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Clase 9 - Campo Magnético - Ley de Biot ySavart - Fuerza Magnética

Prof. Juan Mauricio Matera

10 de abril de 2019

Fenómenos Magnéticos

Hasta 1819 se sabía queI existían materiales “imantados”

(como la piedra imán) que atraían aciertos metales.

I Una aguja imantadas tendían aalinearse en la dirección Norte-Suren ausencia de otros imanes(brújulas).

I Los imanes naturales tienen dospolos, llamados “Norte” y “Sur”.Los polos iguales se repelen, y lospolos distintos se atraen.

I No es posible aislar un polo: alromper un imán, cada fragmentotendrá también un polo Norte y unpolo Sur

I El planeta tierra se comporta comoun imán gigante, cuyos polos seencuentran aproximadamentealineados con los polos geográficos.

I Los metales que son atraídos porlos los imanes adquieren, luego deinteractuar con estos, ciertamagnetización: se convierten enimanes no-permanentes.

Interacción entre imanesI Podemos representar a un material imantado

como formado por imanes elementales,caracterizados por un momento magnético ~M.

I Se verifica experimentalmente que el torque quesiente un momento magnético ~M1 enpresencia de otro ~M2, se puede expresar como

T = µ04π

~M1 ×3(r12 · ~M2)r12 − ~M2

|~r12|3

Esta expresión es sospechosamente semejante ala del torque que el campo de un dipolo eléctricoejerce sobre otro dipolo eléctrico!.

I Aquí, µ0 = 4π10−7NA−2 es una constante de proporcionalidadllamada Permeabilidad Magnética del vacío.

I Con esta definción ~M tendrá unidades de Am2.

I En presencia de una distribución general de dipolos, podemosexpresar el torque que siente un momento magnético deprueba δ ~M como T = δ ~M × ~B(~r1) donde

~B(~r1) =∑

k

µ04π

3(r1k · ~Mk)r1k − ~Mk|~r1k |3

donde la suma no incluye al momento δ ~M.I Dada una distribución de momentos magnéticos, ~B(~r) define

un campo vectorial en todo el espacio: el Campo Magnético.I Esta definición recuerda a la de Campo Eléctrico~Fe = δq~E (~r)

Campo Magnético

I En general, definimos el Campo magnético, Densidad deFlujo Magnético ó Campo de Inducción Magnética ~B encada punto del espacio como un vector tal que, un momentomagnético de prueba δ ~M ubicado en ese punto siente untorque T~r = δ ~M × ~B.

I Apunta en la dirección y sentido en que se alinea el momentomagnético (de prueba) en forma estable.

I El módulo de ~B es proporcional a la magnitud del torque.

I La fuerza que siente un momento magnético en presencia deese campo magnético es ~F = ∇(~M · ~B)

UnidadesEn el sistema internacional la intensidad del campo magnético semide en Teslas (T = NA−1m−1).

Valores típicos

Enana Blanca 10kTAcelerador de Partículas 10TResonancia Magnética 1, 5TManchas Solares 1TImán Neodimio / HardDisk

0, 01T

Junto a un teléfonomóvil

100µT

Superficie de la Tierra 50µTCerebro humano 10−13T

Otra unidad que se utiliza para la medida de intensidades decampos magnéticos es el Gauss (G = 10−4T).

Líneas de Campo MagnéticoI De manera análoga a como definimos las Líneas de Campo

Eléctrico, definimos las Líneas de Campo Magnético comocurvas tangentes al campo magnético.

I Por lo tanto, nunca se cruzan entre sí.I Cruzan a los momentos magnéticos en dirección Sur-Norte.I La densidad de líneas que atraviesan una región del espacio es

proporcional a la intensidad del campo en ese punto.

Medida de la Magnitud del campo magnético

Ley de Biot y Savart

Experimento de Oersted (1819)

Descubre que la aguja de una brújula se desvía en presencia decorrientes eléctricas, del mismo modo que lo haría en presencia deun imán.

Realiza experiencias sobre la fuerza mutua entre conductoresrectilineos largos, en función de la corriente que llevan.

Cerca del centro del alambre que lleva lacorriente, el campo magnéticoI yace sobre el plano perpendicular al

alambre.I es perpendicular a la dirección radial (las

líneas de campo son circunferenciasconcéntricas con la corriente).

I su sentido obedece a la regla de la manode derecha

I Su intensidad es inversamente proporcionala la distancia al alambre.

