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10/11/2011

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Variables aleatorias continuas y distribuciones

Análisis de datos y gestión veterinariaAnálisis de datos y gestión veterinaria

Departamento de Producción Animal – Facultad de Veterinaria

Universidad de Córdoba

Córdoba, 8 de Noviembre de 2011

Variables aleatorias continuas

¿Cuál es la probabilidad de que el beneficio de una clínica sea de 25.000 €?

Variable aleatoria continua. Entre dosvalores dados la variable puede tomar infinitosvalores.

¿Cuál es la probabilidad de que el beneficio de una clínica sea de 24.000-25.000 €?

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Variables aleatorias discretas

Función de probabilidad:Px(X) = P(X = x) = 1/6 para x =1, 2, 3, …, 6Px(X)

x0

1/6

1/12

1 2 3 4 5 6

Función de probabilidad acumulada

Función de probabilidad acumulada:Fx(X) = P(X≤x)

km0 1

La probabilidad de avería es la misma en todo elpuente (uniforme desde 0 a 1 km)

0 si x ≤0

Fx(X)= x si o < x < 1

1 si x≥ 1

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km0 1

0 si x ≤0

Fx(X)= x si o < x < 1

1 si x≥ 1

Fx(x)

1

0

¿Cuál es la probabilidad de avería en la primera mitaddel puente?

P(x≤1/2)=Fx(1/2)=1/2

1/2

0,5


km0 1

0 si x ≤0

Fx(X)= x si o < x < 1

1 si x≥ 1

Fx(x)

1

0

¿Cuál es la probabilidad de avería entre ¼ y ¾ delpuente?

P(1/4 < X < 3/4)=Fx(3/4)-Fx(1/4)=1/2

3/4

1/4

0,25 0,75

1/2

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km0 1

0 si x ≤0

Fx(X)= x si o < x < 1

1 si x≥ 1

Fx(x)

1

0

¿Cuál es la probabilidad de avería entre ¼ y ¾ delpuente?

P(1/4 < X < 3/4)=Fx(3/4)-Fx(1/4)=1/2

3/4

1/4

0,25 0,75

Sea X una variable aleatoria continua con función dedistribución acumulada Fx(x), y sean a y b dos posiblesvalores de X que verifican a<b. La probabilidad de que Xesté entre a y b es

P(a < X < b)=Fx(b)-Fx(a)

1/2

Función de densidad

km

x

fx(x)

1

¿Cuál es laprobabilidad deavería en laprimera mitad delpuente?

1/20 1

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5


km0

fx(x)

1

¿Cuál es laprobabilidad deavería entre ¼ y¾ del puente?

x11/4 3/4


km0

fx(x)

1

¿Cuál es laprobabilidad deavería entre ¼ y¾ del puente?

x11/4 3/4

Sea X una variable aleatoria continua con función dedistribución acumulada Fx(X) y función de densidad fx(X).

0

0( ) ( )x

Fx x fx x dx−∞

= ∫

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Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada y laprobabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de 0,5 a1,5 km.


0,5 para 0 < x < 2fx(X)=

0 para otros valores de x

fx(X)

0 x2

0,5

Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada y laprobabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de 0,5 a1,5 km.

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Fx(Xo)= 0,5�Xo para 0 < Xo < 2Fx(X)

0 x2

1

Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada yla probabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de 0,5 a1,5 km.


Fx(X)

0 x2

1

P(0,5 < X < 1,5) = Fx(1,5) – Fx(0,5) = 0,5�1,5–0,5�0,5 = 0,5

Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada y laprobabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de0,5 a 1,5 km.

1,50,5

0,5

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fx(X)

2

0,5

P(0,5 < X < 1,5) = 0,5�(1,5-0,5) = 0,5

Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada y laprobabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de0,5 a 1,5 km.

