Simulasi 11

DISTRIBUSI KONTINYU

2

Variabel Random Kontinyu

Distribusi Probabilitas Uniform

Distribusi Probabilitas Eksponensial

Distribusi Probabilitas Normal

Distribusi Porbabilitas Gamma

Distribusi Probabilitas Weibull

3

6.56.05.55.04.54.03.53.02.52.01.51.0

0.15

0.10

0.05

0.00

Minutes

P(x)

Minutes to Complete Task: By Half-Minutes

0.0. 0 1 2 3 4 5 6 7

Minutes

P(x )

Minutes to Complete Task: Fourths of a Minute

Minutes

P(x)

Minutes toCompleteTask:Eighthsof aMinute

0 1 2 3 4 5 6 7

Interval waktu dapat dibagi menjadi:

Interval 0.5 menit Interval 0.25 menit Interval 0.125 menit

Interval kecil tak terbatas Jika sebuah variabel random diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan probabilitasnya ditentukan oleh sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas adalah luas area di bawah kurva dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan dengan P(2<X<3).

76543210

Minutes

f( z)

DARI DISKRIT MENJADI KONTINYU

4

VARIABEL RANDOM KONTINYU

Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel random yang dapat

berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati.

Probabilitas dari variabel random kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi

densitas, dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut.

f(x) > 0 untuk setiap nilai x.

Probabilitas bahwa X berada diantara dua nilai a dan b

adalah sama dengan luas area dibawah f(x) yang dibatasi

oleh a dan b.

Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.

Departemen Teknik Industri FTI-ITB

FUNGSI DENSITAS DAN KUMULATIF

5

F(x)

f(x)

x

x0

0

ba

F(b)

F(a)

1

ba

}

P(a < X < b) = Area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b= F(b) - F(a)

P(a X b)=F(b) - F(a)

Fungsi kumulatif

Fungsi densitas


DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU (1)

TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

6

Densitas uniform [0,5] :1/5 for 0 < X < 5

f(x)= 0 lainnya

E(X) = 2.5

{

6543210-1

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0.

x

f(x)

Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00

Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3 = P(1<X<3) = 2.(1/5) = 2/5

Distribusi Uniform



Definisi:

Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinankemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) xmengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas probabilitas:

1/( - ), untuk <x<

f(x)=

0 untuk x lainnya.

Ekspektasi dan variansi:

E(X)=( + )/2 dan V(X)= ( - )2/12


7

{



Contoh:

Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit bilangan random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses simulasi akan akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2 , 7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilangan random, berapa kemungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)?

Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian probabilitas bahwa proses simulasi akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2.


8


DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (1)

Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson(dari proses poisson) jika persoalan didekati dari variabel intervalantar kedatangan.


9

Dari uraian tentang distribusi poisson diperolehkemungkinan tidak ada kedatangan sebagai tep )0( .

Kemungkinan ini dapat diinterpretasikan sebagaikemungkinan bahwa tidak ada kejadian kedatangan padarentang waktu sampai terjadinya kedatangan pertama lebih

besar dari t atau 0 ,)()0( tetTPp t.

Untuk variabel random waktu kedatangan T , maka dapatdiperoleh besarnya kemungkinan melalui

0 ,1)()( tetTPtF t . Dengan demikian diperoleh.0 ,)(')( tetFtf t




10

Definisi:Sebuah variabel random (kontinyu) X menyatakan intervalwaktu antar kedatangan dimana kejadian kedatangantersebut mengikuti proses Poisson, dikatakan mengikutidistribusi eksponensial dengan fungsi distribusi:

lainnya. x 0

0 )( xexf x

Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagaiberikut :

0

x- e)( dxxXE /1 dan 2

0

2 /1 )( dxexXV x

2/1



Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk

melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan

pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki

daya tahan yang dinyatakan oleh variabel random satuan waktu

(minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5.

Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent)

dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman

yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang

harus dipenuhi, perusahaan menginkan peralatan tersebut tidak

mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang

direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu. Jika diinginkan paling

sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan

tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi?


