵，是指 /A A E .

1. A是正交矩阵 1 /A A .

证明： A是正交矩阵 → /A A E → / /A A A A 2A

E 1 0 → A 0 ，即 A可逆 → /A(A A) AE → /AA

/ 1 1AA AA AEA E, AA E /即 → / /A A AA E →

1 /A A . □

2. A, B是正交矩阵 / 1 *A ,A ,A ,AB 为正交矩阵.

证明： A是正交矩阵 → / / / /AA (A ) A E ，即说 /A 是正交矩阵，

由 1.得 1 /A A 是正交矩阵.

* 1 /A A A A A → * / //(A ) A A A A → * / *(A ) A

2/ / /( A A)( A A ) A AA AA E , 即说 *A 是正交矩阵.

A, B是正交矩阵 → / / / /(AB) AB B A AB B B E ，故 AB是

正交矩阵. □

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3. A是正交矩阵 A 1 .

证明： 由 1.可知 2A 1 ，故得 A 1 . □

4. A是正交矩阵 A的特征值的模 1 .

证明： 若1

R,

n

a

a

是属于的特征向量，据 P291（2）得

/ / / / / / 2 21A A ( A )(A ) na a

/ 2 / 2 2 2 21( )( ) ( ) 1, 1na a 即 .

若 R C R A A A ，由 得 ，即

→ n nA ( A R ) . 又

/ / / / / / / /A A A ( )( ) ，

因为 n( 0) C ，故 2/*0 1, 1 1 即 . □

* 设 22 2a b 1a bi a bi .

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5. 是正交矩阵 A的特征值 1也是 A的特征值.

证明： 据题设， / / /A A A A ( ) (A )

/ /1 1A , A

即 是 的特征值，但 A与 A/ 有相同的特征多项式*，

故 1也是 A的特征值. □

* // /

A A( ) E A ( E A) E A ( )f f .

6． 设 ij n nA (a ) ，则 A是正交矩阵 1

10

n

ki kjk

i ja a

i j

.

证明： 设正交矩阵

11 1 1 1

21 2 2 2

1

A

i j n

i j n

n ni nj nn

a a a aa a a a

a a a a

→ 其转置为

11 21 1

1 2/

1 2

1 2

A

n

i i ni

j j nj

n n nn

a a a

a a a

a a a

a a a

→ 由 /A A E 即知1

n

ki kjk

a a

1

21 2

1 (E )( )

0 (E )

j

ji i ni

nj

aa i j

a a ai j

a

的主对角线上的非主对角线上

. 反之亦成立.

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7. n维欧氏空间标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵.

证明： 设 1 2 n 1 2 n, , , , , , ； 是 V的两组标准正交基，且

1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )A, A ( )ij n na

→ 1

21 2

1

( , , , ) ( 1,2, , )

i

ni

i n ki kk

ni

aa

a i n

a

→

因 1 2 n, , , 是标准正交基，故1

( , )0i j

i ji j

.

又1 1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )n n n n n

i j ki k li l ki lj k l ki kjk l k l k

a a a a a a

( 1 2, , , n 是标准正交基) → 结合以上结论推出

1

10

n

ki kjk

i ja a

i j

，据性质 6即知 A是正交矩阵. □

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9.3 欧氏空间同构

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欧氏空间

一 . 同构概念定义 8 实数域 R 上的欧氏空间 V 与 V/ 同构，如果存在双射 σ ： V→V/ ，满足：对任意的 αβ V∈ ， k R∈ ， 1 ） σ(α+β) =σ(α) + σ(β) ； 2 ） σ(kα) = kσ(α) ； 3 ） (σ(α) ,σ(β) ) = (α,β) .该映射 σ 称为 V 到 V/ 的同构映射，并记为 V V≌ /. 由该定义可知欧氏空间 V 到 V/的同构映射一定是线性空间 V 到 V/的同构映射，故得如下性质： 性质 1 有限维欧氏空间 V V≌ / 当且仅当 dimV=dimV/

. 证明 : 必要性 若 V V≌ / → 作为线性空间来说，V 与 V/仍然同构，据线性空间理论即知 dimV=dimV/

. 充分性 设 dimV=dimV/ . 当 n = 0 时，它们显然同构 .

