Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004

Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004

- 29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen- 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion- 13.5. Beispiel Phyllotaxis, Definition von Ökosystemen - 27.5. Definition von Ökosystemen - 3.6. Populations- und Individuenbasierte

Modelle (FK)- 17.6. Individuenbasierte Modelle - 24.6. Modelle der Hydrologie, Transportgleichungen - 1.7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation- 8.7. Modelle zur Gewässerversauerung- 15.7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie- 22.7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

- 1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

Modelle des Wachstums

• Was ? – Populationen (Menschen, Fische, ...)– Wissen (entdeckte Ressourcen, Kohle- Ölvorräte,...)

• Wie ? – Kontinuierlich, in diskreten Schritten– Begrenzt oder Unbegrenzt– Konstante oder veränderliche Wachstumsrate– Innere Gesetzmäßigkeiten oder äußere Umstände

• Beispiele: – Weltbevölkerung– Weltölreserven– Population einer rote Liste Art

Das älteste Populationsmodell?Mesopotamien vor ca. 4000 Jahren

aus: Nissen et al. 1991

Die sumerische Keilschrift entschlüsselt: Eine Steuertabelle

aus: Nissen et al. 1991

... Eine Steuertabelle:Für das diskrete exponentielle Wachstum einer Rinderherde

aus: Nissen et al. 1991

Populations-Wachstum

diskrete nicht-überlappende Generationen z.B. Schmetterlinge:

101 rrNN effektive Geburtenrate

Ansätze

exponentiell: .,)(

00constrNrteNtN

rNtN )(

hyperbolisch:²)( aNtN

.,1

)(0

0 constaNat

NtN

Kaninchenpopulation

FertilitätKaninchen

MortalitätKaninchen

nat. WachstumKaninchen

TodesrateKaninchen

Bester Fit bis ca. 1970

Relative Wachstumsraten seitdem überall rückläufig:

01

dt

tdN

tNdt

d

Verbesserungen:• variable Sterbe- und Geburtsraten• stochastische Ansätze• Migration zwischen den Kohorten

2050/

1

1041327.1)(

8

attN

Logistisches Wachstum Beispiel aus der Populationsbiologie

K

Nr

dt

dN

N 1

1Verhulst 1838

Hubbert 1956

und Erdölindustrie:

01

1

QQ

AdtdQ

Q

Kaninchenpopulation

FertilitätKaninchen

MortalitätKaninchen

nat. WachstumKaninchen

TodesrateKaninchen

Kapazität

Eine der erfolgreichsten Vorhersagen: Hubbert 1956

Aus: K. Deffeyes (2002)

Hubbert (1956) angewendet 2000: Schätzungen der Welt-Ölförderung bis

2000

Aus: K. Deffeyes (2002)

Schätzungen der Welt-Ölreserven(kumulierte Förderung)

Aus: K. Deffeyes (2002)

PopulationsmodelleWichtigste Anwendung: Bevölkerungswachstum

• Originalanwendung von Malthus (1798)• Zensus weltweit ca. seit 1930• Offizielle UN-Aufgabe (eigene Abteilung)• Datenqualität extrem unterschiedlich• Quantitativ bedeutend:

Menschen haben die zweitgrößte Biomasse, nutzen 40% der Nettoprimärproduktion

Effektive Geburtenraten sind variabel !

Das momentane High-End...

• Ex-post Analyse mit 5-Jahres-Updates• Kombiniertes Zeitreihenmodell-Expertensystem• Stochastische jährliche Simulation (Bayes-

Ansatz)• Datenbanken der UN und des US-Zensus-Büros• Fertilität in den Entwicklungsländern u.a. mit

„Aids-Faktor“• Monte-Carlo Ansatz zur Quantilermittlung• u.v.m.

Lotka-Volterra-Modell (1932)

• beschreibt die Interaktion zwischen zwei Arten eines Ökosystems, einer Räuber- und einer Beute-Art

• zwei Funktionen: Veränderung der Räuber- und der Beute-Population:

dB/dt = a B – b B R

dR/dt = e b B R- c R

•a ist die natürliche Wachstumsrate der Beute-Population ohne den Einfluss von Räubern,

•c ist die natürliche Todesrate der Räuber bei Fehlen von Beute,

•b ist die Todesrate der Beute verursacht durch den Räuber,

•e ist die Effizienz, Beute in Räuber umzuwandeln.

B

Zuwachs B Mortalität B

const a

const b

R

Mortalität RZuwachs R

const cconst e

T = 5000

a = 0.05

b = 0.0005

c = 0.01

e = 0.1

B

Zuwachs B Mortalität B

const a

const b

R

Mortalität RZuwachs R

const cconst e

Lotka-Volterra-Modell

Lotka-Volterra-Modell

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1

251

501

751

1001

1251

1501

1751

2001

2251

2501

2751

3001

3251

3501

3751

4001

4251

4501

4751

5001

B

R

R

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Logistisches Lotka-Volterra-Modell

T = 5000

a = 0.05

b = 0.0005

c = 0.01

e = 0.1

K = 5000

B

Zuwachs B Mortalität B

const a

const b

R

Mortalität RZuwachs R

const cconst e

K

Ein berühmtes Beispiel:Luchs und Schneehase in Alaska

Kleines Problem: falscher Drehsinn!Hier ist der Luchs das Beutetier

Zusammenfassung

• Wachstumsmodelle sind Zustandsmodelle– Gewöhnliche Differentialgleichungen

• Wachstumsmodelle sind eine alte und aktuelle Klasse von „ökologischen Modellen“– Ressourcenverbrauch (Öl)– Ressourcenbedarf (Bevölkerung)

• Empirisch Modelle leistungsfähig in der Rekonstruktion– Metaphern (ohne Encoding)– Die Modelle beruhen nicht auf Verständnis– Aus den Modellen folgt keine Steuerungsmöglichkeit

Individuenbasierte Modelle

Individuenbasiert

• Jedes Individuum entspricht einem Datenobjekt

• Interaktione (direkte Kommunikation)

• Gedächtnis/Geschichte

• Diskrete Größen (ganzzahlig)

Prozessorientiert

• Gruppen/Populationen entsprechen Variablen

• Wechselwirkung (prozessgesteuert)

• Individuen ununterscheidbar

• Kontinuierliche Größen

• Zelluläre Automaten• L-Systeme und Verwandte • Agentenmodelle

Individuenbasierte Modelle

Zelluläre Automaten (cellular automata, CA)

• mathematische Modelle mit diskretem Raum und diskreter Zeit

• Raum wird als Gitter von Zellen repräsentiert

• in den klassischen CA-Modellen kann jede Zelle nur endlich viele Zustände annehmen

• für jede Zelle gilt eine Menge lokaler Regeln, die festlegen, wie sich der neue Zustand dieser Zelle aus ihrem Zustand und dem der Nachbarzellen (im vorherigen Zeitschritt) ergibt.