21_esempi Ed Esercizi Riassuntivi

7/25/2019 21_esempi Ed Esercizi Riassuntivi

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 21Titolo: Esempi ed esercizi riassuntivi

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 21 Esempi ed esercizi r iassunt ivi .

Nucleotematico

Lez. Contenuto

6 21

Esempi ed esercizi sullapplicazione delle EquazioniCardinali della Statica, del principio dei Lavori Virtuali, sultracciamento dei diagrammi delle caratteristiche disollecitazione, sul tracciamento della linea delle pressioni.

In questa lezione vengono svolti alcuni esempi riassuntivi relativi agliargomenti fin qui trattati.

Esempio 21.1Relativamente al sistema di travi difigura 21.1 si tracci la linea

delle pressioni.

Figura 21.1.

Immaginando di percorrere lasse della struttura da E verso Dlunica forza che precede ogni sezione del tratto ED la forza F ,pertanto la retta di azione r di questa forza la linea delle pressionirelativa al tratto ED (figura 21.2).

Figura 21.2.

Superata la sezione D le forze che precedono ogni sezione del trattoDC sono la forza F e la reazione DR del carrello D; la retta di azione

della risultante tra queste forze la linea delle pressioni relativa altratto DC. Siccome entrambe queste forze hanno retta di azioneverticale anche la loro risultante ha retta di azione verticale. Pu ora

FC D

E

2

RD

RC2

rs

A B

C

1RC1

RBRA

t

L L L/2L

FA B C D

E

1 2
mailto:[email protected]:[email protected]


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osservarsi che allelemento 2 sono applicate le due forze citate e la

reazione 2CR del vincolo interno C (figura 21.2). Queste tre forzedevono costituire un sistema equilibrato, cio soddisfare

0RRF 2CD =++ (e.1.1)

da cui

( )D2C RFR += (e.1.2)

quindi la retta di azione di 2CR la retta di azione di DRF + ed verticale. Daltra parte la retta di azione di 2CR deve passare per lacerniera. Si conclude che la retta di azione di DRF+ , che la linea

delle pressioni relativa al tratto DC, la retta s verticale passante perC. Tra C e B non sono applicate forze quindi le forze che precedonoogni sezione del tratto CB sono le stesse che precedono ogni sezionedel tratto DC e la linea delle pressioni relativa a CB ancora s.Superata la sezione B alle forze che precedono deve aggiungersi lareazione BR del carrello B che ancora verticale e quindi la lineadelle pressioni relativa al tratto AB (retta di azione di BD RRF ++ ) ancora verticale. Daltra parte per lequilibrio dellintero sistema la rettadi azione di BD RRF ++ deve essere anche la retta di azione dellareazione AR della cerniera A. La retta di azione di questa reazionedeve essere verticale e passare per A. Si conclude che la linea delle

pressioni relativa al tratto BA la retta t verticale per A. Le rette checostituiscono la linea delle pressioni della struttura sono tracciate infigura 21.3 e riassunte intabella 21.1.

Figura 21.3.

Tratto Linea delle pressioni

AB t

BD s

DE r

Tabella 21.1.

Ricordando losservazione 1 della lezione 19 pu affermarsiche lo sforzo normale nullo in ogni sezione della struttura, essendola linea delle pressioni sempre ortogonale allasse della trave. Inoltre ilmomento flettente ovunque non nullo tranne nelle sezioni in cui

L L L/2L

FA B C D

E

1 2

rst


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lasse della trave interseca la linea delle pressioni e quindi, nel

presente esempio, si ha momento flettente nullo solo nelle sezioni A,C ed E. Queste osservazioni possono controllarsi osservando idiagrammi delle sollecitazioni di figura 18.15.

Esempio 21.2

Relativamente al sistema di travi difigura 21.4 si tracci la lineadelle pressioni.

Figura 21.4.

