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Números complejos

CURSO 2015-2016

Números complejos 1) Definición números complejos

2) Representación gráfica de un número complejo ( Afijo, módulo, argumento). Conjugado

3) Operaciones con números complejos. Propiedades

4) Forma polar y trigonométrica de un número complejos

5) Radicación de un número complejo

6) Teorema fundamental del algebra. Raíces de una ecuación polinómica. Descomposición

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Se plantea este problema

Dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos

Construye un rectángulo cuyos lados tienen la longitud de esos trozos

Su área sea 40.

Construye y resuelve la ecuación que plantea el problema

Esto se lo planteo un matemático llamado Cardano. Cardano admite que el problema no tiene solución.

Cardano obtiene 5 + −15 y 5 − −15 como longitudes de los segmentos. Soluciones “imposibles”

Sin embargo, si uno las multiplica, 5 + −15 5 − −15 = 40

x(10 − x) = 40.

Así que concluye Cardano que, de alguna manera “sutil” ambas expresiones son solución de la ecuación, pero se

apresura a denominar como “numero formal”, a la expresión −15

Introducción

•A lo largo de la Historia de la Humanidad hemos necesitado contar objetos y seres, representar medidas reales con símbolos, etc…, a medida que las necesidades de las Sociedades humanas se iban haciendo mayores.

•Habitualmente, presentamos los diferentes conjuntos de números de una manera didáctica. Construimos los conjuntos y los dotamos de unas propiedades. Luego, planteamos un problema

•Su solución es la construcción de un nuevo conjunto que amplíe el anterior, respetando su estructura y propiedades.

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Ejemplo:

Números naturales

les damos una estructura( propiedades).

nos planteamos un problema que este conjunto no puede dar solución ( 4-6=?)

Números enteros ( aplicación de los números naturales)

les damos una estructura que amplia las propiedades del conjunto anterior

nos planteamos un problema ( 4/3)

Números racionales (ampliación de los enteros)

les dotamos de una estructura

nos planteamos un problema 0,101001000100001…=a/b ?

Números reales ( unión de racionales e irracionales)

les dotamos de una estructura

nos planteamos un problema??????????????????????????????????

Números reales ( unión de racionales e irracionales)

les dotamos de una estructura

nos planteamos un problema??????????????????????????????????

Conjunto no soluciona la ecuación 𝑥2 + 1 = 0.

El concepto de “número complejo” no surge como una necesidad real del hombre para conocer y observar el universo; sino de una necesidad puramente algebraica, para la resolución de ecuaciones.

𝑥2 = −1

𝑥 = ± −1 = ±𝑖 (número imaginario )

El desarrollo de la “Teoría de Números Complejos” y la “Teoría de Funciones Complejas” tienen en la actualidad numerosas aplicaciones en la Física y la Ingeniería Ejemplo • Para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas • En la ecuación de onda de Schrödinger, fundamental en la teoría cuántica del átomo • En el diseño de alas de avión

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1) Definición números complejos Euler introdujo el número 𝑖 = −1 llamado número imaginario Gauss definió los números complejos C como el conjunto de números que dan solución a todas las ecuaciones polinómicas con coeficiente real.

Con la definición anterior se saca como conclusión:

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2) Representación gráfica de un número complejo

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Conjugado de un número complejo

El conjugado de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es el numero complejo 𝑎 − 𝑏𝑖, se representa por 𝑧

De la definición se deduce • Los afijos de 𝑧 𝑦 𝑑𝑒 𝑧 son simétricos respecto del eje de abscisas • 𝑅𝑒 𝑧 = 𝑅𝑒 𝑧 • 𝐼𝑚 𝑧 = −𝐼𝑚 𝑧 • 𝑧 = 𝑧 • 𝐴𝑟𝑔 𝑧 = 360° − 𝐴𝑟𝑔 𝑧

Ejercicios

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Ejercicios

Opuesto de 𝑧1

conjugado 𝑧1

Opuesto de 𝑧2 conjugado de 𝑧2

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3) Operaciones con números complejos. Propiedades

Suma o resta

Multiplicación por una constante

Multiplicación de dos números complejos ( se aplica la propiedad conmutativa)

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Potencias de un número complejo ( tener en cuenta identidad notable y potencias del número imaginario)

Cociente de dos números complejos ( aplicar el conjugado del denominador)

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demostrarlo

Trabajo cooperativo. Entrega

𝑧 + 𝑧 =?

𝑧 − 𝑧 =?

𝑧 ∙ 𝑧 =?

𝑧1 ± 𝑧2 =?

𝑧1 ∙ 𝑧2 =?

𝑧−1 =𝑧

𝑧 2 z ≠ 0

𝑧1𝑧2

= 𝑧1

𝑧2 𝑧2 ≠ 0

𝑧 + 𝑧 =?

𝑧 + 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑎 − 𝑏𝑖 = 2𝑎 = 2𝑅𝑒(𝑧)

𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒(𝑧)

𝑧 − 𝑧 =?

𝑧 − 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑖 = 2𝑏𝑖 = 2𝐼𝑚 𝑧 𝑖

𝑧 − 𝑧 = 2𝐼𝑚(𝑧)

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𝑧 ∙ 𝑧 =?

𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎2 − 𝑏𝑖 2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑧 2

𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑧 2

𝑧1 + 𝑧2 =?

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖 = 𝑎 + c − 𝑏 + 𝑑 𝑖 =

= 𝑎 + 𝑐 − 𝑏𝑖 − 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑐 − 𝑑𝑖 = 𝑧1 + 𝑧2

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2

𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 − 𝑧2

Idem

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𝑧1 ∙ 𝑧2 =?

𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 = = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑎 − 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 − 𝑑𝑖 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2

𝑧−1 =𝑧

𝑧 2 z ≠ 0

𝑧−1 =1

𝑧=

1

𝑎 + 𝑏𝑖=

1 ∙ 𝑎 − 𝑏𝑖

𝑎 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑎 − 𝑏𝑖=

𝑎 − 𝑏𝑖

𝑎2 + 𝑏2=

𝑧

𝑧 2 z ≠ 0

𝑧−1 =1

𝑧=

𝑧

𝑧 ∙ 𝑧 =

𝑧

𝑧 2 z ≠ 0

Otra forma

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𝑧1𝑧2

= 𝑧1

𝑧2 𝑧2 ≠ 0

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4) Forma polar de un número complejos Una forma alternativa a la binómica para caracterizar un número complejo ( afijo) es dar su módulo y su argumento

La expresión 𝑧 = 𝑧 𝛼 se conoce como forma polar de z

𝑧 = 1 + 𝑖

𝑧 = 245°

𝑧 = −1 + 𝑖

𝑧 = 2135°

𝑧 = 3𝑖

𝑧 = 3 90°

𝑧 = −5

𝑧 = 5 180°

Realiza las operaciones y exprésalas de forma binómica y polar

=1

21 + 𝑖−4 + 𝑖 + 𝑖 ∙ 𝑖−4 = =

1

2(1 +

1

𝑖4+ 𝑖 +

1

𝑖−3) =

1

2(1 + 1 + 𝑖 +

1

−𝑖) =

1

2(1 + 1 + 𝑖 + 𝑖)

=1

2(2 + 2𝑖) = 1 + 𝑖 =

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4) Forma trigonométrica de un número complejos

A partir de la expresión polar de 𝑧 = 𝑟𝛼, se obtiene fácilmente la forma binómica ya que:

𝑎 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑏 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼

De esa relación se sigue que

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑖 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼)

𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼)

Forma trigonométrica de un número complejo

𝑧 = 1 + 𝑖

𝑧 = 245°

𝑧 = −1 + 𝑖

𝑧 = 2135°

𝑧 = 3𝑖

𝑧 = 3 90°

𝑧 = −5

𝑧 = 5 180°

𝑧 = 2(cos45° + 𝑖𝑠𝑒𝑛45°) 𝑧 = 2(cos135° + 𝑖𝑠𝑒𝑛135°) 𝑧 = 3 (cos90° + 𝑖𝑠𝑒𝑛90°) 𝑧 = 5 (cos180° + 𝑖𝑠𝑒𝑛180°)

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Producto y potencias en forma polar Si 𝑧1 = 𝑟𝛼 y 𝑧2= 𝑠𝛽 entonces la multiplicación de 𝑧1 ∙ 𝑧2 se calcula:

𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑟 ∙ 𝑠 𝛼+𝛽

Si z = 𝑟𝛼 entonces la potencia de exponente 2 de 𝑧2 se calcula: (demuestra)

𝑧2 = 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑟 𝛼+𝛼 = 𝑟2 2𝛼

𝑧3 = 𝑧 ∙ 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 𝛼+𝛼+𝛼 = 𝑟3 3𝛼

Si z = 𝑟𝛼 entonces la potencia de exponente 3 de 𝑧3 se calcula: (demuestra)

Si z = 𝑟𝛼 entonces la potencia de exponente 𝒏 de 𝑧𝑛 se calcula: (demuestra)

.

.

.

𝑧𝑛 = 𝑟𝑛 𝑛𝛼

𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼) ∙ 𝑠(𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛽) =??????????????????

Producto y potencias en forma trigonométrica

Si 𝑧1 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼) y 𝑧2= 𝑠(𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛽) entonces la multiplicación de 𝑧1 ∙ 𝑧2 se calcula:

𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑟 ∙ 𝑠(𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 )

Si z = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼) entonces la potencia de exponente 2 de 𝑧2 se calcula: (demuestra)

𝑧2 = 𝑧 ∙ 𝑧 =???????

Si z = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼) entonces la potencia de exponente 3 de 𝑧3 se calcula: (demuestra)

Si z = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼) entonces la potencia de exponente 𝒏 de 𝑧𝑛 se calcula: (demuestra)

.

.

. 𝑧𝑛 =?????????

𝑧3 = 𝑧 ∙ 𝑧 =??????

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División en forma polar Si 𝑧1 = 𝑟𝛼 y 𝑧2= 𝑠𝛽 entonces división de

𝑧1

𝑧2 se calcula: (demuestra)

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Radicación de un número complejo

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