11




12

Dalam kasus tersebut, perusahaan harus dapat memperkirakanketersediaan (availability) bahwa sebuah peralatan masih dapatbekerja selama paling sedikit 8 minggu. Kemungkinan bahwasuatu komponen pengaman masih akan berfungsi setelah 8

minggu adalah 8

5/

5

1)8( dteTP t

= e-8/5~ 0,2.

Selanjutnya, misalkan X sebagai variabel random yangmenyatakan banyaknya komponen pengaman yang masihberfungsi setelah 8 minggu dengan kemungkinan p=0.2, denganmenggunakan fungsi distribusi kemungkinan binomial, dapatdiperoleh kemungkinan paling sedikit dua peralatan dapatberoperasi sebagai berikut

5

2

)2.0,5;()2(x

xbXP =1-1

0

)2.0,5;(x

xb = 0,68.


DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (1)


13

Untuk p 0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial menjadi …

n = 6 n = 14n = 10

6543210

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)

Binom ial D is tribution: n=6, p=.5

109876543210

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)

Binomial D istribution: n=10, p=.5

14131211109876543210

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)

Binom ial D istribution: n=14, p=.5

50-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

f(x)

Normal Distribution: = 0, = 1

Distribusi yang berbentuk kurva sepertilonceng (bell)



Distribusi kemungkinan variabel random kontinyu yang terpenting dalam

statistika adalah distribusi normal, yang merupakan variabel random yang

berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar

disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris.

Dikenal sebagai distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang

mempublikasikannya pada tahun 1809 (bentuk matematika pertama kali

diturunkan dari distribusi binomial oleh DeMoivre 1733 dan Laplace 1775)

dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah dalil probabilitas untuk setiap

variabel random kontinyu.


14




15

Fungsi densitas probabilitas normal:

50-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

f(x)


xxfx

e2

1)(

221

/-

DefinisiSebuah variabel random (kontinyu) x ( x ) dikatakan mengikutidistribusi normal dengan parameter lokasi pemusatan dan parameter

penyebaran (variansi) 02 jika mengikuti fungsi distribusi

kemungkinan berikut : xxfx

e2

1)(

2

2

1 /-

dimana ...14159,3 dan e = 2,71828…(bilangan natural).




16

Kurva normal membentuk:

Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (.50 or 50%) bagian akan berada di salah satu sisi dari rata-rata.

Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi, , dan dintayakan dengan: [X~N( )].

Setiap kurva bersifat asymptotik.

Luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal dalam rantang k dari adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi.




17

Distribusi ini digunakan sangat luas dan seringkali

dinotasikan dengan 2

~ , NX .

Jika dan diketahui maka lokasi dan bentuk kurva

normal dapat diketahui.

Nilai parameter (parameter lokasi) yang semakin

besar akan menggeser kurva ke kanan, dan nilaiparameter (parameter bentuk) yang semakinmembesar akan menyebabkan kurva normal semakinlandai (memperbesar jarak dari pemusatan ke posisititik-titik belok kurva).




18

Beberapa sifat penting fungsi densitas probabilitas normal:

i. Luas daerah di bawah kurva 1 )( dxxf .

Dengan melakukan transformasi linier /)(xy , akan

diperoleh fungsi distribusi kemungkinan normal standar2

2

1

2

1)(

yeyf . Kemudian definisikan bentuk satuan berikut

dyeIy 2

2

1

2

1,

dan pertimbangkan sebuah bentuk satuan dari variabel randomZ yang juga mengikuti fungsi distribusi kemungkinan normal standar

dzeIz 2

2

1

2

1.




19

Selanjutnya definisikan perkalian kedua bentuk satuantersebut sebagai berikut

dzdyedzedyeIzyzy

2

1=

2

1

2

1 )(222

2

12

2

12

2

1

.

Gunakan transformasi berikut cosdan ,sin rzry , maka

dapat diperoleh

.1

2

1

0

2

00

22

2

12

2

1

drerdrderIrr

Karena 12I , maka 12

1 2

2

1

dyeIy

.

ii. Untuk setiap nilai variabel random X, nilai 0)(xf .