Immaginando di percorrere lasse della struttura da G verso A,lunica forza che precede ogni sezione del tratto GA la forzaverticale di modulo qL, pertanto la sua retta di azione r la linea dellepressioni relativa a tale tratto. Superata la sezione A le forze cheprecedono ogni sezione del tratto AB sono la forza qL e la reazione

AR del carrello A; la retta di azione della risultante tra queste forze

la linea delle pressioni relativa al tratto AB. Con ragionamento analogoa quello dellesempio precedente si deduce che la retta di azione dellarisultante tra qL ed AR la retta s verticale per la cerniera B. Questaretta costituisce quindi la linea delle pressioni relativa al tratto AB.Siccome poi tra B e C non sono applicate forze la retta s anche lalinea delle pressioni relativa al tratto BC (figura 21.5).

Figura 21.5.

La reazione della cerniera interna D stata determinata nella lezione

11 (si riveda lesempio 11.2). La reazione 3DR esercitata dallacerniera alla sezione D dellelemento 3 deve equilibrare tutte le forzeesterne applicate tra le sezioni E e D, pertanto la sua retta di azione t

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D1 2

qLq

G

r s

D 3

q

E

RD3= 11qL/6

t

RD2= 11qL/6

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D1 2 3

qLq

E

G


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la retta di azione della risultante delle forze applicate tra E e D e

quindi la linea delle pressioni della sezione D. Resta da determinarela linea delle pressioni relativa ai tratti DE e DC.

Relativamente al tratto DE si consideri unascissa z coincidentecon lasse della trave ed avente origine in D e si immagini dipercorrere lasse della struttura da D verso E. Si consideri la genericasezione di questo tratto distante z da D (figura 21.6).

Figura 21.6.

La linea delle pressioni relativa alla sezione z la retta di azione u(z)della risultante tra la reazione 3DR e la forza qz (essendo questultimala risultante del carico applicato tra D e la sezione z); la retta u(z) quindi verticale ed interseca lasse z in corrispondenza dellascissa

incognita zp(z) che pu determinarsi imponendo lequivalenza tra ilsistema di forze costituito da 3DR e da qz ed il sistema di forzecostituito dalla sola risultante di modulo RD3+ qz applicata sulla rettapassante per zp(z), cio:

( ) ( ) 02

zzzqzzzR pp3D =

+ (e.2.1)

e quindi

( )

qL11qz6

qz3zz

2

p+

= (e.2.2)

Si conclude che la linea delle pressioni relativa alla sezione z la rettau(z) che interseca lasse z allascissa zp(z) data dalla(e.2.2).Si pu controllare la correttezza della (e.2.2) verificando che risultazp(0) = 0, quindi la (e.2.2) fornisce la linea retta t come linea dellepressioni per la sezione D. Pu inoltre determinarsi la posizione dellalinea delle pressioni della sezione E ponendo z = L/3 nella(e.2.2);siottiene

39

L

3

Lzp =

(e.2.3)

Sfruttando questo risultato pu valutarsi il momento flettente nellasezione E (figura 21.7) calcolando il momento rispetto ad E della

L/3

D 3

qE

RD3= 11qL/6

t

z = 0z

qz

zp(z)

zRD3+ qz

u(z)


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risultante RD3+ qL/3 applicata sulla linea delle pressioni relativa alla

sezione E

2

3DE qL3

2

39

12

3

qLqL

6

11

39

L

3

L

3

qLRM =

+=

+= (e.2.4)

che ovviamente coincide con quanto gi determinato nella lezione 18.

Figura 21.7.

Relativamente al tratto DC ancora valida la (e.2.2), conlavvertenza che le sezioni tra D e C sono identificate da ascisse znegative. Ad esempio la linea delle pressioni di una sezione postaimmediatamente a destra di C identificata da

L21

4L

3

2zp =

(e.2.5)

Le rette che costituiscono la linea delle pressioni della struttura inesame sono tracciate infigura 21.8 e riassunte inTabella 21.2.

Figura 21.8.


GA rAC s

CE u(z)

Tabella 21.2.

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D1 2 3

qLq

E

G

r s u(z)

zz = 0

zp(z)

L/3

D E

RD3+ qL/3= 13qL/6

z = 0zp(L/3)

z

u(L/3)

RD3= 11qL/6

qL/3

L/39L/3 - L/39 = 12L/39

ME


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Esempio 21.3

Si tracci la linea delle pressioni della struttura difigura 21.9.

Figura 21.9.

