เอกสารประกอบการเรียน วิชา...

เอกสารประกอบการเรยน

วชา คณตศาสตรสรางสรรค 2

โดย

อาจารย นาผง ชเลศ

โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา (ฝายมธยม)

ชอ-สกล…………………………………………………………………………………………………..

เลขท………………..ชน ม.2/………….

โครงการสอน

กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 2 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2562

วชา คณตศาสตรสรางสรรค

สปดาหท กจกรรม

1 แนะน ำรำยวชำ ขอตกลงในกำรเขำชนเรยน

2 กำรเลอนขนำน (ควำมหมำย,จดทสมนยกน,ดำนทสมนยกน,กำรบอกทศทำงและระยะทำงของเวกเตอร)

3 กำรเลอนขนำน (หำรปทเกดจำกกำรเลอนขนำน,โจทยปญหำ)

4 กำรสรำงผลงำนสรำงสรรคโดย “กำรเลอนขนำน” ในโปรแกรม Geometer’s sketchpad (ใชหองคอม)

5 สอบเกบคะแนน เรอง การเลอนขนาน 6 กำรสะทอน (ควำมหมำย,เสนสะทอน,รปทเกดจำกกำรสะทอน) 7 กำรสะทอน (โจทยปญหำ)

8 กำรสรำงผลงำนสรำงสรรคโดย “กำรสะทอน” ในโปรแกรม Geometer’s sketchpad (ใชหองคอม)

9 สอบเกบคะแนน เรอง “การสะทอน”

10 กำรหมน (ควำมหมำย,จดหมนทเปนจดศนยกำรของวงกลมเดยวกน,ภำพทไดจำกกำรหมน ฯลฯ)

11 กำรหมน (โจทยปญหำ)

12 กำรสรำงผลงำนสรำงสรรคโดย “กำรหมน” ในโปรแกรม Geometer’s sketchpad (ใชหองคอม)

13 สอบเกบคะแนน เรอง “การหมน”

14 การออกแบบลวดลายศลปะ โดยใชความรเกยวกบเลอนขนาน การสะทอนและการหมน (ใชหองคอม)

15 ออกแบบโลโก พรอมทงอธบายความหมายของโลโกนน (ใชหองคอม)

กำรเลอนขนำน 1

การแปลงทางเรขาคณต

(Geometric transformation) ในทำงคณตศำสตรมกำรกลำวถง ควำมเกยวของระหวำงรปเรขำคณตกอนกำรแปลงและหลงกำรแปลงและรป

เรขำคณตหลงกำรแปลง ซงเรยกวำรปเรขำคณตกอนกำรแปลงวำ “รปตนแบบ (pre-image)” และเรยกรปเรขำคณตหลงกำรแปลงรปตนแบบวำ ภำพทไดจำกกำรแปลง (image)

ก ำหนดรป ก เปนรปตนแบบ และ รป ข เปนภำพทไดจำกกำรแปลงรป ก

ใหนกเรยนพจำรณำรปตอไปน

ก ำหนดให ' ' 'A B C เปนภำพทไดจำกกำรแปลง ABC

B'

C'

A'A

C

B

P'

B'

C'A'A C

B

P

รป ก

รปตนแบบ (pre-image)

P'

B'

C'A'A C

B

P

รป ข

ภำพทไดจำกกำรแปลง (image)

อาจกลาวไดวา P และ P’ เปนจดทสมนยกน

ตวอยำงท 1

โดยม จด A และ จด เปนจดทสมนยกน

โดยม จด B และ จด เปนจดทสมนยกน

โดยม จด C และ จด เปนจดทสมนยกน

โดยม AB กบ A′B′

โดยม BC กบ B′C′

โดยม CA กบ C′A′

ชอ-สกล เลขท ชน 2/

กำรเลอนขนำน 2

1. การเลอนขนาน กำรเลอนขนำนบนระนำบเปนกำรแปลงทำงเรขำคณตทมกำรเลอนจดทดจดไปบนระนำบตำมแนวเสนตรงใน

ทศทำงเดยวกนและเปนระยะทำงทเทำกนตำมทก ำหนด

MN เปนเวกเตอรของการเลอนขนาน

เวกเตอร เปนตวก ำหนดในกำรบอกทศทำงและระยะทำงของกำรเลอนขนำน (กำรก ำหนดเวกเตอรของกำรเลอนขนำนอำจใหจดเรมตนอยบนแบบหรออยนอกตนแบบกได)