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当 n ≥0 时，设 α1,α2,···,αn 与 β1,β2,···,βn 分别为 V 及 V/ 的标准正交基，则 f : α= x1α1+x2α2+ ··· +xnαn → f(α) =β= x1β1+x2

β2+ ··· +xnβn 是线性空间 V 到 V/ 的同构映射，且 取 γ= y1

α1+y2α2+ ··· +ynαn , 有 (α,γ) = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn= ( f (α), f (γ) ),

即 f 是欧氏空间 V 到 V/ 的同构映射， V V≌ / . □

性质 2 任一 n 维欧氏空间 V 都与 Rn 同构 .

证明：据题设 dimV= dimRn 及性质 1 ，即知 V R≌ n. □

性质 3 欧氏空间之间的同构关系具有自反性、对称性、传递性 .

证明： 略 .

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9.4 正交变换

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9

欧氏空间

一 正交变换的概念及性质定义 9 V 是欧氏空间， A ( L(V))∈ 称为正交变换，

如果对任意的 α,β V, (∈ Aα,Aβ) = (α,β).

性质 1 ( 定理 1) V 是欧氏空间， A L(V)∈ ，则以下条件等价：

1) A 是正交变换；2) 对任意的 α V∈ ，│ Aα│=│α│ （即保持向量的

长度不变）；3) ε1,ε2, ···,εn 是 V 的标准正交基，则 Aε1,Aε2,

···,Aεn 是 V 的标准正交基；4) 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵 .

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证明： 证明思路： (2) (1) (3) (4)

(1) (2) 是正交变换，即 V, ( , ) ( , ) A A A

( , ) ( , ) A A .

( , ) ( , )V, , V,

( , ) ( , )

A AA A A →

( ( ), ( )) ( , ) A A 展开

( , ) 2( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) A A A A A A →

( , ) ( , ) A A ,即 A 是正交变换.

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(1) (3) 设 1 2 n, , , 是 V的标准正交基，即 i j

1 i j( , )

0 i j

，

(i, j 1, 2, , n) i j i j

1 i j( , ) ( , )

0 i j

是正交变换A A A

(i, j 1, 2, , n) → 1 2 n, , , A A A 是 V的标准正交基.

设 1 2 n, , , ； 1 2 n, , , A A A 都是 V的标准正交基. , V ,

1 1 n n 1 1 n n

1 1 n n 1 1 n n

x x x xy y y y

A A AA A A

得 1 1 n n( , ) x y x y ( , ) A A ，即 A 是正交变换.

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(3) (4) 设 A 在标准正交基 1 2 n, , , 下的矩阵是 A →

1 2 n 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , ) ( , , , )A A A A A ，

即矩阵 A 是标准正交基 1 2 n, , , 到标准正交基 1 2 n, , , A A A 的过渡矩

阵 → A是正交矩阵.

A是正交矩阵 → 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )A A A A ，A可逆

→ 1 2 n, , , A A A 是 V的基，且

1i

n2i

i 1 2 n ki kk=1

ni

aa

( , , , ) a i 1, 2, , n

a

A

i j1 1 1 1 1

1( , ) ( , ) ( , )

0

n n n n n

ki k li l ki lj k l ki kjk k k l k

i ja a a a a a

i j

A A

（因为 A是正交矩阵，故 1 2 n, , , 是标准正交基），故 1 2 n, , , A A A 是

标准正交基. □

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欧氏空间

性质 2 正交变换是可逆的线性变换 .证明： 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵可逆，故正交变换可逆 . □性质 3 正交变换是 V 到 V 的同构映射 . 证明： 正交变换 A 可逆，故是双射 . A 是线性变换，故 A (α+β) = A (α) +A (β) ； A (kα) = kA (α).A 是正交变换，故 (Aα, A β) = (α, β). 所以 A 是 V 到 V 的同构映射 . □性质 4 A , B 是正交变换，则 A － 1, AB 是正交变换 .证明： 设 A , B 在标准正交基下的矩阵是 A, B → A, B 是正交矩阵，且 A － 1 ， AB 是正交矩阵 → A － 1, AB 是正交变换 .

