7) Polinomios

MATEMÁTICA

INGRESO

GUÍA N° 7

POLINOMIOS

14) Definiciones y Operaciones

15) Factorización

16) Simplificación de Expresiones

Prof. M arcos A . F atelaProf. M arcos A . F atelaProf. M arcos A . F atelaProf. M arcos A . F atela

Fatela Preuniversitarios


Polinom ios - M atem ática - 2 -53

Prof. M arcos A . F atela

MATEMÁTICA TEMA Nº 14

“POLINOMIOS, OPERACIONES "

En este tema se tratará sobre:

Polinomios: Definiciones básicas.

Operaciones entre polinomios:

Suma.

Resta.

Multiplicación.

División.

Regla de Ruffini.

Relación entre Dividendo, Divisor, Cociente y Resto.

Teorema del Resto.

Potenciación de Polinomios.

POLINOMIOS: DEFINICIONES BÁSICAS .

Un polinomio es una "expresión algebraica entera". Se entiende por esto a una expresión matemática que involucra letras y números, donde la incógnita (x) aparece sólo elevada a exponentes naturales (enteros positivos) y multiplicada por números reales llamados coeficientes. También puede tener un término constante, llamado término independiente, que correspondería a una potencia de exponente cero de "x".

P(x) = an xn + an −1 x

n −1 + an −2 xn −2 +… + a2 x

2 + a1 x + a0

Término Principal

Término Cuadrático

Término Lineal

Término Independiente

an : Coeficiente Principal

a2 : Coeficiente Cuadrático

a1 : Coeficiente Lineal

n : Grado

Con n ∈ 0ℕ y [∀ i / i ∈ℕ 0 ∧ (0 ≤ i ≤ n)] : ai ∈ℝ ℕ 0 = ℕ∪{ 0}




Con el símbolo 0ℕ se denotan todos los números naturales más el cero. El polinomio es entonces una sumatoria de términos; compuestos cada uno

de ellos por un coeficiente (número real) y una parte literal (por letras). Según el número de términos que lo componen, recibe el nombre de

monomio, binomio, trinomio, cuatrinomio, etc. Cuando hay más de un término se designa genéricamente como polinomio, vocablo que se forma con el prefijo "poli" (muchos) y "nomio" (de nombre o denominación).

De esta forma un polinomio es una expresión matemática con muchos "nombres" o denominaciones".

Definiciones:

Grado de un polinomio:"n" Es el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita "x". Por lo tanto es un número natural, o puede ser cero.

Término Principal: Es el término donde la incógnita aparece elevada a su máximo exponente o sea al grado del polinomio.

Coeficiente Principal: Es el coeficiente del término principal, o sea el número real que multiplica a la potencia de mayor grado de "x".

Término Independiente: Es el llamado término de grado cero y es un número real y constante, pues en este término no aparece la variable "x".

Término Lineal: Es el término de primer grado del polinomio. De allí la expresión "lineal" que hace referencia a línea recta.

Coeficiente Lineal: Es el coeficiente del término lineal. Como todos los coeficientes es un número real.

Término Cuadrático: Es el término de segundo grado del polinomio. De allí la expresión "cuadrático" que hace referencia a la parábola.

Coeficiente Cuadrático: Es el coeficiente del término cuadrático. Como todos los coeficientes es un número real.

P(x) = −2 x3

Coeficiente Parte Literal

Monomio

Binomio

Trinomio

Cuatrinomio

Q(x) = 3 x − 2

R(x) = x2 − 2 x + 7

S(x) = 5 x3 + 3 x2 − x + 2

Polinomios




Polinomio Mónico, o Normalizado: Es un polinomio cuyo coeficiente principal es igual a uno.

Polinomio Ordenado: En un polinomio ordenado todos los términos se ordenan

con las potencias de "x" en forma creciente o decreciente. Lo más común es el ordenamiento en forma decreciente de los exponentes de "x", con el término principal en primer lugar.

Polinomio Completo: Un polinomio está completo cuando aparecen en el mismo los términos correspondientes a todas las potencias de "x" desde el término principal hasta el término independiente. Si un polinomio careciera de alguna potencia de "x", hay que agregar el término correspondiente a dicha potencia con un coeficiente igual a cero, para completar al polinomio.

Cuando falte el término independiente es importante acordarse de agregar

el "+ 0" para completarlo, de modo de no cometer errores al realizar la división

P(x) = x5 − 5 x2 + 3 x Polinomio Ordenado pero

Incompleto

P(x) = x5 + 0 x4 + 0 x3 − 5 x2 + 3 x + 0 Polinomio Completo

y Ordenado

Muy Importante : Si falta el término independiente también hay que agregar el "+ 0"

P(x) = x3 − 5 x2 + 3 x + 1

Q(x) = − 1 + 2 x2 − 3 x3 + 7 x4

R(x) = x3 + 3 x2 − 5 x5

Polinomio Ordenado en forma decreciente

Polinomio Ordenado en forma creciente

Polinomio desordenado

P(x) = x + 3

Q(x) = x2 − 5 x + 1

R(x) = x6 − 1

S(x) = x3 + 3 x2 − 5

Polinomios Mónicos, o Normalizados




o aplicar la regla de Ruffini, dado que en estas operaciones se debe reservar una columna para cada potencia de "x".

Polinomio Reducido: Todo polinomio debe expresarse en forma reducida, lo que implica que deben operarse los términos que tengan la misma parte literal (iguales potencias de "x"), de modo que quede sólo un término por cada potencia de "x".

En general, trabajaremos con polinomios con una sola incógnita (casi

siempre "x", pero podría haber otra letra). A veces pueden aparecer otras letras en la parte literal de los términos de un polinomio además de la incógnita. Para encontrar el grado del polinomio hay que prestar atención a la letra que se indique como incógnita y no distraerse con otras letras que pudiera haber.

Por todo lo expuesto, en los polinomios o expresiones algebraicas enteras

no se permiten más que potencias naturales de "x", de modo que no son polinomios expresiones que tengan a la incógnita:

Dividiendo en fracciones (o sea con potencias de exponente negativo).

Como exponentes en potencias (funciones de tipo exponencial).

Como argumento de logaritmos (funciones de tipo logarítmico). Como argumento de funciones trigonométricas (seno, coseno, etc.).

Para Practicar 1) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios:

a) 5 x3 + 2 x2 − 1

b) 3

5x5 + 2 3x − 6 x2 + 3

c) −3 x3 + 7 x2 − sen(π) x + 5

d) − 3 x3 + 2 x2 − sen(x+1) + 2

e) 4

3− x4 + 2 x3 − 2x + 1

f) log (3). x2 − 7 x + 5

P(x) = x5 − 5 a b2 x2 + 3 a6 x + 2 Polinomio en "x" de grado n = 5

Q(s) = t5 − 2 s2 x2 − 5 s4 Polinomio en "s" de grado n = 4

Letras que se indican como incógnitas

P(x) = x5 − 5 x2 + 3 x2 + 2 x Polinomio no Reducido

P(x) = x5 − 2 x2 + 2 x Polinomio Reducido




OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS

A) SUMA:

Para sumar polinomios, hay que tener en cuenta que sólo se pueden sumar los términos que tienen igual parte literal, o sea iguales letras elevadas al mismo exponente. Se suman entonces los coeficientes de los términos de la misma parte literal y se repite idéntica la parte literal.

Conviene en estos casos escribir los polinomios de modo tal que los términos de igual parte literal queden alineados verticalmente, por ejemplo:

B) RESTA:

Para restar polinomios, el polinomio minuendo menos el sustraendo, hay que sumar el primero con el opuesto del segundo. O sea que la resta de

Sumar P(x) = − 3 x3 + 5 x2 − 7 y Q(x) = − 2 x2 − 3 x +1

P(x) = − 3 x3 + 5 x2 − 7

Q(x) = − 2 x2 − 3 x + 1 +

P(x) + Q(x) = − 3 x3 + 3 x2 − 3 x − 6

g) 12 x−3 + 2 x2 − 1 h) x3 + 3 x2 − 4 x + 2

5

x − 1

Respuestas: a) Sí b) No c) Sí d) No e) No f) Sí g) No h) No

2) Dados los siguientes polinomios, completar la tabla:

Polinomio Incógnita Grado Coeficiente Principal


P(x) = x3 + 3 − x7 + 5x

Q(s) = s2 x3 + 3 s5 − x6 s3

R(t) = 3 t2 − t4 + 2 a − 3 b

S(x) = x + 5 x22

3− x3 + 3




polinomios es un caso particular de suma, sólo que hay que afectar al segundo polinomio por el signo menos, lo que implica un cambio de signo para todos los términos de dicho polinomio.

C) MULTIPLICACIÓN :

Comenzaremos multiplicando dos monomios:

Ahora multiplicaremos un monomio por un polinomio:

Si la multiplicación es entre dos polinomios:

Por ejemplo, si: y

P(x) . Q(x) = − 3 x2 . (5 x2 − 7 x + 3) = − 15 x4 + 21 x3 − 9 x2

P(x) = − 3 x2 Q(x) = 5 x2 − 7 x + 3

P(x) . Q(x) = − 15 x4 + 21 x3 − 9 x2

Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

Dados P(x) = − 3 x3 + 5 x2 − 7 y Q(x) = − 2 x2 − 3 x + 1 :

P(x) = − 3 x3 + 5 x2 − 7

− Q(x) = + 2 x2 + 3 x − 1 +

P(x) − Q(x) = − 3 x3 + 7 x2 + 3 x − 8

Obtener el polinomio: P(x) − Q(x) P(x) − Q(x) = P(x) + [− Q(x)]

Q(x) = − 2 x2 − 3 x +1 ⇒ − Q(x) = − (− 2 x2 − 3 x + 1) = 2 x2 + 3 x − 1

Por ejemplo, si: y

P(x) . Q(x) = − 3 x2 . 2

5x3 ⇒

6

5− x5

Q(x) = 2

5x3 P(x) = − 3 x2

Se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales también entre sí, en este último caso se aplican las propiedades de potencias de igual base.

P(x) . Q(x) = 6

5− x5




Cuando se multiplican dos polinomios, el polinomio producto obtenido

tiene como grado la suma de los grados de los polinomios operados.

Para Practicar

1) Dados los polinomios:

Resultados: a) − x3 + x2 + 5 x + 6

P(x) = 3 x + 1

Q(x) = x2 − 2 x + 5

R(x) = x3 − 4 x

, hallar:

a) P + Q − R

b) 3 Q − ½ P

c) P . Q + R

d) P. (Q + R)

b) 3 x2 − 15/2 x + 29/2 c) 4 x3 − 5 x2 + 9 x + 5 d) 3 x4 + 4 x3 − 17 x2 + 9 x + 5

Por ejemplo, si: y

P(x) . Q(x) = (− 3 x2 + 2 x) . (5 x2 − 7 x + 3) =

P(x) = − 3 x2 + 2 x Q(x) = 5 x2 − 7 x + 3

P(x) . Q(x) = − 15 x4 + 21 x3 − 9 x2 + 10 x3 − 14 x2 + 6 x

P(x) . Q(x) = − 15 x4 + 31 x3 − 23 x2 + 6 x

Se aplica la propiedad distributiva del producto

respecto a la suma.