20

iii. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal bersifatassymptotic pada kedua sisinya (tail), atau 0)(lim

xxf dan

0)(limx

xf .

iv. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal simetris di kiridan kanan lokasi pemusatan , atau xfxf .

v. Nilai maksimum (modus) dari kurva fungsi distribusi

kemungkinan normal )(xf berada pada lokasi pemusatanx .

vi. Titik belok (point of onflections) dari kurva fungsi distribusikemungkinan normal )(xf berada pada titik-titik x .

Kurva memiliki bentuk cekung dari bawah untuk - <x< + , dan cekung dari atas untuk harga x lainnya.




21

Kedua parameter fungsi normal dan 2 adalah rata-

rata (ekspektasi )(XE ) dan variansi ( 2)(XV )

distribusi probabilitas normal.Bukti :

e2

1)(

-

/-2

2

1

dxxXEx

.

Gunakan transformasi /)(xz , dan diperoleh :

.)0()1(

e2

e2

1

e2

)()(

-

-

-

-

-

-

2

212

21

2

21

dzz

dz

dzz

XE

zz

z




22

Selanjutnya hitung variansi sebagai berikut:

.10

2

1

2

2

2

)(

])[()(

22

2

22

)(2

2

2

112

11

2

11

2

11

dzeez

dzez

dxex

XEXV

zz

z

X




23

Besarnya nilai probabilitas variabel random normalditentukan dengan formulasi berikut :

dxexXPxFux 2

2

1 )(

2

1)()( .

Nilai probabilitas tersebut tidak dapat dihitung secaraanalitis matematis melalui persamaan integral di atas, untukitu digunakan tabel distribusi normal yang diperoleh melaluipendekatan numerik.




24

Beberapa pendekatan numerik yang dapat digunakan untukmenentukan besarnya nilai probabilitas adalah:i. Pendekatan Hoyt (1968) menggunakan fungsi

31untuk )3(

1untuk )3(

2

161

2

81

xx

xx

pendekatan ini memberikan kesalahan kurang dari 0.01.ii. Pendekatan Polya (1945) menggunakan fungsi

2/12

21 )}/2exp(1{1)( xxF .

Pendekatan ini memberikan kesalahan maksimumsebesar 0.003 pada x=1.6.




25

iii. Pendekatan Burr (1967) menggunakan fungsikcxxG )(11)(

dimana =0.644693, =0.161984, c =4.874, dan k=-6.158. Pendekatan yang lebih baik dengan fungsi G(x)adalah )](1)([)(

21 xGxGxH . Dengan pendekatan ini

memberikan kesalahan maksimum adalah 0.00046 padax=0.6 dan x=-0.6.

Pendekatan lainnya dapat dilihat pada:Johnson, N.L. & Kotz, S., (1970), Continuous Univariate

Distribution, JWS.




26

Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata-rata dan variansi yang berbeda

50-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

z

f(z)

Normal Distribution: =0, =1

454035

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

w

f(w)


6050403020100

0.2

0.1

0.0

x

f(x)


65554535

0.2

0.1

0.0

y

f(y)


50

Perhatikan bahwa:

P(39 W 41)

P(25 X 35)

P(47 Y 53)

P(-1 Z 1)

Nilai probabilitas dari setiap interval adalah luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal.




27

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

Standard Norm al D is tribution

• Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang satu deviasi standar dari rata-rata adalah 0.6826, atau sekitar 0.68.

• Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang dua deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9544, atau sekitar 0.95.

• Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang tiga deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9974.


DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (1)


28

Variabel random normal standar, Z, adalah variabel random

normal dengan rata-rata = 0 dan deviasi standar = 1: Z~N(0,12).