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性质 5 在标准正交基下，正交变换与正交矩阵一一对应 .* 设正交变换 A 对应的正交矩阵为 A ，则｜ A ｜ =±1 →

称｜ A ｜为正交变换 A 的行列式；当｜ A ｜ = 1 时，称 A 为第一类正交变换 ( 或旋转 ) ；当｜ A ｜ = － 1 时，称 A 为第二类正交

变换 .性质 6 正交变换保持向量夹角不变，反之则不一定 .

证明： 设 σ 是正交变换 → 对任意的 α,β V ,∈ (σ(α),σ(β)) = (α,β) ；

｜ α ｜ = ｜ σ(α) ｜ , ｜ β ｜ = ｜ σ(β) ｜ . 当 α,β 中有一个为 0 ，则 σ(α),σ(β)) 中有一个为 0 ，故

〈 σ(α),σ(β)〉 =〈 α,β〉 = 900 ；若 α,β 均非 0 向量，则 〈 α,β〉= arccos (σ(α),σ(β))/ ｜ σ(α) ｜｜ σ(β) ｜

= arccos (α,β)/ ｜ α ｜｜ β ｜ = 〈 σ(α),σ(β)〉 ,即 σ保持向量夹角不变 .

反之，则不一定，如数乘变换保持夹角不变，但不是正交变换 .

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欧氏空间

例 1 V2 中将每一向量按逆时针方向旋转 θ 度的变换是正交变换 σ.

取标准正交基 ε1= (1, 0), ε2 = (0, 1), 则

容易验证矩阵 A 是正交矩阵，且｜ A ｜ = 1 ，故 σ 是第一类正交变换 .

例 2 令 π 是过原点的平面， α

σ 是 V3 关于 π 的镜面反射 .

取 ε1,ε2 为 π 的标准正交基，即过原点互相垂直的 o π

单位向量构成基 . 取 ε3 为过原点且垂直 π 的单位向

量，则 ε1,ε2, ε3 为 V 的标 σ(α) 准正交基 . 由镜面反射的定

1 2 1 2

cos sin( , ) ( , )A, A

sin cos

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欧氏空间

义， σ(ε1) =ε1, σ(ε2) =ε2, σ(ε3) = － ε3 . 对任意的 α V∈ 3 ，设 α= x1ε1 + x2ε2 + x3ε3 , 则 σ(α) = x1σ(ε1) + x2σ(ε2) + x3σ(ε3) = x1ε1 + x2ε2 － x3ε3 ,

故 ｜ σ(α) ｜ 2 = x12 + x2

2 + x32 = ｜ α ｜ , 即推出

｜ σ(α) ｜ = ｜ α ｜，所以 σ 是正交变换 . 由如上过程可知以下等式成立，即 σ 的行列式｜ B ｜ = － 1 ，即 σ 是第二类正交变

1 2 3 1 2 3

1( , , ) ( , , )B, B 1

1

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9.5 子空间

高等代数

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定义 10 设 V1, V2 是欧氏空间 V 的子空间，称 V1 , V2 正交，记为 V1⊥V2 ，如果对任意的 α V∈ 1 , β V∈ 2 ， (α,β) = 0. 称 ξ( V)∈ 与 V1 正交，记为 ξ⊥V1 ，如果对任意的 α V∈ 1 ， (ξ,α) = 0.

