Distribuciones continuas de probabilidad

Distribución Normal

La distribución continua de probabilidad más importantes en todo el campo de la estadística es la distribución normal.

Su grafica, que recibe el nombre de curva normal, es la curva en forma de campana, la cual describe en forma aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación.

A la distribución normal, frecuentemente se le llama distribución Gaussiana. Una variable aleatoria continua X que tiene la distribución en forma de campana de la figura 1, se le llama variable aleatoria normal.

La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de los parámetros µ y σ, su media y su desviación estándar. Por lo que representan los valores de densidad de X por n(x; µ, σ)

Donde π: 3.1416 y e:2.71828

Una vez que se especifican la media y la varianza, la curva normal se determina completamente.

Por ejemplo si la media es igual a 50 y la varianza igual a 5, entonces las ordenadas n(x;50,5) pueden calcularse.

Propiedades

� La moda , que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su maximo, ocurre en x=µ.

u La curva es simetrica alrededor de su eje vertical donde se tiene la media µ.

a La curva tiene sus puntos de inflexion en x=µ, + σ, es concava hacia abajo si µ-σ<X<µ+σ, y es concava hacia arriba en cualquier otro punto.

i La curva normal se acerca al eje hoprizontal en forma asintotica en cualquiera de las dos direcciones, alejandose de la media.

El area total bajo la curva y arriba del eje horizontal es igual a 1.

Distribución normal estándar

La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1 recibe el nombre de distribución normal estándar.

La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de las funciones de densidad normal hace necesaria la tabulación de las áreas de la curva normal para una referencia rápida.

Sin embargo es posible transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal Z con media cero y varianza 1.

Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está,

b)a la derecha de z=1.84c)A la izquierda de z=-0.54d)Entre z=1.97 y 0.86

Ejemplos

Ejemplos

Dada una distribución normal estándar, encuentre los valores de k que:

c)P(Z>k)=0.3015d)P(k<Z<-0.18)=0.4197

Ejemplo

Dada una distribución normal con µ=50 y σ=10, encuentre la probabilidad de que X asuma un valor entre 45 y 62.

Dada una distribución normal con µ=300 y σ=50, encuentre la probabilidad de que X asuma un valor mayor que 362.

Para pensar

Cierto tipo de batería dura un promedio de 3.0 años, con una desviación estándar de 0.5 años. Suponiendo que las duraciones de las baterías son normalmente distribuidas, encuentre la probabilidad de que una determinada batería dure menos de 2.3 años.

Una compañía fabrica focos cuya duración es normalmente distribuida con una media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que un foco se funda entre las 778 y 834 horas de uso.

En un proceso industrial el diámetro de un balero es una importante parte de un componente. El comprador establece en sus especificaciones que el diámetro debe ser 3.0 + 0.01 cm. La implicación es que no se acepta ningún balero que se salga de esta especificación. Se sabe que en el proceso, el diámetro de un balero tiene una distribución normal con una media de 3.0 y una desviación estándar s = 0.005. En promedio, ¿Cuántos baleros fabricados se descartarán?

Aproximación de la distribución normal a la binomial

Cual es la diferencia entre los siguientes gráficos?

0.00047018 00.00470185 10.02194197 20.0633879 30.1267758 4

0.18593784 50.20659761 60.17708366 70.11805577 80.06121411 90.02448564 100.00741989 110.00164886 120.00025367 132.4159E-05 141.0737E-06 15

0.02763254 00.04224038 10.05977568 20.07830885 30.09497008 40.10662336 50.1108173 6

0.10662336 70.09497008 80.07830885 90.05977568 100.04224038 110.02763254 120.01673414 130.00938157 140.00486897 15

Binomial Normal

Las probabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden obtenerse fácilmente cuando n es pequeña, de la formula b(x;n,p) de la distribución binomial.

(verificar tabla binomial)

Si n es grande, es conveniente calcular las probabilidades binomiales por procedimientos de aproximación.

La distribución normal frecuentemente es una buena aproximación a la distribución discreta cuando está ultima toma la forma de campana simétrica.

Desde el punto de vista teórico, algunas distribuciones convergen a normales a medida que sus parámetros se aproximan a ciertos límites.

La distribución normal es una distribución de aproximación conveniente debido a que la función de distribución acumulativa se tabula de manera sencilla.

La distribución binomial se aproxima bastante bien con la normal en problemas prácticos cuando se trabaja con la función de distribución cumulada.

Teorema

Si X es una variable aleatoria binomial con media µ=np y varianza σ2=npq, entonces la forma de limite de la distribución de:

La distribución normal con µ=np y σ2=npq, no solo proporciona una aproximación muy precisa a la distribución binomial cuando n es grande y p no es muy cercana a 0 o 1; sino que también proporciona una muy buena aproximación aun cuando n es pequeña y p es razonablemente cercana a ½.

Ejemplo

Hacer un histograma para una distribución binomial con n=15 y p=0.4

Hacer un histograma para la distribución normal considerando µ=np y σ2=npq

Comparar las graficas. Comaparar b(4;15,0.4) contra Z(x1=3.5 y x2=4.5)

Distribución Exponencial

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta.

Esta ley de distribución describe procesos en los que:

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento;

Sabiendo que el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse

El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente

En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales

La funcion de densidad que sigue la distribucion Exponencial esta determianda por:

Donde λ es la variable usada para definir el tiempo.

Valor esperado y Varianza

Ejemplo

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años.

¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años?

¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro entre el periodo de 5 a 25 años?

Ejemplos prácticos

En el conmutador de una compañía se reciben llamadas telefónicas a una razón de 3 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran al menos 20 minutos antes de la siguiente llamada?

Una fábrica de llantas para automóviles garantiza que duran dos años en promedio, si el desgaste de estas llantas sigue la distribución exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta dure menos de 4 años?

Distribución Weibull

La distribucion Weibull

Devuelve la probabilidad de una variable aleatoria siguiendo una distribución de Weibull. Esta distribución se aplica en los análisis de fiabilidad, para establecer, por ejemplo, el periodo de vida de un componente hasta que presenta una falla.

Funcion de densidad

Distribucion

Valor esperado y Varianza

Ejemplo

Suponga que la vida util de una bateria para audifonos es una variable aleatoria aleatoria que tiene una distribucion Weibull con α=1/2 y β=2

Cual es la probabilidad de que la bateriasiga funcionando despues de 2 years.