Modellbildung und Simulation

Dr. -Ing. Tamás Szakács, PhD

System

Ein System ist eine Ansammlung von Elementen dessen Eigenschaften von Interesse sind bzw. welche es zu untersuchen gilt. Dabei kann ein System wiederum aus mehreren kleineren Systemen – sogenannten Sub-Systemen - zusammengesetzt sein. Sobald wir ein System definieren, legen wir im selben Zuge eine sogenannte Systemgrenze fest. Dadurch grenzen wir das System von seiner Umgebung ab. Dieser Schritt soll so durchgeführt werden, dass nur der Teil beschrieben wird, der auch von Interesse ist.

Das System tauscht über die Systemgrenze Informationen mit der Umgebung aus, welche über Eingänge und Ausgänge – die eindeutig beschreibbar sein müssen - dargestellt werden können.

System

u(t) y(t)

System

Wen Mann von System sprichst denkt Mann beispielsweise am:

• Koordinatensystemen (Matematik)• Ökosysteme (Biologie, Geographie)• Betriebsysteme (EDV, Informatik)• Sonnensystem (Astronomie)• Herz-Kreislauf-System (Biologie)• Wirtschaftssystem (Gemeinsamschaftskunde)• Feder-Masse-System (Physik)

System

Mann spricht von einem System, wenn:

• Mehrere komponenten (Systemelemente) gegeben sind.• Zwischen diesen Elemente (funktionale) Beziehungen bestehen.• Eine plausible Grenze angegeben werden kann, die das system von

seiner Umgebung trennt.• Bestimmte Wechselbeziehungen zur Systemumgebung bestehen.

Experimenten

Probleme beim Durchführen von Experimenten:• Experimente sind in der Regel sehr zeitaufwändig und

kostenintensiv, da Prototypen entwickelt werden müssen.• Ein kleiner Fehler im Prototyp kann bis zur vollständigen Zerstörung

führen.• Experimente können sehr gefährlich sein.• Um das System zu testen muss das entsprechende Equipment

Vorhanden sein.

Modellierungszyklus

Der Zyklus der mathematischen Modellierung läuft im allgemeinen wie folgt ab:

1. Verständnis des realen Problems.2. Wahl der Skalen und der entsprechenden mathematischen Beschreibung.3. Entwicklung eines mathematischen Modells.4. Sensitivitätsanalyse und eventuelle Vereinfachung des Modells.5. Numerische Simulation des Modells.6. Interpretation der Lösung.7. Vergleich der Lösung mit realen Daten.8. Falls nötig, Verfeinerung des Modells oder (optimale) Änderung von Parametern.

Modellierungszyklus

Modellierungszyklus

Definitionen: Simulation

Die Simulation ist eine Anwendung des aufgebauten Modelles für eine vorgegebenes Problemlösung, um die Erkenntnis der geprüften Erscheinung gäenzlich zu ermöglichen.

Matematische Modellbildung

Ein mathematisches Modell eines realen Systems erhält man prinzipiell auf zwei verschiedene Arten:

•Durch physikalische Gesetze welche auf Naturgesetzen basieren die über mehrere Generationen bedeutender Wissenschaftlern entstanden sind.•Durch sogenannte System-Identikation (experimentelle Identikation), basierend auf Beobachtungen und Experimenten am realen System.

Matematische Modellbildung

Physikalische Modellbildung: White-Box Modell

Ziel der Modellbildung ist es, ein reales physikalisches System in Form eines mathematischen Modells abzubilden. Dabei soll das Modell das Verhalten des realen physikalischen Systems so gut wie es im jeweiligen Fall nötig ist beschreiben. Sobald das physikalische System mit einem geeigneten mathematischen Modell beschrieben wurde, kann es simuliert werden.

Matematische Modellbildung

Experimentelle Identikation: Black-Box Modell

Gelingt es nicht - aus welchen Gründen auch immer - das Modell durch physikalische Gesetze aufzustellen, wird das reale System aufgrund von Beobachtungen und Experimenten identiziert. Ziel ist es natürlich auch hier das Modell so gut wie möglich an das reale System anzugleichen. Das System wird hier allein durch Messungen identiziert.Der große Nachteil der experimentellen Identikation besteht darin, dass das reale System vorhanden sein muss, um anhand diverser Messungen ein Modell zu generieren.

Matematische Modellbildung

Semi-Empirische Modelle

Modelle die teilweise auf physikalischen Modellen und teilweise auf durch Messungen gewonnenen Modellen basieren, werden als semi-empirische Modelle bezeichnet. Diese kommen in der Praxis oft zum Einsatz, da es oft nur schwer möglich ist, physikalische Vorgänge mittels Gleichungen, hinreichend genau zu beschreiben.

Simulieren - Definition

Numerische Simulation - Definition

Eine Simulation ist nichts anderes als ein Experiment, welches am mathematischen Modell durchgeführt wird. Eine Simulation wird mit Hilfe eines Computer Programms durchgeführt und ist eine numerische Approximation der analytischen Lösung des Modells.Dabei werden Eingänge u(t) vorgegeben und das Verhalten der Ausgänge y(t) beobachtet.

Überblick – Motivation

Simulationen

Simulationen Matlab/Simulink

Simulationen LabView

Simulationen Virtuelle Realität

Klassifikation der verschiedenen ModelleMan unterscheidet materielle und gedankliche Modelle.

Materielle Modelle sind: - Geometrische Modelle (Sample)- Experimental Modelle

+ Natürliche Modelle+ Künstliche Modelle

- Ausbildung (anschauliche Modelle)- Forschung (experimentelle Modelle)

Gedaklihe Modelle sind: - Geometrische Konstructionsmodelle (CAD)- Physische Modelle

+ Kontinuum-Modelle+ Diskrete -Modelle

- Mathematische

Realität - Definition

Realität - EigenschaftenGleichzeitig:

• geordnet (deterministic)• zufällig (stochastic) (Csizmadia: esetlegesség)