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第 5 章 空间解析几何
解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究空间中的几何问题．这一章里我们首先介
绍空间解析几何部分，在此基础上，研究多元函数的微积分有关内容．
本章学习目标
l 理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦．
l 熟练掌握空间向量的线性运算、数量积、向量积的坐标运算法．
l 熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及进行判定．
l 掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程．
l 知道空间一点到平面的距离公式．
l 掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及求方程的方法．
l 会判定直线和平面的位置关系（垂直、平行、直线在平面上） ．
l 了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形．
§5.1 空间直角坐标系
一、向量的概念
在客观世界里有一些量，如时间、重量、温度、面积等在给定单位后，可以用一个实数
来表示， 这种只有大小的量称为数量或标量． 但有些量除了大小， 还有方向． 如物体的位移 （沿
某方向移动一段距离） 、 质点运动的速度、 作用在物体上的力等， 它们除了大小以外还有方向． 这
种既有大小，又有方向的量称为向量或矢量．
在数学上，常用有向线段 AB uuur
表示向量，如图 5.1.1 所示，有向线段的长度 AB uuur
表示向量
的大小，有向线段的方向表示向量的方向． A B 、 分别叫做向量 AB uuur
的起点和终点，向量也常
用粗体字或上面加一箭头的字母表示，如 、 、 a b c或 a r 、b
r 、 c
r 等．
向量的大小称为向量的模（或长度） ，记做 AB uuur
、 a r 或 b
r ，模为零的向量称为零向量，
记做 0 或0 r ，规定零向量的方向是任意的．模为 1 的向量称为单位向量，与非零向量a同方向
的单位向量记为a o ， 即 = o a a a ； 与向量 a的模相等， 方向相反的向量称为a的负向量， 记为-a．
数学上常讨论与起点无关的向量， 这种向量称为自由向量． 只要两个向量a和b的模相等，
且方向相同，就认为它们是同一向量，或称这两个向量相等，记做 = a b ．如图 5.1.2 所示， AB DC = uuur uuur
．
高等应用数学（上册）
142
图 5.1.1 图 5.1.2
以坐标原点 O 为起点，向一个点M 引向量OM uuuur
，这个向量称为点M 对于原点的向径，用
粗体字母 r 表示．
设有两个非零向量 、 a b ，在空间中任取一点 O，作 OA = uuur
a , OB = uuur
b ，规定角 AOB θ ∠ = 0 π θ （ ≤ ≤ ） 为两个向量a和b的夹角，记为 ¶ ( , ) a b ，即 ¶ ( , ) a b θ = ．
若两个向量a和b的夹角为 0 θ = 或 π θ = ，则称两向量a和b平行，记为 // a b，若 π 2
θ = ，
则称两向量a和b垂直（或正交） ，记为 ⊥ a b．
二、向量的线性运算
1．向量的加法
定义 5.1.1 设 、 a b是两个向量，任取一点 A 作为a的起点，使得 AB = uuur
a ，再以 B 作为b 的起点使得 BC =
uuur b，记向量 AC =
uuur c，则称向量 c 为向量 a与b的和向量，记做 = + c a b．
由于向量 、 a b与 + a b构成一个三角形（如图 5.1.3 所示），因此，上述作两向量之和的方
法叫做向量加法的三角形法则．
如果向量a与 b不平行，对于取定的一点 A，以 A作为a与 b的公共起点，使得 AB = uuur
a ， AD = uuur
b ， 以 AB AD 、 为邻边的平行四边形 ABC D的对角线向量 AC = uuur
+ a b（如图 5.1.4 所示），
这种求两向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
向量的加法满足以下运算律：
（1）交换律： + = + a b b a．
（2）结合律： ( ) ( ) + + = + + a b c a b c ．
另外，我们规定向量a和 −b 的和向量叫做a与 b的差向量，记为 − a b．
图 5.1.3 图 5.1.4
2．数与向量的乘法
定义 5.1.2 设λ 是一个实数，a是一个向量，定义λ 与a的乘积为一向量，记为λ a ，其
模 λ λ = ⋅ a a ，其方向当 0 λ > 时，与a同向；当 0 λ < 时，与a反向．
a
b
c=a+b
c=a+b
b
a
第 5章 空间解析几何
143
当 0 λ = 时，显然λ = 0 a ，数与向量的乘法又称为向量的数乘运算，向量的加法运算和数
乘运算叫做向量的线性运算．
向量的线性运算满足如下运算律（其中 、、 a b c为向量，λ µ 、 为实数）：
（3）数乘的结合律： ( ) ( ) λ µ λ µ = a a．
（4）数乘对加法的分配律： ( ) λ λ λ + = + a b a b．
（5）数的加法对数乘的分配律： ( ) λ µ λ µ + = + a a a ．
例 5.1.1 设 a为任意非零向量，验证 = o a a | a |
，即 o a a a =| | ．
证明 由于 o a 与a平行， 故存在 ( 0) k k > ， 使得 k o ＝ a a， 所以有1 | | | | k = = o a a ， 即 1 k = | a |
，
从而 | |
= o a a a
，即 o a | a | a = ．
例 5.1.2 证明三角形两边的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半．
证明 如图 5.1.5 所示，在三角形 ABC 中，D 与 E 分
别为 AB与 BC 的中点，即 1 2
DB AB = uuur uuur
， 1 2
BE BC = uuur uuur
所以 1 1 ( )
2 2 DE DB BE AB BC AC = + = + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur
．
三、空间直角坐标系
过空间一个定点 O，作 3条相互垂直的数轴ox、oy 、oz，它们都以 O为原点，且有相同
的单位长度，这 3条数轴分别叫做 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它
们的正向通常符合右手法则，即右手的食指指向ox轴的正向，中指指向oy 轴的正向，大拇指
指向oz轴的正向（如图 5.1.6 所示），这样的 3 条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系oxyz ，
点 O叫做坐标原点．
在坐标系oxyz 中，由任意两个坐标轴可以确定一个平面，这样确定的 3 个平面统称为坐
标面，分别记为 xoy 面、 yoz 面、 zox面．3 个坐标面将空间分为 8 个部分，每个部分叫做一
个卦限. 含有 x 轴、y轴、z 轴正半轴的卦限称为第 Ι 卦限，在 xoy 面的上方，按逆时针方向，
依次是第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，在 xoy 面的下方，第 Ι 卦限的下方称为第Ⅴ卦限，按逆时针方向，
依次为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限，如图 5.1.7 所示．
图 5.1.6 图 5.1.7
图 5.1.5
高等应用数学（上册）
144
四、点的坐标和空间中两点间的距离公式
设M 是空间中任意一点，过点M 分别作垂直于 x轴、 y 轴、 z 轴的 3 个平面，它们与 3 个坐标轴的交点依次为 P Q 、 和 R （如图 5.1.8 所示），这 3 个点在 x轴、 y 轴、 z 轴上的坐标
依次为 x y z 、 、 ， 则点M 就唯一确定了一个有序数组 ( , , ) x y z ， 反之， 将以上过程倒过来可知，
任何有序数组 ( , , ) x y z 一定对应空间中唯一的一点， 这样， 空间的点就与有序数组 ( , , ) x y z 之
间建立起一一对应关系，称有序数组 ( , , ) x y z 为点M 的坐标，并依次称 x y z 、 、 为点M 的横坐
标、纵坐标和竖坐标，记为 ( , , ) M x y z ．
显然，原点的坐标为 ( 0, 0, 0 )，横轴上坐标为 x的点的坐标为 ( , 0, 0 ) x . xoy 面上的点的坐
