View
103
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 1/11
1
Bagian 15Bagian 15Bagian 15Bagian 15
Momentum sudut dan Atom HidrogenMomentum sudut dan Atom HidrogenMomentum sudut dan Atom HidrogenMomentum sudut dan Atom Hidrogen
Untuk menjelaskan spektrum atom diskrit yang diamati, Bohr menyatakan bahwa
momentum sudut dari elektron dalam atom hidrogen terkuantisasi seperti contoh
= ℏ , =1, 2, 3, … (552)
However, a careful analysis of the observed spectra showed that the angular momentum
tidak bias menjadi ℏ , but rather , where . Namun, analisis yang cermat dari spektrum
yang diamati menunjukkan bahwa momentum sudut tidak bisa menjadi
ℏ, tetapi
mendekati ( +1), dimana = 1, 2, 3, … − 1.
Ini sesuai dengan postulat Bohr yang menyatakan bahwa energi dan juga orbit elektron
terkuantisasi, elektron hanya terdapat pada jarak tertentu dari inti. Sebuah pertanyaan
muncul, di mana elektron sebenarnya ketika electron mengalami transisi dari satu orbit
ke orbit yang lain?
Di sini, kami akan memberikan jawaban atas pertanyaan ini dengan menganalisis gerak
elektron dalam atom hidrogen dari sudut pandang mekanika gelombang kuantum.Dalam pendekatan ini, daripada membingungkan tentang posisi dan gerakan elektron,
kita akan mengklasifikasikan elektron dalam hal jumlah energi yang dimiliki elektron.
Dalam uraian ini, elektron diwakili oleh sebuah fungsi gelombang ψ(r), yang memenuhi
persamaan stasioner Schrödinger.
ψ(r) = Eψ(r) (553)
Dimana Hamiltonian nya adalah
= − ℏ
∇ + V(r) (554)
dengan
V(r) = − π
(555)
Dengan demikian, potensial hanya bergantung pada jarak r dari elektron yang bergerak
ke inti (pusat kekuatan). Karena potensial V (r) memiliki simetri bola, kita akan bekerja
dalam koordinat bola, seperti ditunjukkan dalam Gambar 30, di mana
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 2/11
∇=
+
Gambar 30:Gambar 30:Gambar 30:Gambar 30:
Dalam koordinat bola pers
+ ℏ
Persamaan (557) memiliki
pada jarak r, sedangkan b
azimut. Thus, the wave f
gelombang dari bentuk ter
ψr ,
Oleh karena itu, kita dapat
Kedua sisi Persamaan (559)
dengan konstanta yang sa
sin
Pertama, kita mempertimb
sin
RepresentasiRepresentasiRepresentasiRepresentasi koordinat bolakoordinat bolakoordinat bolakoordinat bola dari vektordari vektordari vektordari vektor
maan Schrodinger dapat ditulis
ψ
sin
dua bagian yang terpisah: bagian perta
agian kedua hanya bergantung pada su
unction is of the separable form Deng
isah menjadi
menulis persamaan (557) sebagai
sin
bergantung pada variabel yang berbeda,
a, katakanlah :
0
0
ngkan Persamaan (561) yang tergantung
2
(556)
osisi.osisi.osisi.osisi.
0 (557)
a bergantung hanya
dut polar dan sudut
an demikian, fungsi
(558)
(559)
sehingga harus sama
(560)
(561)
pada , .
