polinomios RR

Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde los ordenadores y la informática hasta la carrera espacial.

La fórmula que expresa el movimiento de un cuerpo en caída libre viene dada por el siguiente polinomio:2

2

1)( gttP

t: tiempog: gravedad

La fórmula para calcular el volumen de un cubo en función de la longitud (l) de su lado viene dada por:

3)( llV

MonomiosMonomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que la únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potencia de exponente natural.

Son monomios:

NO son monomios:

22x2312 yzx

154abc

22 x

3

227 xyz

Partes de un monomioPartes de un monomio

Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando.

La parte literal la forman las letras y sus exponentes.

El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.

2. Gr 6213. Gr 171511. Gr

1 1 1

Tipos de monomiosTipos de monomios

Monomios semejantessemejantes: tienen la misma parte literal.

Monomios opuestosopuestos: son semejantes y sus coeficientes son números opuestos.

NO semejantes NO opuestos

2325 ba 3225 bacba 323 32ba

3225 ba 32ba

xy5 xy7

1

3225 ba 3225 ba

23

7

1yx23

7

1yx

32ba 32ba

xy xy

Operaciones con monomiosOperaciones con monomios

La suma (o resta)suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.

2xy

222 35 yxxy No son semejantes, luego no se pueden sumar.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

2xy 2xy 2xy

2xy 2xy

5 3 5 7

10( )

5 3 5 7


Para multiplicarmultiplicar por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales.

2415 yx

Ejemplo 3: yy 73 2

Ejemplo 4:

3 72y y 321y( )

32 35 xxy ( )5 32xy 3x


Para dividirdividir por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede).

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

27 7:21 yy

bba 4:25 23

21 7: ( ) ( )7y 2y : 53y

25 4ba3 b 3

4

25a

PolinomiosPolinomiosUn polinomiopolinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.

Cada uno de los monomios se llama términotérmino, y si no tiene parte literal se llama término término independienteindependiente.

El mayor de los grados de todos sus términos se denomina gradogrado del polinomio.

21373 523 xyzyxxy

Términos

Términoindependiente

Grado: 2 + 5 = 7

Se llama coeficiente principal al coeficiente del monomio de mayor grado.

Coeficiente principal

PolinomiosPolinomiosEl valor numéricovalor numérico de un polinomio P(x), para un valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando.

10437)( 34 xxxxP 10242327)2( 34P

10141317)1( 34P

Ejemplo:

861082411210883167

4104371041317

PolinomiosPolinomios

El polinomio opuestopolinomio opuesto de un polinomio P(x), que designamos como -P(x), se obtiene cambiando el signo de todos los términos de P(x).

10437)( 34 xxxxP

10437)( 34 xxxxP

Ejemplo:

Polinomio opuesto:

Polinomios especiales

Polinomios especiales

polinomio

ordenado

homogéneo

idéntico

completo

opuesto

nulo

Polinomio ordenado

x4y3 + 2x2y5 – 3xy8

Polinomio ordenado respecto a “x” en forma descendente

Polinomio ordenado respecto a “y” en forma ascendente

x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8

Polinomio completo

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5

Polinomio completo con respecto a x

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0

Polinomio homogéneo

Polinomio homogéneo de grado 8

6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2

GA = 8 GA = 8 GA = 8

Polinomios idénticos

Si P y Q son idénticos,

entonces a = 5; b = 2; c = -8

P(x) = ax3 + bx2 + c

Q(x) = 2x2 +5x3 – 8

PQ

Polinomio opuestoSi

P(x;y) = x4y3 + 2x2y5 – 3xy8

el polinomio opuesto de P es:

-P(x;y) = – x4y3 – 2x2y5 + 3xy8

Polinomio idénticamente nulo

P(x) = ax3 + bx2 - ca = b = c = 0

P(x) = ax3 + bx2 - c

P(x) 0

Ejercicio 1

caabb xxxxR 272 25)(

Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma creciente, calcula el valor de 2abc. Indica el grado del polinomio.