เมอก ำหนด PQR และให AB เปนเวกเตอรของเลอนขนำนจะได P'Q'R ' เปนภำพทไดจำกกำรเลอนขนำน PQR ดงรป

N

D'

C'

A'

B'B

A

C

D

M

รป ก รป ข

ตวอยำงท 2

R'

P'

Q'

Q

P

R

A

B

สมบตของการเลอนขนาน

1. รปตนแบบกบภำพทไดจำกกำรเลอนขนำนสำมำรถทบกนไดสนทโดยไมตองพลกรป หรอกลำววำรปตนแบบและภำพทไดจำกกำรเลอนขนำนจะเทำกนทกประกำร

2. สวนของเสนตรงบนรปตนแบบและภำพทไดจำกกำรเลอนขนำนของสวนของเสนตรงนนจะขนำนกน

กำรเลอนขนำน 3

จงหำภำพทไดจำกกำรเลอนขนำน ABCD ดวย BB '

กำรเลอนขนำนของระบบพกดฉำก จดตำง ๆ สำมำรถเขยนได (x, y) โดย x คอ ระยะหำงจำกแกน Y และ y คอระยะหำงจำกแกน X ท ำใหกำรเลอนขนำนบนระนำบพกดฉำก แบงออกเปนกำรเคลอนทสองสวน คอ กำรเคลอนทในแนวนอน (แกน X) และกำรเคลอนทในแนวตง (แกน Y)

ควำมสมพนธระหวำงพกดของจดบนรตนแบบ พกดของจดบนภำพทเกดจำกกำรเลอนขนำน และเวกเตอรของกำรเลอนขนำน เปนดงน

- พกด x ของจดบนภาพทเกดจากการเลอนขนาน พกด x ของจดบนรปตนแบบ + ควำมยำวของเวกเตอรตำมแนวแกน X (โดยคดทศทำง)

- พกด y ของจดบนภาพทเกดจากการเลอนขนาน พกด y ของจดบนรปตนแบบ + ควำมยำวของเวกเตอรตำมแนวแกน Y (โดยคดทศทำง)

D

A

B

C

B'

ตวอยำงท 3

การเลอนขนานของระบบพกดฉากขนาน

กำรเลอนขนำน 4

ใหนกเรยนเลอนขนำนจด P ดวย MN

ใหจด A( 3,2) และจด B(1,3) เปนจดปลำยของ AB และ ST เปนเวกเตอรของกำรเลอนขนำน

1. จงหำภำพทไดจำกกำรเลอนขนำน AB ดวย ST

2. พกดของจด A ' และจด B' ซงเปนภำพทไดจำกกำรเลอนขนำนจด A และ B ดวย ST

ก ำหนด ABC ใหหำจด A( 2,1), จด B(0,3) และ C(3,1) เปนจดยอดมม จงเลอน ABC ดวย ST ทก ำหนดให และหำพกดของจดยอดมมของ A'B'C' ซงเปนภำพทไดจำกกำรเลอนขนำน ABC

ตวอยำงท 4

ตวอยำงท 5

กำรเลอนขนำน 5

ก ำหนด A'B'C' เปนภำพทไดจำกกำรเลอนขนำน ABC

1. จงหำพกดของจดยอดมมของ A'B'C'

2. จงหำเวกเตอรของกำรเลอนขนำน ABC

เรำอำจน ำควำมรเกยวกบกำรเลอนขนำนมำชวยในกำรคดค ำนวณทำงคณตศำสตร เชน กำรหำพนทโดยประมำณของรปตำง ๆ

4

3

2

1

1

2

3

4

5

10 8 6 4 2 2 4 6 8 10

C'

A'

C

A

B

B'

ตวอยำงท 6

กำรเลอนขนำน 6

จงหำพนทโดยประมำณของรปทก ำหนดใหเมอ BC ขนำนกบ FE และยำวเทำกน

ตวอยำงท 7

2 ซม.

2 ซม.

2 ซม.

