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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tema 4. Distribuciones de probabilidad continuas(Parte I)
ESTADISTICA EMPRESARIAL - Grado en ADE
Jose Jaime Noguera [email protected]
10 de marzo de 2019
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
CONTENIDOS
1 Distribucion Uniforme
2 Distribucion Normal
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Distribucion Uniforme en [a, b]
Funcion de densidad: f (x) = 1b−a , con a ≤ x ≤ b.
Diremos que X → U(a, b)Funcion de distribucion: F (x) = x−a
b−a para a ≤ x ≤ bMedia: E [x ] = b+a
2 .
Varianza: Var(X ) = (b−a)2
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Distribucion Uniforme en [a, b] . EJEMPLO
A una conferencia se espera que lleguen entre 100 y 150 personas.a) Define una variable aleatoria contınua que modelice el
problema.b) Halla la funcion de densidad.c) Halla la esperanza.d) Halla la varianza.e) Probabilidad de que lleguen menos de 132 personas.
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Distribucion Uniforme en [a, b]. EJEMPLO
A una conferencia se espera que lleguen entre 100 y 150 personas.a) Define una variable aleatoria contınua que modelice el
problema: X → U(100, 150)b) Halla la funcion de densidad: f (x) = 1
150−100 , con100 ≤ x ≤ 150
c) Halla la esperanza: E [X ] = 100+1502
d) Halla la varianza: Var(X ) = (150−100)2
12e) Probabilidad de que lleguen menos de 132 personas:
P(X ≤ 132) = 132−100150−100 = 0,64
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Definicion
La Distribucion Normal se define como aquella distribucion cuyafuncion de densidad es
fX (x) = 1σ√
2πe− 1
2σ2 (x−µ)2, −∞ < x <∞, σ > 0
Si una variable aleatoria, X , tiene dicha funcion de densidad lo ex-presamos como:
X ; N(µ, σ).
Se puede demostrar que si X ; N(µ, σ), entonces:
E [X ] = µ y V (X ) = σ2.
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Normal estandar
Si µ = 0 y σ = 1, denominamos a la distribucion como normalestandar. La grafica en este caso es:
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Areas bajo N(0, 1)
Si Z ; N(0, 1), para hallar P{a < Z < b} debemos calcular el areabajo la curva normal entre x = a y x = b, es decir,
P(a < Z < b) =∫ b
a
1√2π
e− 12 x2dx .
Dicha integral no admite una expresion explıcita por lo que debecalcularse mediante un metodo numerico. Ası pues, podemos utilizar:
Software R, mediante pnorm(x,0,1) que nos da la P(Z < x).Otro software o calculadora.Uso de tablas. Estas tablas se pueden utilizar en el examen.
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)La Tabla A.5 nos proporciona P(Z ≤ z) para
z ∈ {−3,50;−3,51; . . . ; 3, 59}.Por ejemplo P(Z < 1, 96) = 0, 9750.¿Como calcular P(Z > 1, 96)?Por simetrıa: P(Z > 1, 96) = P(Z < −1, 96) = 0,25.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P(Z > 1, 5) = P(Z < −1,5) = 0,0668.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P(Z > 1, 2) = 1− P(Z < 1, 2) = 1− 0,8849 = 0, 1151
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
−3 −2 −1 0 1 2 30.
00.
10.
20.
30.
4
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P{Z > −1,5} = 1− P{Z < −1, 5} = 1− 0, 0668 = 0, 9332,O bien P{Z > −1,5} = P(Z < 1,5)
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
−3 −2 −1 0 1 2 30.
00.
10.
20.
30.
4
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P(2 < Z < 2,5) = P(Z < 2, 5)− P(Z < 2)= 0,9938− 0,9772= 0, 0166.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P(|Z | < 1) = P(−1 < Z < 1) = P(Z < 1)− P(Z < −1)= 0, 8413− 0,1587 = 0, 6826.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tipificacion
Si partimos de una X ; N(µ, σ) debemos transformarla a unaN(0, 1) ya que solo dispondremos de dicha tabla. Si estuviesemostrabajando con el software R, esto no serıa necesario. Este procesose denomina tipificacion.
TipificacionLa relacion existente entre Z ; N(0, 1) y una X ; N(µ, σ) es lasiguiente:
Z = X − µσ
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Ejemplo
Sabemos que la altura de los jovenes de entre 14 y 18 anos de unalocalidad sigue una normal con media 174 cm y desviacion tıpica 7cm. Calcula la probabilidad de que un joven de 15 anos mida entre170 y 176 cm.Sea X la variable aleatoria objeto de estudio, X ; N(174, 7).Tipificando Z = X−174
7 ; N(0, 1). Por tanto:
P(170 < X < 176) = PÅ170− 174
7 <X − 174
7 <176− 174
7
ã= P(−0, 57 < Z < 0, 29)= P(Z < 0, 29} − P{Z < −0,57)= 0,6141− 0,2843= 0,3298
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Calcular la abcisa de una N(0, 1)
Supongamos que queremos conocer el z tal que P(Z ≤ zp) =0, 3632. Para ello, simplemente debemos buscar en la tabla y ob-tenemos que zp = −0,35.
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
EJERCICIOS
EJERCICIO 1. Si X → U(2, 5) calculaa) P(X ≤ 2, 4)b) P(X ≤ 7)c) P(X > 7)d) P(X > 2, 7)
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
EJERCICIOS
EJERCICIO 2. Si X → N(0, 1) calculaa) P(X ≤ 2, 5)b) P(X ≤ −2, 54c) P(X > 2, 14)d) P(X > −1, 53)e) P(−0, 56 < X < 2, 18)
Distribucion Uniforme Distribucion Normal
EJERCICIOS
EJERCICIO 3. Si X → N(45, 8) calculaa) P(X ≤ 49)b) P(X ≤ 40c) P(X > 53)d) P(X > 36)e) P(41 < X < 56)