1

© copywriter

2

Objetivos:Objetivos:

1.1. Definir el conjunto de los números complejos.Definir el conjunto de los números complejos.

2.2. Simplificar potencias de Simplificar potencias de i.i.

3.3. Difinir y usar las operaciones con números Difinir y usar las operaciones con números complejos.complejos.

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3

DefiniciónDefinición

Un número de la forma a + bi donde a y b son números reales, se conoce como un número complejonúmero complejo . La a se conoce como la parte real y la b se conoce como la parte imaginaria del número complejo.

se conoce como la raíz imaginaria.1i

1 i

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4

Definición

Al conjunto de números

1;,/ 2 iRbRabiaC

se le conoce como el conjunto de números complejos.

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5

Ejemplos de números complejos:

i35 )1

i47 )2

i61 )3

i5 )4

7 )5

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6

Calcule las siguientes raíces.Calcule las siguientes raíces.

4 1 ￗ

11 i

1) 4

2) 25

3) 12

4) 11

i2

i5

2 3 i4 3 1ￗ ￗ

25 1 ￗ

Raíces pares de números negativosRaíces pares de números negativos

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7

81 )5 ( ) ( )1 4 2 1

1 2 2 i

1 4 2 1 ￗ ￗ

© copywriter

8

DefiniciónDefinición

Dos Dos números complejos son igualesnúmeros complejos son iguales si las partes reales si las partes reales son iguales y las partes imaginarias también son son iguales y las partes imaginarias también son iguales .iguales .

Si Si a + bi = c + di a + bi = c + di entonces entonces a = c a = c yy b = d. b = d.

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9

Ejemplo:Determine el valor de a y de b si

( ) ibia 5626

66 Si a 2 5y b

0a2

5b

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10

Potencias de i

, ,1, 1.i i

1 2 i3 2 1i i i i i ￗ ￗ

( ) ( )4 2 2 1 1 1i i i ￗEste último resultado hace que las potencias de i solo tengan como resultados a:

1i

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11

Procedimiento para simplificar potencias de iara simplificar potencias de i 1. Divida el exponente por 4 y el resultado será i elevado al residuo de la división.2. Para simplificar use;

a.

b.

c.

d. ii 3

1i i10 i

2 1i

© copywriter

12

Simplifica las potencias de iSimplifica las potencias de i

81) i 1

102) i 2 1i

5403) i 0 1i

0

20

20

12

14

135

4

5404

© copywriter

13

134) i i

2275) i i

2856) i 1

i

11277) i i

( ) 1714285

i( )1127 4 281 3

3i

3i

© copywriter

14

Definiciones de las Operaciones con Definiciones de las Operaciones con Números Complejos Números Complejos

( ) ( )1. : Suma a bi c di

( ) ( )idbca

( ) ( ) Ej 5em 1: 6plo 2 i i

( ) ( )5 6 1 2 i

i11© copywriter

15( ) ( )2. Resta : a bi c di

( ) ( )idbca

( ) ( ) 3Ejemplo 1: 2 6 3 i i

( ) ( )3 2 6 3i i

9 5i

( ) ( )a bi c di

La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.

© copywriter

16

( ) ( )Ejemplo 2 : 8 18 5 50

( ) ( )8 3 2 5 5 2i i

( ) ( )8 3 2 5 5 2i i

3 8 2 i

© copywriter

17

( ) ( )3. Multiplicación : .a bi c di

( ) ( )ac bd ad bc i Aclaración: La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios.

( ) ( )a bi c di ac ad i ￗ bc i ￗ 2bd i ￗ

( ) ( )1ac ad bc i bd

( ) ( )ac bd ad bc i © copywriter

18

( ) ( )Ejemplo 1: 4 2 3 5 i i21062012 iii

12 14 10i

i1422

( )12 20 6 10 1i i

© copywriter

19

( ) 2Ejemplo 2: 4 5 i

254016 i

i409

( ) ( )4 5 4 5i i 216 20 20 25i i i

( )16 40 25 1i

© copywriter

20

( ) 3Ejemplo 3: 2 3 i

46 9i

( ) ( )22 3 2 3i i

( ) ( )2 4 12 9 2 3i i i

( )( ) ( ) 4 12 9 1 2 3i i

( ) ( ) 4 12 9 2 3i i ( ) ( ) 5 12 2 3i i

210 15 24 36i i i 10 15 24 36i i

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21

El conjugado de se define por .

Definición

z a bi z a bi a bi

Encuentra el conjugado de cada

Ejemplo

núm

s:

ero.

1. 2 4

2. 2 4

3. 64

4. 12 24

5. 13

i

i

i

i

i422 4i

64i

12 24i

13

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22

8 7Ejemplo 1:

1 3

i

i

1 38 7 •

1 3 1 3

i

i

i

i

2

2

91

217248

i

iii

La división se hace multiplicando por el conjugadodel denominador.

( )( )

4. División: a bi

c di

.

a bi c d i

c d i c d i

￦ ￦ ￨

￨

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23

( )( )

8 17 21 1

1 9 1

i

8 17 21

1 9

i

10

1729 i

i10

17

10

29

© copywriter

24

4 5Ejemplo 2:

3

i

i

4 5

3

3 •

3

i

i

i

i

2

2

9

1512

i

ii

9

1512

i

© copywriter

25

9

1512

i9

15

9

12

i

3

5

3

4 i

i3

4

3

5

© copywriter

26

Ejercicios:Lleva a cabo la operación indicada.

( ) ( )1) 5 7 2i i

( ) ( )2) 3 12 6 3i i

( ) ( )3) 12 23 16 13i i

( ) ( )4) 13 32 36 53i i

( ) ( )5) 3 2 6 3i i © copywriter

27

( ) ( )6) 5 7 2i i

( ) ( )7) 3 12 6 3i i

1 28)

6 3

i

i

3 29)

6 3

i

i

© copywriter

28

( ) ( )1) 5 7 2i i 12 i

( ) ( )2) 3 12 6 3i i

( ) ( )3 12 6 3 i i 3 15 i

( ) ( )3) 12 23 16 13i i

( ) ( )12 23 16 13 i i 28 36 i© copywriter

29

( ) ( )4) 13 32 36 53i i 49 21 i

( ) ( )5) 3 2 6 3i i 218 9 12 6 i i i

( )18 21 6 1 i12 21 i

( ) ( )6) 5 7 2i i 235 10 7 2 i i i35 3 2 i

37 3 i

© copywriter

30

( ) ( )7) 3 12 6 3i i 218 9 72 36 i i i

18 63 36 i54 63 i

1 28)

6 3

i

i

1 2 6 3

6 3 6 3

i i

i i

2

2

6 3 12 6

36 9

i i i

i6 9 6

36 9

i 12 9

45

i 4 3

15

i© copywriter

313 29)

6 3

i

i3 2 6 3

=6 3 6 3

gi i

i i

218 9 12 6 =

36 9

i i i

18 3 6 =

36 9

i

24 3 =

45

i 8 =

15

i

© copywriter