标为 ( , , 0 ) x y ．第一卦限的点的坐标为 ( , , ) x y z ，其中 0 x > , 0 y > , 0 z > ．
在空间直角坐标系下，设 P 点的坐标为 ( , , ) a b c ，那么点 P 关于原点 O 的对称点 P′的坐
标为 ( , , ) a b c − − − ．点 P 关于 xoy 面的对称点的坐标为 ( , , ) a b c − ．点 P 关于ox轴的对称点的
坐标为 ( , , ) a b c − − ．
图 5.1.8
设 1 1 1 1 ( , , ) M x y z 和 2 2 2 2 ( , , ) M x y z 为空间中两点，过点 1 M 和 2 M 分别作垂直于 3 个坐标
轴的平面，这 6 个平面围成一个长方体（如图 5.1.9），其棱长分别为 2 1 x x − 、 2 1 y y − 和
2 1 z z − ， 1 2 M M 是它的一条对角线，由勾股定理知 2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) d M M x x y y z z = = − + − + − （5.1.1）
特别地，点 ( , , ) M x y z 到原点的距离为 2 2 2 d OM x y z = = + + （5.1.2）
例 5.1.3 直角坐标系中，已知一点 ( 6, 5, 4 ) P ，求：
（1） P 点到三坐标面的距离；
（2） P 点到三坐标轴的距离．
解 （1）自 P点向 xoy 面引垂线，垂足P′的坐标为 ( 6, 5, 0 )，于是P 点到 xoy 面的距离为 2 2 2 ( 6 6 ) ( 5 5 ) ( 4 0 ) 4 PP′ = − + − + − =
同理，可求得 P 点到其他坐标面的距离分别是 5、6．
第 5章 空间解析几何
145
图 5.1.9
（2） P 到 x轴的距离为 2 2 2
1 ( 6 6 ) ( 5 0 ) ( 4 0 ) 41 d = − + − + − =
同理，可求出点 P 到 y 轴的距离 2 52 d = ，到 z 轴的距离 3 61 d = ．
习题 5.1
1．在空间直角坐标系中，位于第七卦限的点是（ ）． A． ( 1,3,2) − B． (3,3,1) C． ( 5, 2, 2) − − − D． ( 5,1, 1) − −
2．下列各向量表示单位向量的是（ ）． A．{1,1,1} B．{1,1,0} C．{0,1,1} D．{0,1,0}
3． AB BC CD DA + + + = uuur uuur uuur uuur
________． 4．已知空间两点 (0,1, 2) A 和 (1, 1,0) B − ，则
AB = uuur
________， AB = uuur
________， 2BA − = uuur
________．
5．求点 (2, 3, 1) − − 关于（1） xoy 平面；（2） y 轴；（3）原点对称的点的坐标
6．求两点 A、B 间的距离：
（1） ( 2,1,3) A − ， (0, 1, 2) B − （2） ( 1, 2, 1) A − − ， ( 3, 5,1) B − − 7．证明： (1, 2,3) A 、 (3,1,5) B 、 (2, 4,3) C 是一个直角三角形的 3 个顶点．
§5.2 向量的坐标
空间中的向量a可以经过平移，把起点移到坐标原点O，设其终点为 P ，则向量OP uuur
决定
终点 P ，反之，空间中任一点 P 也确定了一个向量OP uuur
，这样空间的点与向量之间建立了一一
高等应用数学（上册）
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对应关系，点 P 的坐标 1 2 3 ( , , ) a a a 也叫做向量OP uuur
的坐标或分量，为了区别点的坐标与向量的
坐标，向量的坐标记为
1 2 3 { , , } OP a a a = = uuur
a
如图 5.2.1 所示，零向量可用记号 { 0, 0, 0 } = 0 表示，两个向量相等当且仅当它们的分量相
等，即 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 { , , } { , , } , , a a a b b b a b a b a b = ⇔ = = =
图 5.2.1
一、向量的模与方向余弦的坐标表示式
向量的主要特征是长度和方向，任给一向量 1 2 3 { , , } OM a a a = = uuuur
a ，由图 5.2.2，可以看出
它的模是线段OM 的长，于是有 2 2 2 1 2 3 a a a = + + a （5.2.1）
以下讨论如何确定向量的方向．
图 5.2.2
设向量 OM = uuuur
a 与 x轴、y 轴、z 轴的夹角分别为α β γ 、 、 ，则称α β γ 、、 为向量 OM = uuuur
a 的
方向角，由图 5.2.2 知 1 cos a α = ⋅ a ， 2 cos a β = ⋅ a ， 3 cos a γ = ⋅ a
即 1 cos a
α = a
， 2 cos a
β = a
， 3 cos a
γ = a
．
将 2 2 2 1 2 3 a a a = + + a 代入以上各式，得
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1
2 2 2 1 2 3
cos a
a a a α =
+ + , 2
2 2 2 1 2 3
cos a
a a a β =
+ + , 3
2 2 2 1 2 3
cos a
a a a γ =
+ + （5.2.2）
cosα 、 cos β 、 cosγ 称为向量a的方向余弦．
将式（5.2.2）的 3 个等式两边平方后相加可得 2 2 2 cos cos cos 1 α β γ + + ＝
这就是说，任一非零向量的方向余弦所组成的向量{ cos cos cos } α β γ ， ， 为单位向量．
两个非零向量 a 与 b ，如果它们的方向相同或相反，则称 a 与 b 平行 .两非零向量 1 2 3 { , , } a a a = a 与向量 1 2 3 { , , } b b b = b 平行的充要条件是存在唯一的实数 0 λ ≠ ，使得 λ = a b，
其坐标表示为 1 2 3 1 2 3 { , , } { , , } a a a b b b λ = ，即两向量a与 b对应的坐标成比例
1 2 3
1 2 3
a a a b b b
λ = = =
例 5.2.1 已知两点 1 ( 4, 2 , 1 ) M 和 2 ( 3, 0 , 2 ) M ， 求向量 1 2 M M uuuuuuuur
的模、 方向余弦和方向角．
解 1 2 { 3 4, 0 2 , 2 1} { 1, 2 , 1} M M = − − − = − − uuuuuuuur
向量的模为 2 2 2
1 2 ( 1) ( 2 ) 1 2 M M = − + − + = uuuuuuuur
方向余弦为 1
cos 2
α = − ， 2 cos 2
β = − ， 1 cos
2 γ =
方向角为 2π 3
α = ， 3π 4
β = ， π 3
γ = ．
例 5.2.2 设空间中点 A的坐标为 ( , , ) A a b c ，其中 15 a = , 8 b = , 0 c < ，OA uuur
与 ox轴的夹角
为30 o ，求OA uuur
的模、方向余弦及点 A的坐标．
解 设OA uuur
的方向角为α 、 β 、γ ，已知 30 α = o ，故 3 cos 2
α = ，于是
10 3 cos a OA
α = =
uuur
8 4 3 cos 15 10 3
bOA
β = = = uuur
又 0 c < ，且 2 2 2 cos cos cos 1 α β γ + + = ，从而 2 2
33 4 3 3 cos 1 30 15 2
γ
= − − − = −
因此 33 cos 10 3 11 30
c OA γ
= ⋅ = × = − −
uuur
于是点 A 的坐标为 ( 15, 8, 11 ) − ．
例 5.2.3 已知两点 ( 4, 0, 5 ) A 和 ( 7, 1, 3 ) B ， 求方向与 AB uuur
一致的单位向量及与 AB uuur
平行的
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单位向量．
解 {7 4, 1 0, 3 5} {3, 1, 2} AB = − − − = − uuur
2 2 2 3 1 ( 2 ) 14 AB = + + − = uuur
设 o a 是与 AB uuur
方向一致的单位向量，则
{ } 1 3 1 2 3, 1, 2 , , 14 14 14 14
AB AB
− = = − =
o
uuur uuur a
与 AB uuur
平行方向的单位向量为 ± o a ，即 3 1 2
, , 14 14 14
−
和 3 1 2 , ,
14 14 14
