Distribuciones continuas de carga

ELECTROSTTICA

Concepto.- Es una parte de la electricidad que se encarga del estudio de las interacciones y propiedades de los sistemas de cargas elctricos en reposo respecto a un sistema de referencia elegido.

Carga Elctrica.- Es una propiedad intrnseca de la materia. La carga elctrica es una magnitud escalar y generalmente se representa por el smbolo q. Cualquier porcin de materia, o partcula, est caracterizada por dos propiedades independientes fundamentales: masa y carga.Hay dos clases de elctrica: positiva y negativaSe dice que un cuerpo tiene carga positiva si ha perdido electrones y que est cargado negativamente si ha ganado electrones y si el cuerpo tiene el mismo nmero de cargas positivas y negativos se dice que es elctricamente neutro.

La carga fundamental es la carga del electrn e = -1.6x10-19 C.

Cuantizacin de la carga elctricaEn 1909, Robert Millikan (1868-1953) descubri que las cargas elctricas siempre se presentan como algn entero mltiplo de una cantidad bsica e que es la carga del electrn, es decir la carga existe en paquetes discretos, de manera que:q = Ne

Donde:

N : nmero entero

e = 1.6 x 10-19 CLey de conservacin de la carga elctrica

Es una ley fundamental de la electricidad que establece que:

La suma algebraica de las cargas elctricas de los cuerpos o partculas que forman un sistema elctricamente aislado no vara cualquiera sean los procesos que ocurran en dicho sistema. Es decir en un sistema aislado la carga elctrica siempre se conserva.Estructura del tomo

Sabemos que la materia est formada por tomos, el tomo esta formado por pequesimos corpsculos materiales llamados partculas elementales. Dentro de una gran variedad de estas partculas resaltan tres de ellas por ser estables, los electrones, los protones y los neutrones.

Los protones con carga positiva estn en el ncleo del tomo, en el que adems hay neutrones con igual masa que los protones, pero sin carga. En torno al ncleo giran los electrones, que son partculas de masa pequea y carga negativa. La carga elctrica de un cuerpo se mide por el exceso o defecto de electrones. Si un electrn en su orbita recibe un exceso de energa debido a un choque con otra partcula o con un haz de luz, o por el calor etc; el electrn se escapa del tomo y ste se convierte en un in positivo. El electrn libre o tomo que gana ste electrn se convierte en in negativo. Conductores, aisladores y semiconductoresa) Conductores

Los conductores elctricos son aquellos materiales en los cuales algunos de los electrones son electrones libres que no estn unidos a tomos y pueden moverse con relativa facilidad a travs del material. Son cuerpos buenos conductores de la electricidad: Los metales, los carbones, el aire hmedo, la tierra, etc.

b) Aislantes o dielctricos Los aislantes elctricos son aquellos materiales en los cuales todos los electrones estn unidos a tomos y no pueden moverse a travs del material. As tenemos por ejemplo el caucho, el plstico, vidrio, porcelana, madera aire seco, etc. Cuando se logra electrizar un dielctrico por ejemplo por frotamiento, slo el rea que se frota queda cargada y la carga no pude moverse a otras regiones del material.c) SemiconductoresPoseen pocos electrones libres por lo tanto son materiales intermedios entre los conductores y los aislantes.

El silicio y el germanio son ejemplos de semiconductores utilizados en aparatos electrnicos. Las propiedades elctricas de los semiconductores pueden cambiar, a varios ordenes de magnitud, mediante la adicin de cantidades controladas de ciertos tomos a dichos materiales.FORMAS DE ELECTRIZACINElectrizar un cuerpo es hacerlo que pierda o gane electrones. Existen tres mtodos para electrizar un cuerpo: Por forzamiento, por induccin y por contacto.a) Por Frotamiento

