CLASE 8 Modelos de probabilidad Distribuciones continuas

CLASE 8

Modelos de probabilidad

Distribuciones continuas

Distribución uniforme

casootroen

bxasiabxf

0

1

)(

Diremos que X se distribuye UNIFORMEMENTE en [a, b] y lo representamos X~U([a, b]) cuando su función densidad es:

La función distribución será:

bxsi

bxasiab

ax

axsi

xF

1

0

)(



Características:

01

0)()(

12

)()(

2)(

2

ssi

ssiabs

ee

sM

abXVar

baXE

sasb

Dem:


Ejemplo:

El tiempo en minutos que tarda algien para ir de un casa al trabajo oscila entre 20 y 30 minutos. Si debe llegar al trabajo a las 8 de la mañana ¿a qué hora debe salir para tener una probabilidad de 0,90 de no llegar tarde?

Función Gamma

0

1. dxex xtSe puede demostrar que la integral es convergente si t >0

Definimos para cada t > 0 la FUNCIÓN GAMMA como aquella que toma el valor de la integral:

0

1)(0 dxextt xt

Función Gamma

TEOREMA:

)(.20)2

)(1

00)1

1

0

212

0

1

2

tdxextSi

tdxexytSi

txt

txt

Dem:

Función Gamma

TEOREMAS :

)!1()()2

)(.)1(0)1

nnNnSi

ttttSi

Dem:

La distribuución GAMMA

Función densidad y propiedades

Decimos que una variable aleatoria X tiene una distribución GAMMA con parámetros α y λ (α>0, λ>0) y la representamos como X~ G(α, λ) si su función densidad es:

00

0.)()(

1

xsi

xsiexxf

x

¿es una función densidad? demostrar

La distribuución GAMMATeorema

Si f(x) es la función densidad de una variable X~ G(α, λ) entonces:

1) Si α≤1 f es monotona decreciente en (0,+∞)

2) Si α>1 f tiene un máximo en que será, por lo tanto el valor de la moda 1x

La distribuución GAMMA

Características de la distribución GAMMA

2)(

)(

)(

XVar

XE

ssis

sM

Dem:

La distribución exponencial

y1

Decimos que una variable aleatoria X sigue una distribución EXPONENCIAL Con parámetro λ (λ>0) y la representamos X ~Exp(λ) cuando X es una variable Aleatoria Gamma con parámetros

Por lo tanto su función densidad es:

00

0)(

xsi

xsiexf

x

Ejercicio: Obtener la función distribución



2

1)(

1)(

)(

XVar

XE

ssis

sM

Características de la distribución EXPONENCIAL


Teorema FALTA DE MEMORIA

0,)()/(

:0)(~

tstXPsXstXP

entoncesconExpX

Dem:

Relación entre la distribución gamma y la Poisson

TEOREMA

Sea Zn = “tiempo transcurrido hasta la ocurrencia de n acontecimientos” n=1,2…

Entonces: Zn ~ G(n, λ) n=1,2,….

Si las ocurrencias de los acontecimientos siguen un proceso de Poisson de parámetro λ.

Dem.

Relación entre la distribución gamma y la Poisson

Ejemplo:

El número de clientes que visitan un gran supermercadosigue un proceso de Poisson de parámetro λ=4 (el tiempo se mide en minutos).

Queremos conocer la probabilidad de que pase más de un minuto hasta la llegada de dos clientes,

LA DISTRIBUCIÓN NORMALDefinición:

Decimos que una variable aleatoria X sigue una distribución NORMAL con parámetros μ y σ2 y lo representamos X ~N(μ ,σ2) cuando su función densidad es de la forma:

Rxxf ex

2

2

1

2

1)(

LA DISTRIBUCIÓN NORMALNORAMAL ESTÁNDAR O TÍPICA

La variable normal con con parámetros μ = 0 y σ2 = 1 es llamada distribución normal estándar o típica.