− −
．
二、向量的加法、减法和数乘
前面我们介绍了向量的加法、减法和数乘运算，引入了向量的坐标表示，向量间的运算
可以转化为它们的坐标之间的运算．
定义 5.2.1 设向量 1 2 3 { , , } a a a = a 与向量 1 2 3 { , , } b b b = b ， 则向量a与向量 b的加减法规
定为 1 1 2 2 3 3 { , , } a b a b a b ± = ± ± ± a b
向量 1 2 3 { , , } a a a = a 与数 λ 的乘法（即数乘）规定为
1 2 3 { , , } a a a λ λ λ λ = a
显然，向量a的负向量 ( 1 ) − = − a a，零向量 0 = ⋅ 0 a ．
以 、、 i j k 分别表示在 x y z 、 、 轴正向的单位向量，称它们为这一坐标系中的基向量，即 {1, 0, 0} = i ， {0, 1, 0} = j ， {0, 0, 1} = k
则向量a可表示为 1 2 3 1 2 3 { , , } { , 0 , 0 } { 0, , 0 } { 0 , 0 , } a a a a a a = = + + a
1 2 3 {1,0, 0 } { 0, 1, 0 } { 0, 0 , 1} a a a = + +
1 2 3 a a a = + + i j k （5.2.3）
上式称为向量a按基向量的分解式．
由图 5.2.3 可以看出，向量加法的坐标也满足平行四边形法则．
图 5.2.3
第 5章 空间解析几何
149
三、两向量的数量积
定义 5.2.2 两个向量 a和 b 的模与它们之间夹角的余弦的乘积称为向量 a和 b 的数量积
（或点乘），记做 ⋅ a b，即 ¶ cos( , ) ⋅ = ⋅ ⋅ a b a b a b
在力学中，某物体在常力F 的作用下，沿直线 A点移到 B 点，力 F 所作的功W 就是F 与
位移 AB uuur
的数量积，即 cos W AB AB ϕ = ⋅ = ⋅ ⋅
uuur uuur F F
其中ϕ 是F 与 AB uuur
的夹角．
由数量积的定义，可以推得向量的数量积有以下性质：
（1） 2 | | ⋅ = a a a ．
（2）两个非零向量 、 a b垂直的充要条件是 0 ⋅ = a b ．
向量的数量积满足以下运算律：
设 、 、 a b c是向量，λ 是实数，则有
（1）交换律： ⋅ = ⋅ a b b a （2）分配律： ( ) + ⋅ = ⋅ + ⋅ a b c a c b c （3）结合律： ( ) ( ) ( ) λ λ λ ⋅ ⋅ a b a b a b = ⋅ =
根据向量的数量积的运算律和性质，可知
若 1 2 3 { , , } a a a = a ， 1 2 3 { , , } b b b = b
则 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) a a a b b b + + + + a b i j k i j k ⋅ = ⋅
1 1 2 3 2 1 2 3 ( ) ( ) a b b b a b b b = + + + + + i i j k j i j k
3 1 2 3 ( ) a b b b + + + k i j k
1 1 1 2 1 3 a b a b a b = + + i i i j i k ⋅ ⋅ ⋅
2 1 2 2 2 3 a b a b a b + + + j i j j j k ⋅ ⋅ ⋅
3 1 3 2 3 3 a b a b a b + + + k i k j k k ⋅ ⋅ ⋅
由于 、、 i j k 为相互垂直的单位向量，所以 0 ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = i j j k k i j i k j i k
1 ⋅ = ⋅ = ⋅ = i i j j k k
于是有 1 1 2 2 3 3 a b a b a b = + + a b ⋅ （5.2.4）
上式叫向量数量积的坐标表达式，由上式知两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之
和，由此可知，当 0 0 ≠ ≠ ， a b 时，
¶ 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3
cos ( , ) a b a b a b
a a a b b b
+ + =
+ + ⋅ + + a b （5.2.5）
这是两向量夹角余弦的坐标表达式．
向量 ⊥ a b的充要条件是 1 1 2 2 3 3 0 a b a b a b + + = ．
例 5.2.4 设向量 { 2, 1, 2 } = − a ， { 0, 1, 1} = − b ，求：
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150
（1） ⋅ a b； （2） | | a 、 | b |和 ¶ ( , ) a b ．
解 （1） 2 0 1 1 ( 2 ) ( 1 ) 3 = × + × + − × − = a b ⋅
（2） 2 2 2 2 1 ( 2 ) 3 = + + − = a 2 2 2 0 1 ( 1 ) 2 = + + − = b
所以 ¶ 3 2 cos ( , ) 2 3 2
⋅ = = =
⋅ a b a b a b
于是 ¶ ( , ) a b π 4
＝ ．
四、两向量的向量积
定义 5.2.3 两个向量a和 b的向量积（或叉积）为向量 c ，记作 × a b，如图 5.2.4 所示，
其模和方向分别为
（1） sinθ = ⋅ c a b ，其中θ 是a和 b的夹角．
（2） c 的方向垂直于 a 和 b所决定的平面，且指向使 、 、 a b c 符合右手法则，如图 5.2.5 所示．
图 5.2.4 图 5.2.5
在力学中，设 O为一杠杆的支点，力F 作用在杠杆上的点 P 处，如图 5.2.6所示，力F 对
支点 O 的力矩M 是一个向量，可表示为 OP = × uuur
M F 当 0, 0 ≠ ≠ a b ，且 · ( , ) a b 不等于 0 或 π时，a和 b向量积的模 × a b ¶ sin ( , ) = ⋅ a b a b ，
等于以a和 b为邻边的平行四边形的面积（如图 5.2.7 所示）．
向量积有如下性质：
（1） × = 0 a a ．
（2）若 、 a b为非零向量，则 // a b的充要条件是 × = 0 a b ．
图 5.2.6 图 5.2.7
b
a
c=a×b
c=a×b
b a
b
a
¶ ( ) | | sin , a a b
第 5章 空间解析几何
151
向量积满足以下运算律：
设 、 、 a b c是向量，λ 是实数，则有
（1）反交换律： × = − × b a a b （2）分配律： ( ) + × = × + × a b c a c b c， ( ) × + = × + × c a b c a c b （3）结合律： ( ) ( ) ( ) λ λ λ × = × = × a b a b a b 由向量积的定义，可以得到基向量 、 、 i j k 的向量积有如下结果：
0 × = × = × = i i j j k k
× = i j k， × = j k i， × = k i j × = − j i k ， × = − k j i ， × = − i k j
设 1 2 3 { , , } a a a = a ， 1 2 3 { , , } b b b = b ，利用向量积运算律及基向量 、 、 i j k 的向量积结果可
以得到两个向量的向量积的坐标表示形式． 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) a a a b b b × = + + × + + a b i j k i j k
1 1 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) a b a b a b = × + × + × i i i j i k
2 1 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) a b a b a b + × + × + × j i j j j k
3 1 3 2 3 3 ( ) ( ) ( ) a b a b a b + × + × + × k i k j k k
即 2 3 3 2 3 1 1 3 ( ) ( ) a b a b a b a b × = − + − a b i j 1 2 2 1 ( ) a b a b + − k （5.2.6）
为了便于记忆，可将上式写成三阶行列式
1 2 3
1 2 3
a a a b b b
× = i j
a b k
（5.2.7）
例 5.2.5 已知 { } 2 , 5, 7 = a ， { } 1, 2 , 4 = b ，求同时垂直于a和 b的单位向量．
解 向量 ( ) ± × a b 与向量 、 a b都垂直， ×