Otra forma más cómoda de hacer este producto es:

5 x2 − 7 x + 3

− 3 x2 + 2 x

10 x3 − 14 x2 + 6 x

− 15 x4 + 21 x3 − 9 x2

− 15 x4 + 31 x3 − 23 x2 + 6 x

+

Se realiza el producto como si se tratara de una multiplicación

entre números, y se van ordenando los términos de modo que queden alineados verticalmente los que tienen igual parte literal, para luego

sumar estos términos.




D) DIVISIÓN :

Antes de explicar el proceso a realizar para dividir dos polinomios, comenzaremos por un repaso del procedimiento que se sigue para realizar la división entre dos números.

Para dividir polinomios:

El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.

El polinomio divisor sólo debe estar ordenado en forma decreciente.

Se procede de la siguiente manera:

1) Se toma el término principal del polinomio dividendo y se lo divide por el término principal del polinomio divisor.

2) El resultado se anota en el cociente.

3) Luego se multiplica dicho término del cociente por todos los términos del divisor y se van colocando los resultados, con el signo cambiado, debajo del término con igual parte literal en el polinomio dividendo.

4) Se realiza la suma del dividendo más el polinomio recientemente formado. Se verifica que se anule el término principal del dividendo, con lo cual disminuirá en una unidad el grado del mismo.

5) Se "baja" un nuevo término del dividendo para continuar la división.

9 2

1 4

9 2

8 4

1

9 2

8 4

1

+

Dividendo Divisor

Resto Cociente

O lo que es igual, sumar el dividendo con el producto cociente

por divisor cambiado de signo

Hallar el resto implica restar el dividendo con el producto

cociente por divisor

Un proceso parecido a éste seguiremos para dividir polinomios




6) Se repite el procedimiento con el polinomio que va quedando a la izquierda (volviendo al paso 1), hasta que el polinomio que quede sea estrictamente de menor grado que el polinomio divisor.

7) Una vez llegado a este punto, el polinomio que queda a la izquierda es el resto y se ha obtenido ya completo el polinomio cociente, quedando finalizada la división.

Cuando se dividen dos polinomios, el grado del polinomio cociente es

igual a la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor. En este ejemplo el dividendo es de cuarto grado y como el divisor es de primer grado el polinomio cociente será de tercer grado.

A su vez, el polinomio resto "siempre" tiene un grado menor al del divisor, de lo contrario la división no está concluida y debe seguir operándose. En este ejemplo, donde el divisor es de primer grado el resto será de grado cero, o sea un número constante.

REGLA DE RUFFINI

Para resolver divisiones como la precedente, donde el divisor es un polinomio mónico o normalizado de primer grado, existe una regla práctica: "la Regla de Ruffini", que permite obtener todos los coeficientes del polinomio cociente completo y ordenado, y el resto de la división (que en estos casos siempre es un número constante o sea un polinomio de grado cero).

Por ejemplo, realizar la división: (2 x4 − 3 x2 + 5 x) : (x − 2)

Comenzamos completando y ordenando el dividendo:

D(x) = 2 x4 + 0 x3 − 3 x2 + 5 x + 0

2 x4 + 0 x3 − 3 x2 + 5 x + 0 x − 2

432x

2xx

=

− 2 x4 + 4 x3

+ 4 x3 − 3 x2

324x

4xx

=

− 4 x3 + 8 x2

+ 5 x2 + 5 x

25x5x

x=

− 5 x2 + 10 x

+ 15 x + 0

15x15

x=

− 15 x + 30

+

+

+

+

R(x) = 30

2 x3 + 4 x2 + 5 x + 15 = C(x)

Cálculos Auxiliares

En este caso el Resto es un polinomio de grado cero




Para aplicar la Regla de Ruffini, se procede de la siguiente manera:

1) Se colocan en una misma fila todos los coeficientes del polinomio dividendo completo y ordenado.

2) Trazamos debajo un par de líneas, una horizontal y otra vertical, como muestra el dibujo.

3) En el ángulo de la izquierda se coloca el término independiente del polinomio denominador cambiado de signo, que también equivale a la raíz o cero del mismo polinomio. Le llamaremos "a".

4) El primer número (el coeficiente principal del dividendo) se baja directamente a la última fila.

5) Se multiplica "cruzadamente" el valor de "a" por el coeficiente principal recientemente "bajado" y el resultado se anota en la segunda columna y en una segunda fila, debajo de los coeficientes del dividendo.

6) Se suma algebraicamente en forma vertical, anotándose el resultado en la última fila y se continúa multiplicando en forma cruzada hasta terminar de operar el último coeficiente del dividendo.

7) Una vez terminado este proceso, el último número de la fila de resultados es el resto del polinomio, que siempre en estos casos

2 0 − 3 5 0

4 8 10 30

2 4 5 15

2

Coeficientes del polinomio Dividendo completo y ordenado

×

+ + + +

C(x) = 2 x3 + 4 x2 + 5 x + 15

30 = R(x)

Término independiente del Polinomio

divisor cambiado de signo "a"

Regla de Ruffini

Resto

Cociente

4 22 x 3 x + 5 x

x 2

−−

= 4 3 22 x 0 x 3 x + 5 x + 0

x 2

+ −−

Condición necesaria para aplicar la Regla de Ruffini: El divisor debe ser de la forma: x − a




(cuando el divisor es de la forma: x − a) es un número constante o sea un polinomio de grado cero.

8) Los restantes números de la última fila son los coeficientes del polinomio cociente completo y ordenado.

RELACIÓN ENTRE DIVIDENDO, DIVISOR, COCIENTE Y RESTO

Veremos ahora la relación que existe en toda división entre el Dividendo, el divisor, el cociente y el resto.

9 2

1 4

Dividendo: D divisor: d

Resto: R Cociente: C

9 = 4 × 2 + 1 ⇒ D = C × d + R

Si se trata de polinomios, se cumplirá: D(x) = C(x) × d(x) + R(x)

Siempre que se haga una división entre polinomios puede verificarse el

resultado aplicando esta fórmula.

Sólo si una división es exacta (tiene resto cero) puede

decirse que su resultado es igual al cociente

Para Practicar 1) Realizar las siguientes divisiones, efectuando la operación completa, y cuando sea posible aplicar la regla de Ruffini para verificar los resultados obtenidos.

a) 5 3D(x) 3x 2x 6x

d(x) x 2

+ −=+

b) 3 5 6

2

D(x) 2x 3x 5x x 1

d(x) x x 3

− + − + +=+ −

c) 4 2 7 5D(x) 5x 2x 6x x 2

d(x) x 1

− − + +=+

d) 3 4 5

2

D(x) 6x 5x x x 1

d(x) x 1

− − + + +=−

C(x) = 3 x4 − 6 x3 + 14 x2 − 28 x + 50 R(x) = − 100

C(x) = − 5 x4 + 8 x3 − 23 x2 + 45 x − 114 R(x) = 250 x − 341

C(x) = −6 x6 + 6 x5 −5 x4 + 10 x3 −10 x2 + 8 x −8 R(x) = 10

C(x) = x3 + x2 − 5 x + 1 R(x) = − 10 x + 2




TEOREMA DEL RESTO

El Teorema del Resto se emplea para obtener el resto de una división sin realizar la misma y aún sin aplicar la Regla de Ruffini. Tiene la misma validez que la Regla de Ruffini: se aplica sólo para divisiones por un polinomio divisor de la forma: x −−−− a, o sea para divisores mónicos o normalizados de primer grado.

Como veremos más adelante, cuando se intenta factorear un polinomio es importante conocer el resto de la división de dicho polinomio por otro de la forma: x − a, incluso antes de realizar la división, porque se busca que el resto sea cero, con lo cual la división será exacta y dicha división se podrá igualar al cociente obtenido. Cuando ello no ocurre y el resto es distinto de cero se busca otro polinomio divisor de la forma "x − a" hasta hallar uno para el cual el resto sea cero y por lo tanto la división sea exacta.

En estos casos es útil el Teorema del Resto, donde se buscará obtener en forma rápida el resto de una división sin siquiera intentar realizarla.

Para Practicar 1) Verificar los resultados obtenidos en las divisiones realizadas anteriormente, mediante la fórmula que relaciona: Dividendo, divisor, cociente y resto.

Al dividir polinomios, se cumple:

D(x) = C(x) × d(x) + R(x)

D(x) = C(x) × (x − a) + R

Si se toma: x = a , la igualdad también se satisfará:

D(a) = C(a) × (a − a) + R

En este caso el resto siempre será un número

constante y no una función de "x"

Si el polinomio divisor es de la forma: x − a

Se obtiene una identidad, o sea una expresión donde ambos miembros son

iguales para todo valor de "x"

D(a) = R El Resto de una división de un polinomio D(x)

por otro de la forma: x − a , es igual al valor que toma el polinomio D(x) cuando "x" es igual a "a"

Teorema del Resto




Si al dividir dos polinomios: D(x)

d(x) el resto es cero, se dice que:

D(x) es divisible por d(x).

La división es exacta.

Si d(x) = x − a, entonces "a" es una raíz o cero de D(x), puesto que

D(a) = R = 0 d(x) es un factor de D(x):

POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS

Estudiaremos las fórmulas que permiten realizar la potencia cuadrática y cúbica de un binomio.

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 Cuadrado de un binomio

(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a2 + a b + a b + b2

Trinomio Cuadrado Perfecto

Cuadrado de un Binomio

Para Practicar 1) Calcular el resto de las divisiones realizadas antes, por

medio de la aplicación del Teorema del Resto en los casos que corresponda.

2) Halla el valor de “k” para que: 5 x2 – k x + 3 sea divisible por x + 2. (k = − 23/2)

3) Encuentra el valor de “k” de modo que –1 sea raíz del polinomio: P(x) = x4 – 3 x2 + k x + 2 (k = 0)

4) Calcular “a” y “b” para que se cumpla que: P(x) = x2 + 2 a x + b tenga como raíces a “−5” y “0”. (a = 5/2; b = 0)

5) Calcular “a” y “b” para que se cumpla que: P(x) = 4 x2 + a x + b deje resto 21 al dividirse por x − 2 y tenga a “−1” como raíz.

(a = 3; b = − 1)

Si R = 0 ⇒ D(x)

= C(x)d(x)

⇒ D(x) = C(x) . d(x)




Trabajo Práctico: "Polinomios, Operaciones"

1) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios:

a) 5 x3 + 2x − 5

b) 3

5x5 + π x3 − 6 x2 + ln 3

c) 5 x3 − 7 x2 − sen(πx)

d) − 4 x3 + 2 x2 − 3 x − 1 + 5

x

e) e2 x3 − 2 x2 − tg(π) x + 1

f) x2 − 7 x + log x (5)

h) x5 − 7 x−2 + x3 − 1

g) x3 + 3 x2 − cos(π/4) x − 1

Para Practicar 1) Resolver las siguientes potencias cuadráticas y cúbicas de los siguientes binomios:

a) (− 5 x3 + 2 x5)2 (25 x6 − 20 x8 + 4 x10)

b) (2 x4 − 11 x3)3 (8 x12 − 132 x11 + 726 x10 − 1 331 x9)

c) (− 7 x2 − 5 x3)2 (49 x4 + 70 x5 + 25 x6)

d) (− 2 x6 − 4 x)3 (− 8 x18 − 48 x13 − 96 x8 − 64 x3)

(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

(a + b)3 = (a + b)2. (a + b) = (a2 + 2 a b + b2) . (a + b)

Cubo de un Binomio

a2 + 2 a b + b2

× (a + b)

a2 b + 2 a b2 + b3

a3 + 2 a2 b + a b2

a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

Cuatrinomio Cubo Perfecto

Cubo de un binomio




4) Realizar las siguientes divisiones, efectuando la operación completa, y

cuando sea posible aplicar la regla de Ruffini para verificar los resultados obtenidos.