La reazione AR del carrello A verticale e passa per A.Immaginando di percorrere lasse della struttura da A verso D, lunicaforza che precede ogni sezione dei tratti AC e CD la reazione AR ,pertanto la sua retta di azione r (verticale passante per A) la lineadelle pressioni relativa a tali tratti. La retta di azione della reazione BR dellappoggio B deve equilibrare la reazione AR e la forza F applicataal punto M, pertanto la sua retta di azione la retta s che passa per Be per il punto K, intersezione tra le rette di azione di AR ed F (figura21.10), come gi discusso nella lezione 11 (esempio 11.3).Immaginando di percorrere lasse della struttura da B verso D, lunicaforza che precede ogni sezione dei tratti BH, HG, GE ed ED la

reazione BR , la cui retta di azione s quindi la linea delle pressionirelativa a tali tratti. Immaginando infine di percorrere lasse dellastruttura da M verso D, lunica forza che precede ogni sezione deltratto MD la forza F e quindi la linea delle pressioni relativa al trattoMD la retta di azione t di F . Le rette che costituiscono la linea dellepressioni della struttura sono rappresentate infigura 21.10 e riassunteinTabella 21.3.


AD r

DB sMD t

Tabella 21.3.

L/2 L/2 L

L

L

L

F

A B

C

D

E

G

H

M


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Figura 21.10.

Osservando queste linee delle pressioni pu a priori affermarsiche:

- lasta AC soggetta a solo sforzo normale, essendo la linea delle

pressioni r coincidente con lasse dellasta;- lasta CD soggetta solo a taglio ed a momento flettente, essendo

la linea delle pressioni r ortogonale allasse dellasta; in particolareil momento flettente nella sezione C nullo in quanto la linea dellepressioni r passa per C;

- lasta MD soggetta solo a taglio ed a momento flettente, essendola linea delle pressioni r ortogonale allasse dellasta; in particolareil momento flettente nella sezione M nullo in quanto la linea dellepressioni t passa per M;

- il momento flettente nelle sezioni O1ed O2in corrispondenza dellequali la linea delle pressioni s interseca gli assi delle aste nullo.

Ovviamente non nullo il momento flettente nella sezione in cui lalinea delle pressioni s interseca lasta MD, in quanto la retta s non lalinea delle pressioni per detta asta. Queste evenienze possonoverificarsi immediatamente osservando i diagrammi delle sollecitazionideterminati nella lezione 18 (figura 18.24).

A B

F

r

s

K t

CD

E

G

H

M

O2

O3

O1


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LEZIONE 21 Sessione di studio 1

Esempi ed esercizi riassuntivi.

Sono proposti nel seguito due ulteriori esempi. Si consiglia al lettore dirisolverli autonomamente e di confrontare i risultati con le soluzionidescritte nella prossima sessione di studio.

Esempio 21.4

Si traccino la linea delle pressioni e i diagrammi dellecaratteristiche di sollecitazione della struttura difigura 21.11.

Figura 21.11.

Esempio 21.5

Si traccino la linea delle pressioni e i diagrammi dellecaratteristiche di sollecitazione della struttura difigura 21.12.Si calcoliil momento flettente massimo del tratto DB. Si calcolino infine con ilPrincipio dei Lavori Virtuali le caratteristiche di sollecitazione nellasezione di mezzeria dellasta BE.

Figura 21.12.

2LL

L

A

B

C

1

2

q

D E

L/2 L/2L

F

L/2

L/2

A

B

C

1 2


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Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nellaprecedente sessione di studio.

Soluzione dell esempio 21.4

Linea delle pressioni

Come gi discusso nella lezione 11 (esempio 11.4) la retta diazione della reazione CR del carrello C la retta r orizzontale per C,mentre per lequilibrio dellelemento 2 la retta di azione della cerniera

interna B deve passare per la cerniera stessa e per il puntointersezione K tra r e la retta di azione di F (figura 21.13).

Figura 21.13.

Immaginando quindi di percorrere lasse della struttura da C verso A,lunica forza che precede ogni sezione dei tratti CG e GD lareazione CR la cui retta di azione r dunque la linea delle pressionirelativamente a questi tratti. Superata la sezione D alla quale applicata la forza F la linea delle pressioni la retta di azione dellarisultante tra la reazione CR e la forza F ; per lequilibrio dellelemento2 questa risultante ha la retta di azione s della reazione del vincolo B,

pertanto s la linea delle pressioni relativa al tratto DB. Questultimaretta anche linea delle pressioni per i tratti BE ed EA, non essendoapplicate altre forze tra B e A. Le rette che costituiscono la linea dellepressioni della struttura sono rappresentate infigura 21.13 e riassunteintabella 21.4.