± ×
a b a b
即为所求单位向量．
2 5 7 6 1 2 4
× = = − − i j k
a b i j k
由于 2 2 2 6 ( 1) ( 1) 38 = + − + − = a b × ，因此所求的单位向量为
× ±
× a b a b
1 (6 )
38 = ± − − i j k ．
习题 5.2
1．如果向量a = 3 2 + − i j k 与 b = 2 6 z + + i j k 垂直，则 z = ________． 2．设 、 a b和 c 是三个任意向量，则 ( )× = a + b c ________．
3．设向量 = + = − ， a i j b j k ，则 ¶ ( , ) = a b ________． 4．设 (1,3, 2) (2, 1, 2) A B − 、 ，则向量 AB
uuur 在坐标轴上的投影分别是________．
5．设向量 {2, 2,1} {1,1, 4} = − = ， a b ，则 × = a b ________．
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152
6．设向量a = 3 2 + − i j k 与b = 2 − + i j k ，求：
（1） ⋅ a b ；（2）5 3 ⋅ a b ；（3） ⋅ ⋅ ⋅ 、 、 a i a j a k ． 7．设向量 {3,2, 1} {1, 1,2} = − = − ， a b ，求：
（1） × a b；（2） 2 7 × a b；（3） × a i 、 × i a ． 8．设 、 、 a b c为单位向量，且满足 0 + + = a b c ，求： ⋅ + ⋅ + ⋅ a b b c c a ． 9．已知向量 {2, 3,1} {1, 1,3} {1, 2,0} = − = − = − ， ， a b c ，求：
（1） ( ) ⋅ ⋅ a b c ；（2） ( ) × ⋅ a b c ；（3） ( ) × × a b c ．
§5.3 平面方程与空间直线方程
本节将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立平面方程和空间直线方程，研究它们之
间的关系．
一、平面方程
1．平面的点法式方程
平面的方向可以由与它垂直的一个向量来确定，和平面垂直的非零向量称为该平面的法
向量．
设平面 π过点 0 0 0 0 ( , , ) M x y z ，其法向量为 { , , } A B C = n （其中 A B C 、 、 不全为零）．设
( , , ) M x y z 是平面 π上的任意一点（如图 5.3.1 所示），则向量 0 M M uuuuuuur
与 n 垂直，故
0 0 M M ⋅ = uuuuuuur
n
而
0 0 0 0 { , , } M M x x y y z z = − − − uuuuuuur
所以 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = （5.3.1）
这个方程叫做平面的点法式方程．
图 5.3.1
例 5.3.1 求过三点 1 ( 2 , 1, 4 ) M − 、 2 ( 1, 3, 2 ) M − − 和 3 ( 0 , 2 , 3 ) M 的平面方程．
解 由于过三个已知点的平面的法向量 n 与向量 1 2 M M uuuuuuuur
和 1 3 M M uuuuuuuur
都垂直，而
{ } 1 2 3, 4 , 6 M M = − − uuuuuuuur
， { } 1 3 2, 3, 1 M M = − − uuuuuuuur
，故可取
第 5章 空间解析几何
153
1 2 1 3 3 4 6 2 3 1
14 9
M M M M = × = − −
− −
= + −
uuuuuuuur uuuuuuuur i j k n
i j k
由平面的点法式方程（5.3.1），得所求平面方程为 14 9 15 0 x y z + − − = ．
2．平面的一般方程
平面的点法式方程是 x y z 、 、 的三元一次方程，它可以化为 0 Ax By Cz D + + + = （5.3.2）
其中 0 0 0 D Ax By Cz = − − −
这个方程叫做平面的一般式方程，其中 x y z 、 、 的系数构成的向量{ , , } A B C ，就是该平面
的一个法向量．
当 A、B、C、D 中有一些为零时，（5.3.2）式表示的平面具有特殊的位置．
若 D = 0时，方程 0 Ax By Cz + + = 表示一个过原点的平面．
若 A、B、C 中有一个为零，例如 0 C = 时，在方程 0 Ax By D + + = 中，法向量{ , , 0 } A B 垂
直于 z 轴，方程表示一平行于 z 轴的平面．
若 A、B、C 中有两个为零，例如 0 A B = = 时， 0 Cz D + = 或 D z C
− = ，法向量{ 0, 0, } C 同
时垂直于 x轴和 y 轴，方程表示一个平行于 xoy 面的平面．
例 5.3.2 画出平面 1 x = ， 1 x y + = 的图形．
解 平面 1 x = 平行于 yoz 面，交 x轴于点 ( 1, 0, 0 )，如图 5.3.2（a）所示．
平面 1 x y + = 平行于 z 轴（垂直于 xoy 面），过 xoy 面上连接两点 (1,0,0)和 ( 0, 1, 0 )的直线，
如图 5.3.2（b）所示．
（a） （b）
图 5.3.2
3．平面的截距式方程
设平面的一般方程为 0 Ax By Cz D + + + = 且 0 ABCD ≠ ，若平面通过坐标轴上的三点
1 ( ,0,0) P a 、 2 (0, ,0) P b 、 3 (0,0, ) P c ，则有
高等应用数学（上册）
154
0 0 0
A a D B b D C c D
+ = + = + =
得 D A a
= − ， D B b
= − ， D C c
= −
将解出的 A B C 、、 代入所设方程并化简得
1 x y z a b c
+ + = （5.3.3）
这个方程叫做平面的截距式方程，a b c 、 、 分别叫做这个平面在 x轴、y 轴、z 轴上的截距．
例 5.3.3 作平面 6 2 3 6 x y z + + = 的图形．
解 将方程化为平面的截距式方程
1 1 3 2 x y z
+ + =
即平面过 ( 1, 0, 0 )、 ( 0, 3, 0 )、 ( 0, 0, 2 )三点，如图 5.3.3所示．
图 5.3.3
二、空间直线的方程
1．直线的点向式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量，由于过
空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，所以当直线 L上一点 0 0 0 0 ( , , ) M x y z 和
它的一方向向量 { , , } m n p = s 为已知时，直线 L 的位置就完全确定了．设点 { , , } M x y z 是直线 L 上任意一点，则向量 0 M M
uuuuuur 平行于方向向量 s ，所以两向量对应坐标成比例，由于
0 0 0 0 { , , } M M x x y y z z = − − − uuuuuur
， { , , } = m n p s ，从而有
0 0 0 x x y y z z m n p − − −
= = （5.3.4）
这个方程叫做直线的点向式方程．
例 5.3.4 一条直线经过点 (3, 3, 5) − ，与平面 2 3 1 x y z + − = 垂直，求这条直线的方程．
解 由题意知，所求直线与平面的法向量 n 平行，而 { } 2, 3, 1 = − n ，故所求直线方程为 3 3 5
2 3 1 x y z − + −
= = −
．
例 5.3.5 直线 L 通过点 1 {1, 0, 2} M − 和 2 { 2, 1, 3} M − ，求它的方程．
第 5章 空间解析几何
155
解 由于 1 2 {1, 1, 5 } M M = − uuuuuuur
是直线 L的方向向量，故所求直线 L的方程为 1 2
1 1 5 x y z − +
= = −
．
2．直线的参数方程
在直线的点向式方程中，若令 0 0 0 x x y y z z
t m n p − − −
= = =
则 0
0
0
x x mt y y n t z z p t
= + = + = +
（5.3.5）
上式叫做直线的参数方程， t 为参数，不同的 t 对应于直线 L上不同的点．
例 5.3.6 设直线 L过点 (1, 0, 2 ) M − ，s 是 L 的方向向量，s 的方向角为 π 4 、 π
3 、 2π
3 ，求
直线 L 的参数方程．
解 因为 π π 2π 2 1 1 cos , cos , cos , , 4 3 3 2 2 2
= − ，取 ( 2 , 1, 1 ) = − s
所以直线 L的参数方程为 2 1
2 .