1,50,5

Esperanzas de variables aleatorias continuas

Media de X

Varianza de X

( )22

( ) ( )x

x x

E X xfx x dx

E X

µ

σ µ

∞

−∞= =

= −

∫

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Z = a + bXZ, X, variables aleatoriasa, b, constantes

2 2 2

z x

z x

a b

b

µ µ

σ σ

= +

=

Esperanzas de variables aleatorias continuas

La ley de los promedios

Variable aleatoria: número de caras en n lanzamientos

Número de

lanzamientos

Número de

caras

Diferencia

Número de

lanzamientos

Número de

caras

Diferencia

10 4 -1 600 312 12

20 10 0 700 368 18

30 17 2 800 413 13

40 21 1 900 458 8

50 25 0 1000 502 2

60 29 -1 2000 1013 13

70 32 -3 3000 1510 10

80 35 -5 4000 2029 29

90 40 -5 5000 2533 33

100 44 -6 6000 3009 9

200 98 -2 7000 3516 16

300 146 -4 8000 4034 34

400 199 -1 9000 4538 38

500 255 5 10000 5067 67

Número de

lanzamientos

Número de

caras

Diferencia

10 4 1

20 10 0

30 17 2

40 21 1

50 25 0

60 29 1

70 32 3

80 35 5

90 40 5

100 44 6

200 98 2

300 146 4

400 199 1

500 255 5

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10



-20

0

20

40

60

80

0 2000 4000 6000 8000 10000

Número de lanzamientos

Diferencia (número de caras -

valor esperado)

n. de caras = ½ número de lanzamientos + error aleatorio

el error aleatorio es cadavez mayor a medida que seincrementa n



-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

0 2000 4000 6000 8000 10000

Número de lanzamientos

Diferencia (% respecto v.

esperado)

el error aleatorio es cadavez más pequeño en relaciónal número de lanzamientos, amedida que aumenta n

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La distribución normal

Probabilidad del número de caras en 100 lanzamientos

Número de caras

Porcentaje

35 40 45 50 55 60 65

0

0,02

0,04

0,06

0,08



Número de caras

Porcentaje

170 180 190 200 210 220 230

0

0,01

0,02

0,03

0,04

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12



Número de caras

Porcentaje

405 420 435 450 465 480 495

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

Número de caras

Frecuencia

32 42 52 62 72

0

4

8

12

16


Variable aleatoria: número de caras en 100 lanzamientosn = 100 (lo repetimos 100 veces)

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Número de caras

Frecuencia

32 42 52 62 72

0

4

8

12

16



Número de caras

Frecuencia

35 40 45 50 55 60 65

0

10

20

30

40

Número de caras

Frecuencia

35 40 45 50 55 60 65

0

10

20

30

40



Número de caras

Frecuencia

35 40 45 50 55 60 65

0

20

40

60

80

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14

Número de caras

Frecuencia

32 42 52 62 72

0

4

8

12

16



Número de caras

Frecuencia

35 40 45 50 55 60 65

0

20

40

60

80

Número de caras

Porcentaje

35 40 45 50 55 60 65

0

0,02

0,04

0,06

0,08


x

f(x)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

2 2( ) /2

2

1( )

2

xfx x e µ σ

πσ− −=

( )2,X N µ σ�

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x

Fx(X)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Fx(Xo) = P(X ≤ Xo)

P(a<X<b) = Fx(b) – Fx(a)

La distribución normal estándar

X = 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10

Media = 6D. T. = 2,98

Z = (2–6)/2,98, (2-6)/2,98, (4-6)/2,98, (4-6)/2,98, (6-6)/2,98, (6-6)/2,98, (8-6)/2,98, (8-6)/2,98, (10-6)/2,98, (10-6)/2,98

Media = 0D. T. = 1

xZ

µσ−

=

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z

fz(Z)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

xZ

µσ−

=(0,1)Z N�


La función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal estándar es conocida (tabulada en tablas).

En sus tablas aparecen los valores de Fz(Z)=P(Z≤z)

Por ejemplo: Fz(1,25)=

z

fz(Z)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Nos vamos a la tabla, buscamos

z=1,25 y a su lado aparece

Fz(1,25)=0,8944

0,8944

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¿Y para valores negativos de z?