543210- 1- 2- 3- 4- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

0 . 0

Z

f(z)

Standard Normal Distribution

=0

=1{


DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (2) P(0 < Z < 1.56)


29

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f ( z)


1.56{

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

Probabilitas Normal Standar

Lihat pada baris 1.5dan kolom .06 untuk menemukanP(0<z<1.56) = 0.4406


DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (3) P(Z < -2.47)


30

Untuk P(Z<-2.47):

Lihat tabel untuk 2.47P(0 < Z < 2.47) = .4934

P(Z < -2.47) = .5 - P(0 < Z < 2.47)= .5 - .4934 = 0.0066

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Nilai tabel area 2.47

P(0 < Z < 2.47) = 0.4934

Area di sebelah kiri -2.47P(Z < -2.47) = .5 - 0.4932

= 0.0068

z ... .06 .07 .08

. . . .

. . . .

. . . .2.3 ... 0.4909 0.4911 0.49132.4 ... 0.4931 0.4932 0.49342.5 ... 0.4948 0.4949 0.4951.


DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (4) P(1< Z < 2)


31

z .00 ...

. .

. .

. .

0.9 0.3159 ...

1.0 0.3413 ...

1.1 0.3643 ...

. .

. .

. .

1.9 0.4713 ...

2.0 0.4772 ...

2.1 0.4821 ...

. .

. .

. .

Temukan P(1 < Z < 2):1. Temukan nilai tabel 2.00

F(2) = P(Z < 2.00) = .5 + .4772 =.9772

2. Temukan nilai tabel 1.00

F(1) = P(Z < 1.00) = .5 + .3413 = .8413

3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00)

= .9772 - .8413 = .1359

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Luas area diantara 1 dan 2P(1 < Z < 2) = .4772 - .8413 = 0.1359


DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (5) P(0 < Z < Z) = 0.40


32

Temukan z sehinggaP(0 < Z < z) = .40:

Temukan nilai probabilitassedekat mungkin dengan .40 dari tabel kemungkinan normal standar.

•Tentukan nilai z pada baris dan kolom yang sesuai. P(0<z<1.28) 0.40

Karena P(Z < 0) = .50

P(Z <1.28) .90543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Area = .40 (.3997)

Z = 1.28

Luas area di kiri 0 = .50

P(z 0) = .50

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .


DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (6) P(-Z.005< Z < Z.005) = 0.99


33

z .04 .05 .06 .07 .08 .09

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

2.4 ... 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 ... 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 ... 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Untuk memperoleh probabilitas 0.99 di tengah distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) = (1/2)(.01) = .005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(.99) = .495 setengah dari interval .99, atau :

P(0<Z< z.005) = .495

Dari tabel probabilitas normal standar:

2,57 < z.005 < 2,58z.005 2,575

P(-.2575 < Z < 2,575) = .99 543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Zf(z)

-z.005 z.005

Area di ekor kanan = .005

Area di ekor kiri = .005

Area di kanan = .495

Area di kiri = .495

2.575-2.575

Area di tengah = .99


TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL


34

Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk variabel random normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal standar. Contoh: P(40 X P(-1 Z untuk dan

1009080706050403020100

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

X

f (x)


=10{

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


1.0

{

Transformasi pada

(2) Pembagian dengan x)

Transformasi X menjadi Z:

ZX x

x

Transformasi sebaliknya Zmenjadi X:

X x Z x

(1) Pengurangan: (X - x)




35

Contoh: X~N(160,302)P X

PX

P Z

P Z

( )

.

. . .

100 180

100 180

100 160

30

180 160

30

2 6667

0 4772 0 2475 0 7247

ContohX~N(127,222)P X

PX

P Z

P Z

( )

.

. . .

150

150

150 127

22

1 045

0 5 0 3520 0 8520


TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL(MINITAB)


36

MTB > cdf 100;

SUBC> normal 160,30.

Cumulative Distribution Function

Normal with mean = 160.000 and standard

deviation = 30.0000

x P( X <= x)

100.0000 0.0228

MTB > cdf 180;



Normal with mean = 160.000 and standard

deviation = 30.0000

x P( X <= x)

180.0000 0.7475

MTB > cdf 150;



Normal with = 127.000 and = 22.0000

x P( X <= x)

150.0000 0.8521


TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL(MINITAB)


37

Contoh X~N(383,122) P X

PX

P Z

P Z

( )

. .