5) Verificar los resultados obtenidos en las divisiones realizadas en el ejercicio

anterior, mediante la fórmula que relaciona: Dividendo, divisor, cociente y resto.

6) Calcular el resto de las divisiones realizadas antes, por medio de la aplicación del Teorema del Resto en los casos que corresponda.

7) Halla el valor de “k” para que: 3 k x2 – 5 x + 1 sea divisible por x − 3

c) 3 2 5

2

D(x) 3x 5x x x 2

d(x) x 2x 3

− + − +=+ −

d) 4 2 3 5

2

D(x) 6x 5x x x 5

d(x) x 3

+ + − −=+

a) 4 2D(x) x 3x 5x

d(x) x 3

− +=−

b)

5 2D(x) 4x + 2x 3x

d(x) x 3

−=+

P(x) = x3 – 5 x – 3 x2 + 15

Q(x) = 4 x3 – 2 x + 5

R(x) = 2 x2 – 3

Hallar:

a) ½ .Q(x) – [R(x) – P(x)]

b) [R(x)]2 – 2 P(x) Q(x)

c) 3 P(x) − 2 Q(x) − [R(x)]3

d) ½ R(x) P(x) − ¼ Q(x)

3) Dados los polinomios:

2) Dados los siguientes polinomios, completar la tabla:



P(r) = r3 + 3 b7 − r5 + a

Q(t) = s2 t3 − 5 s5 − t6 s3

R(x) = 3 t5 − x + x4 − 3 x3

S(w) = x3 + 5 x2 w3

5+ w2




8) Encuentra el valor de “k” de modo que – 5 sea raíz del polinomio:

P(x) = x4 − 5 x2 − 2 k x + 20

9) Calcular “a” y “b” para que se cumpla que: P(x) = x2 + ¼ a x − 3 b tenga como raíces a “−3” y “2”.

10) Calcular “a” y “b” para que se cumpla que: P(x) = − 3 a x2 + b x − 2 deje resto −7 al dividirse por x + 1 y tenga a “2” como raíz.

11) Resolver las siguientes potencias cuadráticas y cúbicas de los siguientes binomios:

a) (3 x3 − 2 x2)2 b) (− 6 x3 − 7 x5)3 c) (− x4 + 4 x3)2 d) (5 x4 − 2 x2)3

12) Dado P(x) = 2 x3 − 12 x2 − 2 x + 60; Q1(x) = x − 3 y Q2(x) = x + 5, entonces:

a3 = − 3; a2 = 2 ; a1 = − 2; a0 = − 1

a3 = 3 ; a2 = − 2; a1 = 2 ; a0 = 1

a3 = 2 ; a2 = − 1; a1 = 2 ; a0 = 0

a3 = 3 ; a2 = − 3; a1 = 2 ; a0 = 2

a)

b)

c)

d)

e)

14) Si P1(x) = 2 x3 + 4 x2 − 5 x + 4; P2(x) = a3 x3 + a2 x

2 + a1 x + a0; Q(x) = − x3 + 6 x2 − 7 x + 3 y además Q(x) = P1(x) − P2(x)

entonces los coeficientes de P2(x) valen:

Ninguna Respuesta Anterior es Correcta


a3 = 0 ; a2 = 2 ; a1 = 2 ; a0 = 1

13) Si P1(x) = x3 − 1/27; P2(x) = a3 x3 + a2 x

2 + a1 x + a0 y Q(x) = P1(x) + P2(x) y además es un Cuatrinomio Cubo Perfecto, entonces los coeficientes de P2(x) valen:

a3 = 1 ; a2 = − 1 ; a1 = 3 ; a0 = 1

a3 = 0 ; a2 = − 1 ; a1 = 1/3 ; a0 = 0

a3 = 1 ; a2 = − 2 ; a1 = 1/3 ; a0 = 3

a)

b)

c)

d)

e)


Q1(x) es factor de

P(x) y Q2(x) no lo es

Ni Q1(x) ni Q2(x) son factores de

P(x)

Q1(x) y Q2(x) son factores ambos de

P(x)

Q2(x) es factor de

P(x) y Q1(x) no lo es

a) b) c) d) e)




Respuestas del trabajo Práctico: "Polinomios, Operaciones"

1) a) No b) Sí c) No d) No

e) Sí f) No g) Sí h) No 2)

3) a) 3 x3 − 5 x2 − 6 x + 41/2

b) − 8 x6 + 24 x5 + 48 x4 − 142 x3 − 2 x2 + 110 x − 141

c) − 8 x6 + 36 x4 − 5 x3 − 63 x2 − 11 x + 62

d) x5 − 3 x4 − 15/2 x3 + 39/2 x2 + 8 x − 95/4

4) a) C(x) = x3 + 3 x2 + 6 x + 23 R(x) = 69

b) C(x) = 2 x4 − 6 x3 + 18 x2 − 57 x + 175 R(x) = − 525

c) C(x) = x3 − 2 x2 + 10 x − 31 R(x) = 91 x − 91

d) C(x) = − x3 + 6 x2 + 4 x − 13 R(x) = − 12 x + 34

5) Verificar el ejercicio anterior

6) Verificar el resto en a) y b) del 4)

7) k = 14/27 8) k = − 52 9) a = 4 ; b = 2 10) a = 4/9 ; b = 11/3



P(r) = r3 + 3 b7 − r5 + a r 5 − 1 3 b7 + a

Q(t) = s2 t3 − 5 s5 − t6 s3 t 6 − s3 − 5 s5

R(x) = 3 t5 − x + x4 − 3 x3 x 4 1 3 t5

S(w) = x3 + 5 x2 w3

5+ w2 w 2

3

5 x3

a) 9 x6 − 12 x5 + 4 x4 b) −−−− 216 x9 − 756 x11 − 882 x13 − 343 x15

c) x8 − 8 x7 + 16 x6 d) 125 x12 − 150 x10 + 60 x8 − 8 x6

11)

13) Opción c)

12) Opción a)

14) Opción b)





“POLINOMIOS, FACTORIZACIÓN "


¿Qué es factorizar un polinomio?

¿Para qué factorizar los polinomios?

Casos de Factoreo:

1) Factor Común.

2) Factor Común por Grupos.

3) Trinomio Cuadrado Perfecto.

4) Cuatrinomio Cubo Perfecto.

5) Diferencia de Cuadrados.

6) Suma o Resta de Potencias de Igual Exponente.

7) Polinomio Cuadrático con Raíces Reales y Distintas.

Descomposición en Factores de un Polinomio:

Teorema Fundamental del Álgebra

Factorización por tanteo: Teorema de Gauss

Casos Combinados de Factoreo.

¿QUÉ ES FACTORIZAR UN POLINOMIO ?

Factorizar un polinomio es descomponerlo en factores, de manera que el polinomio que inicialmente es una suma algebraica de términos, se transforme en un producto entre factores (dentro de los cuales puede haber también sumas o restas).

Ahora veremos las técnicas a emplear para realizar la descomposición en

factores o factorización de todo tipo de polinomios, que se agruparán en los siete casos de factoreo, los cuales se describirán en detalle y luego se combinarán entre sí.

Por ejemplo, el siguiente polinomio se puede factorizar como:

P(x) = x3 + 3 x2 − x − 3 = (x + 1) (x − 1) (x + 3)

Expresión Factorizada Expresión Polinómica




¿PARA QUÉ FACTORIZAR LOS POLINOMIOS ?

Los polinomios se factorizan porque la descomposición en factores ayuda a simplificar expresiones algebraicas.

Por ejemplo, si se tiene la expresión fraccionaria:

Siempre debe aclararse la condición que debe cumplir "x" para que la

expresión simplificada sea equivalente a la original. En este ejemplo, vemos que "x" debe ser distinta de 1 y de −1, para que la igualdad �� sea correcta. De otro modo, por ejemplo si x tomara el valor "1", el primer miembro de la expresión mencionada sería una indeterminación (0/0) que no podría calcularse, mientras que el segundo miembro sería igual a "4", lo cual plantea claramente una diferencia que hace que esta igualdad no sea válida para ese valor de "x".

CASOS DE FACTOREO:

Los casos típicos de factoreo, que se estudiarán en detalle a continuación son siete:

1) FACTOR COMÚN:

Cuando todos los términos de un polinomio presentan un factor en común,

el mismo puede extraerse como factor, dejando entre paréntesis la suma algebraica de los factores no comunes, tal como se muestra en el cuadro superior.

Sacar un factor común es la operación inversa a la aplicación de la propiedad distributiva (de la multiplicación respecto a la suma).

Cuando haya una expresión algebraica (con letras y números) se tiene que sacar el máximo factor común que se pueda extraer, lo cual implicará que se tengan que factorear o descomponer en factores primos los coeficientes.

a . b + a . c = a. (b + c)

Distributiva (del producto respecto a la suma)

Factor Común "a"

( )( )( )( )( )

3 2

2

x 1 x 1 x 3x + 3 x x 3x 3

x 1 x 1 x 1

+ − +− − = = +− + −

Se factorizan ambos polinomios y se

simplifican los factores que corresponda

Expresión Válida ∀x / x ≠ ± 1 3 2

2

x + 3 x x 3x 3

x 1

− − = +−

��




Luego de esto, el factor común estará compuesto por todos los factores (entre letras y números) que sean comunes a todos los términos del polinomio con su menor exponente.

2) FACTOR COMÚN POR GRUPOS:

En el factor común por grupos, no existe un factor común "total" para todo el polinomio, sino que existen factores comunes si el polinomio se separa en grupos. Para ello el polinomio debe contar con un número par de términos desde cuatro en adelante.

Una vez separado el polinomio en los grupos que corresponde, debe extraerse el factor común en cada grupo. En este primer paso el polinomio

Para Practicar

Factorear los siguientes polinomios aplicando "factor común":

Resultados: a) 5 x2 (x5 − 7 x2 + 3)

b) 4

3x2 y (− 1

3 x y + 2 −

4

27x4 y4)

c) 10 a3 b c2 (8 b c2 − 3 a c3 − 7 a2 b4)

a) P(x) = 5 x7 − 35 x4 + 15 x2 b) Q(x) = −

4

9x3 y2 +

8

3 x2 y − 16

81x6 y5

c) R(x) = 80 a3 b2 c4 − 30 a4 b c5 − 70 a5 b5 c2

P(x) = 8 x3 − 12 x2 + 20 x = 23 x3 − 22 3 x2 + 22 5 x

P(x) = 22 x (2 x2 − 3 x + 5) ⇒ P(x) = 4 x (2 x2 − 3 x + 5)

Por ejemplo vamos a factorear el polinomio: P(x) = 8 x3 − 12 x2 + 20 x

Siempre conviene revisar el resultado aplicando mentalmente la propiedad distributiva, para verificar

que coincida con el polinomio dado inicialmente.




todavía no está factoreado, pues la operación "externa" o principal sigue siendo la suma algebraica.

Al sacar factor común en cada grupo es necesario a veces manipular la expresión para que vayan quedando iguales los paréntesis, que representan a los factores no comunes de cada grupo.

