View
23
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
1
1
Semnale
Un fenomen fizic, variabil în timp, care poartă cu
sine o informaţie este un exemplu de semnal.
Tipuri de semnale:
biologice, acustice, chimice, optice,…, electronice
http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap1.pdf
2
a)
b)
Semnale biologice
Prelucrare :
Îndepărtare zgomot
2
3
Semnale acustice
4
Semnale bidimensionale
Prelucrare :
Îndepărtare zgomot
3
5 5
Imagini Synthetic Aperture Radar
Screenshot
illust
r
a
tion of the prototype interface for the Ocean Virtual Laboratory, with a background image
of sea surface temperature
(from the ODYSS
E
A
L4 product
)
with an overlay of
SAR scenes showing surface roughness.
By
use of transparency the underlying image can be seen a
t the same time showing how the
surface
roughness patterns
are affected by SST through its effect
on
air
-
sea interactions. The display shows (at the top) menu options for adding
other parameters, whils
t the bottom of the screen highlights the time information, including whether single days or
short
-
interval composites are shown
Screenshot illustration of the prototype interface for the Ocean Virtual Laboratory, with a background image
of sea surface temperature (from the ODYSSEA L4 product ) with an overlay of SAR scenes showing surface
roughness. By use of transparency the underlying image can be seen at the same time showing how the
surface roughness patterns are affected by SST through its effect on air - sea interactions. The display shows
(at the top) menu options for adding other parameters, whilst the bottom of the screen highlights the time
information, including whether single days or short - interval composites are shown.
6
Modelul matematic
Funcţia, având ca variabilă independentă timpul,
310 2 10 Vx t sin t
Exemplu de semnal în timp continuu.
4
7
Semnale în timp discret
Eşantionând x(t) cu pasul Te=0,05 ms
n=t/Te – timp normat (discret),
3 310 2 10 0 05 10
10 0 1 V
ex̂ t x nT sin , n
sin , n n Z
; ex n x nT n Z
8
0 =20
Perioada semnalului este multiplu al perioadei de esantionare
s
T
T
Prin esantionare (cu Ts), semnalul ramane periodic fiindca T0 este
multiplu de Ts
5
9
Câteva semnale mai importante
pentru un inginer
i) Semnalul sinusoidal
0
0 0 0 2 ,
x t Acos t
A, f , T
10
Semnalul sinusoidal este periodic
0
0
0 0 0
0 0 0 0
0 0
00 0
si
2
1 2
x t T x t , t
x t nT x t , t n Z
Acos t T Acos t ; t
cos t T cos t , t
T
Tf
6
11
ii) Semnalul sinusoidal in timp
discret
0
0 0
00 0
e
0
0 0
=2 - frecventa in timp discret
2
e
e e
e
x n Acos T n
radT T s rad
s
fT
f
x n Acos n
cos n cos n
12
Frecvenţa în timp discret, 0x n cos n
In timp continuu, frecventa f0 variaza in gama (0, )
In timp discret, frecventa 0, variaza in gama (-, ) sau (0,2)
7
13
Periodicitatea dupa n a semnalului
sinusoidal in timp discret
Fie numarul natural N perioada dupa n a acestui
semnal.
0 0
0
0
0
cos cos ,
2
2Perioada semnalului: este un numar natural
Q
A n N A n n
N k
N k
14
Exemplu
Valoarea minima a lui k pentru care N este un intreg este k=1.
Rezulta N=20, perioada semnalului .
Semnalul nu este periodic dupa n.
Tema de curs: Reprezentati grafic acest semnal.
2x n Acos n
kkkN 201022
10 00
ncosAnx
10
8
15
“Confuzii” datorate esantionarii
eT
ttx 4cos3
eT
ttx 2cos2
0 12
0 =0,1,...ke
; x t Acos k t; kT
11 tx
0321 0 nxnTxnTxnTx eee
16 16
0 ; cos 2 1 ; 0,1,...ke
x t A k t kT
9
17
iii) Semnalul treapta unitara in timp
continuu
1 0
0 0
, tt
, t
Acesta este doar un model neputand fi generat in
practica.