La representamos X ~N(0 ,1) y su función densidad es de la forma:

Rxxf ex

2

2

2

1)(

Comprobar que es una función densidad

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

21

)0( f

Características de la distribución normal estándar

La función posee las siguientes propiedades:

1) f es simétrica con respecto a x = 0, pues f(x)=f(-x) para todo x real

2) f tiene un máximo en x = 0 y vale

2

2

2

1)(

x

exf

3) f es creciente para x<0 y decreciente para x>0

4) Los puntos de abscisa 1 y -1 son de inflexión de f

5) La recta y= 0 es asíntota de f



La función DISTRIBUCIÓN de una variable normal se representa como:

x u

Rxdux e 2

2

.2

1)(


Rxxx )(1)(

)(x

1)(0)(

xlímyxlímxx

La distribución normal estándar verifica:

1)

2) Las rectas y = 0, y = 1 son asíntotas de la función pues:

Pero además con f(x)>0 entonces nunca 1)(0)( xnix

RxxXPx )()(


1)(4

0)(4

xxSi

xxSi

)(1)( xx

Existen tablas para el cálculo de la distribución de la normal estándar.

Allí podemos ver que:

Para usar las tablas debemos tener presente siempre la siguiente propiedad:

Pues en la tabla solo aparecen los valores mayores o iguales a 0 y menores o iguales que 4

Calcula utilizando las tablas:

)10(

)2(

)2(

XP

XP

XP


En la distribución normal estándar coinciden la esperanza, la moda y la mediana.

Características de la distribución normal estándar

1)(

0)(

)( 2

2

XVar

XE

RsesMs

X

Dem:


Consideremos la función: Rxxf ex

2

2

1

2

1)(

Comprobemos primero que es una función densidad


2

1)( f

Estudio de la distribución normal general

La función posee las siguientes

propiedades:

1) f es simétrica con respecto a x = μ, pues f(μ +x)=f(μ -x) para todo x real

2) f tiene un máximo en x = μ y vale

3) f es creciente para x< μ y decreciente para x> μ

4) Los puntos de abscisa μ-σ y μ –σ son de inflexión de f

5) La recta y= 0 es asíntota de f

Rxxf ex

2

2

1

2

1)(


RxX

xXPxFcumplesey

NX

ZiablelaentoncesNXSi

X

)()()(

)1,0(~var),(~)1 2

TEOREMA

0),,(~var

)1,0(~)222 NZXiablelaEntonces

NZSea

Dem:


Sea X~N(30,9)

Calcular P(X<21)

Características de la distribución normal en general

2

2

)(

)(

.)(

22

XVar

XE

RseesMs

sX

Dem:

En la distribución normal coinciden la esperanza, la moda y la mediana y su valor es μ


La altura de los individuos en edad militar de un determinado país sigue una distribución normal con media 170 cm y varianza 100 cm.

a) Hallar la proporción de individuos que miden menos de 150cm o más de 200cm.b) Si no se admiten en el servicio militar todos los individuos cuya talla dista más de 30 c de la talla media, hallar la proporción de personas que Es rechazada. c) Por razones presupuestarias se decide con el anterior criterio no admitir un 20% de los individuos en edad militar, ¿Qué límites de altura hay que poner?


EJERCICIO DE EXAMEN SETIEMBRE 2014La vida útil de las baterías de los celulares marca Tarzán se distribuye normal. Según los registros de la oficina de control de calidad, el 20,233 % de las baterías duran como mínimo 4 años, y sólo 4,779 % de las baterías tienen una vida útil de más de 5 años.Se pide:A) Hallar el número esperado, µ, y el desvío estándar, s, de la vida útil de las baterías de los celulares marca Tarzán ( en años ).B) Calcular la probabilidad de que una batería dure más de 42 meses.C) Se desea determinar el tiempo de garantía, k, de las baterías. Según el departamento de finanzas, sólo el 10 % de las baterías pueden fallar antes del tiempo de garantía, k. Determinar el valor de k ( en meses ).D) Una caja contiene 24 celulares de la marca Tarzán. Hallar la probabilidad de que el tiempo de vida de 2 o más baterías duren menos del tiempo de garantía.

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