NÚMEROS COMPLEJOSALGEBRA LINEAL

Números complejos

definición

operaciones

representación gráfica

otras formas de representarlos

potencias y raíces

soluciones de polinomios

Unidad imaginaria

x2 +1= 0 x2 = −1

x = −1

i = −1

Se define la unidad imaginaria

Número complejo

a + biEs de la forma:

a es un número real

b es un número real

3+ 4i −3+ 2i 3 − 2i

Número complejo

a + biPara el número complejo

aParte real

bParte imaginaria

3+ 4i−3+ 2i

3 − 2i

Partes real e imaginariaEjemplos:

3+ 4i

−3+ 2i

3 − 2i = 3 + (−2)i

Re(3+ 4i) = 3Im(3+ 4i) = 4

Re( 3 − 2i) = 3

Im( 3 − 2i) = −2

Re(−3+ 2i) = −3

Im(−3+ 2i) = 2

Conjunto de los complejos

Que tienen las mismas propiedades que el conjunto de los reales

! = a + bi | a,b∈"{ }

Se definen las operaciones de suma y producto

Propiedades

Suma Asociativa Conmutativa

Elemento neutro es 0

Inverso aditivo

Producto

Asociativo

Elemento neutro es 1

Se distribuye sobre la sumaInverso multiplicativo

Suma

(3+ 2i)+ (5 + 4i) = 3+ 2i + 5 + 4i = 3+ 5 + 2i + 4i

= (3+ 5)+ (2 + 4)i = 8 + 6i

(−4 + 5i)+ (2 − 3i) = −4 + 5i + 2 − 3i = −4 + 2 + 5i − 3i

= (−4 + 2)+ (5 − 3)i = −2 + 2i

(−4 + 5i)− (2 − 3i)= −4 + 5i − 2 + 3i = −4 − 2 + 5i + 3i

= (−4 − 2)+ (5 + 3)i = −6 + 8i

Suma, definición

Dados dos números complejos:z1 = a + bi y z2 = c + di

su suma z1 + z2 es

(a + bi)+ (c + di) = (a + c)+ (b + d)i

Se recomienda revisar el ejercicio1 (a) hasta (e) del libro “Variable compleja”

Las potencias de la unidad imaginaria

i = −1

i2 = −1 ⋅ −1 = (−1)1/2 ⋅(−1)1/2 = (−1)1 = −1

i3 = i2 ⋅ i = (−1) ⋅ i = −i

i4 = i2 ⋅ i2 = (−1) ⋅(−1) = 1

i5 = i2 ⋅ i3 = (−1) ⋅(−i) = i

i6 = i2 ⋅ i2 ⋅ i2 = (−1) ⋅(−1) ⋅(−1) = −1

El producto

(1+ i) ⋅(3+ 2i) = 1⋅(3+ 2i)

= 3+ 2i + 3i + 2i2

= 3+ 2i + 3i + 2(−1)

= 3+ 2i + 3i − 2

= (3− 2)+ (2 + 3)i

= 1+ 5i

+i ⋅(3+ 2i)

El producto, ejercicios

a) (3+ 5i) ⋅(2 − 4i)

b) (1+ 3i) ⋅(2 + 3i)

c) (1+ 3i) ⋅(2 + 3i)

d) 5 ⋅(3+ i)

e) (3+ i)+ (3− i)(1+ 4i)

Producto, definición

Dados dos números complejos:z1 = a + bi y z2 = c + di

el producto z1 ⋅ z2 es

(a + bi) ⋅(c + di) = (ac − bd)+ (ad + bc)i

Se recomienda revisar el ejercicio1 (f) hasta (j) del libro “Variable compleja”

Cociente

2 − i1+ i

= a + bi

En el conjunto de los números complejos, el cociente de dos números complejos, debe ser otro número complejo

Multiplicamos la ecuación por el denominador2 − i1+ i

⋅(1+ i) = (a + bi) ⋅(1+ i)

y simplificamos

2 − i = (a + bi) ⋅(1+ i)

Cociente, continuación

2 − i = (a + bi) ⋅(1+ i)

ahora simplificamos el lado derecho2 − i = (a − b)+ (a + b)i

ambos lados de la ecuación deben ser iguales, esto es

2 = (a − b) y −1= (a − b)

con solución

a = 12 y b = − 3

2

Cociente, final

2 − i1+ i

= a + bi

El cociente

2 − i1+ i

= 12− 32i

es

Cociente, una forma práctica

2 − i1+ i

⋅1− i1− i

Multiplicar y dividir por el denominar, pero cambiando de signo a su parte imaginaria

y realizar los dos productos

2 − i1+ i

⋅1− i1− i

= (2 − i) ⋅(1− i)(1+ i) ⋅(1− i)

= 2 ⋅1+ 2(−i)+ (−i) ⋅1+ (−i) ⋅(−i)1⋅1+1⋅(−i)+ i ⋅1+ i ⋅(−i)

= (2 −1)+ (−2 −1)i1+1

= 1− 3i2

= 12− 32i