18
iv) Semnalul treapta unitara discreta
1 0
0 0e
, nn nT
, n
10
19
v) Semnalul impuls unitar in timp
continuu. Impulsul Dirac
0
0
1
0
0 0k
k
k
kk
f t dt
, tlim f t
, t
0
0 0
1
, tt
, t
t dt
20 20
Proprietatea de filtrare
0 0
0
0
0
0
0 0 1 0
k k
k k
k k
t f t f t
lim t f t lim f t
t t t
t t dt t dt
t dt
0t t dt
Proprietatea de filtrare a impulsului Dirac
11
21
Legatura intre impulsul unitar si treapta
unitara
0
0 0
0
k
k k
k
k
'k k
'k k
'
k
lim g t t
g t f t
lim g t lim f t t
lim g t t
' t t
22
1 0
0 0
t
t
, td
, t
d t
12
23
vi) Impulsul unitar in timp discret
n
k
kn
1 0
0 0
, nn
, n
Tema de curs. Demonstrati urmatoarele relatii:
nnn 1
24 24
Alte proprietati ale impulsului
unitar in timp discret
0x n n x n
2 2 1 1 0
1 1 1 1 1 1
k
k
x k n k ... x n x n x n
x n ... x n n n x n n n x n n n ...
x n x k n k
13
25 25
26 26
vii) Semnalul rampa in timp continuu
0
0
0 0
0
0 0
tt d t, t
r t d
, t
t , tr t t t
, t
14
27 27
viii) Semnalul rampa in timp discret
11
0
1 1
0 1
0
0 0
nn
kk
n, nr n k
, n
n, nr n n n
, n
28 28
ix) Semnalul exponential
0
0
0 ; 0 ; ; 1
0 ; ; 0 ; 1
at at
t t
at at
t t
a lim e lim e e
a lim e lim e e
~ 2.7182, , at ex t e a
15
29 29
Exponentiala cauzala
0
; 00 0
atat e , t
x t e t a, t
30 30
x) Semnalul exponential discret ; , ns s s
nbnT bT bT
x n e e e a x n a a
Tema: desenati
semnalul pentru a<-1
a>1 0<a<1
-1<a<0
16
31 31
Semnalul exponential discret cauzal
0
0 0
nn a , n
x n a n, n
32 32
xi) Oscilatie cu anvelopa complexa in
timp continuu
0sinatx t e t 0
0 0
2sin 1; ; k k k
katt t k x t e
0
0 0
sin 1; ; l l llat
t t k x t e
17
33 33
Cauzalitate
00
0
0 0
atat e sin t, t
x t e sin t t, t
34
xii) Oscilatie cu anvelopa complexa in
timp discret
0nx n a cos n
Exercitiu
Trasati graficul
semnalului pentru cazul
a>1.
18
35
Semnale complexe. Fazori
;
; 2 2
;
j j
j j j j
j j
e cos j sin e cos j sin
e e e ecos sin
j
cos Re e sin Im e
36
Legatura dintre semnalul sinusoidal
real si exponentiala complexa
19
37
Pentru φ=0, varful fazorului descrie o elice
infasurata pe un cilindru de raza A.