I su intensidad es proporcional a la corriente.O, en forma sintética,

~B(~r) ≈ µ0i2π

u‖ × r|r |

donde u‖ es el versor en la dirección de avancede la corriente.

Ley de Biot y Savart (1820)

Biot y Savart generalizaron esta relación paracorrientes a lo largo de curvas cerradas en general,en cualquier posición del espacio:

~B(~r) = µ0i4π

∮C

d ~× (~r − ~)|~r − ~|3

que se reduce al resultado de Oersted si ~r escercano a algún punto del alambre que lleva lacorriente. . .

Campo en presencia de una corriente rectilineaPara ver que efectivamenteesta expresión reproduce losresultados de Oersted,consideremos un alambre largo,y un punto P cercano a sucentro. Conviene parametrizarC como ~(φ) = r tan(φ)u‖, demanera que d ~= rdφ

cos(φ)2 u‖.

~B(~r) = µ0i4π

∫ φ2

φ1

r u‖cos(φ)2 × (−r tan(φ)u‖ +~r)dφ

(r/ cos(φ))3

= µ0i4πr3

∫ φ2

φ1

r u‖cos(φ)2 × (~r)dφ

cos(φ)3

=µ0i u‖ × r

4πr

∫ φ2

φ1cos(φ)dφ→

µ0i u‖ × r2πr

Notar que el resultado no cambiasi la curva es sóloaproximadamente recta dentro deuna longitud L� r alrededor delorigen.

Campo de una espira circular sobre su ejeCon el eje z a lo largo del eje desimetría, y el origen en el centrode la espira, parametrizamos lacurva C como~(φ) = a(cos(φ)ux + sin(φ)uy ),d ~= a(− sin(φ)ux +cos(φ)uy )dφ,−d ~× ~= a2uzdφ Debido a lasimetría, el campo será paralelo aleje: B(z) = B(z)uz , con

B(z) = µ0i4π

∫C

uz · d ~× (zuz − ~))(z2 + a2)3/2 d ~= µ0i

4π

∫ π

−π

a2dφ(z2 + a2)3/2

= µ0ia2

4π2π

(z2 + a2)3/2 = µ04π (ia2π) 2

(z2 + a2)3/2

Campo de una espira cuadradaPara este caso, debemosdescomponer la integral sobre lacurva C en sus cuatro ladosC = C1 + C2 + C3 + C4:

~B(~r) =4∑

m=1

µ0i4π

∮Cm

d ~× (~r − ~)|~r − ~|3

Debido a la simetría del problema,I El campo magnético sólo

puede tener componentesobre el eje de la espira

I La contribución en esadirección de los cuatro ladosson iguales.

De esta manera,~B(z) = B(z)uz , con

B(z) = 4µ0i4π

∫C1

uz · d ~× (z ~uz − ~)(z2 + |~|2)3/2

= µ0iπ

∫C1

uz · ~× d ~

(z2 + |~|2)3/2

Campo de una espira cuadradaPara este caso, debemosdescomponer la integral sobre lacurva C en sus cuatro ladosC = C1 + C2 + C3 + C4:

~B(~r) =4∑

m=1

µ0i4π

∮Cm

d ~× (~r − ~)|~r − ~|3

Debido a la simetría del problema,I El campo magnético sólo

puede tener componentesobre el eje de la espira

I La contribución en esadirección de los cuatro ladosson iguales.

De esta manera,~B(z) = B(z)uz , con

B(z) = 4µ0i4π

∫C1

uz · d ~× (z ~uz − ~)(z2 + |~|2)3/2

= µ0iπ

∫C1

uz · ~× d ~

(z2 + |~|2)3/2

Parametrizando~= −

√a2 + z2 tan(φ)ux + auy ,

d ~= −√

a2+z2

cos2(φ) uxdφ −φ0 ≤ φ ≤ φ0φ0 = arctan( a√

a2+z2 )

B(z) = µ0iπ

∫ φ0

−φ0

a√

a2 + z2/ cos2(φ)dφ(√

a2 + z2/ cos(φ))3

= µ0iaπ(a2 + z2)

∫ φ0

−φ0cos(φ)dφ = 2µ0ia

π(a2 + z2) sin(φ0)

= 2µ0iaπ(a2 + z2)

a√2a2 + z2

= µ04π (4a2i) 2

(z2 + a2)√2a2 + z2

Campo de una espira a grandes distanciasEn el límite opuesto, si |~r | � |~| sobre toda la curva C, se puedeprobar que

~B(~r) = µ0i4π

∮C

d ~× (~r − ~)|~r − ~|3

≈ µ04π

(3r · ~M)r − ~Mr3

con ~M = i2

∫C~× d ~= i

∮∮S d ~S = i~S, con S cualquier superficie que

tenga a C como borde.I Si C yace en un plano, ~S es

perpendicular al plano, y sumagnitud es el área de lasuperficie que encierra C.