Esto se hace para luego extraer como factor común "total" a dicho paréntesis. Así se completa el factoreo del polinomio, quedando entre paréntesis, como no comunes, los términos sacados en el primer paso como factores comunes de cada grupo.

x3 − 3 x2 − 2 x + 6 = x2 (x − 3) − 2 (x − 3) = (x − 3) (x2 − 2)

x3 − 3 x2 − 2 x + 6 = (x − 3) (x2 − 2)

Grupos

Con otro ejemplo veremos como se "acomodan" los factores comunes por grupos a fin de que quede igual el paréntesis en cada grupo:

Como resulta obvio, no en cualquier caso se podrá aplicar el factor común por grupos. Para hacerlo debe darse la circunstancia de que

pueda aparecer un paréntesis común, luego del factoreo de los grupos.

x3 + 2 x2 + 3 x + 6 = x2 (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x2 + 3)

x3 + 2 x2 + 3 x + 6 = (x + 2) (x2 + 3)

Grupos

a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

a x + a y + b x + b y = (x + y) (a + b)

Grupos




3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

Tal como demostramos en la guía anterior N°14, el desarrollo del cuadrado de un binomio es un trinomio llamado Trinomio Cuadrado Perfecto.

Ahora realizaremos el pasaje inverso, dado un trinomio que es cuadrado perfecto, llegaremos a obtener el binomio que elevado al cuadrado equivaldrá al polinomio dado.

Cuadrado de un binomio

Trinomio Cuadrado Perfecto

a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

Factoreo

Desarrollo

Se hace notar que el Cuadrado de un Binomio corresponde a un polinomio expresado en forma factorizada, de modo que se ha realizado el factoreo del polinomio dado:

(a + b)2 = (a + b) (a + b)

Para Practicar Factorear los siguientes polinomios aplicando "factor común por grupos":

Resultados: a) (x − 7) (5 x2 + 2)

b) 2

x 33

+

(x2 − 5)

c) (x − 5) (x3 − 2)

a) P(x) = 5 x3 − 35 x2 + 2 x − 14 b) Q(x) =

2

3x3 + 3 x2 − 10

3x − 15

c) R(x) = x4 − 5 x3 − 2 x + 10 d) S(x) = y x2 − 3 x2 − y x + 3 x + 2 y − 6

d) (y − 3) (x2 − x + 2)




Para realizar el factoreo, el procedimiento a seguir es el siguiente:

1) Dado el trinomio se ubican los dos términos que son cuadrados perfectos, a los cuales se les puede sacar la raíz cuadrada en forma exacta. Necesariamente deben ser términos positivos y las letras deberán estar elevadas a exponentes pares.

2) Se les extrae la raíz cuadrada a dichos términos, encontrándose así los términos que serían el "a" y el "b" del binomio a obtener.

3) Por último debe verificarse que en realidad se trata de un trinomio cuadrado perfecto, para lo cual se calcula el doble producto de "a" por "b" y se revisa si coincide con el término central del polinomio. De ser así, ha concluido el factoreo y el polinomio dado equivale al cuadrado del binomio hallado. Resulta obvio que el polinomio dado puede estar desordenado y el llamado "término central" podría no estar en el centro del mismo.

Para Practicar

a) P(x) = x2 + 4 x + 4

Factorear los siguientes polinomios aplicando "Trinomio Cuadrado Perfecto":

b) Q(x) = x2 − 2 x + 1

Otro ejemplo:

P(x) = x2 − 10 x + 25 = (x − 5)2

x −5

2 x (−5) = − 10 x

P(x) = x2 − 10 x + 25 = (x − 5)2 ⇒

Si el término central es negativo, debe tomarse la raíz cuadrada

negativa de uno de los cuadrados perfectos (por ejemplo del

segundo); para que luego, al hacer la verificación, haya

coincidencia de signo con dicho término central.

Por ejemplo:

P(x) = x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2

x 3

2 x 3 = 6 x

Se extrae raíz cuadrada

Siempre se debe verificar que coincida el término

central del trinomio P(x) = x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2 ⇒

Se extrae raíz cuadrada




4) CUATRINOMIO CUBO PERFECTO:

Por ejemplo: P(x) = x3 + 6 x2 + 12 x + 8 = (x + 2)3

x 2

3 x 22 = 12 x

Saco raíz cúbica

Saco raíz cúbica

P(x) = x3 + 6 x2 + 12 x + 8 = (x + 2)3 ⇒

3 x2 2 = 6 x2

Siempre se debe verificar que coincidan los

términos centrales del cuatrinomio

Cubo de un binomio

Cuatrinomio Cubo

Perfecto a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 = (a + b)3

Factoreo

Desarrollo

Se hace notar que también el Cubo de un Binomio corresponde a un polinomio expresado en forma factorizada, de modo que se ha realizado el factoreo del polinomio dado:

(a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b)

Resultados: a) (x + 2)2

b) (x − 1)2

c) R(x) = 4 x2 − 12 x + 9

f) U(x) = − x2 + 12 x − 36

d) S(x) = 9 x6 + 30 x3 y2 + 25 y4

e) T(x) = x4 + ¼ + x2

c) (2 x − 3)2

d) (3 x3 + 5 y2)2

e) (x2 + ½)2

f) − (x − 6)2





1) Dado el cuatrinomio se ubican los dos términos que son cubos perfectos, a los cuales se les puede sacar la raíz cúbica en forma exacta. Pueden ser términos positivos o negativos y las letras deberán estar elevadas a exponentes múltiplos de tres.

2) Se les extrae la raíz cúbica a dichos términos, encontrándose así los términos que serían el "a" y el "b" del binomio a obtener.

3) Por último debe verificarse que en realidad se trata de un cuatrinomio cubo perfecto, para lo cual se calculan los que deberían ser los términos centrales del cubo del binomio hallado y se revisa si coincide con los términos centrales del polinomio dado. De ser así, ha concluido el factoreo y dicho polinomio equivale al cubo del binomio obtenido. Obviamente el polinomio a factorear puede estar desordenado y los llamados "términos centrales" podrían no estar en la parte central del mismo.

Para Practicar

a) P(x) = x3 − 3 x2 + 3 x − 1

Factorear los siguientes polinomios aplicando "Cuatrinomio Cubo Perfecto":

b) Q(x) = x3 + 9 x2 + 27 x + 27 c) R(x) = 8 x3 − 48 x2 + 96 x − 64 d) S(x) = 27 x3 + 135 x2 y + 225 x y2 + 125 y3 e) T(x) = x6 − 9 x4 y5 + 27 x2 y10 − 27 y15 f) U(x) = x9 + 243 x3 + 729 + 27 x6

Otro ejemplo:

P(x) = x3 − 15 x2 + 75 x − 125 = (x − 5)3

x −5

En este caso no hay incertidumbre sobre el signo de los términos "a" y "b" del binomio a obtener, puesto

que la raíz cúbica asigna un único valor a cada número.

3 x (− 5)2 = 75 x

3 x2 (− 5) = − 15 x2

P(x) = x3 − 15 x2 + 75 x − 125 = (x − 5)3

Como el binomio obtenido es una resta, los signos del

cuatrinomio quedan alternados




5) DIFERENCIA DE CUADRADOS:

Ya demostramos en el apunte N° 1, que el producto de la suma por la resta de dos números "a" y "b" da como resultado la diferencia entre los cuadrados de ambos números. De modo que este quinto caso de factoreo se reduce a aplicar esta propiedad en sentido inverso.


1) Se separan los cuadrados perfectos, que siempre deben estar restando. Pueden ser también potencias de cualquier exponente que sea par.

2) Se extraen las raíces cuadradas de estos términos. Se toma siempre las raíces positivas.

P(x) = x4 − 16 = (x2 + 4) (x + 2) (x − 2)

Otro ejemplo:

P(x) = x4 − 16 = (x2 + 4) (x2 − 4) = (x2 + 4) (x + 2) (x − 2)

4 x2 Se extrae raíz cuadrada

2 x

a2 − b2 = (a + b) (a − b)

Producto de la Suma por la

Diferencia de dos números

(a + b) (a − b) = a2 − a.b + a.b − b2

Diferencia de

Cuadrados

Ya vimos que:

P(x) = 4 x2 − 9 = (2 x + 3) (2 x − 3)

Por ejemplo: P(x) = 4 x2 − 9 = (2 x + 3) (2 x − 3)

3 2 x Suma por la resta

de las bases Se extrae raíz cuadrada

Resultados: a) (x − 1)3

b) (x + 3)3

c) (2 x − 4)3

d) (3 x + 5 y)3

e) (x2 − 3y5)3

f) (x3+ 9)3




3) Luego se reemplaza el polinomio dado por el producto entre la suma y la diferencia de las bases de los cuadrados recientemente halladas.

Como vimos en el ejemplo anterior, a veces puede aplicarse este método en forma reiterada, hasta la descomposición máxima que se pueda realizar del polinomio.

6) SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE:

Se trata de factorear binomios con suma o resta de dos potencias de igual grado. Se sugiere que el alumno aplique siempre lo recomendado en este cuadro.

an ± bn

Si "n" es impar

an + bn

⇒ n na b

C(x)a b

+ =+

⇒

Si "n" es par

an + bn = C(x) (a + b)

Resto = 0 �

�

�

�

an − bn

⇒ n na b

C(x)a b

− =−

⇒ an − bn = C(x) (a − b)

Resto = 0

an + bn

an − bn

No se puede factorear ⇒

Aplicar Diferencia de Cuadrados ⇒

Resultados: a) (x + 8) (x − 8)

b) (3 x + 5) (3 x − 5)

c) (6 x y2 + 7 z3) (6 x y2 − 7 z3)

d) (9 x2 + 25) (3 x + 5) (3 x − 5)

e) (x3 + 1) (x3 − 1)

f) 2 24 1 4 1

3 5 3 5x y x y + −

Para Practicar

a) P(x) = x2 − 64

Factorear los siguientes polinomios aplicando "Diferencia de Cuadrados":

b) Q(x) = 9 x2 − 25

c) R(x) = 36 x2 y4 − 49 z6

d) S(x) = 81 x4 − 625 e) T(x) = x6 − 1 f) U(x) =

16

9x4 − 1

25y2




Caso ��: Suma de Potencias de Exponente Impar:

En este caso se debe proceder a dividir el polinomio dado por la suma de las bases de las potencias que lo integran. Veamos un ejemplo:

Caso ��: Resta de Potencias de Exponente Impar:

En este caso se debe proceder a dividir el polinomio dado por la resta de las bases de las potencias que lo integran. Veamos un ejemplo:

Caso ��: Suma de Potencias de Exponente Par:

En este caso no se puede factorear.

Algunos ejemplos:

P(x) = x2 + 4

Q(x) = 4 x2 + 9

R(x) = x4 + 16 y4

Suma de potencias con exponente par:

no se puede factorear

P(x) = x3 − 8 = x3 − 23

⇒ 3 3 3 2

2x 2 x 0 x 0 x 8x 2 x 4

x 2 x 2

− + + −= = + +− −

x3 − 8 = (x2 + 2 x + 4) (x − 2)

1 0 0 −8

2 2 4 8

1 2 4 0 = Resto

Usamos la Regla de Ruffini para realizar la división

2 x Las bases son: y

La división es exacta

P(x) = x3 + 8 = x3 + 23

⇒ 3 3 3 2

2x 2 x 0 x 0 x 8x 2 x 4

x 2 x 2

+ + + += = − ++ +

x3 + 8 = (x2 − 2 x + 4) (x + 2)

1 0 0 8

− 2 −2 4 −8

1 −2 4 0 = Resto







Caso ��: Resta de Potencias de Exponente Par:

En este caso lo más conveniente es aplicar la diferencia de cuadrados, para realizar el factoreo de manera rápida y llegar hasta la máxima descomposición posible del polinomio dado.