几何空间 V3 中， xoy平面， oz

轴， ox轴分别标为 W1 、 W2 、W3 , 则它

们都是 V3 的子空间，且 W1⊥W2 ， W2 ⊥W3 .

取 oz轴上的向量 ξ ，则

ξ⊥W1 .

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欧氏空间

性质 1 V1 ⊥V2，则 V1∩V2 = {0}.

对任意的 α V∈ 1∩V2 → α V∈ 1 且 α V∈ 2 → 由正交的定义即知 (α,α) = 0 → α = 0 → V1∩V2 = {0}. □

性质 2 α⊥V1 ，且 α V∈ 1 ， 则 α= 0. 由题设即知 (α,α) = 0 → α = 0 . □性质 3 （定理 5 ） 子空间 V1 , V2 , ···, Vs 两两正交，则 V1 +

V2 + ··· + Vs 是直和 .

证明： 设 0 = α1 +α2 + ··· +αs , αi V∈ i , i = 1, 2, ···, s .

用 αi 对等式两边作内积得 (αi ,α1) + ··· + (αi ,αi) + ··· + (αi ,αs) = 0,

由题设正交推出 (αi ,αi) = 0 ，故 αi = 0 ， i = 1, 2, ···, s ， 即 0 的分解式唯一，故 V1 + V2 + ··· + Vs 是直和 . □

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定义 11 设 V1 , V2 是 V 的子空间， V1 称为 V2的正交补，如果 V1⊥V2 且 V1 + V2 = V .

V1 , V2 互为正交补 .

如几何空间中， xoy平面与 oz轴互为正交补 .oy轴与oz轴正交，但不构成正交补 .

性质 4 ( 定理 6) V 的任一子空间 V1都有唯一的正交补 .

证明： A ） 存在性： 1) V1 = {0}, 则其正交补是 V.

2) V1 ≠ {0}, 在 V1 中取正交基 ε1 ,ε2 , ···,εm 并扩充为 V

的正交基 ε1 ,ε2 , ···,εm, εm+1 , ···,εn → 取V2 = L(εm+1 , ···,εn ), 则 V1 + V2 = V ．

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欧氏空间

1 2 1 1 1 1,m m m m n nV V x x x x ， →

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) 0m n m n

i i j j i j i ji j m i j m

x x x x

，

故 V2V1的正交补.

B） 唯一性： 设 V2 , V3 都是 V1的正交补，则

1 2 1 3V V V V V , 1 3V V V2 1 3V

1 1 3 3( V , V ) , 且 1( , ) 0 （V2是 V1的正交补） →

1 1 3 1 1 1 3 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 → 1 0 ，即

3 3V → 2 3V V . 同理可证 3 2V V ，故 V2 = V3. □

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9

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V1的正交补记为 1V（该定理的唯一性作保证）.

性质 5 1 1(V ) V .

性质 6 1 1dim V dim V n .

性质 7 1 1V { V V }

证明： 性质 5, 6显然成立. 仅证性质 7.

1 1V V1 1V V , ( , ) 0

, 即 1V →

1{ V V } . 反之， 1{ V V } → 1V ，

1( , ) 0, V V ，故 1 1V { V V } . □

由 1 1V V V 可知， V, 可唯一分解成 1 2 ,

1 1 2 1V , V ，称 1 为在 1V内的内射影.

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9

欧氏空间

9.6 实对称矩阵的标准形

高等代数

9

欧氏空间

一 实对称矩阵的性质

引理 1 实对称矩阵的特征值是实数

证明： 设λ 0是 A的特征值 → /1 2 0( , , , ) , Anx x x

→ 令 /1 2( , , , )nx x x ，其 ix 是 ix 的共轭复数（ 1,2, ,i n ）

→ 0 0A A → 考察

/ n n

/ / / / / /

A A A R ,A A

(A ) (A ) (A ) (A ) (A )

而 / / /

/ /0 00 0// /

0 0

(A ) ( )