Si se frota dos materiales entre s, las cargas pasan de un cuerpo a otro como resultado del frotamiento o friccin. El material que capta los electrones tendr carga negativa, mientras que el material que pierde electrones tendr carga positiva. Por ejemplo la frotacin de una varilla de vidrio con un pao de seda, la varilla pierde electrones y se cargar positivamente, mientras que la ceda adquiere carga negativa.b) Por Contacto

Cuando un cuerpo con carga elctrica negativa se pone en contacto con otro conductor elctricamente neutro, los electrones libres en exceso se reparten entre los dos conductores.Si la carga del conductor es positiva al ponerlo en contacto con el conductor neutro algunos electrones libres del segundo son atrados por el primero. En ambos casos los conductores quedan cargados con cargas de igual signo lo que prueba que se repelen.

Cuando dos esferas se ponen en contacto directamente, la carga elctrica total se distribuye en forma directamente proporcional al cuadrado de radio de cada esfera.

Cuando las esferas conductoras se ponen en contacto por medio de hilos, largos conductores, la carga de las esferas se distribuye en forma proporcional a los respectivos radios, de modo que l carga total se conserva

c) Por Induccin

Cuando un cuerpo A con carga negativa se acerca a otro cuerpo B neutro, algunos electrones libres de B se alejan de A, dejando iones positivos en la parte ms prxima al cuerpo A.El electroscopioEs un instrumento que nos permite detectar si un cuerpo est o no cargado. El electroscopio consta de dos hojuelas metlicas delgadas y livianas que pendes de una varilla metlica (conductora) acoplada a una bola tambin metlica y el conjunto va encerrado en un recipiente de vidrio, el cual tiene un tapn de plstico (aislante) que sostiene la varilla metlica.Cuando se acerca o se toca la varilla A con un cuerpo cargado, las dos lminas, adquieren cargas del mismo signo del cuerpo cargado y por lo tanto se repelen.

Distribuciones continuas de cargaCuando un gran nmero de cargas estn muy prximas, la carga puede considerarse distribuida continuamente en el espacio. La carga elctrica puede distribuirse de tres maneras:a) Densidad lineal de carga (). Cuando la carga elctrica se encuentra distribuida a lo largo de una lnea en el espacio, definimos la densidad lineal de carga como la carga por unidad de longitud:

b) Densidad superficial de carga (). Cuando la carga elctrica se distribuye en una capa delgada sobre la superficie de un cuerpo, se define la densidad superficial de carga como la carga por unidad de reac) Densidad volumtrica de carga (). Cuando la carga elctrica se distribuye en todo el volumen de un cuerpo, se define como la carga por unidad de volumen:

Leyes de la electrosttica1. Ley Cualitativa

Establece que:

Dos cuerpos con la misma clase de carga elctrica (positiva o negativa) se repelen, pero si tienen diferente clase de carga elctrica (una positiva y la otra negativa) se atraen.2. Ley Cuantitativa o de Coulomb (1785)La interaccin electrosttica entre dos partculas est dada por la ley de Coulomb, llamada as en honor del ingeniero francs Charles A. de Coulomb (1736-1806) quien fue el primero en enunciarla, como sigue:

La interaccin electrosttica entre dos partculas cargadas es proporcional a sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y su direccin es segn la recta que las une.

Es puede expresarse matemticamente como:Principio de SuperposicinLa fuerza existente entre dos cargas no se modifica por la presencia de una tercera carga.

Expresin de la ley de Coulomb para un sistema de n cargas puntualesSi se tiene un sistema de n cargas puntuales (q1, q2, q3, qi, qj ,qn) la fuerza sobre la carga qi se determina aplicando el principio de superposicin

En la expresin anterior deben remplazarse los valores de las cargas qi , qj con sus respectivos signos.Ley de Coulomb distribuciones continuas de carga

En el caso de distribuciones continuas de carga, por ejemplo si se tiene cargas lineales ( tiras delgadas, barras, etc.) ; cargas superficiales (disco delgado, plano delgado, etc); o cargas volumtricas (esferas, cilindros, etc); esta deber dividirse en elementos puntuales de carga: dq; y luego se halla la fuerza entre el elemento diferencial de carga (dq) y la carga (q0) y luego se efecta la integracin sobre las dimensiones donde est distribuida la carga.CAMPO ELCTRICO

Es aquella regin del espacio en donde una carga elctrica experimenta una fuerza. La fuerza se debe a otras cargas en aquella regin.

