Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004

- 29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen- 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion - 13.5. Phänomenologie, zelluläre Automaten- 27.5. Populationsmodelle (FK)- 3.6. Individuenbasierte Modelle (FK)- 17.6. Transportgleichungen und -modelle - 24.6. Konzeptionelle Modelle der Hydrologie- 1.7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation- 8.7. Modelle zur Gewässerversauerung- 15.7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie- 22.7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

- 1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

R.Rosen (1991):

• „The central concept of Newtonian mechanics, from which all others flow as corollaries or collaterals, is the concept of state, and with it, the effective introduction of recursion as the basic underpinning of science it self.“

Allgemein: Rekursion

• r: Startwert aus der Def. Menge• T: Abbildung über einer Menge• f(n): Funktion, die durch die Abbildung

und den Startwert erzeugt wird

)()1(

)()(

)0(

nTfnf

rTnf

rfn

Beispiel: Rekursion in der Fibonacci Reihe

• Rosen (1991): „This apparently trivial situation is the germ on which the state concept and hence contemporary physics rests.“

• Der nächste Schritt besteht darin, den zweiten Zeitpunkt zu beseitigen

.

),(

),(

:,

324

213

21

usw

aaTa

aaTa

beliebigaa

Kausalität bei Aristoteles:

1. Materieller Grund: Anfangswert

2. Effektiver Grund: Abbildung T

3. Formaler Grund: Exponent n

4. Finaler Grund: (nicht mehr

erlaubt)

)()( rTnf n

Antworten auf die Fragen „Warum f(n)“ ?

rf )0(

)()( rTnf n

Kausalität manifestiert sich durch Zustandsübergänge

Taylors Theorem:

Für eine reelle, stetige und differenzierbare

Funktion gilt:

...)(!2

)()()( 0

2

000 tfh

tfhtfhtf

Die Werte einer Funktion an einem Punkt (t0) bestimmen das Verhalten in dessen Umgebung (t+h)

Beispiel für eine rekursive Funktion

)23(2

1)1(

22)(

2

2

nnnf

nnnf

Von dieser Funktion stellen wir eine Reihe von Chroniken her und finden eine Taylor Reihe:

2,0)(

...

1)(

2/1)(

kallenf

nf

nnf

k

)(2/1)()()1( nfnfnfnf

Historisches Beispiel: Ansätze für Bewegungsmodelle

Newton– Kraft zur Veränderung

von Bewegung– Bewegung als

Zustand– Anfangsbedingungen

legen Entwicklung fest

– abstraktes Modell– idealisierte

Experimente

0)( tx

)(txmF

)()),(),(( txmttxtxF

)())(),(( txmtxtxF

• Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische

Systeme)

• Diskrete Zustände (Diskrete dynamische

Systeme), z.B.:- Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret)

- Zelluläre Automaten ( “ )

Zustandsysteme

Kontinuierliche dynamische Systeme

)(xfx

Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f , X), wobeif eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist.

Es gilt (Bewegungsgleichung)

x

ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum,

Xx

)(xf

Hängt nicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom:

durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest(Determinismus)

Zustände eines dynamischen Systems

Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)?

Der Zustand eines dynamischen Systems zu einemZeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben:

tz

tz

tz

tz

n

.

.

.2

1

Die Menge der Zustandsgrößen sind genaudie, deren Werte man alle kennen muss,um das Verhalten des Systems in dernahen Zukunft vorhersagen zu können.(?)

Zustandsvektoren sind nicht eindeutig.

Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n desZustandsraums zu finden ist i.a.sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)

Zustandsbeschreibung von Systemen

Folgende Elemente werden benötigt:

• Zustandsvektor• Eingangsvektor• Parametervektor• Ausgabevektor• Systemfunktion• Ausgangsfunktion

tz

te

tp

ta

tf

tg

Zeitkontinuierliche Systeme

Beispiel: Fallende Masse mit Luftreibung

2

1)(

z

z

tv

txtz

beschrieben durch DGL 1. Ordnung

pezftz ,, Zustandsgleichung

pezgta ,, Ausgangsgleichung

gmzzC

ztz

w /22

2

Theorie: Lösungen sindstetig und diff.bar, jederZeitpunkt kommt vor

Praxis: Diskretisierungerforderlich, nur diskreteZeitpunkte, Diskretisierungsfehler

Laplace (1749-1827):

„Ein Geist, der für einen Augenblick alle Kräfte kennte, welche die Natur beleben, und die gegenseitige Lage alle Wesenheiten, aus denen sie besteht, müsste, wenn er umfassend genug wäre, um all diese Dinge der mathematischen Analyse unterwerfen zu können, in derselben Formel die Bewegung der größten Himmelskörper und des leichtesten Atoms begreifen, nichts wäre ungewiss für ihn, und Zukunft wie Vergangenheit läge seinem Auge offen da.“

Modellierung von Systemen

(aus Smith & Smith 1999)

Zitat Bjerkenes

aktueller Ansatz (Schellnhuber)

Mit den Bestandteilen:

),,(

),(

,...),,(

),(

MVBS

SAH

cbaN

HNE

• Erde

• Ökosphäre

• Menschliche Sphäre

• Globales Subjekt – B: Brain– V: Values– M: Management (konstante Menge an

Optionen)

An autonomous willpower is required ... which intervenes from outside ...The Global Subject transcends the sum of the physical individual desires and impulses of all elements of A as a result of a self-referential process.

Annahmen

The simplifying assumption of the time invariance of {M} is justified by two reasons:

1.We remain in the structural framework of conventional control theory

2.Management strategies are long-term in character

Die Anwendung Each M(t) represents a certain time sequence of management modules that can be activated... In order to achieve...a direct intervention into the biogeophysical metabolism of N ( „Geo-engineering“)

M(t) may also represent indirect measures, e.g. regulatory laws, etc.

)(

))(;,()(

))(;;,()(

2

2

MtP

tMANGtA

tMtANFtN

Pfadbündel von möglichen Zukünften

Dabei ist der Zustand des Globalen Subjekts nach Außen verlegt und wird als nicht-berechenbar betrachtet

Die physikalische und metaphysikalische Dimension des Erdsystems(Schellnhuber 1998)

About the nature of the Global Subject:

„... which is just as unreal as „the life“ of an organism composed of millions of molecules... „

Zustands-Konzept: Übertragen auf die gesamte Geo- und Biosphäre

Schellnhuber in Nature: 2.12.1999

Figure 3 A 'theatre world' for representing paradigms of sustainable development. The space of all conceivable co-evolution states P=( N, A) ...

Gibt es ökologische Naturgesetze ?

• Auf einer Tafel im Fichtelgebirge: „Alles Leben in einer Hecke steht miteinander in Verbindung. Es unterliegt einem andauernden natürlichen Kreislauf. Dieser ist so ausgereift, dass ohne Eingriffe von außen keine einzelne Art überhand nimmt ...“

„Man spricht vom natürlichen Gleichgewicht – einem Naturgesetz“

Evolution und Mechanismus

• Dobhansky (1941): Nichts in der Biologie macht Sinn, außer im Lichte der Evolution.

• Review zur „Evolution“ in Science (1999): Evolution ist der Mechanismus, der die Diversität des Lebens produziert.

• Rosen (2000): Die Beziehung zwischen Biologie und Mechanismen war stets problematisch, sie bis heute aber immer einflussreicher geworden.