AD sDC r

Tabella 21.4.

Osservando queste linee delle pressioni pu a priori affermarsiche:

A

1

F

C

2

rs

K

B

L/2 L/2L

L/2

L/2D

EG


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- lasta CG soggetta solo a taglio ed a momento flettente, essendo

la linea delle pressioni r ortogonale allasse dellasta; in particolareil momento flettente nella sezione C nullo in quanto la linea dellepressioni r passa per C;

- lasta GD soggetta a solo sforzo normale ed a momento flettente;inoltre il momento flettente costante, essendo la linea dellepressioni r parallela allasse dellasta.

Diagrammi delle sollecitazioni

Per tracciare i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazionesi sfruttano le reazioni vincolari gi determinate nella lezione 11 (figura

11.22) che sono riassunte in figura 21.14. Nella stessa figura rappresentata la posizione assunta per la linea tratteggiata chedefinisce il segno delle caratteristiche di sollecitazione.

Figura 21.14.

Diagramma dello sforzo normale

Lo sforzo normale costante nel tratto AE, non essendoapplicate lungo questo tratto forze nella direzione dellasse dellastaAE. Lunica forza che precede una qualunque sezione del tratto AE la reazione dellincastro A, la cui componente nella direzione dellosforzo normale ha modulo F ed ha verso opposto a quello assuntocome positivo. Lo sforzo normale nel tratto AE dunque costante epari a -F (figura 21.15b).

Lo sforzo normale costante anche nel tratto EG, non essendoapplicate a questo tratto forze nella direzione dellasse dellasta(lunica forza applicata F nel punto D che ha componente nulla nelladirezione dellasse). Lunica forza che precede una qualunque sezionedel tratto EG la reazione dellincastro A, la cui componente nelladirezione dello sforzo normale ha modulo F ed ha verso concorde conquello assunto come positivo per lo sforzo normale. Lo sforzo normalenel tratto EG dunque costante e pari a F (figura 21.15c). Superata la

sezione D le forze che precedono sono la reazione dellincastro A e laforza F ; siccome questultima ha componente nulla nella direzione

F

F

F

F

F

F

F

F

2FLA

B

C

1 2BE

DG

F

F

F

F

2FLA

B

C

1 2

L/2 L/2L

L/2

L/2

ED

G


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dello sforzo normale dellasta EG lo sforzo normale rimane costante

pari ad F anche nel tratto DG.

Figura 21.15.

Lo sforzo normale infine costante nel tratto GC, non essendoapplicate a questo tratto forze nella direzione dellasse dellasta. Leforze che precedono ogni sezione di tale tratto sono la reazionedellincastro A e la forza F applicata in D. La risultante di queste forzeha componente nulla nella direzione dello sforzo normale dellastaGC. Lo sforzo normale dunque nullo in ogni sezione del tratto GC(figura 21.15d). Questo risultato avrebbe pi rapidamente potutoottenersi immaginando di percorrere la struttura da C verso G; inquesto caso lunica forza da considerare la reazione del carrello cheevidentemente ha componente nulla nella direzione dello sforzonormale dellasta CG.

Si ottiene in definitiva il diagramma dello sforzo normale difigura 21.17.

Diagramma del taglio

Il taglio costante nel tratto AE, non essendo applicate lungoquesto tratto forze ortogonali allasse dellasta. Lunica forza cheprecede una qualunque sezione del tratto AE la reazionedellincastro A, la cui componente nella direzione del taglio ha moduloF ed ha verso concorde con quello assunto come positivo. Il taglio neltratto AE dunque costante e pari a F (figura 21.15b).