Supongamos que tenemos las cagas puntuales q1, q2, q3, dispuestas arbitrariamente en el espacio. Estas cargas producen un campo elctrico E en cualquier punto del espacio. Si situamos una carga una pequea carga testigo q0 en algn punto prximo, sta experimentar una fuerza debido a las otras cargas. El campo elctrico E en un punto por esta fuerza se define dividida por q0. En el S.I. la unidad de la intensidad de campo elctrico E se expresa newton/coulomb (N/C). El campo es un vector que describe la condicin en el espacio creada por un sistema de cargas.

Campo elctrico creado por una carga puntualEl campo elctrico en el punto P creado por una carga puntual q colocada en el origen de coordenadas es:

El campo elctrico en las vecindad de una carga positiva (+q) ser hacia fuera, o alejndose de la carga. En las vecindad de una carga negativa ( -q ) la direccin, ser hacia adentro, o dirigindose hacia la carga.Campo elctrico creado por un sistema de cargas puntuales

El campo elctrico debido a una distribucin de cargas puntuales se determina sumando los campos originados por cada carga separadamente, es decir para el campo elctrico tambin se cumple el principio de superposicin. Lneas de Fuerza

Son lneas imaginarias inventadas por Michael Faraday, que permiten representar los campos elctricos (o magnticos). Una lnea de fuerza (en un campo elctrico) es una lnea imaginaria dibujada de modo que su direccin en cada punto (es decir, la direccin de su tangente) sea la misma que la direccin del campo en ese punto.Reglas para dibujar lneas de fuerza

1. Las lneas de campo elctrico comienzan en las cargas positivas (o en el infinito) y terminan en las negativas (o en el infinito).

2. Las lneas se dibujan simtricamente saliendo o entrando en la carga.

3. El nmero de lneas que abandonan una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga.4. La densidad de lneas de fuerza en un punto es proporcional al valor del campo en cada punto.

5. A grandes distancias de un sistema de cargas, las lneas de fuerza estn igualmente espaciadas son radiales como si procediesen de una sola carga puntual igual a la carga neta del sistema.

6. No pueden cortarse nunca dos lneas de fuerza.

Campo elctrico debido a una distribucin de carga a) Campo elctrico - Distribucin lineal de cargaPara el caso de una distribucin lineal de carga, por ejemplo si se tiene tiras delgadas, barras, etc. El campo elctrico se calcula como sigue:b) Campo elctrico - Distribucin superficial de cargaPara el caso de una distribucin superficial de carga, por ejemplo si se tiene un disco delgado, un plano delgado, etc. El campo elctrico se calcula como sigue:c) Campo elctrico - Distribucin volumtrica de cargaPara el caso de una distribucin volumtrica de carga, por ejemplo si se tiene esferas, cilindros, etc.; el campo elctrico se calcula como sigue:

Nota: Si las densidades no dependen de r, es decir son constantes, salen de la integral

Movimiento de una partcula cargada en un campo elctrico uniforme

Existe una clara diferencia entre la aceleracin de una partcula cargada que se mueve en un campo elctrico, que depende de la relacin carga masa (q/m), que es en general diferente para las diferentes partculas cargadas y iones y la aceleracin en campo gravitacional, que es la misma para todos los cuerpos.

PROBLEMAS DE CAMPO ELCTRICO7. Dos cargas positivas iguales q estn en el eje y; una est en y = a y la otra en y = -a.

(a) Demostrar que el campo elctrico en el eje x est dirigido a lo largo de dicho eje con EX = 2Kqx(x2 + a2)-3/2.

