第 11 章 向量代数与空间解析几何 MATLAB 求解

编者

Outline 11.1 向量及其线性运算 11.2 数量积、向量积与混合积 11.3 曲面及其方程 11.4 空间曲线及其方程 11.5 平面及其方程 11.6 空间直线及其方程

11.1 向量及其线性运算1.向量的概念 客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）。 绘制向量的关键是其表示方向的箭头2.向量的模、方向角 向量的模与两点间的距离：点 A 和 B 间的距离 就是向量 的模，因此点 A 和 B 间的距离

方向角与方向余弦：非零向量 与三条坐标轴的夹角 称为向量 的方向角。

11.2 数量积、向量积与混合积

1.两向量的数量积 我们有时要对两个向量 和 作这样的运算，运算的结果是一个数，它等于 及它们的夹角的余弦的乘积。我们把该乘积叫做向量 和 的数量积，记作

2.两向量的向量积 设向量 由两个向量 和 按下列方式定出： 的模 : ，其中 为 a 和 b 的夹角； c 的方向垂直于 a 和 b 所决定的平面， c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定，那么，向量 c 叫做向量 a 和 b 的向量积，记作 。3.向量的混合积 设已知三个向量 a 、 b 和 c ，如果先作两向量 a 、 b 的向量积 ，把所得到的向量与第三个向量 c 再做数量积，这样得到的数量叫做三向量 a 、 b 和 c 的混合积，记作

11.3 曲面及其方程1.曲面方程的概念 如果曲面 S 与三元方程 有下述关系：曲面 S 上任一点的坐标都满足上述方程；不再曲面 S 上的点的坐标都不满足上述方程，那么，上述方程就叫做曲面 S 的方程，而曲面 S 就叫做方程的图形。2.旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

图 旋转曲面

在曲线 的方程 中将 改成 ，便得曲线 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程。 同理，曲线 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为

3.柱面 一般的，直线 L 沿定曲线 C 平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线。如图 1 所示。

4.二次曲面 与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程 所表示的曲面称为二次曲面，而把平面称为一次曲面。二次曲面有九种。如图 2 所示。

图 1 MATLAB 绘制抛物柱面 图 2 二次曲面

11.4 空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程 空间曲线可以看做两个曲面的交线，设和 ，是两个曲面的方程，它们的交线为 C 。因为曲线 C 上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组

反过来，如果点 M 不在曲线 C 上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足上述方程组。因此，曲线 C 可以用上述方程组来表示，而该方程组即成为空间曲线 C的一般方程。2.空间曲线的参数方程 空间曲线 C 的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将 C 上动点的坐标 x 、 y 、 z 表示为参数 t 的函数：当给定 时，就得到曲线 C 上的一个点 随着 t 的变动便可得曲线 C 上的全部点上述方程组叫做空间曲线的参数方程。

3.空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为

上述方程组消去 后所得的方程为 该方程表示一个母线平行于 z 轴的柱面。显然，该柱面必定包含曲线 C 。以曲线 C 为准线、母线平行于 z 轴的柱面叫做曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面，投影柱面与 xOy 面的交线叫做空间曲线 C 在 xOy 面的投影曲线，或简称投影。如图所示。

图 空间曲线在坐标面上的投影

11.5 平面及其方程1.平面的点法式方程 由平面上一点与及它的一个法线向量确定的该平面的方程就是平面的点法式方程。已知平面上一点 和它的一个法向量设 是平面上的任一点，则有

2.平面的一般方程 由于平面的点法式方程是 的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示。任一平面都可以用一个三元一次方程表示，而该方程则称为平面的一般式方程。3.平面的夹角 两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。

两平面的夹角可由下面的公式来确定

θ

θ

1

2

1n

2n

11.6 空间直线及其方程1.空间直线的一般方程 空间直线 L 可以看做是两个平面 和 的交线。两个平面的方程如果为 和 那么表示该直线的方程组为：

该方程组叫做空间直线的一般方程。2.空间直线的对称式方程和参数方程 直线 L 上一点 和它的方向向量 已知，设点 是直线 上的任一点，则

该方程组叫做直线的对称式方程或点向式方程。 设 那么

上述方程组叫做直线的参数方程。

3.直线的夹角 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。两直线 的夹角可由以下公式来确定， 为两直线夹角，两直线方向向量分别为 和

4.直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为 。 设直线的方向向量为 ，平面的法线向量为 ，则有

谢谢大家！