(A ) ( )

→ 由 0 得

/ /1 2 1 2 1 1 2 2( , , , )( , , , ) 0n n n nx x x x x x x x x x x x →

0 0 ，即 0 R . □

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引理 2 A是实对称矩阵，在 Rn上定义变换 A 如下：

1 1 1nR , ( ) A

n n n

x x x

x x x

A 取 1 2 n

1 0 00 1 0

0 0 1

， ， ，

1) A 是 Rn上的线性变换；

2) A ( 1 2 n, , , ) = ( 1 2 n, , , )A；

3) n / /, R , ( , ) ( , ) ( A A ) A A .

证明： 1） A 显然是 Rn上的变换， 又 n, R , k R

( ) A( ) A A A A A ； (k ) A(k ) A

k(A ) k A → A 是 Rn上的线性变换.

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欧氏空间

2) 据 A的定义可知：

1 2 n

0 0 0

( ) A( ) ( , , , )A( ) 1, 2, , n1 1 1

0 0 0

i ii i i

A A

→

1 2 n 1 2 n

1 2 n 1 2 n

( , , , ) ( , , , )1 0 00 1 0

( , , , )(A , A , A ) ( , , , )AE

0 0 1

A A A A

→ 即 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )A A .

3） / / / /( , ) (A , ) (A ) A A A ，又

/( , ) ( ,A ) A A → ( , ) ( , ) A A . □

a) 将如上变换推广到一般欧氏空间中，即引入以下概念.

高等代数

9

欧氏空间

定义 12 A （∈ L(V) ）称为对称变换，如果对任意的Α,β V, (∈ Aα,β) = (α,Aβ) .

引理 3 A 是对称变换， V1是 A - 子空间，则 V1⊥是 A -

子空间 .

证明： V1 是 A - 子空间 → 对任意的 β V∈ 1, 有 A β V∈ 1,

故 (α,A β) = 0 ( 对任意的 α V∈ 1⊥) → 由 A 是对称变

换可知 (Aα,β) = (α,Aβ) = 0 → Aα V∈ 1⊥, 即 V1

⊥ 是A - 子空间 . □

引理 4 A 是对称矩阵，则 Rn中属于 A 的不同特征值的特征向量正交 .

证明： 如引理 2 ，在 R 中引入线性变换 A ，设 λ,μ 是 A 的

高等代数

9

欧氏空间

不同的特征值， α,β 是 A 的分属于 λ,μ 的特征向量 → Aα=λα, A β=μβ → 因 A 是对称变换， (Aα,β)

= (α,A β) → (λα,β) = (α,μβ) , 即 λ(α,β) =

μ(α,β) → 因 λ － μ≠0 ，故得 (α,β) = 0 ，即 α⊥β. Rn中对称变换 A 的所有特征子空间两两正交 .

λ1 λ2 ·········· λs

A

αVλ1

βVλ2 VλS

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9

欧氏空间

补充命题 1 dimV= n, A L(V),∈ 则以下条件等价： 1 ） 对任意的 α,β V, (∈ A α,β) = (α, A β) ； 2 ） A 在某标准正交基下的矩阵是实对称矩阵； 3 ） A 在任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵 .

证明： 1) => 2) 设 A 在标准正交基 ε1 ,ε2 ,···, εn 下的矩阵是 A = (aij) ,aij∈R. 只要证明 aij = aji 即可 .

因为 A εi = a1iε1 + a 2iε2 + a niεn (i=1,2,···,n) ，故a ji = (A εi , εj ) = (εi , A εj ) = aij . 2) => 3) 设 A 在任一标准正交基Ⅰ下的矩阵是 B ，则 n 维欧氏空间

由标准正交基 ε1 ,ε2 ,···, εn 到标准正交基Ⅰ的过渡矩阵 T 是正交矩阵，即 T/ = T － 1 ，且 B = T － 1 AT = T/AT → B/ = (T/AT)/ =

T/AT = B , 即 A 在任一标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵 .

高等代数

9

欧氏空间

3) => 1) 设在标准正交基 ε1 ,ε2 ,···, εn 下的矩阵 A 是实对称矩阵，即 A /

= A ，对任意的 αβ V∈ ， α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)X, β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)Y,

则 A α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AX , A β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AY

→ (A α, β) = (AX)/ Y = X/A/Y =X/AY ； (α, A β) = X/(AY) = X/AY, 即 (A α, β) = (α, A β) → 是对称变换 . □

补充命题 2 1) 单位变换是对称变换； 2) A ， B 是对称变换，则 kA ， AB 仍是对称变换 ( 对任意的 k R∈ ).证明： 略 .定理 7 对任意的实对称矩阵 A , 存在 n 阶正交矩阵 T, 使得 T/AT = T － 1AT 是对角矩阵 .

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9

欧氏空间

ε1, ε2, ···,εn

η1, η2 , ···,ηn

证明分析： 在 Rn 中 , 设 A 在给定的标准正交基 ε1, ε2, ···, εn

下定义的线性变换是 A , 问题即：寻找一标准正交基 η1,η2, ···,ηn ,

使在该基下的矩阵是对角矩阵 B → 如图 (η1, η2, ···,ηn ) = (ε1,ε2, ···, εn )T,

T 即为要找的正交矩阵 → 证明的关键： 有 n 个特征向量构成标准正交基即可 , T 即是这 n 个特征向量 ξ1,ξ2, ···,ξn 作列向量构成的 ,

即 T = (ξ1,ξ2, ···, ξn).

L(V)

A

Rn×n

A T

B=T/AT =T － 1AT

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9

欧氏空间

证明： 据引理 2，设 Rn上对称变换 A在给定基 1 2 n, , , 下的矩阵是 A，

即 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )A A ，且 n, R ,( , ) ( , ) A A .

现对阶数 n进行数学归纳.

n = 1时，A 已经是对角矩阵，故命题成立.

假定 n 1 时命题成立，现设 A 为 n阶实对称矩阵，相应的线性变换 A有

一特征值是 1 R ，

11

211 1 2 n

1

( , , , )

n

tt

t

是 A 的隶属于 1 的特征向量，

其中

11

21

1n

tt

t

是齐次线性方程组

1

21( E A) 0

n

xx

x

的非零解. 把其单位

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9

欧氏空间

化，仍用 1 表示 → 设 1 1V L( ) 3 引理 1V 是 A -子空间，且

1dim V n 1 ，且 1| VA 是对称变换（即 1, V ,( , ) ( , ) A A ） →

据归纳假定， 1| VA 有 n 1 个特征向量 2 n, , 做成 1V的正交基，且

12 1

22 22 1 2 n n 1 2 n

2

( , , , ) , , ( , , , )

n

n

n nn

t tt t

t t

将 2 n, , 单位化，仍用 2 n, , 表示，则 1 2 n, , , 构成 Rn的标准正

交基, 且11 12 1

21 22 21 2 n 1 2 n 1 2 n

1 2

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )T

n

n

n n nn

t t tt t t

t t t

→ A 在由特征向量组成的标准正交基 1 2 n, , , 下的矩阵 1B T AT

显然是对角矩阵，即存在正交矩阵 T，使得 1 /B T AT T AT 成立. □

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9

欧氏空间

三 实对称矩阵 A 对角化的方法

步骤：1. 求出 A 的全部互异的特征值 1 2 r, , , ( R) ；

2. 对每个 i ，解齐次线性方程组

1

2( E A) 0i

n

xx

x

，求出基础解

系

1( )1( 1)

2( )2( 1)

( 1) ( )

, , ( 1,2, , )

i

i

i

iki

iki

n i n ik

tttt

i r

t t

→ 1( 1)

2( 1)1 1 2

( 1)