. . .

394 399

394 399

394 383

12

399 383

12

0 9166 1 333

0 4088 0 3203 0 0885

440390340

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

X

f( X)


MTB > cdf 394;



Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000

x P( X <= x)

394.0000 0.8203

MTB > cdf 399;




x P( X <= x)

399.0000 0.9088

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)



TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL(EXCEL)


38




39

Transformasi X menjadi Z:

ZX x

x

Transformasi kebalikan Z menjadi X:

Xx

Zx

Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b:

P X a P Za

P X b P Zb

P a X b Pa

Zb

( )

( )

( )




40

z .07 .08 .09

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1.1 . . . 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 . . . 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 . . . 0.4147 0.4162 0.4177

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu untuk sembarang variabel random normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi standar dari rata-ratanya.

Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di atas rata-rata X: 70= +2 . P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal standar.

P X Px

P Z P Z( ) ( )7070 70 50

102

Contoh: X~N(124,122) P(X > x) = 0.10 dan P(Z > 1.28) 0.10x = + z = 124 + (1.28)(12) = 139.36




41

z .02 .03 .04

. . . . .

. . . . .

. . . . .

2.2 . . . 0.4868 0.4871 0.4875

2.3 . . . 0.4898 0.4901 0.4904

2.4 . . . 0.4922 0.4925 0.4927

. . . . .

. . . . .

. . . . .

z .05 .06 .07

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693

1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756

2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808

. . . . .

. . . . .

Contoh: X~N(5.7,0.52)

P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01

x = + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865

Contoh: X~N(2450,4002)

P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96) 0.95

x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234)

P(1666 < X < 3234) = 0.95

8.27.26.25.24.23.2

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

8.27.26.25.24.23.2

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f(x)

Normal Distribution: = 5.7 = 0.5

543210-1-2-3-4-5

z Z.01 = 2.33

Area = 0.49

Area = 0.01

4000300020001000

0.0015

0.0010

0.0005

0.0000

X

f(x)

Normal Distribution: = 2450 = 400

4000300020001000

0.0015

0.0010

0.0005

0.0000

543210-1-2-3-4-5

Z

.4750.4750

.0250.0250

-1.96 1.96

X.01 = +z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865




42

4000300020001000

0.0012

0.0010

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0.0000

X

f( x)


.

.

.

.

.

.

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z )

S tand ard N o rm al D is trib utio n

1.Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal standar.

2.Arsir daerah probabilitas yang diteliti.

3.Dari tabel distribusi normal standar, temukan nilai z.

4.Transformasikan nilai z menjadi x (nilai variabel random asal).




43

4. Transformasi nilai z ke nilai x

x = z

= 2450 ± (1.96)(400)

= 2450 ± 784

=(1666,3234)

z .05 .06 .07

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693

1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756

2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808

. . . . .

. . . . .

3. Temukan nilai z dari tabel normal standar z=-1,96 dan z=1.96

1. Distribusi normal dan normal standar.

2. Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri dan kanan.

400300200100

0.0012

0.0010

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0.0000

X

f( x)

Nor al Distribution: = 2450, = 40

.

.

.

.

.

.

.4750.4750

.9500

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z )

S tand ard No rm al D is trib utio n

.4750.4750

.9500

-1.96 1.96





44

Using EXCEL


PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL (1)


45

1050

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f(x)

Normal Distribution: = 3.5, = 1.323

76543210

0.3

0.2

0.1

0.0

X

P(x

)

Binomial Distribution: n = 7, p = 0.50

Distribusi normal dengan = 3.5 dan = 1.323 mendekati

distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50.

P(x<4.5) = 0.7749

MTB > cdf 4.5;

SUBC> normal 3.5 1.323.


Normal with mean = 3.50000 and standard deviation =

1.32300

x P( X <= x)

4.5000 0.7751

MTB > cdf 4;

SUBC> binomial 7,.5.