Il taglio costante anche nel tratto ED, non essendo applicatea questo tratto forze in direzione ortogonale allasse dellasse

F

F

F

F

2FL

B

C

1 2

L/2 L/2L

L/2

L/2

E

D

G

N

T

MM

NT

M

T

N (b)

F

F

F

F

2FL

B

C

2

L/2 L/2L

L/2

L/2D

G

M

N

T

M

T

N

(c)

N

TM F

F

F

F

2FL

C

L/2 L/2L

L/2

L/2M

N

T

M

T

N (d)

N

T

M

F

F

F

F

2FLA

B

C

1 2

L/2 L/2L

L/2

L/2

ED

G

(a)


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Figura 21.16.

Il diagramma del momento nel tratto ED ancora lineare; il

momento flettente nella sezione E gi stato calcolato mentre ilmomento flettente nella sezione B nullo per la presenza dellacerniera. Il diagramma si ottiene quindi tracciando un segmentopassante per lordinata che rappresenta MEe per il punto B (ordinatanulla) e prolungandolo fino ad incontrare la perpendicolare alla travein D (figura 21.16d). Con semplici considerazioni geometriche relativeai triangoli formati dal diagramma del momento pu ottenersi ilmomento nella sezione D che vale MD = FL/2. Il momento flettentedeve poi presentare in D una discontinuit della tangente, essendoapplicata in D la forza F.

Il momento flettente costante nel tratto DG, pertanto il suodiagramma un segmento parallelo al tratto DG stesso (figura21.16e). Ci si rende conto di questo ricordando che la linea delle

F

F

F

F

2FL

B

C

2

L/2 L/2L

L/2

L/2D

G

M

N

T

M

T

N

(b)

N

TMF

F

F

F

2FLA

B

C

1 2

L/2 L/2L

L/2

L/2

ED

G

(a)

F

F

F

F

2FLA

BE

D

(f)

N

T

M

F

B

C

E

DG

(e)

A2FL

FL

FL/2

FL

F

B

C

E

D G

(g)

A2FL

FL

FL/2

FLFL/2

F

B

C

E

DG

(d)

A2FL

FL

FL/2

FL

F

B

C

E

DG

(c)

A2FL

FL

EM

NT

M

T

N


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pressioni relativa al tratto DG parallela al segmento DG. In

alternativa si pu immaginare di percorrere lasse della struttura da Gverso D; in questo caso lunica forza che precede qualunque sezionedel tratto GD la reazione F del vincolo C ed il momento di questareazione pari ad FL/2 rispetto a qualunque punto del segmento DG(figura 21.16f).

Infine il diagramma del momento ancora lineare tra G e C e siottiene unendo con un segmento il punto che rappresenta il momentoflettente nel punto G con il punto C stesso, essendo in C il momentoflettente nullo (figura 21.16g).

Si ottiene in definitiva il diagramma del momento flettente di

figura 21.17.

Figura 21.17.

Osservando la figura 21.17 pu rapidamente controllarsi che idiagrammi del taglio e del momento flettente tracciati sono coerenticon la nota relazione tra la funzione taglio e la funzione momentoflettente; pu inoltre controllarsi che la linea delle pressioni, riportatanel diagramma di corpo libero, sia coerente con i diagrammi dellesollecitazioni tracciati.

Si osserva che i diagrammi di figura 21.17 sono stati tracciatisenza preventivamente esplicitare le funzioni N(s), T(s) ed M(s) di cui

costituiscono il grafico, sfruttando le note propriet di dette funzioni.Ovviamente, scegliendo ad esempio unascissa curvilinea s sullasse

F

F

F

F

2FLA

B

C

1

2

L/2 L/2L

L/2

L/2 ED

G

F

A

B

C

Scala per lo sforzonormale ed il taglio F

-

+

F

F

N

F

A

B

C+F

F

T

+

-

F

B

C

A2FL

FL

FL/2

FL/2

M

Scala per ilmomento flettente

r

s

s

-

-

+


15/26


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della trave avente origine in A avrebbero potuto essere

preventivamente determinate le funzioni

( )

=0

F

F

sN

Ls0se


16/26


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forze che precedono una qualunque sezione dei tratti BE e EC

ancora r.

Figura 21.18.