Respuestas:a)2abc = 160b)GA = 2

Ejercicio 2

xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323

Si se sabe que el polinomio es idénticamente nulo, calcula el valor de -7(a+b+c+d)

Respuesta: 84

Ejercicio 3

yxyxxyxR abb 22712 262);(

Si se sabe que el polinomio es homogéneo, calcula el valor de a – b.

Respuesta: -1

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios

Para sumarsumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.

Ejemplo: 172)( 245 xxxxP87223)( 234 xxxxxQ

)()( xQxP

52x 4x 27x 143x 32x 22x x7 8

775222 2345 xxxxx

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara restarrestar polinomios sumamos al primero el opuesto del segundo.

Ejemplo: 172)( 245 xxxxP87223)( 234 xxxxxQ

)()( xQxP

52x 4x 27x 143x 32x 22x x7 8

979242 2345 xxxxx

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicar un monomio por un polinomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplo:3245 2por 172)( xxxxxP

)(2 3 xPx

32x

3578 21424 xxxx

172 245 xxx

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosEl producto de dos polinomioproducto de dos polinomio se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios semejantes.Ejemplo: 43)( 152)( 23 xxQxxxP

)()( xQxP

43 2 x

4203236 235 xxxx

152 3 xx

4208 3 xx235 3156 xxx

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un monomiodividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplos:

245 2796)( xxxxP 932

3 :273:93:63:)(23

2224252

xx

xxxxxxxxP

xyyxxQ 57)( 3

yxx

xy

x

yxxxQ

2

5

2

7

2

5

2

72:)( 2

3

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un polinomiodividir un polinomio entre un polinomio, seguiremos los siguientes pasos:

1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal.

xxxxxP 3011202)( 243 23)( 2 xxxQ

32x4x 211x x30 20 2x x3 2


2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente.

32x4x 211x x30 20 2x x3 22x

3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.

2x4x

234

2

2

23

23

xxx

x

xx

234 23 xxx


32x4x 211x x30 20 2x x3 24º) Se suman algebraicamente.

5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.

2x234 23 xxx

203095 23 xxxx5

xxx

x

xx

10155

5

23

23

2

xxx 10155 23


6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

32x4x 211x x30 20 2x x3 22x

234 23 xxx 203095 23 xxx

x5

xxx 10155 23 20206 2 xx

6

12186 2 xx82 x


32x4x 211x x30 20 2x x3 22x x5 6

82 x

Polinomio dividendo)(xD

32x4x 211x x30 20 2x x3 2

Polinomio divisor

Polinomio cociente

Polinomio resto

)(xd

)(xc

)(xr

2x x5 6

82 x

Identidades notablesIdentidades notables

Las siguientes operaciones con binomios son simples multiplicaciones.

Es recomendable aprenderlas de memoria por su constante utilidad.

Uno de los errores mas frecuentes es considerar que la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.

(a+b)2


Cuadrado de una suma:Cuadrado de una suma: el cuadrado de una suma es igual a:

• el cuadrado del primero,• más el doble del primero por el segundo,• más el cuadrado del segundo.

a + ba + b

ab + b2

a2 + ab

a2 + 2ab + b2

a2

ab

ab

b2

a

b

a b

a + b

a + b

a2(a-b)2


Cuadrado de una diferencia:Cuadrado de una diferencia: el cuadrado de una diferencia es igual a:

• el cuadrado del primero,• menos el doble del primero por el segundo,• más el cuadrado del segundo.

a - ba - b

- ab + b2

a2 - ab

a2 - 2ab + b2ab

ab

b2


Suma por diferencia:Suma por diferencia: una suma por una diferencia es igual a:

• el cuadrado del primero,• menos el cuadrado del segundo.

a + ba - b

- ab - b2

a2 + ab

a2 - b2


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