Binomial with n = 7 and p = 0.500000

x P( X <= x)

4.00 0.7734

P( x 4) = 0.7734

=0.0017




46

1050

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f(x)

Normal Distribution: = 5.5, = 1.6583

11109876543210

0.2

0.1

0.0

X

P(x

)

Binomial Distribution: n = 11, p = 0.50

Distribusi normal dengan = 5.5 dan = 1.6583 pendekatan yang lebih

baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.

P(x<4.5) = 0.2732

P(x 4) = 0.2744

MTB > cdf 4.5;

SUBC> normal 5.5 1.6583.



x P( X <= x)

4.5000 0.2732

MTB > cdf 4;

SUBC> binomial 11,.5.


Binomial with n = 11 and p = 0.500000

x P( X <= x)

4.00 0.2744

=0.0012




47

Definisi:Bila X variabel random binomial dengan rata-rata = np

dan variansi 2 = npq, maka bentuk pendekatan adalah

distribusi ,npq

npXZ bila n adalah distribusi normal

baku N(0,1).

Dari perhitungan, distribusi normal memberikan pendekatannilai probabilitas yang baik terhadap distribusi binomial bilan besar dan p mendekati 0.5, bahkan bila n mengecil tapi ptidak terlalu jauh dari 0.5 masih diperoleh pendekatan yangcukup baik.




48

P a X b Pa np

np pZ

b np

np p( )

( ) ( )1 1

for large (n 50) and not too close to 0 or 1.00n p

P a X b Pa np

np pZ

b np

np p( )

.

( )

.

( )

0 5

1

0 5

1

for moderately large (20 n < 50).n

Atau:

Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson.

Untuk n besar (n>50) dan p tidak mendekati 0 atau 1.00

Untuk n sedang (20<n<50)




49

Suatu proses menghasilkan sejumlah produk (dengan kemungkinandproduk cacat 10%). Bila 100 produk diambil secara acak, berapakah

kemungkinan bahwa terdapat lebih dari 13 produk cacat?

Dalam kasus ini, banyaknya cacat berdistribusi binomial dengan

parameter n= 100 dan p=0,1. Karena ukuran sampel besar dilakukan

pendekatan dengan fungsi kemungkinan normal dimana parameternya

adalah 10)1,0)(100(np , dan 0,3)9,0)(1,0)(100(npq .

Karena ingin diamati kemungkinan bahwa terdapat lebih dari 13 produkcacat, maka dicari probabilitas x>13. Untuk kasus diskrit, digunakan

batas x=13.5, dan harga z yang sesuai adalah 167,13/)105.13(z .

Dari tabel diperoleh kemungkinan z>1.167 adalah 0.1216.


PERHITUNGAN DENGAN EXCEL (1)


50

Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan memberikan

nilai probabilitas kumulatif dari variabel random normal standar.

Perintah NORMDIST(number, mean, standard deviation) akan

memberikan nilai probabilitas dari variabel random normal secara

umum.


PERHITUNGAN DENGAN EXCEL (2)


51

Contoh:

NORMSDIST(1.0) = 0.8413.

NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938.

Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number,

mean, standard deviation).

NORMSINV(0.975) = 1.96.

NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.


DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT (1)


52

Distribusi dalam analisis multivariat umumnya adalahdistribusi multivariat normal sebagai perluasan daridistribusi normal univariat.Terdapat dua landasan pokok untuk hal tersebut, yaitu :i. Kasus pengukuran multivariat seringkali adalah bentuk

penjumlahan dari beberapa pengaruh random yangindependen. Dengan teorema central limit, beberapavariabel tadi membentuk distribusi normal multivariat.

ii. Teori statistika yang berlandaskan pada distribusi normalterbukti telah menunjukkan keberhasilan dalammelakukan kajian secara terstruktur dan sistematis.




53

Nilai ekspektasi dari sebuah vektor variabel random

X=(X1,…,Xm)’ adalah ')(),...,()( 1 mXEXEXE .

Jika X mempunyai rata-rata matriks variansi-kovariansi X didefinisikan sebagai matriks (mxm) berikut

)')(()( XXEXCov .

