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POLINOMIOS INTERPOLANTES

La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio. La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o superficie que une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se encuentra dentro de los límites de los puntos de medición, en caso contrario se llamaría extrapolación. En ciertos casos el usuario conoce el valor de una función f(x) en una serie de puntos … , pero no se conoce una 𝑿 𝟏 𝑿 𝟐 𝑿 𝒏expresión analítica de f(x) que permita calcular el valor de la función para un punto arbitrario.

TABLA DE DIFERENCIAS

La interpolación se usa para obtener datos intermedios a partir de una tabla de valores, construyendo un polinomio que pasa por el conjunto de datos conocidos, llamados nodos de interpolación; este polinomio suele expresarse en términos de la diferencias ∆i f. Para introducir estas diferencias, consideramos la tabla formada por un conjunto de valores de una función f(x) en el conjunto de N puntos equiespaciados {x0, x1, ..., xN−1} con xi = xi−1 + h. Llamamos fk a f(xk) y definimos: ∆fk = fk+1 − fk ∆ 2 fk = ∆fk+1 − ∆fk = (fk+2 − fk+1) − (fk+1 − fk) (1) y en general: ∆ i+i fk = ∆i fk+1 − ∆ i fk.

POLINOMIOS INTERPOLANTES

Interpolación de Lagrange: el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 1795, pero lo descubrió Edward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.1 Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Interpolación de Hermite: la interpolación de Hermite, nombrada así en honor a Charles Hermite, es un método de interpolación de puntos de datos como una función polinómica. El polinomio de Hermite generado está estrechamente relacionado con el polinomio de Newton, en tanto que ambos se derivan del cálculo de diferencias divididas.Consiste en buscar un polinomio por pedazos que sea cúbico en cada subintervalo  y que cumpla  en los puntos , donde es la función que se quiere interpolar. La función  queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de sistemas lineales de ecuaciones de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los  lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.

Interpolación de Newton-Gregory: Este actua, cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos esquiespaciados, es la fórmula del polinomio interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).