空间向量应用 4在立体几何证明中的应用

前段时间我们研究了用空间向量求角 ( 包括线线角、线面角和面面角 ) 、求距离 ( 包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离 )

今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。

立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：

平行：线面平行、面面平行垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直

平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。1 、已知 b α⊥ ， a 不在 α 内，如果 a b⊥ ，则 a α∥ 。2 、如果 a α⊥ ， a β⊥ ，则 α β∥ 。3 、如果 a b∥ ， a α⊥ ，则 b α⊥ 。（课本 P22.6 ）4 、如果 a α⊥ ， b β⊥ ， a b⊥ ，则 α β⊥ 。

设直线 ,l m的方向向量分别为 ,a b ，平面 ,

的法向量分别为 ,u v ，则

l ∥ m a

∥ b

a kb

；

线面平行

∥ u

∥ v

.u kv

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.

线线平行

l ∥ a

u

0a u

；

面面平行

一、 用空间向量处理“平行”问题

一、 用空间向量处理“平行”问题

↑n

→m

0mn

↑m

n m

↑n

G

A

E

DC

B

F

HM

N

例 1. 如图： ABCD与 ABEF 是正方形，CB⊥平面 ABEF ，H 、 G 分别是 AC 、BF 上的点，且 AH=GF. 求证： HG∥平面 CBE.MH AB,NG AB MH NG∥ ∥ ∥AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG

G

A

E

DC

B

F

H

P

PH CB,PG BE ∥ ∥平面 HPG∥平面 CBE

HG∥平面 CBE

G

A

E

DC

B

F

H

o

z

y

证明：由已知得： AB 、BC 、 BE 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz.

x

设正方形边长为 1, AH=FG=a, 则 H(0,1- a , a) 、 G(1- a , 1- a,0),

22

22

22

22

故 , 而平面 CBE 的法向量为 (0,1,0), 故 , 而 平面 CBE 故 HG∥平面 CBE

)22,0,

221( aaHG

nHG n H

R

D

B

C

A

A1

Q

P

NM

D1C1

B1

例 2. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， P 、Q 分别是 A1B1 和 BC 上的动点，且 A1P=BQ ， M 是 AB1 的中点， N 是 PQ 的中点 . 求证： MN∥平面 AC.

M 是中点， N 是中点 MN R∥Q

MN∥平面 AC

D

B

C

A

A1

Q

P

NM

D1C1

B1

作 PP1 AB⊥ 于 P1 ，作 MM1 AB⊥ 于M1 ，连结 QP1 ， 作 NN1 QP⊥ 1 于N1 ，连结 M1N1

N1

M1P1

NN1 PP∥ 1

MM1 AA∥ 1又 NN1 、 MM1 均等于边长的一半故 MM1N1N 是平行四边形，故 MN M∥ 1N1

MN∥平面 AC

D

B

C

A

A1

Q

P

NM

D1C1

B1

z

y

x

o

证明：建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz设正方形边长为 2 ，又 A1P=BQ=2x则 P(2 ， 2x ， 2) 、Q(2-2x ， 2 ， 0) 故 N(2-x, 1+x, 1), 而M(2, 1, 1)

MN所以向量 (-x, x, 0) ，又平面 AC 的法向量为 (0, 0, 1) ，∴ ∴ n 0 nMN

又 M 不在平面 AC 内，所以 MN∥平面AC

nMN

D C

BA

D1 C1

B1A1

例 3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证： 平面 A1BD∥平面 CB1D1

平行四边形 A1BCD1 A1B D∥ 1C

平行四边形 DBB1D1

B1D1 BD∥于是平面 A1BD∥平面 CB1

D1

D C

BA

D1 C1

B1A1

o

z

y

x

证明：建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz设正方形边长为 1 ，则向量 )1,0,1(1 DA)0,1,1(DB设平面 BDA1 的法向量为 ),,( zyxn

则有x+z=0

x+y=0令 x=1, 则得方程组的解为

x=1 y=-1 z=-1故平面 BDA1 的法向量为)1,1,1( n

同理可得平面 CB1D1 的法向量为 )1,1,1(m

则显然有 mn 即得两平面 BDA1 和 CB1D1 的法向量平行所以 平面 BDA1 CB∥ 1D1

通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于 0 ，利用解方程组的方法求出平面法向量 ( 在解的过程中可令其中一个未知数为某个数 ) 。

※ 例 1 、 2 与例 3 在利用法向量时有何不同？

D C

BA

D1 C1

B1A1

FG

H

E

例 4. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 、 F 、G 、 H 分别是 A1B1 、B1C1 、 C1D1 、 D1A1的中点 . 求证： 平面 AEH∥平面 BDGFAD GF∥ ， AD=GF

又 EH B∥ 1D1 ， GF B∥ 1D1 EH GF∥平行四边形 ADGE AE D∥G

故得平面 AEH∥平面 BDGF

D C

BA

D1 C1

B1A1

HG

F

E

o

z

y

x

略证：建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz则求得平面 AEF 的法向量为 )1,2,2(n

求得平面 BDGH 的法向量为 )1,2,2(m

显然有 nm

故 平面 AEH∥平面 BDGF

设直线 ,l m的方向向量分别为 ,a b ，平面 ,

的法向量分别为 ,u v ，则

线线垂直

线面垂直

⊥ u⊥ v .0 vu

l⊥ m a

⊥ b

0a b

；

l⊥ a

∥ u

a ku

；

面面垂直

画出图形意会

二、 用空间向量处理“垂直”问题

二、 用空间向量处理“垂直”问题

0mn n m

↑nm

n

m

: ' ' ' ' ',' .

ABCD A B C D CC BDA F BDE

例5 在正方体 中. E, F分别是 的中点.求证： 平面

F

E

X

Y

Z, , '

'

DA DC DD x y z

A

证明:如图取 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), (2, 0, 2)E(0, 2, 1), F(1, 1, 0)

' ( 1,1, 2), (2,2,0), (0,2,1)

' ( 1,1, 2) (2,2,0) 0

' ( 1,1, 2) (0,2,1) 0

' , ' , . '

A F DB DE

A F DB

A F DE

A F DB A F DE DB DE D A F BDE

又 平面

已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平面 , 、M N 分别是 、AB PC 的中点 , 并且PA AD ,求证: MN 平面 PDC

A

D

B

P

C

M

N分析:坐标系容易建立, 应考虑用坐标法,解题思路水到渠成.

. 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面 , 、M N 分别是 、AB PC 的中点 , 并且PA AD ,求证: MN 平面 PDC

A

D

B

P

C

M

N证明 :

分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 , ,i j k

A xyz

x

y

z, ,

, , , 1

PA AD AB PA AC AD AB

DA i AB j AP k PA

且 平面

可设

(0,0,0), (0,1,0), ( 1,1,0), ( 1,0,0),A B C D (0,0,1)P 1 1 1 1(0, ,0), ( , , )

2 2 2 2M N

1 1( ,0, )2 2

MN

( 1,0, 1)PD

(0,1,0)DC

1 1( ,0, ) ( 1,0, 1) 02 2

MN PD MN PD

1 1( ,0, ) (0,1,0) 02 2

MN DC MN DC

PD DC D MN PDC 又 平面

A

D C

B

⑴ 求证：平面 MNC⊥平面 PBC ；⑵ 求点 A 到平面 MNC 的距离。

已知 ABCD 是矩形， PD⊥平面 ABCD ，PD ＝ DC ＝ a， AD ＝ ， M 、 N 分别是 AD 、 PB 的中点。a2 P

M

N

练习 1

小结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题 ( 如：求角、求距离等 ) ，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。