x t y t z t
= +
= = − −
3．空间直线的一般方程
空间中的一条直线可以看做两个平面的交线，于是直线方程可以表示为 1 1 1 1
2 2 2 2
0 0
A x B y C z D A x B y C z D
+ + + = + + + =
（5.3.6）
这个方程叫做空间直线的一般方程．
例 5.3.7 将直线 L的一般式 1 0
2 3 4 0 x y z x y z + + + =
− + + =
化为点向式方程及参数方程．
解 先找出直线上的一点，由一般式得
1 y z x + = − − ， 3 2 4 y z x − + = − −
取 0 1 x = ，代入方程组，得 2 y z + = − ， 3 6 y z − = ，解得 0 0 y = ， 0 2 z = − ，即 ( 1, 0, 2 ) − 是
直线 L上的一点．
再找出该直线的方向向量 s，由于两平面的交线与平面的法向量 {1, 1, 1} = 1 n ， { 2, 1, 3} = − 2 n
都垂直，所以可取
高等应用数学（上册）
156
1 1 1 4 3 2 1 3
= × = = − −
− 1 2
i j k s n n i j k
因此，所给直线的点向式方程为 1 2
4 1 3 x y z − +
= = − −
令 1 2
4 1 3 x y z t − +
= = = − −
则所给直线的参数方程为 1 4
2 3 .
x t y t z t
= + = − = − −
例 5.3.8 求直线 5 7 4 2 2 3 x y z + − −
= = − −
与平面 2 5 11 0 x y z + − − = 的交点．
解 所给直线的参数方程为 2 5 2 7 3 4
x t y t z t
= − = − + = − +
代入平面方程中，得 2 ( 2 5 ) ( 2 7 ) 5 ( 3 4 ) 11 0 t t t − + − + − − + − =
解得 2 t = ，代入参数方程中，解得 1 3 2 x y z = − = = − ， ，
即得所求交点的坐标为 ( 1,3, 2) − − ．
习题 5.3
1．列出下列平面方程的一般形式：
（1）过原点的平面方程________．
（2）过 y 轴的平面方程________．
（3）平行于 y 轴的平面方程________．
（4）平行于 yoz 面的平面方程________．
（5） 0 0
x y
= =
表示________．
（6） x a y b
= =
表示________．
2．求通过点 (1,1,1) M 且法向量为{ } 4, 2,1 的平面方程． 3．求过三点 (0,0,0) A 、 ( 2,1,3) B − 、 (1, 2, 4) C 的平面方程．
第 5章 空间解析几何
157
4．求过点 (1,1,1) A 和 ( 1,1,0) B − 且与平面 0 x y z + − = 垂直的平面． 5．过点 (4, 3, 2) M − − 且垂直于两平面 2 0 x y z + − = 和 2 3 4 5 0 x y z − + − = 的平面方程．
6．求下列方程中的系数 a和b ：
（1）两平面3 3 5 0 x by z + + − = 与 6 2 0 ax y z − − + = 平行
（2）两平面3 4 3 3 0 x y z + + − = 与 6 2 0 ax y z − − + = 垂直
7．判断下列各对平面的位置关系：
（1） 2 3 8 0 x y z + + − = 与5 10 15 7 0 x y z + + − =
（2） 1 0 x y z − + + = 与 2 3 5 0 x y z − − + =
（3） 2 3 1 0 x y z − + − = 与5 7 0 x y + − =
8．求下列各对平面间的夹角：
（1） 2 6 x y z − + = 与 2 3 x y z + + =
（2）3 4 5 9 0 x y z + − − = 与 2 6 6 7 0 x y z + + − =
9．（1）求点 (1, 2,3) M 到平面 2 1 0 x y z − − + = 的距离．
（2）求点 (3,2,1) M 到平面 2 1 0 x y z − − + = 的距离. 10．求平行于平面 2 2 2 0 x y z + − − = 且距离为 1的平面方程．
11．判断直线 5 6 1
x t y z
= + = =
平行于哪个坐标轴．
12．若平面 π过点 (2, 1,5) M − 且与直线 L： 1 1 3 2 1 x y z + −
= = −
垂直，求 π的方程．
13．求过点 (1, 2,1) A 和 (2, 4,3) B 的直线方程．
14．将直线 L： 3 0
3 3 5 5 0 x y z x y z + + − =
− + − = 化为标准方程和参数方程．
15．求过点 (1, 2,4) − 且与平面 2 3 4 0 x y z − + − = 垂直的直线的方程．
16．求过点 (4, 1,3) − 且平行于直线 3 1 2 1 5 x y z − −
= = 的直线方程．
17．求过点 (2,0, 3) − 且与直线 2 4 7 0
3 5 2 1 0 x y z x y z − + − =
+ − + = 垂直的平面方程．
18．求过点 (3,0, 1) A − 且平行于直线 2 4 0 3 5 0
x z y z
+ − = + − =
的直线方程．
19．确定下列直线与平面间的位置关系：
（1） 1 1 3 2 8 1 x y z − + −
= = −
与5 3 14 7 0 x y z − − + =
（2） 1 1 8 5 3 1 x y z − − +
= = −
与10 6 2 9 0 x y z + − + =
20．求直线 1 1 3
1 4 1 x y z L
− + = =
− ： 和 2
2 2 2 1 x y z L
+ = =
− − ： 的夹角．
高等应用数学（上册）
158
§5.4 曲面与空间曲线
一、曲面方程的概念
在空间中，任何一个曲面都可看成是按一定规律运动的点的轨迹，因此在引进空间直角
坐标系 oxyz 后，曲面上点的坐标应满足一定的条件，也就是满足一个方程式，一般地，满足
一个三元方程 ( , , ) 0 F x y z = （5.4.1）
的点 ( , , ) M x y z 的轨迹形成一个曲面 S ，如果曲面 S 上的点都满足方程（5.4.1），而不在曲面 S
上的点都不满足方程（5.4.1），则称（5.4.1）式为曲面 S 的方程，曲面 S 就称为方程（5.4.1）
的图形．
二、几种特殊曲面
1．球面
球心在点 0 0 0 0 ( , , ) M x y z ，半径为 R 的球面，由于球面上任一点 ( , , ) M x y z 到
0 0 0 0 ( , , ) M x y z 的距离满足 0 M M R = ，即 2 2 2
0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x y y z z R − + − + − =
或 2 2 2 2
0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x y y z z R − + − + − = （5.4.2）
这就是以点 0 0 0 0 ( , , ) M x y z 为球心， R 为半径的球面方程，如图 5.4.1 所示，特别地，球
心在坐标原点，半径为 R 的球面方程为 2 2 2 2 x y z R + + = ．
图 5.4.1
2．柱面
先分析一个具体的例子．
例 5.4.1 方程 2 2 2 x y R + = 表示怎样的曲面？
解 方程 2 2 2 x y R + = 在 xoy 面上表示圆心在原点O，半径为 R 的圆，在空间直角坐标系
中，这方程不含竖坐标 z ，即不论空间点的竖坐标 z 怎样，只要它的横坐标 x和纵坐标 y 能满
足这个方程，那么这些点就在曲面上，也就是说，凡通过 xoy 面内圆 2 2 2 x y R + = 上一点
第 5章 空间解析几何
159
( , , 0) M x y ， 且平行于 z 轴的直线 L都在这个曲面上， 因此， 这个曲面可以看做是由平行于 z 轴
的直线 L沿 xoy 面上的圆 2 2 2 x y R + = 移动而形成的．这个曲面叫做圆柱面（如图 5.4.2 所示）， xoy 面上的圆 2 2 2 x y R + = 叫做它的准线，这平行于 z 轴的直线 L叫做它的母线．
图 5.4.2
一般地，直线 L沿定曲线C 平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，
动直线 L叫做柱面的母线．
一般地，形如 ( , ) 0 F x y = 的方程（特点为不含变量 z ），在平面直角坐标系 xoy 中表示一
条曲线C ， 在空间直角坐标系oxyz 中表示以 xoy 面上的曲线C 为准线， 母线平行于 z 轴的柱面．
类似地，形如 ( , ) 0 G x z = 的方程（不含 y ），表示以 zox 面上的曲线 ( , ) 0 G x z = 为准线，母