( , , , ) , ,

i

ii n

n i

tt

t

1( )

2( )1 2

( )

( , , , ) ( 1,2, , )

i

i

i

i

ik

ikik n

n ik

t

ti r

t

是 A 的特征子空间 Vi的一组基

→ 用正交化方法，可求出Vi的一组标准正交基

ii1 ik, , ( 1,2, , )i r ；

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9

欧氏空间

3. 因互异的特征子空间正交，故111 1 1, , , , , ,

rk r rk 两两正交，且其

个数恰等于空间的维数 → 它们构成 Rn的一组标准正交基，且均是 A

的特征向量，而111 1 1 1 2( , , , , , , ) ( , , , )T

rk r rk n ，

1

1

1

1(1 ) 1( )1(11) 1( 1)

2(1 ) 2( )2(11) 2( 1)

(1 ) ( )(11) ( 1)

T

r

r

r

k rkr

k rkr

n k n rkn n r

t tt tt tt t

t tt t

→ T是正交矩阵，且 /T AT T AT 是对角矩阵.

例题： 已知

0 1 1 1 0 1 1

A 1 1 0 1

1 1 1 0

，求一正交矩阵 T使 /T AT是对角形.

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9

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解： 1. 先求 A的特征值 1 1 （三重）， 2 3 (见 P382);

2. 1 1 时，解相应的线性方程组得基础解系为

1 2 3

1 1 11 0 0

, ,0 1 00 0 1

，正交化、单位化得 1 2 3, , （见 P382）.

2 3 时，解相应的线性方程组得基础解系 4

111

1

，单位化得 4

3. 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1

12

1( , , , ) ( , , , )

200

,同理 2 2 3 3, ，

4 4 构成 Rn的标准正交基, 即

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4( , , , ) ( , , , )( , , , ) ( , , , )T ，

1 2 3 4

1 1 1 122 6 12

1 1 1 122 6 12T ( , , , )

2 1 1026 12

3 10 0212

， /

11

T AT=1

3

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三 实对称矩阵对角化与实二次型的联系

分析： 给定实对称矩阵 A ，可构造实二次型 /1 2( , , , ) X AXnf x x x

7 定理 存在正交矩阵 T，使 /B T AT 是对角形 → 存在可逆的线性替

换（以后称为正交的线性替换）X TY ，使得 /B T AT 是对角矩阵 → / / / / /

1 2( , , , ) X AX (TY) A(TY) Y T ATY=Y BYnf x x x 为平方和的形式

→ 以上结论即为定理 8.

定理 8 任意一个实二次型 /1 2( , , , ) X AXnf x x x 都可经过正交的线性

替换变成平方和 1 1 2 2 n ny y y 的形式，其中平方项的系数 1 2, ，

n, 就是矩阵 A的全部特征值.

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四 二次曲面方程化简及分（略）五（补充）向量到子空间的距离1. 内射影定义：称 α1为 α 在 V1的内射影（如图） V 中内射影的几何直观很明确，一般欧氏空间中就不具有这一直

观性，但其欧氏几何的特征是一致的2. 命题： 向量到子空间各个向量的距离以垂线最短 . →

设 W 是 V 的子空间 ,β V, γ W, ∈ ∈β － γ W∈ ⊥ , 则 对任意的 δ W∈ ， β β －

γ

┃β － γ┃≤┃β－ δ┃. γ β － δ 证明： β － δ=(β － γ)+(γ － δ)因 W 是子空间， γ,δ∈W →

1 1 1 2 1 1 2 1V V V , V, , V , V

δ γ － δ

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γ － δ∈W ，因为 β － γ W⊥ ，故 β － γ γ⊥ － δ ，据勾股定理┃ β － γ┃2+┃γ － δ┃2＝┃ β － δ┃2→ ┃β － γ┃2 ≤┃β － δ┃2 ，即有┃β － γ┃≤┃β － δ┃成立 . □