4 ซม.B

C

D

EF

A

กำรเลอนขนำน 7

กำรเลอนขนำนระบบพกดฉำก สำมำรถเขยนล ำดบกำรเลอนไดเปน (a,b) หรอ a

b

โดย a หมำยถง กำรเลอนขนำนในแนวนอน (ตำมแกน X)

b หมำยถง กำรเลอนขนำนในแนวตง (ตำมแกน Y)

ก ำหนดให

จด A คอ จดบนรปตนแบบมพกด (x, y)

จด A' คอ ภำพทไดจำกกำรเลอนขนำนจด A บนระบบพกดฉำก มพกดเปน (x', y')

ทศทาง เครองหมาย

+ -

เชน

2

4

หมำยถง เคลอนทไปทำงขวำ 2 หนวย และ ขนบน 4 หนวย

2

4

หมำยถง เคลอนทไปทำงซำย 2 หนวย และ ขนบน 4 หนวย

2

4

หมำยถง เคลอนทไปทำงขวำ 2 หนวย และ ลงลำง 4 หนวย

2

4

หมำยถง เคลอนทไปทำงซำย 2 หนวย และ ขนบน 4 หนวย

การเลอนขนานในระบบพกดฉาก

(x', y') (x, y) (a,b) (x a, y b)

กำรเลอนขนำน 8

1. จงเขยนภำพของจดทก ำหนดใหเกดกำรเลอนขนำนไปในแตละขอตอไปน 1) A(0,0) เลอนขนำนไปตำมแกน X 3 หนวย A' มพกดเปน 2) B(0,5) เลอนขนำนไปตำมแกน Y -2 หนวย B' มพกดเปน 3) C(5,2) เลอนขนำนไปทำงขวำ 4 หนวย C' มพกดเปน 4) D( 1,3) เลอนขนำนไปทำงซำย 2 หนวย D' มพกดเปน

5) E(9,0) เลอนขนำนไป 2

1

E' มพกดเปน

6) F(7,2) เลอนขนำนไป 2

3

F ' มพกดเปน

7) G( 4, 2) เลอนขนำนไป 1

3

G' มพกดเปน

8) H(4, 5) เลอนขนำนไป 0

1

H' มพกดเปน

9) I( 6,0) เลอนขนำนไป 8

2

I' มพกดเปน

10) J( 3,2) เลอนขนำนไป 2

3

J' มพกดเปน

2. ถำภำยใตกำรเลอนขนำน T ท ำใหจด (3,1) ไปปรำกฏอยท (5,4) จงหำวำภำยใตกำรเลอนขนำนเดยวกน จดทก ำหนดใหตอไปนไปปรำกฏเปนภำพทต ำแหนงใด

1) จด (2,5) 2) จด (0,1)

3) จด ( 2, 3) 4) จด (5,0)

5) จด ( 2,0) 6) จด (0, 3)

7) จด (5, 1) 8) จด ( 4,2)

9) จด (3,3) 10) จด ( 2, 2)

แบบฝกหดท 1

กำรเลอนขนำน 9

3. จงเลอนขนำนรป ดำนขนำน ABCD ทมจด A(2,1), B(6,1), C(7,4), และ D(3,4) ภำยใตกำรเลอน 6

3

4. กำรเลอนขนำนของจด (3,7) ไดภำพของกำรเลอนขนำนทจด (1,3) จงหำพกดจด (5,-1) ภำยใตกำรเลอนขนำนแบบเดยวกน

0 X

Y

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

กำรเลอนขนำน 10

5. รปสเหลยม ABCD ท A(-2,-1), B(1,1), C(-2,3) และ D(-3,1) ภำยใตกำรเลอน 5

2

และถำใหเลอนไปอกดวยภำยใต

กำรเลอน 4

1

รปกำรเลอนขนำนสดทำยอยทพกดเทำไร

กำรเลอนขนำน 11

การส ารวจสมบตการเลอนขนานโดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

1. สรำงรปเรขำคณตทตองกำรเลอนขนำน

2. เลอกจด A เขำเมน “กำรแปลง” เลอนขนำน ใหระยะทำงเปน 5 เซนตเมตร ดวยมม 0 องศำ จะไดจด A '