线平行于 y 轴的柱面；形如 ( , ) 0 H y z = 的方程（不含 x），表示以 yoz 面上曲线 ( , ) 0 H y z = 为
准线，母线平行于 x轴的柱面．
例如，在空间直角坐标系中，方程 2 2 2 1 x y + = 表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面（如图 5.4.3 所示）． 2 z x = 表示母线平行于 y 轴的抛物柱面，如图 5.4.4 所示．
图 5.4.3 图 5.4.4
3．二次曲面
下面介绍几种常见的二次曲面．
（1）椭球面
由方程
高等应用数学（上册）
160
2 2 2
2 2 2 1 x y z a b c
+ + = （ a b c 、 、 为正的常数） （5.4.3）
所确定的曲面叫椭球面，其中 a b c 、 、 称为半轴，如图 5.4.5所示．
图 5.4.5
由方程（5.4.3）易知，此椭球面关于 3 个坐标面、3个坐标轴以及原点对称，原点叫做椭
球面中心，当 a b c = = 时，方程（5.4.3）表示半径为 a的球面．
（2）双曲面
由方程 2 2 2
2 2 2 1 x y z a b c
+ − = ± （ a b c 、 、 为正的常数）
所确定的曲面叫做双曲面．
其中由 2 2 2
2 2 2 1 x y z a b c
+ − = （5.4.4）
所确定的曲面叫做单叶双曲面，如图 5.4.6 所示．
图 5.4.6
由 2 2 2
2 2 2 1 x y z a b c
+ − = − （5.4.5）
所确定的曲面叫做双叶双曲面，如图 5.4.7 所示．
第 5章 空间解析几何
161
图 5.4.7
（3）锥面
由方程 2 2
2 2 2 0 x y z
a b + − = （ a b 、 为正的常数） （5.4.6）
所确定的曲面叫做椭圆锥面，如图 5.4.8所示．
图 5.4.8
当 a b = 时，方程表示的曲面叫做圆锥面．
（4）抛物面
由方程 2 2
2 2 x y z a b
± = （ a b 、 为非零常数） （5.4.7）
所确定的曲面叫做抛物面．
当平方项同号，即 2 2
2 2 x y z a b
+ = 时，叫做椭圆抛物面，如图 5.4.9所示．
当平方项异号，即 2 2
2 2 x y z a b
− = 时，叫做双曲抛物面，如图 5.4.10所示．
高等应用数学（上册）
162
图 5.4.9 图 5.4.10
三、空间曲线的方程
1．空间曲线的一般方程
空间曲线可以看做两个曲面的交线．
设两个曲面方程为 ( , , ) 0 F x y z = 和 ( , , ) 0 G x y z = ，它们的交线为C ，因曲线C 上任一点的
坐标同时满足这两个方程，而不在曲线C 上的点的坐标不能同时满足这两个方程，所以方程组 ( , , ) 0 ( , , ) 0
F x y z G x y z
= =
（5.4.8）
就是曲线C 的方程，叫做曲线C 的一般方程．
例如， 2 2 2 2 1
x y z z
+ + =
= 表示平面 1 z = 上的半径为 1，圆心在 (0, 0,1)的圆周．
类似地， 2 2 1 2 3 6 x y x z
+ =
+ = 中，第一个方程表示母线平行于 z 轴的圆柱面，其准线是 xoy 面上
的圆，圆心在原点O，半径为 1；第二个方程表示一个母线平行于 y 轴的柱面，由于它的准线
是 zox面上的直线，因此， 它是一个平面. 方程组就表示这个平面与圆柱面的交线，如图 5.4.11 所示．
图 5.4.11
第 5章 空间解析几何
163
2．空间曲线的参数方程
空间曲线也可以看做动点的运动轨迹，因而曲线 L上点的坐标可表示为参数 t （如 t 为时
间或角度等）的函数 ( ) ( ) ( )
x x t y y t z z t
= = =
（5.4.9）
则这个方程组叫做空间曲线的参数方程，变量 t 叫做参数．
例 5.4.2 设空间一点M 在圆柱面 2 2 2 x y a + = 上以角速度ω 绕 z 轴旋转， 同时以速度 v沿
平行于 z 轴的正方向上升（其中 v ω 、 都是常数），试建立点M 的轨迹的参数方程．
解 取时间 t 为参数，设 0 t = 时，动点位于点 ( , 0, 0) A a ，如图 5.4.12所示，经过时间 t ，
动点运动到点 ( , , ) M x y z 处，旋转角为 t ω ，由于动点M 在圆柱上运动，所以动点的坐标 x y 、
满足柱面的准线方程 cos sin
x a t y a t z v t
ω ω
= = =
这条曲线叫做螺旋线，如图 5.4.12 所示．
图 5.4.12
3．空间曲线在坐标面上的投影
我们已知，方程组 ( , , ) 0 ( , , ) 0
F x y z G x y z
= =
（5.4.10）
表示空间曲线C 的一般方程．以下，我们来研究由方程（5.4.10）消去变量 z 后所得的方程 ( , ) 0 H x y = ． （5.4.11）
首先， ( , ) 0 H x y = 表示母线平行于 z 轴的柱面，其次它是由方程组（5.4.10）消去变量 z 而得．因此，当 x y 、 和 z 满足方程组（5.4.10）时，前两个数 x y 、 必定满足方程（5.4.11），这
说明曲线C 上所有的点都在由方程（5.4.11）所表示的曲面上，即此柱面必包含曲线C ，或者
说此柱面通过曲线C ．由以上结果可知，方程 ( , ) 0 H x y = 表示通过曲线C 且母线平行于 z 轴的
柱面，这个柱面叫做曲线C 关于 xoy 面的投影柱面．
另将投影柱面的方程 ( , ) 0 H x y = 与 xoy 面的方程 0 z = 联立起来所得的曲线
高等应用数学（上册）
164
( , ) 0 0
H x y z
= =
（5.4.12）
叫做曲线C 在 xoy 面上的投影曲线（或简称为投影）．
同理，可讨论空间曲线C 在 yoz 面和 zox面上的投影曲线的方程．
例 5.4.3 求曲线C 2 2
1 z x y y
= +
=
在坐标面上的投影曲线的方程．
解 从曲线C 的方程中消去变量 z，得 1/ 2 z = ．这是C 关于 xoy 面的投影柱面．
于是曲线C 在 xoy 面的投影曲线方程为 1 0
y z
= =
这是 xoy 面上的一条直线．
从曲线C 的方程中消去变量 y ，得 2 1 z x = + ．这是C 关于 zox面的投影柱面．
于是在 zox面的投影曲线方程为 2 1
0 z x y
= +
=
这是 zox面上的一条抛物线．
从C 的方程中消去 x，得曲线C 关于 yoz 面的投影柱面 1 y = ．
C 在 yoz 面的投影曲线方程为 1 0
y x
= =
，表示 yoz 面上的一条半直线．
思考题：
（1）在空间直角坐标系中，三元方程 ( , , ) 0 F x y z = 表示的图形为________．
（2）空间曲线可以视为两个曲面的交线，因此，在空间直角坐标系中，可以由________ 表示空间曲线．
习题 5.4
（曲面部分）
1．求下列各球面的方程：（1）球心在 ( 1,3,2) − ，且通过坐标原点；（2）一条直径的两个
端点是 (2, 3,5) − 和 (4,1, 3) − ．
2．求下列球面的球心和半径：
（1） 2 2 2 2 2 0 x y z x z + + − + =
（2） 2 2 2 2 2 2 4 8 8 14 0 x y z x y z + + − + − − =
3．求下列曲线绕指定轴旋转一周所生成的曲面方程：
（1） xoz平面上的的抛物线 2 5 z x = ，绕 x轴．
第 5章 空间解析几何
165
（2） xoy 平面上的圆 2 2 9 x y + = ，绕 x轴和 y 轴．
（3） xoz平面内的双曲线 2 2 4 1 x z − = ，绕 x轴． 4．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：
（1） 2 2
1 4 6 x y
− = （2） 2 x =
（3） 2 2 1 x y + = （4） 1 y x = − 5．一动点 P 与 (3,5, 4) − 和 ( 7,1,6) − 两点等距离，又与 (4, 6,3) − 和 ( 2,8,5) − 两点等距离，求此
动点 P 的轨迹．
（空间曲线部分）
1．指出下列方程在平面解析几何中与空间解析几何中分别表示什么图形：
（1） 5 2
y x y x
= =
（2） 2 2 4 4
x y z
+ =
= 2．求球面 2 2 2 1 x y z + + = 与 1 x z + = 的交线在 xoy 面上的投影的方程．
3．分别求母线平行于 x轴及 y 轴，而且通过曲线 2 2 2
2 2 2
2 16
0 x y z x y z
+ + =
− + = 的柱面的方程．
4．将下列曲线的一般方程化为参数方程：
（1） 2 2 1
1 x z x y
+ =
+ = （2）
2 2 2 ( 1) ( 1) 4 0
x y z z
− + + + =
=
5．求曲线 2 2 2
