DISTRIBUCIONES CONTINUAS

LEONARDO LÓPEZ C.

ECONOMIA ESTADISTICA COMPUTARIZADA

PARALELO: 261

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es unafunción continua.

En la práctica, se corresponden con variables asociadas conexperimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquiervalor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo,áreas, etc.

Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución F de X se puede expresar como

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Esperanza Matemática o valor esperado de la variable aleatoria serepresenta por E(X) y se calcula, en el caso continuo, mediante lafórmula:

Gráficamente, la esperanza de una variable aleatoria continua coincidecon el centro de gravedad del área encerrada entre la función dedensidad y el eje OX.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Varianza

Se representa por Var(X)=σ2 y se calcula, en el caso continuo, mediantela fórmula:

VARIABLE ALEATORIA CONTINUADe manera intuitiva podemos decir que dos variables aleatorias son independientes si los valores que toma una de ellas no afectan a los de la otra ni a sus probabilidades.

Si queremos una definición algo más formal, basta con que recordemos que dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección es igual al producto de probabilidades, aplicando esta definición a sucesos del tipo X ≤ a tenemos la definición siguiente:

Diremos que dos variables aleatorias X e Y son independientes si y sólo si

P(X ≤ a ∩ Y ≤ b) = P(X ≤ a) · P(Y ≤ b) = FX(a) · FY(b)

A la función F(x, y) = P(X ≤ a ∩ Y ≤ b) se la conoce como la función dedistribución conjunta de X e Y.Como consecuencia inmediata de la independencia de X e Y, se cumple losiguiente:

P(a < X ≤ c ∩ b < Y ≤ d) = P(a < X ≤ c) · P(b < Y ≤ d)

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Esta distribución, en su versión más simple N(0;1), fue introducida por primeravez por De Moivre en 1733 como aproximación de la distribución binomial.Posteriormente, Laplace y Gauss la hallaron empíricamente estudiando ladistribución de los errores de medición, y tras sus trabajos se convirtió en ladistribución más utilizada.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

En estadística la distribución exponencial es una distribución deprobabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de densidad es:

Su función de distribución es:

donde e es una constante.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribuciónexponencial son:

DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO

Esta distribución surge cuando se desea conocer la distribución de la suma de los cuadrados de variables independientes e igualmente distribuidas con distribución Normal.

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribuciónde probabilidad que surge del problema de estimar la media de una poblaciónnormalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para ladeterminación de las diferencias entre dos medias muestrales y para laconstrucción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias dedos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población yésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad delcociente donde:

Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1

V tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad

Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente es una variablealeatoria que sigue la distribución t de Student no central conparámetro de no-centralidad μ.

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

La media muestral.

Sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

La Varianza es:

Error estándar de la media:

Intervalo de Confianza:

DISTRIBUCIÓN F

Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribuciónde probabilidad continua. También se la conoce como distribución F deSnedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor.

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

,donde

U1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2 grados de libertadrespectivamente, y

U1 y U2 son estadísticamente independientes.

La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de unaprueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

DISTRIBUCIÓN BETA

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X condistribución beta son:

Un caso especial de la distribución beta con a = 1 y b = 1 esla distribución uniforme en el intervalo [0, 1].

Para relacionar con la muestra se iguala E[X] a la media y V[X] a lavarianza y de despejan a y b.