I El sentido de ~S viene dado porla regla de la mano derecha.

I De esta manera, un lazo decorriente se comporta como unmomento magnético ⇒ todomomento magnético puedemodelarse como el resultado deuna pequeña corrientelocalizada.

Origen microscópico del magnetismoI Hoy sabemos que el origen del

magnetismo en la materia son losmomentos magnéticos atómicos.

I El comportamiento típico de loselectrones en los átomos es moverseen forma errática dentro de susórbitales, de manera que lacorriente neta promedio es nula.

I Sin embargo, en ciertas especiesatómicas (como el Fe y el Ni , entreotros), organizan sus electrones demanera que su movimiento resultaen una corriente no nula: cadaátomo se comporta como unmomento magnético atómico.

I A temperaturas suficientemente altas, la agitación térmicadesorganiza estas corrientes y el magnetismo desaparece.

I Bajo el efecto de un campo externo, es posible “ordenar” losimanes atómicos: es el origen de la magnetización temporaria.

Bobinados y SolenoidesI El campo magnético que puede

producirse mediante una espira estálimitado por la intensidad máxima decorriente que es posible hacer circularpor esta.

I En las aplicaciones, se logran camposmucho más intensos mediante alambresenrollados, compuestos por un grannúmero de espiras. De esta manera laintensidad del campo se multiplica porel número de espiras que componga albobinado.

I Si el bobinado está enrollado en forlahelicoidal, las líneas de campo en suinterior son forzadas a mantenerseparalelas a su eje → ~B ≈ es uniformeen su interior. Decimos entonces que elbobinado es un solenoide.

I Veremos luego que dentro del solenoide, ~B ≈ µ0inu‖, conn = N/L la densidad de espiras del solenoide.

Fuerza Magnética sobre corrientes

I Si un elemento de corriente es capaz deproducir un campo magnético que ejercetorque sobre un momento magnético (ypor lo tanto una fuerza), el principio deacción y reacción implica que en presenciade un campo magnético, una corrientedebe estar sujeta a una fuerza. Es posiblededucir por este camino que la fuerza quesiente un elemento de conductor d~l quetransporta una corriente i será

d~F = id~l × ~BI Como consecuencia, la fuerza entre doscorrientes rectilineas será atractiva si lascorrientes son paralelas, repulsiva si sonantiparalelas, y nula si sonperpendiculares

d2~F = µ0i1i22π

d ~1 × d ˆ2 × (~1 − ~2)|~1 − ~2|3

que es el equivalente a la Ley deCoulomb para la fuerza magnética entrecorrientes.

Definición de la unidad de corriente

En el sistema internacional, se define el Ampere A como aquellacorriente que al circular por dos conductores rectilineos paralelos, dáorigen a una fuerza por unidad de longitud sobre los conductores demagnitud 2× 10−7N/m.

De esta definición se sigue el valor de la permeabilidad magnéticadel vacío: µ0 = 4π10−7 N

A2

I A partir del 20 de mayo de este año, la definición del A comounidad fundamental cambiará, tomándose como unidadfundamental el Coulomb [C] = e

1.602176634×10−19 donde e es lacarga del electrón.

I [A] queda definido entonces como la corriente de un [C] por [s].I Con esta redefinición, el valor de µ0 es determinado

experimentalmente.

Definición de la unidad de corriente

En el sistema internacional, se define el Ampere A como aquellacorriente que al circular por dos conductores rectilineos paralelos, dáorigen a una fuerza por unidad de longitud sobre los conductores demagnitud 2× 10−7N/m.

De esta definición se sigue el valor de la permeabilidad magnéticadel vacío: µ0 = 4π10−7 N

A2

I A partir del 20 de mayo de este año, la definición del A comounidad fundamental cambiará, tomándose como unidadfundamental el Coulomb [C] = e

1.602176634×10−19 donde e es lacarga del electrón.

I [A] queda definido entonces como la corriente de un [C] por [s].I Con esta redefinición, el valor de µ0 es determinado

experimentalmente.