(b) Demostrar que cercano al origen, cuando x es mucho menor que a, EX vale aproximadamente 2Kqx/a3.(c) Demostrar que para x mucho mayor que a, EX es aproximadamente 2Kq/x2.8. Cuatro cargas del mismo valor estn dispuestas en los vrtices de un cuadrado de lado L. (ver figura).(a) Hallar el valor y direccin de la fuerza ejercida sobre la carga situada en el vrtice inferior izquierdo por las otras cargas.

(b) Demostrar que el campo elctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado est dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor es:

9. Se colocan cargas -2 y + 4 C en los vrtices de un tringulo equiltero de 10 cm de lado. a) Cul es la magnitud de la intensidad del campo elctrico en el tercer vrtice? b) Cules son la magnitud y direccin de la fuerza que actuara sobre una carga de -2 C colocada en dicho vrtice?.10. Dos cargas de +12 nC y +12nC estn separadas 12cm. Cul es la magnitud y direccin de la intensidad del campo elctrico en un punto distante 10cm de cada carga.11. Se coloca una partcula de 20mg en un campo uniforme dirigido hacia abajo de intensidad 1000 N/C. Cul electrones en exceso deben colocarse en la partcula a fin de que se equilibren las fuerzas gravitacional y elctrica?.12. Dos cargas puntuales, q1=-6x10-9 C y q2 = + 6 x10-9 C, estn separadas 12cm, como se muestra en la figura. determinar el campo elctrico en el punto A y en el punto B.13. La magnitud de la intensidad de un campo elctrico entre las placas de la figura es 4 kN/C. Cul es la magnitud de la carga en la esfera de mdula de saco suspendida si masa 3 mg?.14. En la figura determine el punto (distinto del infinito ) en el cul el campo elctrico es cero.15. Tres cargas positivas iguales, q, estn en la esquina de un tringulo equiltero de lado a, como se muestra en la figura. (a) Suponga que las tres cargas juntas generan un campo elctrico. Dibuje las lneas de campo en el plano de las cargas. Determine la ubicacin de un punto (distinto al infinito) y en un sitio diferente a donde el campo elctrico es cero. (b) Cul es la magnitud y direccin del campo elctrico en P debido a las dos cargas en la base?.16. Considere el dipolo elctrico mostrado en la figura. Demuestre que el campo elctrico en un punto distante a lo largo del eje x es Ex aKqa/x3.17. Una partcula puntual con una carga q se localiza en (x0, y0) en el plano xy. Demuestre que las componentes x e y del campo elctrico en el punto (x, y) debidas a esta carga q son:18. Cuatro cargas puntuales estn en las esquinas de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura. a) Determinar la magnitud y direccin del campo elctrico en la posicin de larga q. b)Cul es la fuerza resultante sobre q?.19. Tres cargas puntuales q, -2q y q estn ubicadas a lo largo del eje x como muestra la figura. Demuestre que el campo elctrico en P (y >>a) a lo largo del eje y es:20. Considere el siguiente cuadrupolo elctrico mostrado en la figura. Para R>>a demuestre que el campo elctrico E en el punto P es aproximadamente dado por:21. En que punto sobre el eje X, el campo elctrico se anula.22. Un pndulo simple de longitud L = 1.0 m y masa M = 5x10-3 kg se sita en un campo elctrico E dirigido verticalmente. La lenteja posee una carga de 8.0 C. El perodo del pndulo es 1.2 s. Cul es la magnitud y sentido de E?. (91 cap 22)

23. Una pequea cuenta de masa m y carga q est restringida a deslizarse a lo largo de una barra delgada de longitud L. En los extremos de la barra hay sendas cargas Q (ver figura)

(a) Obtener una expresin para el campo elctrico debido a las dos cargas Q en funcin de x, en donde x es las distancia contada desde el punto medio de la barra.