Para ello hay que adaptar el polinomio a factorear hasta "acomodarlo" como una diferencia de cuadrados, y aplicar el quinto caso de factoreo.

Si no se hace esto, y se intenta una solución similar al caso �� (que no es recomendada para potencias de exponente par) el proceso de factorización se hace más complicado, como se muestra a continuación:

6 65 4 3 2x 2

x 2 x 4 x 8 x 16 x 32x 2

− = + + + + +−

1 0 0 0 0 0 −64

2 2 4 8 16 32 64

1 2 4 8 16 32 0 = Resto

Usamos la Regla de Ruffini para

realizar la división



P(x) = x6 − 64 = x6 − 26

6 6 6 5 4 3 2x 2 x 0x 0x 0x 0x 0x 64

x 2 x 2

− + + + + + −=− −

Resolveremos el problema anterior aplicando Ruffini desde

el inicio (no recomendable)

Por ejemplo: P(x) = x6 − 64 = x6 − 26 Se trata de un sexto caso

Se adapta como diferencia de cuadrados (x3)2 − 82

Se aplica el quinto caso de factoreo (x3 + 8) (x3 − 8)

(x2 − 2 x + 4) (x + 2) (x2 + 2 x + 4) (x − 2)

Luego se aplica el sexto caso a cada uno de los

factores, tal como vimos en la página anterior

x6 − 64 = (x + 2) (x − 2) (x2 + 2 x + 4) (x2 − 2 x + 4)




Como vemos, arribamos al mismo resultado final, pero la solución es más trabajosa.

Primero hemos aplicado la Regla de Ruffini para dividir el polinomio dado por la resta de sus bases, con lo cual ha quedado un polinomio cociente de quinto grado.

Ahora tenemos que descomponer este polinomio, para lo cual hay que tomar factor común en grupos. Si esta elección no se hace en forma correcta la descomposición del polinomio se traba.

Por último tenemos que aplicar el sexto caso al binomio cúbico que aparece luego del factor común en grupos.

Se recomienda al alumno que no siga este camino, sino que se ajuste a lo expuesto en el cuadro inicial sobre como operar en el sexto caso, de modo de evitar que se trabe la descomposición del polinomio en todos sus factores posibles y con ello no pueda simplificar convenientemente las expresiones dadas.

Resultados: a) (x + 2) (x4 − 2 x3 + 4 x2 − 8 x + 16)

b) (x − 3) (x2 + 3 x + 9)

c) (x2 − x + 1) (x + 1) (x2 + x + 1) (x − 1)

Para Practicar

a) P(x) = x5 + 32

Factorear los siguientes polinomios aplicando "Suma o Resta de Potencias de Igual Exponente":

b) Q(x) = x3 − 27 c) R(x) = x6 − 1

d) S(x) = x4 + 25 e) T(x) = x4 −

1

16

f) U(x) = 8 x3 − 125

( )( )6 6 5 4 3 2x 2 x 2 x 4 x 8 x 16 x 32 x 2− = + + + + + −

( )6 6 3 2 2x 2 x ( 2 x 4) 8 (x 2 x 4) x 2x − = + + + + + −

( ) ( ) ( )6 6 2 3x 2 2 x 4 x 8 x 2x − = + + + −

( )( ) ( )6 6 2 3x 2 2 x 4 x 2 x 8x− = + + − +

( )( ) ( ) ( )6 6 2 2x 2 2 x 4 x 2 2 x 4 x 2x x− = + + − − + +

Agrupamos para sacar factor

común en grupos

Sacamos factor común en grupos

Aplicamos sexto caso a este término




7) Polinomio Cuadrático con Raíces Reales y distintas:

Un último caso de factoreo lo constituyen los polinomios cuadráticos que tienen dos raíces reales y distintas.

Como ya vimos en la guía N° 10 "Función Cuadrática" los polinomios de segundo grado se pueden factorear conociendo sus raíces:

Es importante, además de sacar las raíces X1 y X2 y colocar los factores

respectivos, no olvidar de repetir el coeficiente principal "a" como factor, pues en caso contrario está mal realizado el factoreo: la expresión hallada no coincidiría con el polinomio dado aunque tuviera sus mismas raíces.

Si el polinomio cuadrático tiene raíces reales e iguales, este caso se hace coincidente con el tercer caso: Trinomio Cuadrado Perfecto.

Si el polinomio cuadrático no tiene raíces reales, se dice que el mismo es

"irreducible en el campo real" y se debe dejar tal cual está.

Por ejemplo: P(x) = x2 + 3 x + 9

P(x) = x2 + 3 x + 9

No tiene Raíces Reales

Polinomio Cuadrático Irreducible

Por ejemplo:

P(x) = x2 + 6 x + 9

Aplicando la fórmula resolvente las raíces son X1 = X2 = − 3

P(x) = (x + 3) (x + 3) ⇒ P(x) = x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2

P(x) = a x2 + b x + c = a (x − X1) (x − X2)

Sólo se puede aplicar este caso de factoreo cuando el trinomio cuadrático tiene raíces reales y distintas

Por ejemplo:

P(x) = 2 x2 + 10 x + 12 Aplicando la fórmula resolvente

las raíces son X1 = − 2, y X2 = − 3 P(x) = 2 (x2 + 5 x + 6)

P(x) = 2 (x + 2) (x + 3) ⇒ P(x) = 2 x2 + 10 x + 12 = 2 (x + 2) (x + 3)

d) x4 + 25 (No se puede descomponer)

e) (x2 + ¼) (x + ½) (x − ½)

f) (4 x2 + 10 x + 25) (2 x − 5)




Obsérvese que el binomio: P(x) = x2 + 4 que habíamos visto como un sexto caso de factoreo que no se podía reducir en factores, corresponde a un polinomio cuadrático irreducible pues no tiene raíces reales.

También al aplicar el sexto caso de factoreo para exponentes impares, cuando se realiza la división por Regla de Ruffini, queda siempre un polinomio cociente que no se puede seguir factoreando: es un polinomio irreducible en el campo real, puede ser cuadrático (ver página 11) o de mayor orden (ejercicio a).

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES DE UN POLINOMIO

Pueden darse distintas situaciones al descomponer un polinomio de grado "n":

A) El polinomio tiene todas sus raíces reales y distintas:

Si el polinomio P(x) de grado "n", tiene todas sus "n" raíces reales y distintas, se podría descomponer en factores:

Como caso particular, vemos que si el polinomio es de segundo grado, la

descomposición factorial del polinomio coincide con la forma factorizada de la función cuadrática.

B) El polinomio tiene todas sus raíces reales, simples o múltiples:

Si el polinomio P(x) de grado "n", tiene todas sus "n" raíces reales (entre iguales y distintas) se podría descomponer en factores como lo indica el cuadro que sigue.

Vemos que hay un factor por cada raíz real simple, y por cada raíz real múltiple hay un factor elevado al orden de multiplicidad de dicha raíz.

Resultados: a) (x − 2) (x − 5)

b) (x − 3) (x + 2)

c) 3 (x − 5) (x − 1)

d) − (x + 5) (x + 1)

e) 5 (x + 3) (x − 7)

f) 4 x2 − 7 x + 10 (Irreducible)

Para Practicar

a) P(x) = x2 − 7 x + 10

Factorear los siguientes polinomios aplicando "Polinomio Cuadrático con Raíces Reales y distintas":

b) Q(x) = x2 − x − 6 c) R(x) = 3 x2 − 18 x + 15

d) S(x) = − x2 − 6 x − 5 e) T(x) = 5 x2 − 20 x − 105 f) U(x) = 4 x2 − 7 x + 10

P(x) = an . (x − X1). (x − X2) … (x − Xn) Descomposición factorial

de un polinomio con raíces reales y distintas

Coeficiente Principal




Por ejemplo, si el polinomio P(x) cuyo coeficiente principal es 2 y tiene

raíces reales y simples en X1 = − 2 y X2 = 3 y una raíz doble en X3 = 5, el mismo se puede expresar en factores como:

C) El polinomio tiene raíces complejas:

Si el polinomio P(x) de grado "n", tiene raíces no reales (pares complejas conjugadas) en la descomposición en factores aparecerán polinomios cuadráticos irreducibles:

En caso de tener raíces no reales, las mismas aparecen siempre de a pares

complejas conjugadas.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA:

Como conclusión de todo lo visto, el Teorema Fundamental del Álgebra establece que "todo polinomio de grado "n" tiene "n" raíces en total" , entre las cuales se cuentan las reales y simples, las reales y múltiples con su respectivo orden de multiplicidad y los pares de complejas conjugadas".

P(x) = an (x − X1) (x − X2) … (x − Xi)ri (x − Xj)

rj … (x2 + α x + β) …

Raíces Simples Raíces Múltiples


Por ejemplo, según lo visto en la página 12:

Pares Complejas Conjugadas

x6 − 64 = (x + 2) (x − 2) (x2 + 2 x + 4) (x2 − 2 x + 4)

Este polinomio tiene dos raíces reales y simples, y dos pares complejas conjugadas, representadas por los polinomios cuadráticos irreducibles. O sea dos raíces reales y cuatro no reales.

P(x) = an . (x − X1) . (x − X2) … (x − Xi)ri . (x − Xj)

rj

Raíces Simples Raíces Múltiples

Órdenes de multiplicidad de las raíces

múltiples


P(x) = 2 . (x + 2) (x − 3) (x − 5)2




FACTORIZACIÓN POR TANTEO:

Ya sabemos como factorizar una ecuación de segundo grado con raíces reales (séptimo caso de factoreo), pero cuando el polinomio es de mayor grado y no podemos aplicarle ningún caso de factoreo no existen fórmulas resolventes sencillas para poder conocer sus raíces y con ello hacer la factorización del polinomio.

En estos casos, lo habitual es buscar una primera raíz por tanteo. Esto significa que le damos un valor cualquiera a "x" (generalmente se prueba con ± 1, ±2, etc.) y se calcula el valor del polinomio P(x). Si P(x) = 0, hemos encontrado una raíz "X1" y con ello ya tenemos un término (x − X1) de la descomposición en factores del polinomio.

Luego dividimos P(x)/(x − X1) y obtenemos un polinomio de grado "n − 1", el cual se trata de factorizar por algún caso o se vuelve a aplicar el mismo método de búsqueda de una raíz por tanteo, para continuar el proceso hasta la descomposición total del polinomio.

Por ejemplo, para factorear el polinomio: P(x) = x3 + 4 x2 + x − 6

1) Buscamos una raíz por tanteo: probaremos con x = 1

P(1) = 13 + 4 12 + 1 − 6 =

P(1) = 1 + 4 + 1 − 6 =

P(1) = 0

Hemos encontrado por tanteo una raíz en X1 = 1

2) Con el objeto de seguir factoreando el polinomio, dividiremos al mismo por el factor encontrado (x − X1) de su descomposición factorial:

3 2

2

1

P(x) x 4x x 6x 5x 6

x X x 1

+ + −= = + +− −

1 4 1 −6

1 1 5 6

1 5 6 0 = Resto


De manera que:

P(x) = (x2 + 5 x + 6) (x − 1)

Aquí aplicamos séptimo caso: P(x) = (x + 2) (x + 3) (x − 1)

Por lo tanto las Raíces de este polinomio serán: X1 = 1; X2 = − 2 y X3 = − 3




TEOREMA DE GAUSS:

Para no tener que realizar el "tanteo" a ciegas existe el Teorema de Gauss, el cual nos proporciona una lista acotada de probables raíces racionales del polinomio. Pero un polinomio puede tener también raíces reales no racionales (irracionales) con lo cual la utilidad de este teorema es relativa.

