“Il piano cartesiano e la retta” Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni

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MAPPA DEL MODULO

IL PIANO CARTESIANO

PUNTI E SEGMENTIFUNZIONI LINEARI:

LE RETTE

APPLICAZIONI ECONOMICHE

PROBLEMI SULLE RETTE

COEFFICIENTE ANGOLARE

RETTE PARALLELEE PERPENDICOLARI

PUNTI NEL PIANO CARTESIANO

IN UN PIANO CONSIDERIAMO DUE RETTE PERPENDICOLARI CHE CHIAMIAMO X E Y, ORIENTATE, NEL SENSO CHE STABILIAMO UN VERSO DI CRESCENZA DEI NUMERI.

SOLITAMENTE, DISEGNIAMO LA RETTA X ORIZZONTALMENTE E ORIENTATA DA SINISTRA A DESTRA, LA RETTA Y VERTICALMENTE E ORIENTATA DAL BASSO VERSO L'ALTO. LE DUE RETTE SI CHIAMANO ASSI COORDINATI E IL LORO PUNTO D'INTERSEZIONE O SI CHIAMA ORIGINE.

STABILIAMO, INFINE, UNA UNITÀ DI MISURA, U CHE CI CONSENTE DI MISURARE LE LUNGHEZZE SUI DUE ASSI.IN MATEMATICA, SI PRENDE LA STESSA UNITÀ DI MISURA PER L'ASSE X E PER L'ASSE Y. SI DICE CHE NEL PIANO È STATO FISSATO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO.

È POSSIBILE STABILIRE UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA I PUNTI P DEL PIANO E LE COPPIE DI NUMERI REALI (X,Y).

DAL PUNTO P SI TRACCIA LA PARALLELA PH ALL'ASSE Y E LA PARALLELA PK ALL'ASSE X. LA LUNGHEZZA DI OH RAPPRESENTA L'ASCISSA DEL

PUNTO P, MENTRE LA LUNGHEZZA DI OK RAPPRESENTA L'ORDINATA DEL PUNTO P.

CHIAMIAMO X L’ASCISSA E Y L’ORDINATA. LA COPPIA DI NUMERI (X,Y) VENGONO DETTE COORDINATE DEL PUNTO P.

VICEVERSA, ASSEGNATA UNA COPPIA DI NUMERI REALI (X,Y), INDIVIDUIAMO PRIMA IL PUNTO H, POI IL PUNTO K, INFINE, TRACCIANDO

LE DUE PARALLELE AGLI ASSI, SI OTTIENE IL PUNTO P.

DISTANZA TRA DUE PUNTI

212

212 )YY()XX(PQ

P (X1,Y1) Q (X2,Y2)

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

2

XXX 21

M

2

YYY 21

M

ESERCITAZIONI

1. DATI I PUNTI A(3,-2) E B(-5,4):

A. RAPPRESENTARLI SUL PIANO;

B. CALCOLARE LA LORO DISTANZA;

C. CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO.

2. DATI I PUNTI A(0,-7) E B(1,6):

A. RAPPRESENTARLI SUL PIANO;

B. CALCOLARE LA LORO DISTANZA;

C. CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO

EQUAZIONE DI UNA RETTA

FORMA ESPLICITA FORMA IMPLICITA

y = m x + q ax+by+c = 0

y = 3 x + 5 3x – y + 5 = 0

COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA

FORMA ESPLICITA

y = m x + q

FORMA IMPLICITA

ax+by+c = 0

mb

a

Esempio:

y = 3 x + 5

m = 3

Esempio:

3x – y + 5 = 0

m = 31

3

y = m x + q

RETTA PASSANTE PER

L’ORIGINE

RETTA NONPASSANTE PER

L’ORIGINE

q = 0 q 0

y = 4 x Y = 6 x + 9

CASI PARTICOLARI DI RETTE

y = kRette parallele

all’asse x

y = x

Bisettrice del I e IIIquadrante

x = kRette parallele

all’asse y

y = - x

Bisettrice del II e IVquadrante

X = 0 asse yY = 0 asse x

Esempi:

Y = 3 retta parallela all’asse xX = 2 retta parallela all’asse y

y = xy = - x

x

y

x = 2

y = 3

Y = 0

X = 0

ESERCITAZIONI

1. DATE LE SEGUENTI RETTE

A. Y = 3X – 1

B. 3 X + 2 Y -5 = 0

C. X + 4 Y – 3 = 0

D. Y = X -

E. Y = 5 X

F. 6X – Y = 0

• INDICA QUALI TRA ESSE SONO IN FORMA IMPLICITA E QUALI IN FORMA ESPLICITA;

• CALCOLA IL COEFFICIENTE ANGOLARE DI OGNI RETTA;

• INDICA QUALI TRA ESSE PASSANO PER L’ORIGINE;

• RAPPRESENTALE NEL PIANO CARTESIANO.

4

3

4

1

RETTE PARALLELE RETTE PERPENDICOLARI

HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE

Y = m x + qY = m1 x + q1

PARALLELE //

m = m1

Y = m x + qY = m1 x + q1

PERPENDICOLARI

m1 =

m

1

ESEMPI DI RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

1. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y = 3 X + 5 E Y = 3 X – 2

SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE PERCHE’

HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE 3

2. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y = 5 X -1 E Y = X

SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PERPENDICOLARI 5

1

3. DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA

2X – 4 Y + 1 = 0 E X – 2 Y + 5 = 0

SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE POICHE’ HANNO

LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE

M =

4. DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA

3 X – 5 Y + 2 = 0 E 15 X + 9 Y – 2 = 0

SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PERPENDICOLARI POICHE’

I COEFFICIENTI SONO ANTIRECIPROCI:

M1 = M2 =

2

1

5

33

5

ESERCITAZIONI

1. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE

X – 5Y + 1 = 0 2X – 4Y + 3 = 0 X -2Y = 0

X – 2Y = 5 Y = X – 6 X – Y + 2 = 0

INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO PARALLELE

2. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE

X – Y + 1 = 0 Y + X – 3 = 0 3X + Y = 2

6X – 2Y – 7 = 0 3X – Y + 5 = 0 X + 3Y – 1 = 0

INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO PERPENDICOLARI

4

35

1

3

8

EQUAZIONE DI UNA RETTA NOTO UN PUNTO E IL COEFFICIENTE ANGOLARE

DATO 1: IL COEFFICIENTE ANGOLARE E’ M = 2

DATO 2: IL PUNTO P(3,4) APPARTIENE ALLA RETTA

1. SCRIVO IL VALORE DI M =2 NELL’EQUAZIONE: Y = 2 X + Q

2. SOSTITUISCO LE COORDINATE DEL PUNTO NELL’EQUAZIONE DELLA RETTA 4 = 2 · 3 + Q 3. TROVO IL VALORE DI Q: 4 = 6 + Q 4 – 6 = Q Q = -2

4. SCRIVO L’EQUAZIONE DELLA RETTA: Y = 2 X - 2

Y = M X + Q

ESERCITAZIONI

SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P

E AVENTE COEFFICIENTE ANGOLARE M

1. P(7, - 3) M = - 1

2. P(5, -1) M = - 4

3. P(2, 9) M =

4. P(0, 2) M = - 7

3

2

ALCUNE VOLTE NEGLI ESERCIZI IL COEFFICIENTE ANGOLARE NON VIENE FORNITO IN MANIERA DIRETTA, MA E’ NECESSARIO RICAVARLO DAL COEFFICIENTE ANGOLARE DI ALTRE RETTE NOTE.

ESEMPIO

SCRIVI L’EQUAZIONE DELLE RETTA PASSANTE PER IL PUNTO

P(6,3) E PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2X – 5Y +1 = 0

Y = MX + Q

IL COEFFICIENTE ANGOLARE DELLE DUE RETTE SARA’ LO

STESSO PERCHE’ SONO PARALLELE: M =

IMPONGO LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA DEL PUNTO P ALLA RETTA:

5

2

5

3Q3Q5Q51215

Q51215Q65

23

5

3X

5

2Y

COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

A

B

X

y

m =

AB

AB

xx

yy

EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

P(X1,Y1)

Q(X2,Y2)12

1

12

1

XX

XX

YY

YY

P(3,2)

Q(1,0)

31

3X

20

2Y

1XY

23XY

3X2Y2

3X

2

2Y

ESERCITAZIONI

1. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P(4,-6) E PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2Y – 9 =0

