1

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.Este término fue destacado por René Descartes en el siglo XVII y expresaba claramente sus creencias: obviamente tales números no existen. Hoy en día ubicamos los números imaginarios sobre el eje vertical del plano complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como

ib (numero complejo) donde b es un verdaderonúmero real e i es la unidad imaginaria con la propiedad:

i2 = − 12

3

DEFINICIÓN: Los Números Imaginarios surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas sin solución en el campo real. Este conjunto se representa por i

Este conjunto posee elementos que se obtienen a partir de raíces cuadradas con cantidad subradical negativa.

73 2

3 10

4

Definición:Entenderemos como Unidad Imaginaria a:

La que se conoce como Raíz Imaginaria.

i= -1

Nota: 2i =-1

NÚMEROS IMAGINARIOS

Luego: 16

16 1

16 14i

Se definió un número cuyo cuadrado es -1 después del año 1777, Euler lo denominó con la

letra “i”.

2i =-1

7

POTENCIAS DE I:1. Divida el exponente por 4 y el resultado será elevado al resto de la división.2. luego para simplificar use; 3. Sí

2i =-1 3 2 i =i i=-1 i=-i

4 2 2 i =i i = -1 -1 =1Este último resultado hace que las potencias de “i” solo tengan como resultados a: i, -i, 1 y -1

0i =11i =i

n 4 m+p pi =i =ii= -1

8

EJEMPLOS:

4 1 2 2 1i i

6 : 4 12

4 2 3 3i i i 111)i

5402) i 4 135 0 0 1i i

11: 4 23

540 : 4 13514020

0

63)i

9

3i

134) i i

2275) i i

2856) i 1

i

11277) i i

285 4 71 1

i1127 4 281 3

3i

10

Calcule las siguientes raíces: 4 1

11 i

25 1

1) 4

2) 25

3) 12

4) 11

i2

i5

2 3 i4 3 1

Raíces pares de Números Negativos

NÚMEROS COMPLEJOS Hallar los números reales que verifican

que la suma entre el quíntuplo de su cuadrado y 20, es igual a cero.

En símbolos: 25 20 0x

12

NÚMEROS COMPLEJOS Al resolver la ecuación obtenida, nos

damos cuenta que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en los reales, por lo tanto esta ecuación no tiene solución en este conjunto, es decir que no existe ningún número real que resuelva este problema.

(Sin solución real)

25 20 0x

NÚMEROS COMPLEJOS Para que la ecuación anterior tenga

solución, los matemáticos buscaron una ampliación del conjunto de los Números Reales (IR).

A este Conjunto se definió como los Números Complejos:

/ , ;a bi a bi I

© copywriter

15

i) Los números reales y los imaginarios están incluidos en el conjunto ampliado.ii) Las propiedades del conjunto real se siguen cumpliendo en el conjunto ampliado.

Sus características son:

NÚMEROS COMPLEJOSSe llama número complejo a un

número “z” que puede escribirse de la forma

a y b son números realesAl número a se le llama parte real

(a=Re[z])Al número b se le llama parte imaginaria (b=Im[z])

z=a+bi

a+bi (a,b)

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS: Dos Números complejos son iguales si

y sólo si, tienen igual parte real e igual parte imaginaria

si

Entonces:

1 2z =z 1 2 1 2Re z =Re z Im z =Im z

Ó sí a + bi = c + di entonces a = c y b = d.

18

Ejemplos de Números Complejos:

i35 )1

i47 )2

i61 )3

i5 )4

7 )5

19

81 )5 1 4 2 1

1 2 2 i

1 4 2 1

20

Ejemplo:Determine el valor de y de si

ibia 5626

66 Si a 2 5y b

0a25

b

a b

21

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

a bi c di 1. Suma:

idbca

Ej 5em 1: 6plo 2 i i

5 6 1 2 ii11

22

a bi c di 2.Resta:

idbca

3Ejemplo 1: 2 6 3 i i

3 2 6 3i i

9 5i

a bi c di

Obs:La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.

23

Ejemplo 2 : 8 18 5 50

8 3 2 5 5 2i i

8 3 2 5 5 2i i

3 8 2 i

24

a bi c di 3.Multiplicación:

ac bd ad bc i

Nota: La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios.

a bi c di ac ad i bc i 2bd i

1ac ad bc i bd

ac bd ad bc i

25

Ejemplo 1: 4 2 3 5 i i21062012 iii

12 14 10i

i1422

12 20 6 10 1i i

26

2Ejemplo 2: 4 5 i

254016 i

i409

4 5 4 5i i 216 20 20 25i i i

16 40 25 1i

27

3Ejemplo 3: 2 3 i

46 9i

22 3 2 3i i

2 4 12 9 2 3i i i

4 12 9 1 2 3i i

4 12 9 2 3i i 5 12 2 3i i

210 15 24 36i i i 10 15 24 36i i

28

.El conjugado de

Conjugado de un C

z=a+bi se defin

ompl

e po

ejo:Definició

r Z=a+bi=an

-bi:

Encuentra el conjugado de cadaEjemplo

núms:

ero:

1. 2 4

2. 2 4

3. 64

4. 12 24

5. 13

i

i

i

i

i42

2 4i

64i

12 24i

13

29

8 7: 1 3

ii

Ejemplo 1

(8 7 ) •(1 3 )

(1 3 )(1 3 )

iii i

2

2

91217248

iiii

La División se hace multiplicando por el conjugadodel denominador. (similar a la racionalización)

a bic di

4.División: .a bi c d ic d i c d i

30

8 17 21 11 9 1i

8 17 211 9i

10

1729 i

i1017

1029

31

4 5: 3i

i

Ejemplo 2 (4 5 ) •3

33i i

i i

2

2

91512iii

91512

i

32

91512

i

915

912

i

35

34

i

i34

35

33

Ejercicios:Resuelve la operación indicada.

1) 5 7 2i i

2) 3 12 6 3i i

3) 12 23 16 13i i

4) 13 32 36 53i i

5) 3 2 6 3i i

34

6) 5 7 2i i

7) 3 12 6 3i i

1 28) 6 3

ii

3 29) 6 3

ii

35

1) 5 7 2i i 12 i

2) 3 12 6 3i i

3 12 6 3 i i 3 15 i

3) 12 23 16 13i i

12 23 16 13 i i 28 36 i

36

4) 13 32 36 53i i 49 21 i

5) 3 2 6 3i i 218 9 12 6 i i i 18 21 6 1 i

12 21 i

6) 5 7 2i i 235 10 7 2 i i i35 3 2 i

37 3 i

37

7) 3 12 6 3i i 218 9 72 36 i i i18 63 36 i54 63 i

1 28) 6 3

ii

1 2 6 3 6 3 6 3

i ii i

2

2

6 3 12 6 36 9

i i i

i6 9 6 36 9

i 12 9

45

i 4 3

15 i

38

3 29) 6 3

ii

3 2 6 3 =6 3 6 3

i ii i

218 9 12 6 =36 9

i i i

18 3 6 =36 9

i

24 3 =45

i 8 =15

i

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Para representar un número complejo,

de la forma se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.

Obs:

a+bi

a+bi (a,b)

Ejemplos:

Módulo de un Complejo: Es la distancia entre el origen y el

punto que representa al número complejo.

El módulo de un número complejo está definido como:

Ejemplo:

2 2a+bi = a +b

2 2(-4) +2 = 20 =2 5-4+2i

a+bi