38 38
Frecventa negativa
20
39 39
Transformări simple ale semnalelor
i) Multiplicarea cu o constantă
Permite amplificarea sau atenuarea semnalului
40 40
ii) Deplasarea în timp 0 0
0
deplasare spre dreapta daca 0
stanga daca 0
x t t t
t
0 0
0
deplasare spre dreapta daca 0
spre stanga daca 0
x n n n
n
0 reprezinta versiunea deplasata a lui x t t x t
21
41
iii) Reflectarea semnalului x t x t x n x n
iv) Scalarea timpului pentru semnale
analogice
22
v) Scalarea timpului pentru semnale
definite în timp discret
restin ,0
cu divizibil este daca, knk
nx
nx k
44
vi) Combinarea
transformarilor simple
2 2 2x t x t
23
45
Componenta para si componenta impara
a unui semnal real
; ; 2 2
;
; ; 2 2
e o e o
e e o o
e o e o
x t x t x t x tx t x t x t x t x t
x t x t x t x t
x n x n x n x nx n x n x n x n x n
46
Energia si puterea semnalelor
2
2
Energia unui semnal complex
In timp discret:
Semnalele in timp continuu de energie finita - functii cu patratul modulului integrabil
(square integrable functions), din clas
n
W x t dt
W x n
2
2 2
2
2
a de functii
Semnalele discrete de energie finita - functii cu patratul modulului sumabil
(square summable functions), din clasa de functii
[ ]n
L
x t dt x t L
l
x n
2x n l
24
47
1 – Exponentiala cauzala
descrescatoare
22
0 0
1 1
2 2 2
t
tt
x t e t
e eW e dt
48
2 – Oscilatia cauzala cu anvelopa
exponentiala
0
2 2 2 2 200 0
0 0 0 0
20
2 20 0
sin
1 cos 2 1 1sin cos 2
2 2 2
1 1
4 4 1 4 1
t
t t t t
x t e t t
tW e tdt e dt e dt e tdt
W
Pentru oscilatii “rapide” (0 mare), se aproximeaza
adica jumatate din energia semnalului fara oscilatii
(exemplul anterior)
1
4W
25
49
3- Semnalul exponential in timp
discret cauzal
2
20
2
, 1
1
1
11 ... ... , 1
1
n
n
n
n
x n a n a
W aa
a a a aa
50
4- Semnalul sinusoidal
0sinx t A t
0T
Semnalul periodic
are energia calculata pe o perioada
0 0
0
2 22 2
0 0 0
0 0
sin 1 cos 22 2
T T
T
A AW A tdt t dt T
26
51
5 – Semnalul treapta unitara
2
0 0
1 lim 1 lim 1N
N Nn n
W N
x n n
52
Puterea Puterea medie a semnalului P : se raporteaza energia
W la durata semnalului in care se dezvolta acea
energie.
Pentru semnale de durata infinita:
2
2
1
2
1
2 1
N
N n N
P lim x t dt
P lim x nN
27
53 53
Energia si puterea medie pentru semnale de durata
finita
2
1
2
1
2
2
2 1 2 1
1
t
t
t
t
W x t dt
WP x t dt
t t t t
Semnale in timp
continuu, cu suport [t1,t2]
Semnale in timp discret, cu
suport {N1, N1+1,…,N2}
2
1
2
1
2
2
2 1 2 1
1
1 1
N
n N
N
n N
W x n
WP x n
N N N N
54 54
Puterea medie se calculeaza pe o perioada:
0
2
0
2
1
1
T
n N
P x t dtT
P x nN
Semnale periodice
28
55 55
Puterea medie a semnalului
sinusoidal
Puterea depinde de amplitudinea sinusoidei 2
2 2 00
2 2 2 2 20 0
0 0
1 21
2 2 2
2 22
4 4 2 2 4 2 2
cos tAP lim A sin tdt lim dt
sin t sinA A A A Alim lim
2 2
00
1
2 2
A AP T
T
Folosind rezultatul anterior se obtine acelasi rezultat:
56 56
Notiuni despre distributii
functie
distributie
operator
29
57 57
Exemple de distributie: Impulsul Dirac
0 0
: 0
:
t t
t t t t
(t) asociaza oricarei functii test (t), valoarea ei din origine, (0)
(t-t0) asociaza oricarei functii test (t), valoarea ei din t0, (t0)
f – distributie. Functia test φ si un numar (care este
produsul scalar dintre f si φ) sunt asociate
ft t f t dt
: ,f t f t t t f t dt
58 58
Derivata unei distributii:
Impulsul Dirac
f ' t , t ' t f t dt f t , ' t
0' t , t t , ' t '
0'
t '
' t t asociaza oricarei functii test
minus valoarea derivatei sale in origine
30
59 59
Derivata unei distributii: treapta
unitara
0
00
0
0
t
t
t
t t dt
t t , t t dt t
t
t t
Concluzii:
i) Functiile sunt utile pentru modelarea semnalelor,
ii) Distributiile sunt utile pentru modelarea unor semnale si procese
precum esantionarea,
iii) Operatorii sunt utili pentru modelarea sistemelor de prelucrare a
semnalelor.
Recommended