La función de densidad es simétrica, luego el área por la izquierda de –Zo es la misma que el área por la derecha de Zo

z

fz(Z)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Zo-Zo

Fz(-Zo)=1-Fz(Zo)


z

fz(Z)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Zo-Zo

Por ejemplo: Fz(-1,25)=

Fz(-1,25)=1-Fz(1,25)=1-0,8944

0,1056

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z

fz(Z)

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Por ejemplo: P(-0,5<Z<0,75)

Busco en la

tabla z=0,75 y

z=0,5

= Fz(0,75) – Fz(-0,5) =

= Fz(0,75) – [1 – Fz(0,5)] =

= 0,7734 – [1 – 0,6915] = 0,4649


Como cualquier variable normal puede transformase endistribución normal estándar…

Si , entonces

y

( )2,X N µ σ� ( ) /Z X µ σ= −

(0,1)Z N�

Si a<b, entonces:

Donde Z es la variable aleatoria estándar y Fz(z) es su funciónde distribución acumulada

( ) z z

a b b aP a X b P Z F F

µ µ µ µσ σ σ σ− − − − < < = < < = −

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Sea X la v. aleatoria “nota del examen”

Las notas obtenidas en un examen de un grupo numeroso deestudiantes se distribuyen según una normal de media 6,0 ydesviación típica 1,5. ¿Qué proporción de estudiantes obtuvieronuna nota entre 8,5 y 9,5?

P(8,5<X<9,5) =

P(1,67<Z<2,33) = Fz(2,33)–Fz(1,67) = 0,9901–0,9525 = 0,0376

El 3,76% de los estudiantes obtuvieron notas entre 8,5 y 9,5

8,5 9,5 8,5 6,0 9,5 6,0

1,5 1,5P Z P Z

µ µσ σ− − − − < < = < <


Sea X la v. aleatoria “nota del examen”

Las notas obtenidas en un examen de un grupo numeroso deestudiantes se distribuyen según una normal de media 6,0 ydesviación típica 1,5. ¿Qué nota fue superada por el 10%de los estudiantes?

0,1 = P(X>b) =

0,9 =

6,0

1,5

b bP Z P Z

µσ− − > = >

6,0 6,0

1,5 1,5z

b bP Z F

− − < =

Busco en la tabla Fz(z)=0,9,

que corresponde a z=1,28

1,28 = (b-6,0)/1,5b = 7,92

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El teorema central del límite

En la práctica, muchas de las variables aleatorias deinterés van a ser sumas o promedios de un númerogrande de variables aleatorias independientes.

Sean X1, X2, …, Xn, n variables aletorias independientes, con idéntica distribución de media µ y varianza σ2

X = X1 + X2 + … + Xn

La media de una suma es la suma de las medias

La varianza de una suma es la suma de las varianzas

E(X) = nµ Var(X) = nσ2


X = X1 + X2 + … + Xn

E(X) = nµ Var(X) = nσ2

Para cualquier variable aleatoria, si restamos la media y

dividimos por la desviación típica, se obtiene una variable de

media 0 y varianza 1.

2

( )

( )

E X n

Var X n

X XZ

µ

σ

− −= =

Si dividimos numerador y

denominador por n

/

XZ

n

µσ−

=

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Sean X1, X2, … Xn, n variables aleatorias independientes ycon idéntica distribución de media µ y varianza σ2

(suponiendo que sea finita).

/

XZ

n

µσ−

=

Sean X y la suma y el promedio de estas variablesaleatorias.

X

Cuando n se hace grande, la distribución de

tiende a la normal estándar


Importante cuando se resuelven de modo prácticoproblemas que implican sumas o promedios de variablesaleatorias (discretas o continuas).

Importante para hacer inferencia sobre una poblaciónbasando los resultados en una muestra.

Proporciona validez a estas técnicas

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