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 3/11
3
15.115.115.115.1 BagianBagianBagianBagian sudut dari fungsi gelombang: Momentum sudutsudut dari fungsi gelombang: Momentum sudutsudut dari fungsi gelombang: Momentum sudutsudut dari fungsi gelombang: Momentum sudut
Pada kenyataannya, Persamaan (561) adalah persamaan nilai eigen untuk kuadrat dari
operator momentum sudut
= = −ℎ ∇ (562)
yang dalam koordinat bola berbentuk
= −ℏ
sin
+
(563)
Karena persamaan nilai eigen untuk dapat ditulis sebagai
(, ) = (, ), (564)
Kita dapatkan = − ℎ⁄ , dimana is adalah nilai eigen dari . Dengan demikian, kita
dapat menulis persamaan nilai eigen untuk sebagai
sin sin
− sin + = 0 (565)
Persamaan ini mengandung dua bagian terpisah, satu tergantung hanya pada dan
lainnya tergantung hanya pada . Oleh karena itu, solusi dari Persamaan (565) akan
menjadi
(, ) = ()Φ() (566)
Oleh karena itu, substitusi Persamaan (566) ke persamaan (565), dan membagi kedua sisi
dengan ()Φ(), kita peroleh
sin
sin − sin =
(567)
dimana ≡ () dan Φ ≡ Φ().Seperti sebelumnya, kedua belah pihak harus sama dengan suatu konstanta, katakanlah
. Jadi
sin
sin − sin = (568)
= − (569)
Pertama, kita akan memecahkan Persamaan (569) untuk bagian azimut dari fungsi
gelombang, yang kita dapat menulis sebagai
= −Φ (570)
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 4/11
4
dan solusi dari Persamaan (570) adalah
Φ() = exp()(571)
dimana A adalah konstanta.
Ketika dalam rotasi, and + 2 sesuai dengan posisi yang sama di ruang: Φ() =Φ( + 2 ) memenuhi ketika
exp(im) = expim( + 2) (572)
Dari hal ini kita dapatkan bahwa
exp(2 π) = 1 (573)
Namun, ini dipenuhi hanya jika m adalah integer. Oleh karena itu, konstanta yang bukan
nomor acak, adalah integer.
Normalisasi Φ() memberikan
1 = |Φ()| = 2| | (574)
yang mengarah ke bentuk akhir Φ() sebagai
Φ() = √ exp (∅) (575)
Langkah berikutnya dalam penyelesaian adalah untuk menemukan (), komponen
polar dari fungsi gelombang.Dari Persamaan (568), jika kita kalikan kedua sisi persamaan dengan X dan membaginya
dengan sinθ kemudian mengatur ulang, kita memperoleh
sin
− + = 0 (576)
Memperkenalkan variabel baru = cos , dan mencatat bahwa
= −√ 1 −
(577)
kita dapatkan
(1 − ) − 2 − + 1 − = 0
atau
(1 − )
− + = 0 (578)
Persamaan (578) dikenal dalam matematika sebagai persamaan umum diferensial
Legendre , dan solusinya adalah polinomial Legendre. Untuk m = 0, persamaan itu
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 5/11
5
disebut persamaan diferensial Legendre biasa yang solusinya diberikan oleh polinomial
Legendre. Solusi Persamaan (578), yang biasa di z = 1, diasumsikan diwakili oleh
serangkaian deret berbentuk
() = (1 − )|| ∑ ∞ (579)
Dengan mensubstitusi persamaan (579) ke dalam Persamaan (578), kita memperoleh
relasi rekursi untuk suatu koefisien . = (||)(||)
()() (580)
Karena a > a, deret divergen ( secara logaritma) untuk z = ±1. Oleh karena itu,
dalam rangka untuk mendapatkan fungsi gelombang yang terbatas di mana-mana dalam
ruang, kita harus mengakhiri deret di rumah j = j. Dengan kata lain, kita berasumsi
bahwa a = a = ⋯ = 0. Deret ini berakhir pada j = j. Menunjukkan bahwa
( + ||)( + || + 1) + = 0 (581)
Memperkenalkan
= + || (582)
Kita lihat bahwa ≥ ||, dan
= −( + ), = 0,1, 2, … (583)
Oleh karena itu, kita melihat bahwa nilai eigen dari momentum sudut terkuantisasi
= ℏ( + 1), = ℏ ( + 1), (584)
Jumlah bilangan bulat disebut bilangan kuantum momentum sudut. Karena ≥ ||,bilangan m terbatas untuk nilai-nilai absolut tidak lebih besar dari .Kita telah menunjukkan bahwa bagian azimut dari fungsi gelombang yang diberikan oleh
Φ() = √ exp (), = 0, ±1, ±2, … , ± (585)
Pertimbangkan komponen z dari momentum sudut.