3. เลอกจด A และ จด A ' เขำเมน “สรำง” สวนของเสนตรง

4. ดบเบลคลกจด A ' เปลยนชอเปนจด B

5. เลอกสวนของเสนตรง AB เขำเมน “สรำง” จดบน สวนของเสนตรง ไดจด C

6. เลอกจด A และ จด C ตำมล ำดบ เขำเมน “วด” ระยะทำง

7. เลอกจด A และ จด C ตำมล ำดบ เขำเมน “กำรแปลง” ระบเวกเตอร 8. เลอกรปเรขำคณตทสรำงไว เขำเมน “กำรแปลง” เลอนขนำน กด เลอนขนำน

9. คลกลำกจด C แลวส ำรวจกำรเคลอนไหวของรปเรขำคณตทสรำงไว

P R

Q

A A'A

A'A

BA

BA C

AC = 1.77ซม.

BA C

AC = 3.15ซม.

B

P R

Q

A C

กำรเลอนขนำน 12

โจทย จงสรำงรปสำมเหลยม DEF และเวกเตอร MN ตำมรปทก ำหนดให และจงเลอนขนำนรปสำมเหลยม DEF และเวกเตอร MN 1. หำทศทำงของกำรเลอนขนำน โดยเลอกจด M ตำมดวยจด N เขำเมน “กำรแปลง” ระบเวกเตอร 2. เลอกรปสำมเหลยม DEF เขำเมน “กำรแปลง” เลอนขนำน จะไดรปสำมเหลยม D'E'F'

แลวตอบค ำถำมตอไปน

1. สรำงพนทของรปสำมเหลยมทงสองแลวคลกทบรเวณสของรปสำมเหลยมทงสองรป เขำเมน “วด” พนท ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. วดมมทสมนยกน และวดดำนคทสมนยกนวำเทำกนหรอไม

EDF………………………………….. DFE…………………………………. FED………………………………….

ED……………………… DF …………………………… EF……………………………..

3. สรปสมบตทไดจำกกำรเลอนขนำน

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกหดท 2

กำรสะทอน 13

2. การสะทอน

การสะทอน หมำยถง กำรสงจดใด ๆ บนรตนแบบไปยงจดบนรปทเกดจำกกำรสะทอนผำนเสนสะทอน (refection line หรอ mirror line) โดยระยะหำงจำกจดใด ๆ บนรปตนแบบไปยงเสนสะทอนจะเทำกบระยะหำงจำกจดนน ๆ บนภำพทเกดจำกกำรสะทอนไปยงเสนสะทอน

ก ำหนด ABC เปนรปตนแบบและ XY เปนเสนสะทอน จงหำภำพทไดจำกกำรสะทอน ABC

ตวอยำงท 8

B

C

A

X

Y

สมบตของการสะทอน

1. สำมำรถเลอนรปตนแบบทบภำพทไดจำกกำรสะทอนไดสนทโดยตองพลกรป

2. สวนของเสนตรงบนรปตนแบบและภำพทไดจำกกำรสะทอนของสวนของเสนตรงนนไมจ ำเปนตองขนำนกนทกค

3. สวนของเสนตรงทเชอมจดแตละจดบนรปตนแบบกบจดทสมนยกนบนภำพทไดจำกกำรสะทอนจะขนำนกนและไมจ ำเปนตองยำวเทำกน

กำรสะทอน 14

กำรสะทอนในระบบพกดฉำกกลำวถงเฉพำะเสนสะทอนทเปนแกน X และแกน

กำรสะทอนขำมแกน X

ใหจด A มพกด (x, y) จะไดวำพกด A' ทเกดจำกกำรสะทอนจดดวยแกน X จะมพกด (x, y)

กำรสะทอนขำมแกน Y

ใหจด B มพกด (x, y) จะไดวำพกด B' ทเกดจำกกำรสะทอนจดดวยแกน X จะมพกด ( x, y)

ก ำหนดสเหลยม ABCD จงเขยนภำพสะทอนขำมแกน X และ แกน Y

จำกรปใหนกเรยนเตมคอนดบลงในชองวำง

พกดบนรปตนแบบ สะทอนขามแกน X สะทอนขามแกน Y A( 8, 2) B( 4, 1) C( 2, 3)