Elemen ke-i dan ke-j dari matriks variansi-kovariansi

adalah )])([( jjiiij XXE , sedangkan elemen ke-i

dikenal sebagai variansi ])[( 2

iiii XE .




54

Agar variansi variabel random Xi ada, maka matriks definit nonnegatif. Karena similaritas kovariansi, makamatriks adalah matriks simetris, sehingga ' . Sebuah matriks simetris (mxm) A disebut definit non-

negatif jika 0' A untuk semua mR dan pasti positif

jika 0' A untuk semua 0,mR . mR adalah ruang

Euklidean berdimensi m dengan komponen real.

)()'(2

1exp)(det)2()( 12/12/ xxxf m

x


DISTRIBUSI PROBABILITAS GAMMA (1)


55

Distribusi gamma dikenal dari fungsi gamma yang banyak digunakandalam bidang matematika. Fungsi gamma didefinisikan oleh

0

1)( dxex x

untuk 0 .

Jila dilakukan integrasi parsial atas 1xu dan dv=e-xdx, maka akan

diperoleh 0

21 )1(0

)( dxxexe xx=

0

2)1( dxxe x

,

sehingga dihasilkan pengulangan fungsi gamma )1()1()( ,)2()2)(1()( , dan seterusnya jika =n, dimana n bilangan

bulat positif, maka )1()...2)(1()( nnn. Karena menurut definisi

fungsi gamma 0

1)1( dxe x

, maka )!1()( nn .

Satu sifat penting fungsi gamma, adalah )2/1( .




56

DefinisiSebuah variabel random kontinyu X berdistribusi gammadengan parameter bila 0 dan 0 , bila mengikutifungsi

/1

)(

1)( xexxf x > 0

= 0, untuk x lainnya.

Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagaiberikut :

)(XE dan 22)(XV .




57

Hal ini dapat dibuktikan dengan mengevaluasi momen ke-r disekitar titik asal distribusi gamma adalah

0

/1'

)(

1)( dxexXE rr

r .

Jika dimisalkan y=x/ , maka 0

/1'

)(dyey r

r

r)(

)( rr

.

Dengan demikian )(

)1('

1 , dan

222

2'

2

2

)(

)2(=

2

Distribusi gamma yang khusus (spesifik) untuk =v/2, =2,

dan v bilangan bulat positif disebut distribusi khi-kuadrat (chi-square) dengan degree of freedom v.




58

Proposisi:

Jika niX i ,...,2,1, adalah variabel random gamma independen

dengan parameter ),( i , maka n

i iX1 juga gamma dengan

parameter ,1

n

i i .

(parameter /1adalah )

Proposisi:

Jika niX i ,...,2,1, adalah variabel random independen

eksponensial independen dan identik dengan rata-rata ,

maka n

i iX1 adalah variabel random gamma dengan

parameter ),(n .


DISTRIBUSI PROBABILITAS WEIBULL (1)


59

Distribusi Weibull (Waloddi Weibull, Swedish, 1939) banyak digunakandalam analisis keandalan yang berkiatan dengan umur (rentang

waktu), contohnya rantang waktu dimana sebuah peralatan mungkinakan rusak (tidak berfungsi).

DefinisiVariabel random kontinyu T berdistribusi Weibull, dengan duaparameter 0 dan 0 , jika fungsi padatnya mengikuti

atettf 1)( untuk t > 0, dan f(t)=0, untuk t lainnya

Parameter pemusatan dan penyebaran adalahsebagai berikut :

11)( /1TE dan

2

/22 11

21)(TV




60

Dengan menggunakan analogi, fungsi distribusi kemungkinan

Weibull dapat mencakup tiga parameter W( , , ) dan fungsikeandalannya didefinisikan oleh

, t,exp),,;(

1tt

tf dan

ttR exp),,;( .

Mean time to failure (MTTF) dan variansinya adalah1

),,;(TE dan

12),,;( 22TVar .




61

Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures.

kerusakan karena terjadi wear-out causes dan chance causes

lajukerusakan

Kerusakan karena terjadinya early

causes dan chance causes

hanya terjadichance failure

t

Technology

Simulasi 11