(b) Demostrar que si para x R.a) Hallar la carga total sobre la esfera

b) Hallar el campo elctrico Er tanto en el interior como en el exterior de la distribucin de carga y representar Er en funcin de r. (35 cap2)

34. Una esfera slida no conductora de radio R posee una densidad de carga volumtrica proporcional a la distancia desde el centro = C/r2 para r R, siendo C una constante; = 0 para r > R.

a) Hallar la carga total sobre la esfera

b) Hallar el campo elctrico Er tanto en el interior como en el exterior de la distribucin de carga y representar Er en funcin de r. (37 cap2)

35. Una corteza esfrica no conductora y maciza de radio interior a y radio exterior b posee una densidad de carga volmica uniforme.

a) Hallar la carga total

b) Hallar el campo elctrico en todos los puntos (39 cap2)

Movimiento de cargas puntuales en campos elctricos

36. Entre las placas de deflexin de un osciloscopio de rayos catdicos, existe un campo elctrico de 30.000 NC-1. (a) Qu fuerza se ejerce sobre un electrn colocado en sta regin? (b) Qu aceleracin adquiere el electrn debido a esta fuerza? Compararla con la aceleracin de la gravedad.

37. Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos. Se libera un electrn en la superficie de la placa negativa y choca en la placa opuesta, distante 2.0 cm de la primera, en un intervalo de 1.5 x10-8 segundos. (a) Calcular el campo elctrico; (b) Calcular la velocidad del electrn al chocar con la placa.

38. En la figura se lanza un electrn con una velocidad inicial de 2x10-7 m/s en la direccin de un eje equidistante de las placas en un tubo de rayos catdicos. El campo elctrico uniforme entre las placas, tiene una intensidad de 20.000 NC-1 y est dirigido hacia arriba. (a) Qu distancia perpendicular al eje ha recorrido el electrn cuando pasa por el extremo de las placas (b) Qu ngulo con el eje forma la velocidad cuando abandona las placas? (c) A qu distancia por debajo del eje choca con la pantalla fluorescente S?.

39. Un electrn, partiendo del reposo, acelera por accin de un campo elctrico uniforme de magnitud 8x104 N/C que se extiende hasta una distancia de 5.0 cm. Determinar la velocidad de electrn en el momento en que abandona la regin del campo elctrico uniforme. 40. Una masa de 2g localizada en una regin de campo elctrico uniforme E = (300 N/C) j transporta una carga Q. La masa, liberada del reposo en x = 0 posee una energa cintica de 0.2 J en x = 0.05 m. determinar la carga Q.

41. Un electrn parte de la posicin mostrada en la figura con una velocidad inicial V0 = 5x106 m/s formando un ngulo de 45 con el eje x. El campo elctrico tiene una direccin positiva y su magnitud es de 3.5x103 N/C. Sobre cul placa y en qu lugar chocar el electrn?. Dipolos elctricos

42. Un dipolo elctrico se compone de dos cargas +q y q separadas una distancia muy pequea 2a. Su centro est en el eje x en x = x1 y la lo largo del mismo hacia los valores positivos de las x. El dipolo est en el interior de un campo elctrico no uniforme que tiene tambin la direccin x dada por E = Cx i, siendo C una constante.a) Hallar la fuerza ejercida sobre la carga positiva y la ejercida sobre la negativa y demostrar que la fuerza neta sobre el dipolo es Cpi.

b) Demostrar que en general, si un dipolo de momento p est sobre el eje x en un campo elctrico que tiene la direccin x, la fuerza neta sobre el dipolo viene dada aproximadamente por (dEX/dx)pi.43. Un cuadripolo consta de dos dipolos prximos entre si como indica la figura. La carga efectiva en el origen es -2q y las otras cargas sobre el eje y en y = a valen cada una +q.a) Hallar el valor del campo elctrico en un punto sobre el eje x a gran distancia de manera x >> a.

b) Hallar el valor del campo elctrico en un punto sobre el eje y de tal modo que y >> a.

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