การสะทอนในระบบพกดฉาก

ตวอยำงท 9

0 XB

A

C

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

Y

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

กำรสะทอน 15

ก ำหนด PQRSและใหแกน Y เปนเสนสะทอน จงหำ

1. จงหำ P'Q 'R 'S 'ซงเปนภำพทไดจำกกำรสะทอน PQRS

2. พกดของจด P',Q',R' และ S ' ซงเปนภำพทไดจำกกำรสะทอนจด P,Q,R และ S

ก ำหนด ABC และใหแกน X เปนเสนสะทอน จงหำ

1. A'B'C'ซงเปนภำพทไดจำกกำรสะทอน ABC

2. พกดของจด A',B' และ C' ซงเปนภำพทไดจำกกำรสะทอนจด A,B และ C

S

R

Y

0 5

P

Q

X1

2

3

4

1 2 3 4-1

-2

-1-2-3-4-5

ตวอยำงท 10

ตวอยำงท 11

A

Y

0 X

C

B

-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

1 2 3 4 5 6 7

กำรสะทอน 16

ก ำหนดจด A(1,3) และ จดB(6, 3) มเสนตรง C เปนเสนสะทอนทขนำนกบแกน Y และอยหำงจำกแกน Y ไปทำงขวำ 2 หนวย จงหำพกด A'และB' ทไดจำกกำรสะทอน

ก ำหนดจด P(-3,3),Q(4,0) และ R(-3,-4) สะทอนขำมเสนตรง l1 ผำนจด (-4,-2) และ (1,3) ดงรป จงหำพกดจด P',Q'และR'

ตวอยำงท 12

X50

Y

A (1,3)

B (4,-2)

1

2

3

4

1 2 3 4-1

-2

-1-2-3-4-5

ตวอยำงท 13

X50

Y

-4

P (-3,3)

R (-3,-4)

Q (4,1)1

2

3

4

1 2 3 4-1

-2

-1-2-3-4-5

-3

กำรสะทอน 17

ก ำหนด ABC และให MN เปนเสนสะทอน จงหำ

1. A'B'C' ซงเปนภำพทไดจำกกำรสะทอน ABC

2. พกดของจด A',B'และC' ซงเปนภำพทไดจำกกำรสะทอนจด A,B และ C

ก ำหนด ABCDEF ท BC ขนำนกบ FE AD 7.5 เซนตเมตร BF CE 4 เซนตเมตร และ BC 2.3 เซนตเมตร จงหำพนทโดยประมำณของรปทก ำหนดให

ตวอยำงท 14

ตวอยำงท 15

A D

F E

CB

Y

0 X

A

B

C

-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

1 2 3 4 5 6 7

M

N

กำรสะทอน 18

1. จงเขยนภำพของจดทก ำหนดให ทเกดกำรสะทอนไปในแตละขอตอไปน 1) A(0,0) สะทอนทแกน X เกดภำพ A' มพกดเปน 2) B(0,3) สะทอนทแกน X เกดภำพ B' มพกดเปน 3) C(7,3) สะทอนทแกน X เกดภำพ C' มพกดเปน 4) D(5,0) สะทอนทแกน Y เกดภำพ D' มพกดเปน 5) E(2,4) สะทอนทแกน Y เกดภำพ E' มพกดเปน 6) F( 2,2) สะทอนทแกน Y เกดภำพ F ' มพกดเปน 7) G( 5,8) สะทอนทเสนตรง x 3 เกดภำพ G' มพกดเปน 8) H(3, 2) สะทอนทเสนตรง x 1 เกดภำพ H' มพกดเปน 9) I( 4, 1) สะทอนทเสนตรง y 3 เกดภำพ I ' มพกดเปน 10) J( 8,0) สะทอนทเสนตรง y 2 เกดภำพ J' มพกดเปน

แบบฝกหดท 3

กำรสะทอน 19

การส ารวจสมบตการสะทอนโดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

โจทย จงสรำงรปสำมเหลยม PQR ซงเปนภำพสะทอนของรปสำมเหลยม DEF

1. เขำเมน “กรำฟ” แสดงกรด

2. เขำเมน “กรำฟ” สแนพจด 3. ลงจดบนระบบพกดฉำก

4. เลอกใชแกน X เปนเสนสะทอน ใหหำรปสำมเหลยม A 'B'C' ซงเปนภำพสะทอนจำกรปสำมเหลยม

ABC 5. เมอ (x', y') เปนพกดของจดทเกดจำกกำรสะทอนจด (x, y)