R: [Y + 6 = 0]

2. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO

P(3, -2) E PERPENDICOLARE ALLA RETTA DI EQUAZIONE

R:[4X+3Y-6=0]

3. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER I PUNTI A(2,2) E B(-3,-1)

4. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER I PUNTI A E B(-2, -1)

4

9X

4

3Y

2

1,

5

3

INTERSEZIONE TRA RETTE

RETTE:3X - 2Y - 5= 0X + Y – 5 = 0

L’INTERSEZIONE TRA DUE RETTE E’ UN PUNTO LE CUI COORDINATE SI OTTENGONO RISOLVENDO

IL SISTEMA LINEARE TRA LE EQUAZIONI DELLE DUE RETTE

0 5– Y X

0 5 - 2Y - 3X

253Y3X015X5

0510X2X3

05)5X(2X35XY

2,3

ESERCITAZIONI

1. DETERMINA L’INTERSEZIONE TRA LE RETTE

X + 2Y = 3 E X – Y = 0

R:[(1,1)]

2. DETERMINA L’INTERSEZIONE DELLE RETTE

2X + Y = 5 E Y = 1

R:[(2,1)]

FASCI DI RETTE

FASCIO IMPROPRIO

FASCIO PROPRIO

L’INSIEME DELLE INFINITE RETTE DEL PIANO AVENTI

TUTTE LA STESSA DIREZIONE, OVVERO L’INSIEME

DI TUTTE LE INFINITE RETTEDEL PIANO PARALLELE AD UNA

STESSA RETTA, DETTARETTA BASE CHE PASSA PER

L’ORIGINE DEGLI ASSI

L’INSIEME DELLE INFINITE RETTE DEL PIANO PASSANTI

TUTTE PER UNO STESSOPUNTO DETTO

CENTRO DEL FASCIO

FASCIO IMPROPRIO

RETTA BASE

X

Y

Equazione di un fascio improprio

y = mx + K

fisso variabile

FASCIO PROPRIO

Centro del fascio

X

Y

C

C(x0 ; y0) centro del fascio

Equazione di un fascio proprio

y – y0 = m (x – x0)

variabile

Equazione della retta passante per un punto

P(x0 ; y0)

y – y0 = m (x – x0)

L’equazione di un fascio proprio di rette di centro P coincide con l’equazione di una generica retta passante per P. L’unica retta esclusa da tale fascio è quella passante per P e parallela all’asse y, in quanto le rette parallele all’asse y non hanno coefficiente angolare.

APPLICAZIONE DELLA RETTA ALL’ECONOMIA:COSTI, RICAVI, PROFITTI

UN’AZIENDA PER PRODURRE SCATOLE REGALO SOSTIENE DEI COSTI FISSI MENSILI DI 5.164€ E UN COSTO PER UNITA’ DI PRODOTTO PARI A 2€. OGNI SCATOLA VIENE POI RIVENDUTA AD UN PREZZO DI 10€. DETTO X IL NUMERO DI SCATOLE PRODOTTE E VENDUTE, DETERMINA LE FUNZIONI COSTO, RICAVO E PROFITTO ED INDIVIDUA NEL GRAFICO LA ZONA DI PERDITA E LA ZONA DI GUADAGNO.

COSTO UNITARIO = 2€

COSTO FISSO = 5.164€

PREZZO DI VENDITA UNITARIO =10€

COSTO TOTALE = COSTI FISSI + COSTO UNITARIO · QUANTITA’ PRODOTTA

CTOT = CFISSI + CUNITARIO · X

CTOT = 5.164 + 2X

RICAVO = PREZZO UNITARIO DI VENDITA · QUANTITA’ PRODOTTA

R = PUNITARIO · X

R = 10X

PROFITTO = RICAVO – COSTO

P = R – C

P = 10X – 2X – 5.164 = 8X – 5.164

1000

5000

€

100

COSTOCOSTO

RICAVO

RICAVO

PUNTO DI EQUILIBRIO

PERDITA

GUADAGNO

SE RICAVO < COSTO PERDITA SE RICAVO = COSTO EQUILIBRIO

SE RICAVO > COSTO GUADAGNO