Dado un polinomio con coeficiente principal "an" y término independiente "a0", el Teorema de Gauss establece que si este polinomio tiene raíces racionales (pertenecientes al conjunto Q) entonces las mismas están dentro de una lista que se puede armar tomando todas las fracciones posibles cuyo numerador sea un divisor de "a0" y cuyo denominador sea divisor de "an".

De esta forma, el Teorema de Gauss nos brinda una lista finita de posibilidades para buscar por tanteo una probable raíz racional del polinomio.

La obtención de la lista de probables raíces racionales, por aplicación del

Teorema de Gauss, no me asegura que algunos de estos números sean raíces del polinomio. Es perfectamente posible que el polinomio P(x) no tenga raíces racionales, sino sólo raíces irracionales y/o complejas, con lo cual la utilidad de este teorema es limitada.

Por ejemplo, siguiendo con el polinomio: P(x) = x3 + 4 x2 + x − 6

1) Hallamos los divisores del término independiente a0 = − 6:

a0 an = 1

D(a0) = D(− 6) = { ± 1, ± 2, ± 3, ± 6}

2) Hallamos los divisores del coeficiente principal an = 1:

D(an) = D(1) = { ± 1}

3) Haciendo el cociente entre los números enteros de los divisores de "a0 " sobre los de "an", tenemos la lista de posibles raíces racionales del polinomio:

{ }{ } { }0

n

1, 2, 3, 6D(a )1, 2, 3, 6

D(a ) 1

± ± ± ±= = ± ± ± ±

±

Si P(x) tiene raíces racionales, están

en esta lista

Como ya vimos en la página anterior, P(x) tiene las tres raíces racionales, que son: X1 = 1; X2 = − 2 y X3 = − 3 y se cumple que están en esta lista




CASOS COMBINADOS DE FACTOREO

Al factorear polinomios es muy común que se tengan que combinar los distintos casos de factoreo que hemos visto.

Por lo general se sugiere que el alumno vaya revisando en el orden dado los siete casos de factoreo vistos, para ver si los puede aplicar.

O sea, antes de ver si hay algún factor común, no intentar aplicar otro caso, pues si lo hacemos a menudo la factorización posterior se complica y nos va a costar más llegar a la expresión más descompuesta posible.

A continuación veremos algunos ejemplos de factorización combinando casos de factoreo:

P(x) = 20 x2 − 45

Sacamos Factor Común P(x) = 5. (4 x2 − 9)

Aplicamos Diferencia de Cuadrados P(x) = 5. (2 x + 3) (2 x − 3)

P(x) = 20 x2 − 45 = 5 (2 x + 3) (2 x − 3)

P(x) = − 2 x2 + 8 x − 8

Sacamos Factor Común P(x) = − 2. (x2 − 4 x + 4)

Aplicamos Trinomio Cuadrado Perfecto P(x) = − 2. (x − 2)2

P(x) = − 2 x2 + 8 x − 8 = − 2. (x − 2)2

Ejemplo N° 1

Ejemplo N° 2

Resultados: a) (x − 2) (x + 5) (x + 1)

b) (x − 3) (x2 + 2 x + 4)

c) (x + 4) (x − 5) (x + 2)

d) (x − 1) (x2 − 3 x + 9)

Para Practicar

a) P(x) = x3 + 4 x2 − 7 x − 10

Factorear los siguientes polinomios aplicando la factorización por tanteo o el Teorema de Gauss:

b) Q(x) = x3 − x2 − 2 x − 12

c) R(x) = x3 + x2 − 22 x − 40 d) S(x) = x3 − 4 x2 + 12 x − 9




2 2 4 8

P(x) = x3 + 3 x2 − x − 3

Sacamos Factor Común por Grupos

P(x) = x2 (x + 3) − (x + 3)

Aplicamos Diferencia de Cuadrados P(x) = (x + 3) (x + 1) (x − 1)

P(x) = x3 + 3 x2 − x − 3 = (x + 3) (x + 1) (x − 1)

P(x) = 81 x3 − 24 Sacamos Factor Común

P(x) = 3. (27 x3 − 8)

Ejemplo N° 3

Ejemplo N° 4

P(x) = (x + 3) (x2 − 1)

Para factorizar el término [(3 x)3 − 23] planteo un cambio de variable, a una variable "z"; que va a ser necesario para poder aplicar

el sexto caso con la Regla de Ruffini. En caso contrario al aplicar el caso tendría que

dividir por (3 x − 2) que no es mónico.

P(x) = 3. [(3 x)3 − 23] =

z = 3 x

P(z) = 3. [(z)3 − 23] ⇒

3 3 3 22z 2 1z 0 0 8

2 42 2

z zz z

z z

− + + −= = + +− −

1 0 0 −8

1 2 4 0 = Resto


P(x) = 3. [(3 x)2 + 2 (3 x) + 4] [(3 x) − 2] = P(x) = 3. (9 x2 + 6 x + 4) (3 x − 2) =

P(z) = 3. (z2 + 2 z + 4) (z − 2) =

Reemplazamos "z" por "3 x"

P(x) = 81 x3 − 24 = 3. (9 x2 + 6 x + 4) (3 x − 2)




Trabajo Práctico: "Polinomios, Factorización"

1) Factorear los siguientes polinomios aplicando "factor común":

2) Factorear los siguientes polinomios aplicando "factor común por grupos":

3) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Trinomio Cuadrado Perfecto"

4) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Cuatrinomio Cubo Perfecto":

c) R(x) = 25 x2 + 20 x + 4

f) U(x) = − 4 x2 + 12 x − 9

d) S(x) = 4 x4 − 12 x2 y5 + 9 y10

e) T(x) = 4 x4 + 1 + 4 x2

a) P(x) = x2 − 8 x + 16

b) Q(x) = x2 − 10 x + 25

a) P(x) = 3 x3 − 15 x2 + x − 5 b) Q(x) =

1

3− x3 + 2 x2 + 7

3x − 14

c) R(x) = x5 + 3 x4 − 6 x − 18

d) S(x) = y x2 − 2 x2 + 2 y x − 4 x + 4 y − 8

Resultados: a) − 5 (3 x + 4) (3 x − 4)

b) 3 (x − 5)2

c) (x + 4) (x − 4) (x − 3)

d) − 2 (x + 2) (x2 − x + 1) e) 5 (x − 2)3 f) x2 (x2 + 1) (x + 1) (x − 1)

Para Practicar

a) P(x) = − 45 x2 + 80

Factorear los siguientes polinomios aplicando casos combinados de factoreo:

b) Q(x) = 3 x2 − 30 x + 75

d) R(x) = − 2 x3 − 2 x2 + 2 x − 4 e) S(x) = 5 x3 − 30 x2 + 60 x − 40

c) R(x) = x3 − 3 x2 − 16 x + 48

f) R(x) = x6 − x2

a) P(x) = 30 x5 − 42 x3 − 18 x7 b) Q(x) = − 25

8x y3 −125

4 x2 y4 + 5

16x3 y2

c) R(x) = 81 a6 b3 c2 − 27 a3 b2 c3 + 9 a7 b6 c4




5) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Diferencia de Cuadrados":

6) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Suma o Resta de Potencias de

Igual Exponente":

7) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Polinomio Cuadrático con

Raíces Reales y distintas":

8) Factorear los siguientes polinomios aplicando la factorización por tanteo o el

Teorema de Gauss:

9) Factorear los siguientes polinomios aplicando casos combinados de factoreo:

a) P(x) = − 8 x2 + 50 b) Q(x) = 2 x2 + 20 x + 50

d) R(x) = − 3 x3 + 3 x2 − 6 x − 12

e) S(x) = 4 x3 − 36 x2 + 108 x − 108

c) R(x) = x3 − 2 x2 − 9 x + 18

f) R(x) = x7 − 16 x3

a) P(x) = x3 + 2 x2 − 5 x − 6

b) Q(x) = x3 + x2 + 3 x − 18

c) R(x) = x3 + x2 − 17 x + 15 d) S(x) = x3 + 2 x2 − 4 x + 16

a) P(x) = x2 − 3 x − 4 b) Q(x) = x2 − 8 x + 15 c) R(x) = 5 x2 − 10 x − 40

d) S(x) = − x2 − 2 x + 3

e) T(x) = − 2 x2 − 6 x + 20 f) U(x) = 3 x2 − 5 x + 4

a) P(x) = x5 + 243 b) Q(x) = x3 − 125 c) R(x) = x6 − 729

d) S(x) = x2 + 9 e) T(x) = x4 −

1

81

f) U(x) = 27 x3 − 8

a) P(x) = x2 − 49 b) Q(x) = 16 x2 − 81

c) R(x) = 25 x6 y2 − 100 z8

d) S(x) = 16 x4 − 1

e) T(x) = x4 − 256 f) U(x) =

25

4x6 − 1

9z2

d) S(x) = 8 x3 + 36 x2 z + 54 x z2 + 27 z3

e) T(x) = 125 x12 − 75 x8 y2 + 15 x4 y4 − y6

f) U(x) = x9 + 18 x6 + 108 x3 + 216

a) P(x) = x3 − 12 x2 + 48 x − 64 b) Q(x) = x3 + 21 x2 + 147 x + 343 c) R(x) = 27 x3 − 27 x2 + 9 x − 1




Respuestas del Trabajo Práctico: "Polinomios, Factorización"

3) a) (x − 4)2 b) (x − 5)2 c) (5 x + 2)2

d) (2 x2 − 3 y5)2 e) (2 x2 + 1)2 f) − (2 x − 3)2

4) a) (x − 4)3 b) (x + 7)3 c) (3 x − 1)3

d) (2 x + 3 z)3 e) (5 x4 − y2)3 f) (x3+ 6)3

9) a) − 2 (2 x + 5) (2 x − 5)

b) 2 (x + 5)2

c) (x + 3) (x − 3) (x − 2)

d) − 3 (x + 1) (x2 − 2 x + 4) e) 4 (x − 3)3 f) x3 (x2 + 4) (x + 2) (x − 2)

8) a) (x + 3) (x − 2) (x + 1)

b) (x − 2) (x2 + 3 x + 9)

c) (x − 1) (x + 5) (x − 3)

d) (x + 4) (x2 − 2 x + 4)

7) a) (x − 4) (x + 1) b) (x − 5) (x − 3) c) 5 (x + 2) (x − 4)

d) − (x + 3) (x − 1) e) − 2 (x − 2) (x + 5) f) 3 x2 − 5 x + 4 (Irreducible)

6) a) (x + 3) (x4 − 3 x3 + 9 x2 − 27 x + 81) b) (x − 5) (x2 + 5 x + 25)

c) (x2 − 3 x + 9) (x + 3) (x2 + 3 x + 9) (x − 3)

d) x2 + 9 (No se puede descomponer) e) 2 1 1 1x x x

9 3 3 + + −

f) (9 x2 + 6 x + 4) (3 x − 2)

5) a) (x + 7) (x − 7)

b) (4 x + 9) (4 x − 9)

c) (5 x3 y + 10 z4) (5 x3 y − 10 z4)

d) (4 x2 + 1) (2 x + 1) (2 x − 1)

e) (x2 + 16) (x + 4) (x − 4)

f) 3 35 1 5 1x z x z

2 3 2 3 + −

1) a) 6 x3 (5 x2 − 7 − 3 x4) b) 5

4x y2 (− 5

2y − 25 x y2 +

1

4x2)

c) 9 a3 b2 c2 (9 a3 b − 3 c + a4 b4 c2)

2) a) (x − 5) (3 x2 + 1) b) 1

2 x3

−

(x2 − 7)

c) (x + 3) (x4 − 6)

d) (y − 2) (x2 + 2 x + 4)





“POLINOMIOS, SIMPLIFICACIÓN Y ECUACIONES"


Simplificación de Expresiones Algebraicas Fraccionarias

Producto y Cociente de Expresiones Algebraicas Fraccionarias:

Simplificación

Suma Algebraica de Expresiones Fraccionarias:

1) Mínimo Común Múltiplo. (M.C.M.)