รปท พกดของรปตนแบบ พกดของภาพทเกดจากการสะทอนดวยแกน X

จด x y จด x' y' 1 A A '

B B' C C'

1. ถำลำกสวนของเสนตรงเชอมตอจดทสมนยกน สวนของเสนตรงดงกลำวสมพนธกบเสนสะทอนอยำงไร ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

C

A B

แบบฝกหดท 4

กำรหมน 20

3. การหมน

กำรหมน หมำยถง กำรแปลงทเกดจำกกำรจบคแตละคระหวำงรปตนแบบกบรปทไดจำกกำรหมน โดยกำรหมน โดยกำรหมนรอบจดคงทจดหนง เรยกวำ จดหมน และหมนไปในทศทำงและขนำดของมมทตองกำร

ตวอยาง กำรหมนรป โดยทจด O เปนจดหมน

กรณท 1 จดหมน O อยบนรปตนแบบ กรณท 2 จดหมน O ไมอยบนรปตนแบบ

การก าหนดทศทางของการหมนม 2 ทศทำง คอ

1. หมนทวนเขมนำฬกำ 2. หมนตำมเขมนำฬกำ

ส ำหรบกำรหมนโดยทวไปถำไมบอกทศทำงของกำรหมนถอวำเปน “กำรหมนทวนเขมนำฬกำ”

60

E'D'

D

O

E

A'

C'B' B

C

A

O

A' (3,-2)

A' (-2,-3)

A' (-3,2)

0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

6

-2

-1

-3

-4

-5

-6

-7

A (2,3)

180 ทวนเขมนาฬกา

90 ทวนเขมนาฬกา

90 ตามเขมนาฬกา

กำรหมน 21

จงหำภำพทไดจำกกำรหมนรปตอไปนรอบจด P ตำมทศทำงและขนำนของมมจำมทก ำหนด

1) ทวนเขมนำฬกำ 45 องศำ 2) ตำมเขมนำฬกำ 90 องศำ

3) ตำมเขมนำฬกำ 180 องศำ 4) ทวนเขมนำฬกำ 60 องศำ

ตวอยำงท 16

B

C

A

P P

A

B

DC

B

C

AP

P

A

B C

การหมนในระนาบ

กำรหมน 22

เมอเสนตรงทแบงครงและตงฉำกกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวำงจดบนรปตนแบบกบรปทเกดจำกกำรหมนทสมนยกนจะผำนจดหมนเสมอ

ขนตอนในกำรหำจดหมนและขนำดของมมในกำรหมน

1. ลำกเสนเชอมจด 2 จด ทสมนยกนแลวแบงครงเสนทไดจำกกำรเชอมจด 2 จด 2. ลำกเสนตงฉำกจำกจดแบงออก 3. ด ำเนนกำรลำกเสน เชอมจดทสมนยกบจดอน แลวลำกเสนตงฉำกอก 1 เสน ซงจะไปตดกนทจด

ซงเปนจดหมน 4. วดมมทเกดจำกจดหมนไปยงจดทสมนยกนอก 2 จด

จงหำจดหมน

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

C'D'

A'B'

B

A

D

C

การหาจดหมนและขนาดของมมในการหมนฉาก

ตวอยำงท 17

กำรหมน 23

จงหำจดหมนและขนำดของมม

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

C'

D'

A'B'

B

AD

C

แบบฝกหดท 5

กำรหมน 24

กำรหมนในระบบพกดฉำกจะกลำวถงเฉพำะ กำรหมนทมจดหมนทจด (0,0) ซงเรยกวำ จดก ำเนด โดยขนำดของมมของกำรหมนทส ำคญ คอ 90 และ 180

การหมนรอบจดก าหนดดวยมม 90

ถำจด A มพกด (x, y) จะไดพกดของจด A' ทเกดจำกกำรหมนจด A รอบจดก ำเนดดวยมม 90 จะมพกดเปน ( x, y)

การหมนรอบจดก าหนดดวยมม 180

ถำจด A' มพกด (x, y) จะไดพกดของจด A' ทเกดจำกกำรหมนจด A' รอบจดก ำเนดดวยมม 180 จะมพกดเปน ( x, y)

