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Universidad Técnica de Manabí
Facultad de Ciencias Matemáticas Físicas y Químicas
Redes Eléctricas I
Tema:
Números Complejos
Estudiante:
Lider Eduardo Pilligua Menéndez
Docente:
Ing. William Moreano
Carrera:
Ing. Eléctrica
Nivel:
V
Números Reales
• El cuerpo de los números reales se compone de los
correspondientes a los números racionales e irracionales.
Números Imaginarios
• La raíz cuadrada de un número real negativo es un número
imaginario.
Números Complejos
• Un número complejo 𝐳 es de la forma 𝒙 + 𝒋𝒚.
La Unidad Imaginaria
• La unidad imaginaria de los números complejos es −𝟏 que
la representamos con la letra 𝒊.
• De esta manera, 𝒊 = −𝟏 → 𝒊² = −𝟏𝟐= −𝟏
• Con la unidad imaginaria 𝒊 se pueden realizar operaciones como
suma, resta, multiplicación, etc.
Distintas formas de expresar un número
complejo
Forma binómica 𝒛 = 𝒙 + 𝒋𝒚
Forma polar 𝒛 =
Forma exponencial 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝜽
Forma trigonométrica 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒋𝒔𝒆𝒏𝜽)
Forma binómica (𝒂 + 𝒃𝒊)
• El número 𝒂 es la parte real del número complejo.
• El número 𝒃𝒊 es la parte imaginaria del número complejo.
• Los números complejos se representan en los ejes cartesianos;
donde :
o El 𝒆𝒋𝒆 𝒙 se llama eje real.
o El 𝒆𝒋𝒆 𝒚, se llama eje imaginario.
o El número complejo 𝒂 + 𝒃𝒊 se representa:
o Por el punto 𝒂 ; 𝒃 .
Representación Grafica
Tener en cuenta para todas las expresiones
que:
• 𝒓 es el argumento o módulo del numero complejo, se estima
usando Pitágoras.
𝒓 = 𝒂² + 𝒃²
• 𝜶 es el argumento del número complejo, se estima a partir de la
siguiente fórmula.
𝜶 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈𝒃
𝒂
Dependiendo del cuadrante al que
pertenece el número obtenemos.
Forma Polar 𝒁 = 𝒓𝜶
• Analizamos un ejemplo:
Forma Exponencial 𝒁 = 𝒓𝒆𝜶𝒊
• Como pueden observar poseen los mismo parámetros que en
la forma polar. Ejemplo:
Forma Trigonométrica 𝒁 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜶𝒊
• Ejemplo:
Conjugado de un número complejo
• El conjugado del número complejo 𝒛 = 𝒙 + 𝒋𝒚 es elcomplejo 𝒛∗ = 𝒙 − 𝒋𝒚.
• Las cuatro formas de escribir un número complejo 𝒛 y suconjugado correspondiente son:
Forma binómica 𝒛 = 𝒙 + 𝒋𝒚 𝒛∗ = 𝒙 − 𝒋𝒚
Forma polar 𝒛 = 𝒛∗ =
Forma exponencial 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝜽 𝒛∗ = 𝒓𝒆−𝒋𝜽
Forma trigonométrica 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒋𝒔𝒆𝒏𝜽) 𝒛∗ = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒋𝒔𝒆𝒏𝜽)
Operaciones de números complejos.
Suma y Resta de números complejos
• Para sumar dos números complejos, tenemos que sumar por
separado las partes reales y las partes imaginarias. Ejemplo:
• Y restamos por un lado las partes Reales, y por el otro las
imaginarias. Ejemplo:
𝟑 − 𝟐𝒊 𝑦 𝟓 + 𝟔𝒊
𝟒 − 𝟕𝒊 − (𝟔 − 𝟓𝒊)
Multiplicación de números complejos
• El producto de dos números complejos, escritos en forma
exponencial, se deduce inmediatamente de las propiedades de
la potenciación.
𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒓𝟏𝒆𝒋𝜽𝟏 𝒓𝟐𝒆
𝒋𝜽𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐𝒆𝒋(𝜽𝟏+𝜽𝟐)
• Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que.
• Si los complejos vienen dados en forma binómica se
multiplican como si fueran polinomios.
División de números complejos
• El cociente de dos números complejos, escritos en forma
exponencial, se deduce inmediatamente de las propiedades de
la potenciación.
𝒛𝟏𝒛𝟐
=𝒓𝟏𝒆
𝒋𝜽𝟏
𝒓𝟐𝒆𝒋𝜽𝟐
=𝒓𝟏𝒓𝟐
𝒆𝒋(𝜽𝟏−𝜽𝟐)
• Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que.
• Si los complejos vienen dados en forma binómica se multiplica
el numerador y denominador por el conjugado del
denominador.
Radicación
• Si calculamos la raíz cuadrada de un número complejo,
obtenemos dos resultados diferentes; si calculamos una cubica,
obtendremos tres; y así sucesivamente
Calculo de la raíz 𝒏 (𝒂 + 𝒃𝒊)
• La raíz enésima de un número complejo es otro número
complejo tal que:
o El módulo es la raíz enésima del módulo 𝒓` = 𝒏 𝒓.
o El argumento
o K= 0, 1, 2, 3 . . . (n – 1)
Ejemplo:
Logaritmo de un número complejo
• El logaritmo natural de un número complejo se halla muy
fácilmente se este se escribe en forma exponencial.
𝐥𝐧 𝒛 = 𝐥𝐧 𝒓𝒆𝒋(𝜽+𝟐𝝅𝒏) = 𝐥𝐧𝒓 + 𝐥𝐧 𝒆𝒋(𝜽+𝟐𝝅𝒏) = 𝐥𝐧𝒓 + 𝒋(𝜽 + 𝟐𝝅𝒏)
• El resultado que se obtiene, pues, no es único. Se llama valor
principal del logaritmo al que corresponde a 𝒏 = 𝟎, y es el que
se considera con más frecuencia.
Gracias