Kita akan mencoba untuk menemukan nilai eigen dan fungsi Eigen dari:
Φ = Φ (586)
Dalam koordinat bola
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 6/11
6
= −ℏ (587)
dan kemudian kita dapatkan dari persamaan diferensial Persamaan sederhana−ℏ = Φ (588)
yang solusinya adalah
Φ() = exp ℏ Φ (589)
dimana A adalah konstanta.
Dengan menggunakan argumen yang sama seperti sebelumnya, bahwa dalam rotasi,
dan
+ 2hubungan ke posisi yang sama dalam ruang, kita menemukan bahwa
= ℏ = 0, ±1, ±2, … (590)
Jadi, bagian azimut dari fungsi gelombang adalah fungsi gelombang dari komponen z
dari momentum sudut, dan nilai m adalah komponen z momentum sudut bilangan
kuantum.
15.2 Bagian Radial15.2 Bagian Radial15.2 Bagian Radial15.2 Bagian Radial Fungsi GelombangFungsi GelombangFungsi GelombangFungsi Gelombang
Di dalam langkah akhir solusi persamaan Schrodinger, kita mempertimbangkan bagian
radial R fungsi gelombang, Persamaan(560).
Kita dapat menfesipikkan Persamaan (560) didapatkan variabel baru
2 = − 2, 2 , = 2
40 , = 2 (594)
Dan subtitusikan format yang eksplisit untuk () (Persamaan (555)), dan = −( + 1). Setelah itu, diferensialkan persamaan (560) untuk mendapatkan bentuk
1
2
2
+ − 1
4− (1)
2 = 0 (595)
Kita dapat mencoba untuk mendapatkan solusi dari Persamaan (595) dalam bentuk
() = 1
2 ∑ (596)
sebelumnya, deretnya divergen sehingga kita harus menghentikan deretnya pada = 0 sehingga 0 = − − 1.
Denotasi 0 − − 1 = , kita memiliki = , dan = 1, 2,3, …dan seterusnya,
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 7/11
7
Kita lihat bahwa > . disebut − bilangan kuantum utama. Kita dapat menemukan
(= ), jadi dengan memiliki
, dan dari sebelumnya, kita dapatkan persamaan energi
= − 1
(40) 2 4
2 21
2(597)
Serta kita dapatkan konstanta
0 = 40 2 2 , (598)
Yang disebut jari-jari Bohr, dan kemudian
= − 1
(40) 21
20 2(599)
dimana, energi dari elektron didalamnya adalah kuantitas atom hidrogen. Catatan
bahwa Persamaan (599) sangat tepat dengan prediksi dari teori Bohr tentang atom
hidrogen (lihat persamaan (111)). Karena = 2, dan = 1 = (0), bagian radial
fungsi gelombang dapat dituliskan
() = ( 2) () (600)
Dimana
() = ∑ ( 2)10 (601)
adalah gabungan polynomial Laquerre dimana
( − −1
). Koefisien bj ditemukan dari
normalitas fungsi radial
2|()| 2 = 1∞
0(602)
sekali bagian dari fungsi gelombangl diketahui, solusi untuk masalah atom hidrogen
diselesaikan dengan menulis fungsi gelombang elektron ternormalisasi.
(,,) = ()(,) (603)
RingkasanRingkasanRingkasanRingkasan Bab iniBab iniBab iniBab iniNilai Eigen dari energi elektron pada atom hidrogen terkuantisasi yaitu
= − 1
(40) 21
20 2(604)
dan hubungan fungsi eigennya adalah
(,,) = ()(,) (605)
Dimana bilangan quantumnya adalah
= 1, 2, 3, … . ,1
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 8/11
0, 1, 2, … ,
Sedikit normalisasi fungsi ei
Ψ 210 1
323 20
Harus diingat bahwa fun
dari dan . Kemutlak
probabilitas dari kepadatan
|,,Adalah kemungkinan u
disekitar titik .