2) Máximo Común Divisor. (M.C.D.)

Simplificación

Operaciones Combinadas entre Expresiones Fraccionarias:

Ecuaciones Fraccionarias:

Resolución

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS

Es muy importante resaltar que siempre hay que indicar las condiciones

de validez de las simplificaciones. La expresión simplificada es válida para todos los valores de "x" excepto los que hagan cero a los factores que se han cancelado.

Si no se agrega esta aclaración, al tomar "x" este valor crítico en la expresión inicial se arribaría a una indeterminación cero sobre cero (0/0) que no se puede por lo tanto calcular; y en la expresión simplificada se llegaría a un valor determinado: Existiría pues una diferencia entre la expresión inicial y la simplificada. Por ello hay que aclarar en forma explícita que la simplificación es válida para todo valor de "x" excepto los que hagan cero a los factores simplificados.

Una expresión algebraica fraccionaria o racional puede ser:

2

2

P(x) x 4x 4

Q(x) x 4

+ +=−

Para simplificarla, se procede a factorear los polinomios:

( )( ) ( )

2x 2P(x)

Q(x) x 2 x 2

+=

+ −

( )( )x 2P(x)

Q(x) x 2

+=

− Expresión Válida ∀x / x ≠ − 2




Todo se reduce entonces, a aplicar los casos de factoreo correctamente para llegar a la factorización completa o "máxima" de cada polinomio, luego cancelar convenientemente los factores que corresponda y por último agregar las condiciones de validez de la expresión simplificada, como se explicara en el párrafo anterior.

PRODUCTO Y COCIENTE DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS:

Cuando se trata de multiplicar o dividir dos o más expresiones algebraicas fraccionarias, se procede de forma similar a lo ya visto:

1) Se factorean todos los polinomios involucrados.

2) Si hay una división se da vuelta la fracción del divisor y se transforma la división en producto.

3) Se simplifican los términos que corresponda.

4) Se indica la condición de validez de la simplificación efectuada.

Para Practicar Simplificar las siguientes expresiones fraccionarias, factoreando los polinomios y cancelando términos. Indicar además la condición de validez de la expresión obtenida.

a) ( )x 2

x

− (∀x / x ≠ 2)

b) ( )x 5

2 x

+ (∀x / x ≠ 5)

c) (x + 1) (∀x / x ∈ ℝ−{− 3, 2})

a) 3 2

3 2

x 6x 12x 8

x 4 x + 4 x

− + −−

b)

2

2

x 25

2 x 10 x

−−

c) 3 2

2

x 2x 5x 6

x x 6

+ − −+ −

Veremos otro ejemplo: 3 2

2

P(x) x 2x 3x 6

Q(x) x 2 x

− − +=−

( ) ( )( )

2x x 2 3 x 2P(x)

Q(x) x x 2

− − −=

−

( )( )( )

2x 2 x 3P(x)

Q(x) x x 2

− −=

−

( )2x 3P(x)

Q(x) x

−=

Aplicamos Factor Común por Grupos

Sacamos Factor Común

Expresión Válida ∀x / x ≠ 2

Cancelamos Términos




SUMA ALGEBRAICA DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS

Para realizar la suma algebraica de expresiones fraccionarias se debe proceder a hallar el denominador común de las fracciones, que es el Mínimo Común Múltiplo de dichos denominadores, de forma análoga a como se realiza la suma algebraica de fracciones numéricas.

2413

24103

125

81 =+=+

8 12 2 4 6 2 2 3 2 1 3 3 1 1

M.C.M. = 2.2.2.3 = 24

Para hallar el Mínimo Común Múltiplo se realiza el factoreo conjunto de los

denominadores

Para Practicar Simplificar los siguientes productos o cocientes con expresiones fraccionarias, factoreando los polinomios y cancelando términos. Indicar además la condición de validez de la expresión obtenida.

a) ( )32 2

1x 8x2 x 8

x 2 x + 4 2x 3 x 2

− −⋅ + ⋅ =− + −

b)

3 4 3 2

2 3 2

x 8 2x 4 x 8x

x 4 2x 4x

− + +÷ =− +

c) 2 2

2 2

x x 6 x 5x 6

x 1 x x 2

+ − + +÷ =− + −

− 4 x : ∀x / x ∈ ℝ− {− 2, ½}

1 : ∀x / x ∈ ℝ− {− 2, 0, 2}

x 2

x 1

−+

: ∀x / x ∈ ℝ− {− 3, − 2, 1}

Veamos un ejemplo:

4 2 2

2 2

P(x) x 49x x 6x 7

Q(x) 2 x 14x x x

− − −= ÷+ −

( )( )

2 2 2

2

x x 49P(x) x x

Q(x) 2 x x 7 x 6x 7

− −= ⋅+ − −

( )( )( )

( )( )( )

2x x 7 x 7 x x 1P(x)

Q(x) 2 x x 7 x 1 x 7

+ − −= ⋅

+ + −

( )( )2x x 1P(x)

Q(x) 2 x 1

−=

+

Expresión Válida ∀x / x ∈ ℝ− {− 7, 0, 7 }




Algo análogo a esto último es lo que realizaremos para efectuar la suma algebraica de expresiones fraccionarias:

1) Se factorizan todos los polinomios de los distintos denominadores, hasta descomponerlos en todos sus factores primos. Si se pudiera simplificar algún factor hallado con uno del numerador de la misma fracción hay que hacerlo.

2) Para hallar el denominador común se realiza el producto entre todos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, lo que constituye el Mínimo Común Múltiplo de los polinomios considerados.

3) Luego se procede como es común al sumar algebraicamente fracciones numéricas: Se divide el denominador común por cada denominador y se multiplica por el numerador respectivo.

4) Se realizan los productos en el numerador y luego se reduce esta expresión hasta que quede un polinomio con un sólo término para cada potencia de "x".

5) Se intenta factorear este polinomio numerador y se buscan posibles simplificaciones con el denominador.

Veamos un ejemplo:

( ) ( ) ( )2

1 2 x 1 2 x

2x 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1+ − = + − =

− − + − + − +

2 x − 2 = 2 (x − 1)

x2 − 1 = (x + 1) (x − 1)

x + 1

M.C.M. = 2 (x + 1) (x − 1)

Se factorizan los polinomios de los denominadores

Paso 2)

Paso 1)

8 2 4 2 2 2 1

12 2 6 2 3 3 1

8 = 23

12 = 22 . 3

Para hallar el Mínimo Común Múltiplo se realiza la descomposición en factores primos y se toman todos los factores comunes y no

comunes con el mayor exponente

Otro camino es realizar el factoreo individual de cada número:

M.C.M. (8; 12) = 23 . 3 = 24




Cuando se trabaja con números enteros al igual que con polinomios existe

además el Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Como lo indica la expresión, el M.C.D. es el máximo número entre los divisores comunes de los números involucrados.

Por ejemplo, para los números "8" y "12" tratados con anterioridad, el Máximo Común Divisor es:

( ) ( ) ( )( )2

1 x 1 1 x 1

2x 2 2x 4 2x 6 x 4 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2

− −+ − = + −− − − + − − − −

2 x − 2 = 2 (x − 1)

2 x2 − 6 x + 4 = 2 (x2 − 3 x + 2) = 2 (x − 1) (x − 2)

M.C.M. = 2 (x − 1) (x − 2)

Se factorizan los polinomios de los denominadores

Paso 1)

Paso 2)

2 x − 4 = 2 (x − 2)

Otro ejemplo:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )1 x 2 x x 1 11 x 1

2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2

− − + − −− + − =− − − − − −

Paso 3)

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

22 2 x 1x 2 x x 1 x 2 x 1

2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2

−− + + − − − += = =− − − − − −

Paso 4) Paso 5)

( )x 1

2 x 2

−−

∀x / x ≠ 1

( ) ( )( )( )

( )( )x 1 2.2 x.2 x 11 2 x

2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1

+ + − −+ − =

− + − + + −

( )( ) ( )( )

( )

( )( )2 2

52 x x 1

x 1 4 2x 2x 2x 3x + 5 22 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1

− − + + + − + − + = = =+ − + − + −

( )2x 5

2 x 1

− +−

∀x / x ≠ − 1 Paso 4) Paso 5)

Paso 3)




Para los polinomios la situación es idéntica:

1) Se factorizan todos los polinomios, hasta descomponerlos en todos sus factores primos.

2) Para hallar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) se multiplican sólo los factores comunes (a todos los polinomios) con su menor exponente. No se deben considerar términos que sean comunes a varios polinomios pero no a todos.

El M.C.D. de los polinomios no tiene demasiada utilidad práctica, a diferencia del M.C.M. que se emplea mucho, como vimos, para obtener el denominador común al sumar algebraicamente expresiones fraccionarias.

En el primer ejemplo realizado, el M.C.D. de los polinomios del denominador es igual a "1", pues no hay un término común a todos los polinomios; y el "1" es un factor neutro que se puede considerar siempre presente multiplicando a toda expresión.

En el segundo ejemplo realizado, el M.C.D. de los polinomios del

denominador es igual a "2".

P(x) = 3 x − 15 = 3 (x − 5)

R(x) = 3 x2 − 75 = 3 (x2 − 25) = 3 (x + 5) (x − 5)

Q(x) = x2 − 10 x + 25 = (x − 5)2 M.C.D.(P; Q; R) = x − 5

Otro ejemplo; encontrar el M.C.D. de los siguientes polinomios:

P(x) = 2 x − 2 = 2 (x − 1)

R(x) = 2 x2 − 6 x + 4 = 2 (x − 1) (x − 2)

Q(x) = 2 x − 4 = 2 (x − 2) M.C.D.(P; Q; R) = 2

M.C.D. (P; Q; R) = 1

P(x) = 2 x − 2 = 2 (x − 1)

Q(x) = x2 − 1 = (x + 1) (x − 1)

R(x) = x + 1

Para hallar el Máximo Común Divisor se realiza el factoreo de los números y

se toman sólo los factores comunes con su menor exponente

8 = 23

12 = 22 . 3

M.C.D.(8; 12) = 22 = 4




OPERACIONES COMBINADAS entre Expresiones Fraccionarias

Integrando todo lo visto hasta ahora, pueden resolverse expresiones más bien complejas con expresiones fraccionarias, que implican operaciones combinadas de suma algebraica con multiplicación y división de las mismas.