การหมนในระบบพกดฉาก

สมบตของการหมน

2. สวนของเสนตรงบนรปตนแบบและภำพทไดจำกกำรหมนสวนของเสนตรงนนไมจ ำเปนตองขนำนกนทกค

1. สำมำรถเลอนรปตนแบบทบภำพทไดจำกกำรหมนไดสนทโดยไมตองพลกรปหรอกลำววำรปตนแบบกบภำพทไดจำกกำรหมนเทำกนทกประกำร

กำรหมน 25

จงหมนรปสำมเหลยม ABC ทก ำหนดใหรอบจดก ำเนดดงน

ก. ตำมเขมนำฬกำ 90 ข. ตำมเขมนำฬกำ 90

รปตนแบบ ก. ตามเขมนาฬกา 90 ข.ทวนเขมนาฬกา 90 จด A(3,3) จด B(5,3) จด C(5,6)

2. จงเขยนภำพของจดทก ำหนดใหตอไปน ทเกดกำรหมนตำมขอก ำหนดในแตละขอ 1) A(0,1) หมนไป 90 รอบจด O ทศทวนเขมนำฬกำ A' มพกดเปน 2) B(1,3) หมนไป 90 รอบจด O ทศทวนเขมนำฬกำB' มพกดเปน 3) C(2,7) หมนไป 180 รอบจด (1,1) ทศทวนเขมนำฬกำ C'มพกดเปน 4) D( 2, 3) หมนไป 180 รอบจด (1,3) ทศตำมเขมนำฬกำ C'มพกดเปน 5) E( 5,0) หมนไป 90 รอบจด ( 1,1) ทศทวนเขมนำฬกำม พกดของ E' คอ 6) F(4,2) หมนรอบจด (3,5) ไป 90 ทศตำมเขมนำฬกำ พกดของ F ' คอ 7) G( 4, 1) หมนรอบจด ( 1, 3) ไป 90 ทศทวนเขมนำฬกำ พกดของ G' คอ 8) H(0, 2) หมนรอบจด (1,2) ไป 270 ทศตำมเขมนำฬกำ พกดของ H' คอ 9) I(3,0)หมนรอบจด (0,3) ไป 270 ทศทวนเขมนำฬกำ พกดของ I ' คอ 10) J(4, 2) หมนรอบจด ( 1, 1) ไป 180 ทศตำมเขมนำฬกำ พกดของ J' คอ

ตวอยำงท 18

แบบฝกหดท 6

0 X

Y

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

กำรหมน 26

การส ารวจสมบตการหมนโดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

โจทย จงสรำงรปสำมเหลยมดำนเทำ ABC โดยใชกำรแปลงทำงเรขำคณตแบบกำรหมน

1. ลำกสวนของเสนตรง AB ยำวพอสมควร

2. ดบเบลคลกจด A เลอกสวนของเสนตรง AB เขำเมน “กำรแปลง” หมน ดวยมม 60 องศำ

3. จะไดสวนของเสนตรง AC

4. สรำงสวนของเสนตรง BC โดยเลอกจด B และจด C เขำเมน “สรำง” สวนของเสนตรง 5. จะไดรปสำมเหลยม ABC เปนรปสำมเหลยมดำนเทำ

A B

C

A B

C

A B

กำรหมน 27

จงตรวจสอบวำรปสำมเหลยม ABC เปนรปสำมเหลยมดำนเทำจรงหรอไม

1. วดควำมยำวของดำนทกดำน โดยเลอกดำนทงสำม เขำเมน “วด” ควำมยำว ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. วดขนำดของมมทกมม ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. สรปสมบตของกำรหมน ทไดจำกกำรส ำรวจรป สำมเหลยม ABC ดวยโปรแกรม Geometer’s Sketchpad ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกหดท 7