Figure 32:Figure 32:Figure 32:Figure 32: FunFunFunFun
Nilai maximum dari
dari perkiraan (rata-rata) ja
nlm
Contoh dari fungsi probabil
0,1, 2, … , 1, en dari elektron
Ψ100 1
3 0 ,
Ψ 200 1
8 31
20
20
20
si eigen untuk 0 memiliki simmetri
an bentuk dari fungsi gelombang |temuan dari elektron dalam nilai ,,| 2 4 2|,,| 2
tuk menemukan elektron dalam v
gsi probabilitasgsi probabilitasgsi probabilitasgsi probabilitas elektron dalamelektron dalamelektron dalamelektron dalam , yang banyak ditemukan jarak dari elec
i-jari , ditunjukan oleh
litas ditunjukkan pada Gambar. 32 d
8
(606)
(607)
s bola yang terlepas
,,| 2 adalah
, dan
(608)
olume kecil
. ron dari inti, bentuk
(609)
an 33
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 9/11
GambarGambarGambarGambar 33333333: Ben: Ben: Ben: Ben
Sifat-sifat menarik dari fung
1. Untuk n = 1, proba
2. For (n = 2; l = 0;
terletak
pada
3. Hanya untuk men
maksimum yang terl
LatihanLatihanLatihanLatihan
Fungsi gelombang dinorm
bentuk
di mana = 1/ adalah
r adalah jarak antara elektr
a. Nilai ekspektasi dari
a) Nilai yang paling mu
tuktuktuktuk Fungsi ProbabilitasFungsi ProbabilitasFungsi ProbabilitasFungsi Probabilitas daridaridaridari elektron (elektron (elektron (elektron (nlm nlm nlm nlm
si probabilitas :
ilitas memiliki satu nilai maksimum yaitu
= 0), probabilitas menunjukkan dua
atakan seperti 1, probabilitas
tak pada .
lisasi dari keadaan awal suatu atom hid
/
sebuah konstanta, 4/ adal
n dan inti (nukleus). Tunjukkan:
r adalah
ngkin untuk adalah =.
9
==== ((((200).200).200).200).
pada .
ilai maksimum yang
menunjukkan satu
rogen yang memiliki
ah jari-jari Bohr, dan
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 10/11
10
SolusiSolusiSolusiSolusi
a. Dari definisi nilai harapan, kita dapatkan:
= ψ∗ ()ψ() = 4 ∞
dimana = 1/dan kami telah mengubah integral dari ke koordinat bola dengan
= 4. Dengan mengintegralkan, kita dapatkan
= 4 6
(2) = 24
16
= 3
2 1
= 3
2
Dengan demikian, jarak rata-rata elektron dari inti dalam bentuk ψ adalah 3/2 kali jari-
jari Bohr.
b. Nilai yang paling mungkin dari r adalah nilai di mana kemungkinan untuk menemukan
elektron maksimal.
Jadi, pertama kita bisa menghitung kemungkinan untuk menemukan elektron pada
titik r:
() = 4|ψ(r)| = 4 = 4
Nilai maksimum dari () adalah di mana()
= 0. Karenanya
() = 8
− 8
sehingga,()
= 0 ketika = 1 dari mana, kita dapat:
= 1 =
Perhatikan bahwa hasil ini sesuai dengan prediksi dari model Bohr, bahwa radius orbit
= 1 adalah sama dengan .
Ringkasan dari solusinyaRingkasan dari solusinyaRingkasan dari solusinyaRingkasan dari solusinya: Harapan dan nilai yang paling mungkin dari tidak sama. Hal
ini karena kurva probabilitas () tidak simetris untuk nilai maksimum pada , lihat
Gambar 32. Jadi, nilai
yang lebih besar dari
yang berbobot lebih berat dalam
5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 11/11
11
persamaan untuk nilai harapan dari lebih kecil dari nilai . Hal ini mengakibatkan nilai
ekspektasi
melebihi
untuk distribusi probabilitas ini.
Recommended