Veamos un ejemplo:

( )( )( )

( )( )( )( )( )

2

2 2

2

2

x 6 x 1x 7x 6 1 1 x 6 1 x 6 1x 1 x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

x 5 x 5x 5 x 1x 6x 5x 1 x 1x 1 x 1 x 1

+ ++ + + + −− − −+ ++ + + + += = =+ ++ ++ +− −− + −

x 5x 5 x 1x 1

x 5 x 1 x 5x 1

++ −+ = ⋅ =+ + +

−

x 1

x 1

−+

Expresión Válida

∀x / x ∈ ℝ− {− 5, − 1}

Para Practicar 1) Resolver las siguientes sumas algebraicas de expresiones fraccionarias. Al simplificar indicar además la condición de validez de la expresión obtenida.

a) 2

2 10 1

x 5 x 25 x 5− − =

− − +

b)

2

x 6

3x 9 x 9− =

− −

c) ( )( )

3

2 3

3x 24 x 48

x 2 x 2 x 4 x 4 x− + =

+ − − −

1

x 5− : ∀x / x ≠ − 5

( )( )3 x 2 x 2

x

+ −:∀x/ x ∈ℝ− {− 2, 2}

d) 1 2 x

2x 1 1 2x+ =

− −

( )x 6

3 x 3

++

: ∀x / x ≠ 3

− 1 : ∀x / x ≠ ½

2) Hallar el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) y el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de los siguientes polinomios:

a) P(x) = 2 x2 − 18; Q(x) = x2 − 6 x + 9; R(x) = x3 − 27

M.C.M. = 2 (x + 3) (x − 3)2 (x2 + 3 x + 9); M.C.D. = x − 3

b) P(x) = x2 + 3 x − 10; Q(x) = x3 + 15 x2 + 75 x + 125; R(x) = 3 x2 − 75

M.C.M. = 3 (x + 5)3 (x − 5) (x − 2); M.C.D. = x + 5




ECUACIONES FRACCIONARIAS

Una ecuación fraccionaria tiene la forma genérica: P(x)

0Q(x)

=

Resolverla implica hallar todos los valores reales de "x" que la satisfacen, o sea que anulan a P(x) pero no a Q(x) al mismo tiempo.

Veamos un ejemplo:

2 x 11

x 2 x 3

−+ =− +

∀x / x ≠ 2 ∧ x ≠ − 3

2 x 2 x 1

x 2 x 3

+ − −=− +

x x 1

x 2 x 3

−=− +

( ) ( )( )x x 3 x 1 x 2+ = − −

2 2x 3x x 3x + 2+ = −

3 x 3 x 2+ =

6 x 2= 2

x6

= ⇒ 1x

3=

Para Practicar Resolver las siguientes operaciones combinadas entre expresiones fraccionarias. Al simplificar indicar además la condición de validez de la expresión obtenida.

a) 2

x 2

x 3 x 6x 9x 2x 3

+− − +

−−

b) 2

2 2

x 7x 4x 16

x 14 x 49 x 16x 4 4

−+− − =

− + −+

c) 2 2

2 4

1 1x x x x1 1 1x x x

−÷ + =

x 1

x 3

−−

: ∀x / x ∈ ℝ− {2, 3}

5 4

2

x x 1

x

− + : ∀x / x ≠ 0

d) 2

2 2 2

x 25 x 3 x 5

x 2x 3 x 10 x 25 x 6 x 5

− − +⋅ − =− − + + + +

( ) ( )4 x 29

x 7 x 4

− +− −

: ∀x / x ∈ ℝ− {− 4, 7}

( )( )10

x 1 x 5−

+ +

∀x / x ∈ ℝ− {− 5, 3}




Como ocurre con toda ecuación es posible verificarla, reemplazando la "x" por el valor hallado y revisando que se satisfaga la igualdad. Dejamos esto como tarea al alumno.

Vemos en este ejemplo que a pesar de arribarse a dos soluciones (pues se

llega a una ecuación cuadrática) una de ellas debe descartarse (X1 = − 1) debido a que anula algunos denominadores en la ecuación original.

Por lo tanto admite una única solución (X = 4), lo cual puede verificarse sustituyendo la "x" en la expresión inicial.

En general, en ecuaciones fraccionarias, puede procederse así:

1) Realizar las operaciones marcadas de suma algebraica de fracciones, mediante el hallazgo del M.C.M. de los denominadores como se ha explicado anteriormente.

2) Luego debe tratarse de simplificar expresiones dentro de un mismo miembro, o bien traspasando términos entre ambos miembros.

3) Una vez que no quede nada más para simplificar, se procede a "cruzar" de miembro los denominadores, o sea a traspasarlos multiplicando al otro miembro.

4) Se opera para reducir las expresiones y se traspasa todo a un miembro hasta dejar el cero en el otro miembro.

5) Se resuelve la ecuación planteada de cualquier grado que sea, y luego se verifica que las posibles soluciones no hagan cero ningún denominador en la ecuación original.

6) Cualquier solución encontrada debe ser posible de verificarse en la ecuación inicial.

Ésta es una guía muy general para resolver ecuaciones fraccionarias. También puede hallarse la solución pasando todos los términos a un solo miembro y dejar en el otro miembro un cero, para luego sumar algebraicamente todas las fracciones del primer miembro.

Veamos otro ejemplo: 2

2

1 2 x 5

x 1 x 1 x 1

−+ =− + −

∀x / x ≠ 1 ∧ x ≠ − 1

x = 4

( )( )( )

2

2

x 1 2 x 1 x 5

x 1 x 1 x 1

+ + − −=− + −

2

2 2

x 1 2x 2 x 5

x 1 x 1

+ + − −=− −

23x 1 x 5− = −

20 x 3x 4= − − X2 = 4

X1 = − 1

El −1 no está permitido




Luego se pasa el denominador común al segundo miembro multiplicando al cero, y con ello se cancela este término.

Este método a veces complica es proceso de resolución pues no permite simplificar expresiones, con lo cual con frecuencia se arriba a ecuaciones de grados altos, lo cual dificulta su resolución.

No obstante hay ocasiones donde es la única forma de encontrar las soluciones, pues al simplificar podríamos estar "perdiendo" los valores que son la solución de la ecuación. A este respecto véase el último ejercicio del Trabajo Práctico que sigue: Ejercicio 16.6) d).

Trabajo Práctico: "Polinomios, Simplificación y Ecuaciones"

1) Simplificar las siguientes expresiones fraccionarias, factoreando los polinomios y cancelando términos. Indicar además la condición de validez de la expresión obtenida.

2) Simplificar los siguientes productos o cocientes con expresiones

fraccionarias, factoreando los polinomios y cancelando términos. Indicar además la condición de validez de la expresión obtenida.

a) ( )2

2

x 9 x 2x 1

2 x + 4 x 4 x 3

− +⋅ ⋅ + =− +

b) 4

2 2

1 x 1 x 1

x x + x x 1

+ −⋅ ⋅ =−

a) 2

3 2

x 3x 2

x 2 x x 2

− + =− − +

b)

2

3 2

x x

x 2 x x

+ =− +

c) 2

3 2

x 6x 9

x 9x 27x 27

− + =− + −

d) 2

2

x 14x 49

2x 12x 14

− − − =+ −

Para Practicar Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias.

a) 2

2 31

x 2 x 2 x− =

− − S = {1; 3}

b) 2

2 3 2 2

x x 2 2

x 4 x 2 x x 2 x

+− =− − +

S = ∅

c) 2

2

1x 4 2

x 7 x 10 x 2

− =− + −

S = {−1; 3/2}

d) x x

0x 2 x 1

+ =+ −

S = {0; − ½}




3) Resolver las siguientes sumas algebraicas de expresiones fraccionarias. Al

simplificar indicar además la condición de validez de la expresión obtenida.

4) Hallar el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) y el Máximo Común Divisor

(M.C.D.) de los siguientes polinomios:

5) Resolver las siguientes operaciones combinadas entre expresiones

fraccionarias. Al simplificar indicar además la condición de validez de la expresión obtenida.

6) Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias.

a) 2

2 2

2 12 3x 6x 3

x 1 4 x 4 3x 3

− + += −− − −

b) 3 2 2

1 x 1 1

x + 4 x 4 x x 2 x + 4 x 4

−− =+ + +

c) 2

1 x1

x 1 x 1+ =

+ − d)

2

2

x 4 x 2

4 x 2 x− = −

a)

2

12 3xx

x 1 x 1x

−− =+ +

b) ( )

( )

2

2

x 2x 3 x x 3x 3 4

x 4x 4

+ − − +=+ ÷

++

c) ( )

( )( )

3 2

2 2

3 2 2

2

x 3x 3x 1

x 1 x 1x 3x 3x 1 x 1

x 1

+ + ++ −+ =

− + − +−

d) 3 4 3 2

2 3 2

11

x 2x 8 2x + 4 x 8xx 4 2x 4x

++ =

− +÷− +

a) P(x) = 5 x2 − 125; Q(x) = x2 − 10 x + 25; R(x) = 2x − 10

b) P(x) = 3 x2 + 3 x − 18; Q(x) = 3 x2 + 18 x + 27; R(x) = 2 x − 4

c) 4 2 2

2 2

x 2x 1 x 4

x 4 x 4 x 1

− + −⋅ =− + −

d)

2

4

2

x 4x 16

x 4 x 4x 2

−− =

+ ++

a) 2

12 2 6

x 2x x x 2− + =

+ +

b) 2 2

x 5 x 4

x 10x 25 x 16

+ +− =+ + −

c) ( )( )

2

5 44

x 2 3 x

x 2x x 2x 2 x 1

+ − =− − +− −




Respuestas del Trabajo Práctico: "Polinomios, Simplificación y Ecuaciones"

4) a) M.C.M. = 10 (x + 5) (x − 5)2 ; M.C.D. = x − 5

b) M.C.M. = 6 (x + 3)2 (x − 2); M.C.D. = 1

6) a) S = {− 2; − 3} b) S = {− 1; 1}

c) S = { 0; 2} d) S = {− 2; 2}

5) a) − 2 x (∀x / x ≠ 0 ∧ x ≠ − 1)

b) − 4 (x + 4) (∀x / x ≠ − 3 ∧ x ≠ − 4)

c) ( )

( )2

2

2 x 1

x 1

+

− (∀x / x ≠ − 1 ∧ x ≠ 1)

d) x 3

x 2

++

(∀x / x ≠ − 2 ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 2)

3) a) 4

x (∀x / x ≠ − 2) b)

( )( )9

x 5 x 4

−+ −

(∀x / x ≠ − 5 ∧ x ≠ − 4)

c) ( )( )2

1

x 1 x 1+ + (∀x / x ≠ 1 ∧ x ≠ 2)

2) a) ( )( )

( )x 3 x 1

2 x 1

+ +−

(∀x / x ≠ −2 ∧ x ≠ 3) b) 2

2

x 1

x

+ (∀x / x ≠ −1 ∧ x ≠ 1)

c) ( )( )( )x 1 x 1 x 2

x 2

+ − +−

(∀x / x ≠ { −1; 1; 2}

d)

( )( )2

1

x 2 x 4+ + (∀x / x ≠ −2 ∧ x ≠ 2)

1) a) 1

x 1+ (∀x / x ≠ 1 ∧ x ≠ 2)

b) ( )2

x 1

x 1

+−

(∀x / x ≠ 0)

c) 1

x 3− (∀x / x ≠ 3)

d) ( )x 7

2 x 1

− −−

(∀x / x ≠ −7)

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7) Polinomios