Anche relativamente alla struttura difigura 21.17b la retta s dunquela linea delle pressioni per il tratto AD e la retta r la linea dellepressioni per i tratti BE ed EC. Relativamente al tratto DB, ricordandoquanto dedotto nellesempio 19.5, la linea delle pressioni unaparabola. Questa deve essere tangente in A alla retta s (la retta diazione della risultante delle forze che precedono la sezione D laretta s) e tangente in B alla retta r (la retta di azione della risultantedelle forze che precedono la sezione B la retta r). Assunto un

sistema di riferimento (xAy) nel piano (figura 21.19) la linea dellepressioni del tratto DB quindi descritta da unequazione del tipo

( ) cxbxaxy 2 ++= (e.5.1)

essendo i coefficienti a b e c determinabili mediante tre indipendentidelle suddette condizioni. Imponendo ad esempio il passaggio per A eper B e la tangenza in B alla retta r queste condizioni sono

( )

( ) ( )

( )

=

==

=

LLy

2

1xy

dx

dL'y

00y

(e.5.2)

la seconda delle quali impone nel punto B alla parabola la stessapendenza della retta r (figura 21.19).Imponendo le queste condizioni si trovano i coefficienti

L2

3a = L

2

5b= 0c = (e.5.3)

e quindi la cercata linea delle pressioni descritta dalla parabola

( ) x2

5x

L2

3xy

2+= (e.5.4)

B

C

2

r

qL

A

1

s

D E

G

(a)

B

C

2

r

A

1

s

D EK

(b)

q


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Figura 21.19.

In definitiva, la linea delle pressioni per la struttura in esame tracciata infigura 21.20.

Figura 21.20.

Le curve che costituiscono la linea delle pressioni della struttura sonoriassunte, tratto per tratto, intabella 21.5


AD retta s

DB parabola pBC retta rTabella 21.5.

Si osserva che la linea delle pressioni del tratto DB soddisfa lacondizione (e.5.7) ottenuta nella lezione 19, cio

( )z''yH

q= (e.5.5)

essendo H la componente orizzontale della reazione AR . Questo puverificarsi immediatamente ricordando le reazioni vincolari

determinate nella lezione 11 (esempio 11.5), riassunte infigura 21.21.

B

C

2

r

A

1

s

D Eq

x

y

2LL

L

tan() = 1/2 = -y(x)

p

B

C

2

r

A

1

s

D EK

q

x

y

2LL

L

tan() = 1/2 = -y(x)


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Figura 21.21.

Essendo infatti H = qL/3, si ha

L

3

qL

q3

H

q== (e.5.6)

Derivando due volte la(e.5.4) si ha

( )L

3x''y = (e.5.7)

Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione

Si consideri dapprima la configurazione difigura 21.18a in cui ilcarico distribuito sostituito dalla sua risultante. In questo caso,

considerando le reazioni di figura 21.21 immediato tracciare idiagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, procedendo comeormai consueto. Questi diagrammi sono rappresentati infigura 21.22.

Figura 21.22.

N

A C

D E

qL

-

-

-

5qL/6

qL/6

qL/3

+

T

A C

DE

qL

-

-qL/3

5qL/6

qL/6

qL/3+

Scala per lo sforzonormale ed il taglio

qL

M

A C

D E

qLqL2/3 qL2/3

qL2/12


2LL

A

B

1

5qL/6

C

2

qL/3qL/6

qL/3

L

DE

r

qL

s

G

K s B

B B

qL2

A

B

1

5qL/6

C

2

qL/3

qL/6

qL/3

2LL

L

q

D

E


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A questo punto si pu osservare che i diagrammi delle caratteristichedi sollecitazione della struttura con il carico distribuito (figura 21.18b)differiscono da quelli appena tracciati solo relativamente al tratto DB.Infatti le risultanti delle forze che precedono le sezioni dei tratti AD eBC sono le stesse nei casi di figura 21.18a e di figura 21.18b,essendo le reazioni vincolari le stesse nei due casi.

Per la struttura con il carico distribuito il diagramma dello sforzonormale lo stesso gi tracciato considerando la risultante di dettocarico in quanto il carico q, essendo applicato in direzione ortogonaleallasta, non produce variazioni di sforzo normale nellasta DB (figura21.23).

Figura 21.23.