2 x y z C y z
+ =
= ： 在坐标平面 xoy 和 yoz 内的投影曲线的方程．
*§5.5 简介 Mathematica 在空间解析几何中的运用
向量方法是研究空间问题的基本方法， 而空间曲面又是学习空间问题的主要方面之一． 本
节我们在前面介绍了曲面及向量方法的基础上，再借助现代化的教学手段，简介用数学软件 Mathematica 进行向量的运算和空间曲面图形的绘制．
5.5.1 利用 Mathematica 进行向量的运算
向量的运算命令与功能如表 5.5.1 所示．
表 5.5.1
命令 功能
, + − a b a b 向量 a r 与 b r 的加减法
µa（µ 为常数） 数量 µ 与向量 a r 的乘积
Dotproduct[ , ] a b 向量 a r 与 b r 的数量积
Crossproduct[ , ] a b 向量 a r 与 b r 的向量积
高等应用数学（上册）
166
我们在进行向量的相关运算时除了上述一些运算外，还要考虑到向量模的运算．而在 mathematica 中没有直接提供计算向量的模的命令，为了满足需要我们可以利用以前学过的相
关知识来定义．
设 1 1 1 a i j k = + + x y z ，则向量a的模m[ _] sqrt[ ] = ⋅ a a a
下面我们结合具体问题介绍向量的加法、减法、数量积、向量积以及向量的模的求法：
例 5.5.1 已知设 2 , 2 4 = + − = + + a i j k b i j k，求向量 , , 6 , , + − × ⋅ a b a b a a b a b并计算向量a
的模及b的模．
解
5.5.2 利用 Mathematica 绘制空间曲面
三维空间曲面我们已认识了平面、柱面、旋转曲面、椭球曲面、单叶双曲面、双叶双曲
面、双曲抛物面等，虽然我们已经知道空间的任一曲面都与一个二元函数对应，但是如果给出
一个二元函数，即使是一元的，绘制其曲面也是非常困难的．前面我们学习的几种曲面也只限
于几种简单、可循其规律性的曲面，而对于其它曲面的认识，我们通过数学软件 mathematica 便可目睹千姿百态的曲面图形．下面简介该软件绘图的基本方法．
命令格式： min max min max plot3D[f,{x,x ,x },{y,y ,y }] 功能：描绘函数 ( , ) z f x y = 的图形（ min max min max ( , ), ( , ) ∈ ∈ x x x y y y ）
例 5.5.2 画出函数 2 2 2( ) z x y = + 的图形
解
第 5章 空间解析几何
167
注：PlotRange→ {0,10}表示指定 z 轴的显示范围为 0 到 10．
例 5.5.3 画出函数 2 y z = − 的图形．
解
例 5.5.4 画出函数 2 2
4 8 x y z = − + 的图形．
解
高等应用数学（上册）
168
例 5.5.5 画出函数 sin = z xy的图形．
解
习题 5.5
1．选用合适的作图命令画出下列方程所表示的曲面：
（1） 2 2 2 2 4 4 x y z + + = （2） 2 2 2 2 9 x y z + − =
（3） 2 2 2 x y z − = （4） 2 2 2 y z + =
（5） 2 y x = （6） 2 2 x y =
2．作出下列各组曲面所相交的图形：
（1） 2 2
1 4 9
1
x y
x
+ = =
（2） 2 y x
y x =
=
（3） 2 2
2 2
1 1
x y x z
+ =
+ = （4）
2
1 x y x z
=
+ =
复习题 5
1．选择题
（1）设 { } 1,1,1 = r a , { } 2,1, 1 = −
r b ， λ 为非零常数，若 +
r r a b λ 垂直于 r a，则 λ 等于（ ） ．
A． 3 2
− B． 3 2
C． 2 3
− D． 2 3
（2）设向量 , r r a b 的夹角为θ ，与其同方向的单位向量为 0 0 ,
r r a b ，则 r a在上 r b 的投影为（ ） ．
A． 0 , r r a b B． 0 ,
r r a b a → ∙ 0 b
→
C． r a sinθ D． r b cosθ
第 5章 空间解析几何
169
（3）以下等式正确的是（ ） ． A． i j k j + = ⋅
r r r r B． i j k j + = ⋅
r r r r
C． i i j j ⋅ = ⋅ r r r r
D． i i i i × = ⋅ r r r r
（4）设直线 L方程为 0 2 1 x y z
= = 则直线 L（ ） ．
A．过原点且平行于 x轴 B．不过原点但平行于 x轴 C．过原点且垂直于 x轴 D．不过原点但垂直于 x轴
（5）平面3 2 6 0 x y − − = 的位置是（ ） ． A．平行于 xoy 面 B．平行于 z 轴，但不经过 z 轴
C．垂直于 z 轴 D．通过 z 轴
（6）设直线 L : 1 1 2 3 4 x y z − −
= = ,平面 π : 2 3 4 4 0 x y z + + + = ，则它们的关系为（ ） ．
A．垂直 B．斜交 C．平行但直线不在平面上 D．直线在平面上
（7）方程组 2 2
1 4 9
3
x y
y
+ =
=
在空间解析几何中表示的图形是（ ） ．
A．椭圆柱面 B．椭圆曲线 C．两条平行直线 D．平行于 z 轴的一条直线
2．填空题
（1）点 (3, 3,2) − 与点 ( 3, 3,2) − − 关于_________平面对称．
（2）向量 3 4 a i j k = + − r r r r 的负向量是_________， a =
r _________．
（3）设 {1, 1, 1}, {1, 2, 1} a b = − − = − r r
，则向量 r a与 r b 的夹角为_________．
（4）向量 r a , r b 满足 0 a b × =
r r ，则必有_________．
（5）若向量 r d 垂直于向量 { } 2,3, 1 = −
r a 与 { } 1, 2,3 = − r b ，且与 { } 2, 1,1 = −
r c 的数量积等于 6 − ，
则向量 = r d ___________．
（6） 2 3 1
x t y z
= + = =
是平行于_________坐标轴的直线．
（7）平面3 2 5 1 x z y − = + 的法向量为_________．
（8） 设平面 π过点 (1,0, 1) − ， 且与平面 4 2 8 0 x y z − + − = 平行， 则平面 π的方程为________． 3．已知点 (2,3, 4) A , ( 2, , 4) B x − 且 5 AB = ，求 x的值． 4．一向量的终点在点 (2, 2,3) B − ，它在坐标轴上的投影依次为 1,1,2 − ，求这向量的起点 A
的坐标． 5．设 {1,2,3} =
r a {0, 1,1} = − r b ，求 2 3 +
r r a b ， ⋅ r r a b ， ×
r r a b ． 6．如果向量 3 , 2 3 a m n b m n = − = + r r r r r
，m r 和 n r 是互相垂直的单位向量，试 ⋅ r r a b
7．求同时垂直于 2 2 , 2 a i j k b i j k = − + = − − r r r r r r r r
的单位向量．
高等应用数学（上册）
170
8．设 · π 3, 1, ( , )
6 = = =
r r r r a b a b ，求向量 a b → →
+ 与 a b → →
− 的夹角．
9．已知三角形 ABC 的顶点分别是 (1, 2,3), (3,4,5) A B 和 (2, 4,7) C ，求三角形 ABC 的面积． 10． 一直线过点 ( 3,2,5) M − 且与两平面 4 3 x z − = 和2 5 1 x y z − − = 的交线平行， 求该直线方程．
11．求过点 (1, 2, 3) M − 且平行于直线 1 1 1 2 3 3 x y z − + −
= = −
和 5 2 3 3 2 1 x y z + − +
= = − −
的平面方程．
12．求直线 2 1 0 2 1 0
x y z x y z
+ + − = − + + =
与 1 0
2 1 0 x y z x y z
− − − = − + + =
间的夹角．
13．直线 L : 2 1 0 3 2 0 x y x z
+ − = + − =
与平面 π : 2 1 0 x y z + − − = 是否平行？若不平行，求直线 L与面 π
的交点；若平行，求直线 L与平面 π间的距离． 14．已知动点 ( , , ) M x y z 到 xoy 平面的距离与点M 到点 (1, 1,2) − 的距离相等，求点M 的轨
迹的方程． 15．求点 ( 1,0,1) − 在平面 2 1 0 x y z + − + = 上的投影．
16．求曲线 2 2 2 25 3
x y z z
+ + =
= 在 xoy 平面上的投影曲线的方程．
本章小结