กำรหมน 28

จะตองหำขนำดของมมภำยในแตละมมของรปหลำยเหลยมดำนเทำมมเทำ ดงน

รปสำมเหลยมดำนเทำมมเทำ มขนำดของมมภำยในกำงมมละ (3 2) 180

603

องศำ

รปสเหลยมดำนเทำมมเทำ มขนำดของมมภำยในกำงมมละ (4 2) 180

904

องศำ

รปหำเหลยมดำนเทำมมเทำ มขนำดของมมภำยในกำงมมละ (5 2) 180

1085

องศำ

รปหกเหลยมดำนเทำมมเทำ มขนำดของมมภำยในกำงมมละ (6 2) 180

1206

องศำ

รปแปดเหลยมดำนเทำมมเทำ มขนำดของมมภำยในกำงมมละ (8 2) 180

1358

องศำ

รป n เหลยมดำนเทำมมเทำ มขนำดของมมภำยในกำงมมละ (n 2) 180

...n

องศำ

1. สรำงรปสำมเหลยมดำนเทำมมเทำโดยกำรหมน โดยใหมดำนยำวพอสมควรดงรป

2. เลอกรปสำมเหลยมทงรป คลกเครองมอก ำหนดเองคำงไว เลอกสรำงเครองมอใหม ตงชอ เครองมอใหมวำ “สำมเหลยม”

3. สรำงรปหกเหลยมดำนเทำมมเทำ ใหมดำนยำวพอสมควร ดงรป

4. เลอกรปหกเหลยมทงรป คลกเครองมอก ำหนดเองคำงไว เลอกสรำงเครองมอใหม ตงชอเครองมอใหมวำ “หกเหลยม”

หลกการสรางรปหลายเหลยมดานเทามมเทา

การสรางเครองมอก าหนดเอง

กำรแปลงแบบผสม 27

4. การแปลงแบบผสม

1. ก ำหนดสำมเหลยม A มจดยอด (1,4), (2,2) และ (3,3) ใหปฏบตตำมขอตอไปน 1) เขยนระนำบจ ำนวนทมแกน X อยในชวง 3 x 5 และ y อยในชวง 3 y 6 2) เขยนภำพของสำมเหลยม A ทเกดจำกกำรแปลงเลอนดงน

1) สำมเหลยม A หมนไปตำมเขมนำฬกำ 90 รอบจด (2,3) เปนสำมเหลยม B 2) สำมเหลยม A หมนไป 180 รอบจด (3,3) เปนสำมเหลยม C 3) สำมเหลยม A หมนไปตำมเขมนำฬกำ 90 รอบจด (3,1) เปนสำมเหลยม D 4) สำมเหลยม A เลอนขนำนไปตำมแกน Y เทำกบ -5 หนวย เปนสำมเหลยม E 5) สำมเหลยม A สะทอนทแกน Y กลำยเปนสำมเหลยม F

6) สำมเหลยม A เลอนขนำนไป 4

2

เปนสำมเหลยม G

ตวอยำงท 19

กำรแปลงแบบผสม 28

1. จำกรปใหอธบำยกำรแปลงเลอน 1 ครงของขอก ำหนดตอไปนโดยละเอยด

1) รป A กลำยเปน B

…………………………………………………………………………………………………………………………………. 2) รป A กลำยเปน C

…………………………………………………………………………………………………………………………………. 3) รป C กลำยเปน D

…………………………………………………………………………………………………………………………………. 4) รป E กลำยเปน B

…………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. ใหเตมพกดของภำพทเกดจำกกำรแปลงเลอนของจดตอไปน ตำมขอก ำหนดในแตละขอ

(2, 3), (0,6), ( 5,0) 1) สะทอนทแกน X

…………………………………………………………………………………………………………………………………. 2) สะทอนทแกน Y

…………………………………………………………………………………………………………………………………. 3) เลอนขนำนไปตำมแกน X 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………. 4) เลอนขนำนไป 3 หนวย ตำมแกน Y

………………………………………………………………………………………………………………………………….

5) เลอนขนำนไป 1

4

หนวย

………………………………………………………………………………………………………………………………….

DCE

AB

0 9 10X

8

Y

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7 11

แบบฝกหดท 8

กำรแปลงแบบผสม 29

3. สำมเหลยม PQR มจดยอดท P(2,1),Q(4,1) และ R(2,4) ถกแปลงเลอนไปเปน XYZ โดยกำรหมนไป 180 รอบจดก ำเนด แลวแปลงเปน ABC โดยกำรสะทอนทแกน Y

1) ใหเขยนภำพของ XYZ และ ABC พรอมทงเขยนพกดของจดยอด …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) ถำสำมเหลยม PQR เกดกำรแปลงเลอนเพยง 1 ครงไปเปน ABC แสดงวำ เปนกำรแปลงเลอนโดย………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………