Per la struttura con il carico distribuito il diagramma del taglio lineare tra D e B (si ricordi losservazione 9 della lezione 17); inoltre iltaglio nelle sezioni B e D dellasta lo stesso gi calcolatoconsiderando la forza concentrata. Quindi il diagramma del taglio puottenersi a partire da quello difigura 21.22 tracciando un segmento trale ordinate corrispondenti alle sezioni B e D (figura 21.23).

Per la struttura con il carico distribuito il diagramma delmomento flettente parabolico tra D e B (si ricordi ancoralosservazione 9 della lezione 17). Il momento flettente nelle sezioni Be D dellasta lo stesso gi calcolato considerando la forza

concentrata; inoltre la pendenza del diagramma del momento flettentenelle sezioni B e D la stessa che si ha nel diagramma del momentorelativo alla forza concentrata. Ci si rende conto di questo ricordando

N

A C

D E

-

-

-

5qL/6

qL/6

qL/3

+

T

A C

DE

-

-qL/3

5qL/6

qL/6

qL/3+

Scala per lo sforzonormale ed il taglio

qL

M

A C

D E

qL2/3 qL2/3


2LL

A

B

1

5qL/6

C

2

qL/3

qL/6

qL/3

L

DE

r

s

s B

B B

q q

q q

p

-

-

-+

qL2


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che la pendenza del diagramma del momento (cio la derivata di

M(s)) uguale al taglio e che il taglio nelle sezioni B e D lo stessonel caso di applicazione del carico distribuito della sua risultante.Quindi il diagramma del momento flettente pu ottenersi a partire daquello di figura 21.22 tracciando una parabola passante per leordinate corrispondenti alle sezioni B e D e tangente in B e D aldiagramma del momento relativo alla forza concentrata (figura 21.23).Scelta lascissa s di figura 20.23, i diagrammi delle sollecitazioni sonodescritti dalle funzioni:

( )

=

qL6

13qL

qL6

5

sN

Ls0se


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identificare la generica sezione mediante lascissa x come mostrato in

figura 21.24.

Figura 21.24.

In questa sezione il momento flettente pu determinarsi calcolando ilmomento della risultante ( )xS delle forze che precedono la sezionerispetto al baricentro della sezione stessa (figura 21.24a).

Considerando le componenti orizzontale e verticale della risultante( )xS questo momento vale (figura 21.24b):

( ) ( )( )xyLHxM = (e.5.11)essendo H la componente orizzontale di ( )xS ; il segno meno nella(e.5.11) dovuto al fatto che il momento nella sezione x negativo, inaccordo con la convenzione adottata.Siccome H pari alla componente orizzontale della reazione vincolaree lequazione della linea delle pressioni y(x) data dalla (e.5.4), si ha:

( )2

qxx

6

qL5

3

qLx

2

5x

L2

3L

3

qLxM

222 +=

+= (e.5.12)

Questultima espressione diversa dalla(e.5.10) solo per il fatto chequella scritta rispetto allascissa s, mentre questa scritta rispettoallascissa x. immediato verificare che la(e.5.12) fornisce gli stessivalori del momento flettente delle(e.5.10).Ad esempio nella sezioneD si ha x = 0 ed s = L; la (e.5.10) calcolata per Ls= e la (e.5.12)calcolata per 0x= forniscono il momento flettente M = -qL2/3; nellasezione B si ha x = L ed s = 2L; la(e.5.10) per L2s= e la(e.5.12) per

Lx= forniscono il momento flettente M = 0.

Momento massimo nel tratto DB

Il momento flettente nel tratto DB dato equivalentemente dalla(e.5.10) e dalla(e.5.12) ed ha landamento parabolico difigura 21.23.

B

C

2

r

Eq

x

y

2LL

L

p

x

S(x)

H = qL/3

5qL/6-qxS(x)

B

C

2

r

Eq

x

y

2LL

L

p

x

H=

qL/3

5qL/6-qx

Ly(x)

y(x)

y(x) (a)

(b)


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La sezione smdi momento massimo quella cui corrisponde il vertice

della parabola e pu determinarsi, ad esempio, annullando la derivatadella (e.5.10), cio ponendo

0ds

dM

ms

= (e.5.13)

Ricordando tuttavia che la derivata della funzione momento lafunzione taglio, la sezione sm in cui il momento flettente massimopu pi rapidamente determinarsi imponendo lannullarsi di T(s) in sm,cio, utilizzando la(e.5.9)