1．空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标； 2．空间直角坐标系中任意两点 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ), ( , , ) p x y z p x y z 间的距离公式：
2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) d p p x x y y z z = = − + − + −
3．空间向量的有关概念及向量的坐标表示； 4．空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算； 5．空间向量模的坐标表示：
设向量 { , , } x y z a a a a = r
，其模 2 2 2 x y z a a a a = + +
r ．
向量 a r 的单位向量： 0
2 2 2 {cos ,cos ,cos } x y z
x y z
a i a j a k a
a a a α β γ
+ + = =
+ +
r r r r
．
6．向量的数量积：对于给定的向量 , a b r r ，数 · cos , a b a b < >
r r r r 称为向量 a r 和b
r 的数量积，记
作 · cos , a b a b a b ⋅ = < > r r r r r r
；
7．向量的向量积：两个向量 a r 和b r 的向量积是一个向量，记作 a b ×
r r ，它的模和方向分别
定义为：
（1） · sin , a b a b a b × = < > r r r r r r
；
（2） a b × r r 垂直于 a r 和b
r ，且 a r ,b
r , a b ×
r r 成右手系．
8．数量积、向量积的坐标运算法：
设 { , , }, { , , } x y z x y z a a a a b b b b = = r r
，
第 5章 空间解析几何
171
则 x x y y z z a b a b a b a b ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ r r
， x y z
x y z
i j k a b a a a
b b b
× =
r r r r r
9．两向量垂直、平行的条件及判定：
（1）两向量 0 a b b a a b λ ⇔ = ⇔ × = r r r r r r P ⇔ a r 与b
r 的对应坐标成比例 y x z
x y z
a a a b b b
= = ．
（2）两向量 0 a b a b ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ r r r r 0 x x y y z z a b a b a b ⋅ + ⋅ + ⋅ = ．
10．方向余弦、向量投影的坐标表达式及有关计算：设 { , , }, { , , } x y z x y z a a a a b b b b = = r r
则向量
a r 的方向余弦：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos y x z
x y z x y z x y z
a a a
a a a a a a a a a α β γ = = =
+ + + + + + 且
2 2 2 cos cos cos 1 α β γ + + = ．
投影公式： · 0 Pr cos( , ) b
a b j a a a b a b b
⋅ = = = ⋅ r
r r r r r r r r r ．
11．空间曲线的一般方程： ( , , ) 0 ( , , ) 0
F x y z G x y z
= =
12．空间曲线的参数方程： ( )( ) ( )
x x t y y t z z t
= = =
（ t 为参数）
13．空间曲线在坐标平面内的投影： ( , , ) 0 ( , , ) 0
F x y z G x y z
= =
①
①消去 z 得 ( , ) 0 H x y = ，则 ( , ) 0 0
H x y z
= =
是曲线①在坐标面 xoy 面上投影．
同理， ( , ) 0 0
R x z y
= =
和 ( , ) 0 0
T y z x
= =
是曲线①分别在 xoz面和 yoz 面上的投影．
14．平面的点法式方程： 0 0 0 ( , , ) M x y z 是平面的一点，n Ai Bj Ck = + + r r r r 是该平面的法向量，
则此平面的方程为： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = ．
15．平面的一般式方程： 0 Ax By Cx D + + + = （ , , A B C 不能同时为0） ． 16．平面外一点 1 1 1 1 ( , , ) p x y z 到平面 π : 0 Ax By Cz D + + + = 的距离 d 的公式：
1 1 1 2 2 2
Ax By Cz D d A B C
+ + + =
+ + ．
17．平面 1 π 和平面 2 π 的夹角为θ ( π 0
2 < < θ )， 1 π 的法向量为 1 n
r ， 2 π 的法向量为 2 n
r ，则有
1 2
1 2
cos n n n n
θ ⋅
= r r r r ．
高等应用数学（上册）
172
18．直线的一般式、对称式、参数式方程及其求方程的方法．
一般式： 1 1 1 1
2 2 2 2
0 0
A x B y C z D A x B y C z D
+ + + = + + + =
对称式： 0 0 0 x x y y z z m n p − − −
= =
参数式： 0
0
0
x x mt y y nt z z pt
= + = + = +
（ t为参数）
三种方程形式的相互转化． 19．两直线垂直、平行的充分条件及其夹角公式：
设直线 1 L 和直线 2 L 的方向向量依次为： 1 1 1 1 2 2 2 2 { , , }, { , , } S m n p S m n p = = r r
，
若两直线垂直有： 1 2 1 2 1 2 1 2 0 L L m m n n p p ⊥ ⇔ + + =
若两直线平行有： 1 1 1 1 2
2 2 2
m n p L L
m n p ⇔ = = P
若两直线相交有： 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
π cos , (0 )2
m m n n p p
m n p m n p ϕ ϕ
+ + = < <
+ + + +
20．空间直线与平面的位置关系：
设直线 L的方向向量 { , , } s m n p = r
，平面 π的法向量 { , , } n A B C = r
，
直线 L与平面 π垂直有： π A B C L m n p
⊥ ⇔ = =
直线 L与平面 π平行有： π 0 L Am Bn Cp ⇔ + + = P
直线 L与平面 π的夹角 π (0 )
2 ϕ ϕ < ≤ 由下列公式给出：
2 2 2 2 2 2 sin
Am Bn Cp
A B C m n p ϕ
+ + =
+ + + + ．
数学家简介——笛卡儿
笛卡儿（1596—1650） ，法国哲学家，数学家，物理学家，解析几
何学奠基人之一．他认为数学是其他一切科学的理论和模型，提出了数
学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学、数学和自然科学发
展起到了巨大的作用．
笛卡儿认为：应该把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数
学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．依照这
种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学” ．1637 年，笛卡儿发
表了《几何学》，创立了直角坐标系．他用平面上的一点到两条固定直
线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点．他进而又创立了解析几何学，表明了几
何问题不仅可以归结成为代数形式， 而且可以通过代数变换来实现发现几何性质， 证明几何性
第 5章 空间解析几何
173
质． 《几何学》确定了笛卡儿在数学史上的地位，《几何学》提出了解析几何学的主要思想和方
法，标志着解析几何学的诞生，思格斯把它称为数学的转折点，以后人类进入变量数学阶段．
同时他也是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父” ．他自成体系，
熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响．
笛卡儿堪称 17 世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的
始祖” ．