( ) ( ) 0LsqqL6

5sT mm == (e.5.14)

Si ottiene

L6

11sm= (e.5.15)

risultato che avrebbe anche potuto determinarsi sul diagramma deltaglio con semplici considerazioni di similitudine di triangoli.In accordo con la(e.5.10),nella sezione sm il momento flettente valeinfine

( ) ( )

72

qLqL

6

7qLs

6

5

2

LsqsM

22

m

2

mm =+

= (e.5.16)

Momento flettente col Principio dei Lavori Virtuali

Detta Q la sezione di mezzeria del tratto BE (figura 21.25), siintroduce una cerniera interna in detta sezione evidenziando imomenti incogniti applicati agli estremi delle aste concorrenti (figura21.25b). Si ottiene cos una struttura una volta labile la cui genericaconfigurazione spostata rappresentata in figura 21.25c insieme alcorrispondente diagramma degli spostamenti verticali.

Relativamente agli spostamenti virtuali di questa configurazione

spostata la condizione di annullamento del lavoro virtuale

0MM2

LqLL 3Q2Q1 =++= (e.5.17)

Essendo poi

12 2 = 13 = (e.5.18)

il momento flettente nella sezione Q

6

qLM

2

Q = (e.5.19)

che lo stesso valore che si legge sul diagramma di figura 20.23 e sicalcola con lespressione (e.5.10) per s = 3L o con lespressione(e.5.12) per x = 2L.


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Figura 21.25.

Taglio col Principio dei Lavori Virtuali

Si introduce un doppio pendolo interno nella sezione Qdisposto in modo da consentire solo gli spostamenti relativi degliestremi delle aste in direzione verticale e si evidenziano le forze ditaglio incognite (figura 21.26b). Si ottiene cos una struttura una volta

labile la cui generica configurazione spostata rappresentata infigura21.26c insieme al corrispondente diagramma degli spostamentiverticali.

Figura 21.26.

Relativamente agli spostamenti virtuali di questa configurazionespostata la condizione di annullamento del lavoro virtuale

0LTL2T2LqLL 3Q2Q1 =++= (e.5.20)

Essendo poi

31

B C12

A C1C2

D Q

C C3

TQ

TQ

qL

2

(b)

R

C23

xC1 = xC2

31

B C12

A C1C2

D

C C3

TQ

TQ

qL

2

(c)

R

C23

Q3

Q2

L L L

xC12 xC3

vR

3

12

1= 2

3

vQ2

vQ3

x

y

B

CA

D

Eq

L

Q

(a)M

N

T

M

T

N

R

x

y

B

CA

D

Eq

L

Q

(a)

31

B C12

A C1

D EQ C23

C2

C C3

MQ MQ

qL

2

(b) MN

T

MT

N

R

L L L

31 B C12

A C1

D EQ C23

C C3

MQ

MQ

qL

2

R

C2

R

xC1 xC12 xC2

xC23

xC3

vR

3

1

2

1

3

2

(c)


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Si ottiene cos una struttura una volta labile la cui generica

configurazione spostata rappresentata in figura 21.27c insieme aicorrispondenti diagrammi degli spostamenti orizzontali e verticali.

Relativamente agli spostamenti virtuali di questa configurazionespostata la condizione di annullamento del lavoro virtuale

0LNL2N2

LqLL 3Q2Q1 == (e.5.23)

Essendo poi

21

2

=

21

23

== (e.5.24)

lo sforzo normale nella sezione Q

3

qLNQ = (e.5.25)

che lo stesso valore che si legge sul diagramma difigura 21.23 o sicalcola con la(e.5.8) per s = 3L.


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proposto nel seguito un ulteriore esempio. Si consiglia il lettore dirisolverlo autonomamente e di confrontare i risultati con la soluzionidescritta nella prossima lezione.

Esempio 21.6

Si traccino la linea delle pressioni e i diagrammi dellecaratteristiche di sollecitazione della struttura di figura 21.28. Sicalcolino con il Principio dei Lavori Virtuali le caratteristiche di

sollecitazione nella sezione di mezzeria dellasta BD.

Figura 21.28.

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

F

A

B D

C

E

G H

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