Frekvencijske karakteristike, rezonancija i snaga u izmjeničnim strujnim mrežama

Luka Božičević,Filip Cindrić,

Đani Džemal Haskić,Ružica Lončar i Marko Šterpin

Frekvencija

• Frekvencija je fizikalna veličina kojom se izražava broj titraja u određenom vremenskom intervalu

• U Međunarodnom sustavu jedinica (SI), rezultat se mjeri jedinicom herc (Hz)

Sinusoidni valovi

Pri promjeni frekvencije: Pri frekvenciji ω0 imaginarni dio impedancije jednak je nuli. Frekvencija ω0 naziva se rezonantna frekvencija i krug je u rezonanciji:

Faktor dobrote:bezdimenziona mjera sposobnosti kruga da proizvede rezonanciju

Amplitudna frekvencijska karakteristika• Amplitudno-fazna frekvencijska

karakteristika sustava predstavlja ovisnost amplitude i faze izlazne harmonijske funkcije o frekvenciji ulazne harmonijske funkcije sustava.

• NPR - Amplitudna frekvencijska karakteristika daje podatak o ovisnosti amplitude napona na izlazu mikrofona o frekvenciji zvučnog vala

• Za amplitudnu frekvencijsku karakteristiku su karakteristične donja i gornja granična frekvencija

• Unutar prijenosnog frekvencijskog područja amplituda je u pravilu vrlo malo ili nimalo ovisno o frekvenciji

Amplitudsko-fazna frekvencijska karakteristika

Amplitudsko-fazna frekvencijska karakteristika (AFFK, Nikvistov dijagram) je geometrijsko mjesto točaka određeno amplitudom i fazom kompleksne funkcije prijenosa. Crta se za učestanosti na intervalu od 0 do + beskonačno.

Amplitudsko i fazno frekvencijska karakteristika To su dijagrami koji prikazuju zavisnost amplitude i faze.

Bodeovi dijagrami

• Asimptotski prikaz amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike

• Svrha je grubo skicirati tijek frekvencijskih karakteristika

Logaritamske karakteristike

Prilikom crtanja logaritamske amplitudske karakteristike na ordinatnu os se nanosi :

Na apscisnu os nanosi se kružna frekvencija ω u logaritamskoj skali, odnosno nanose se delovi koji odgovaraju veličini logω, ali se označavaju vrjednosti frekvencije ω [rad/s]. Na sličan način se crta i logaritamska fazna karakteristika, pri čemu se na apcisnoj osi nanosi frekvencija u logaritamskoj skali, a na ordinati pripadajući fazni ugao.

Dijagrami raznih karakteristika:

 je fizikalna pojava koja nastaje kod sustava koji prisilno titra kada se pri određenoj frekvenciji pobude postiže maksimalna amplituda titranja. Izraženost rezonancije ovisi o prigušenju, tj. omjeru energije gubitaka i ukupne energije u sustavu.Pojave rezonancije se uočavaju u mnogim područjima fizike: mehanici, akustici, elektrotehnici, atomskoj i nuklearnoj fizici.

Rezonancija

Pojam rezonancije povezan je s porastom intenziteta titraja kada se učestalost vanjske sile koja uzrokuje titraje podudara s učestalošću rezonantne frekvencije sustava.

Tijekom tog procesa dolazi najčešće do naizmjenične pretvorbe jednog oblika energije u drugi, kao na primjer kinetičke u potencijalnu ili energije električnog polja u energiju magnetskog polja.

Prepoznatljiva je karakteristika rezonantnih sustava da, jednom pobuđeni, mogu samostalno titrati još neko vrijeme koje ovisi o prigušenju titrajnog sustava.

Primjer u mehanici: Zamislimo obično njihalo, kuglicu na niti. Ono ima neku svoju vlastitu frekvenciju, što znači da ako ga jednom zatitraš, ono će dalje titrati periodički tom svojom vlastitom frekvencijom.Ako djeluješ na sustav nekom vanjskom, periodičnom silom tj. ako pravilno odabereš razmake između tvojih udaraca, amplituda njihanja kuglice će se početi povećavati tj. frekvencija vanjske sile je ista kao i vlastita frekvencija sustava, pa kažemo da je vanjska sila u rezonanciji sa sustavom.Ako odabereš neku drugu frekvenciju udaranja u kuglicu, amplituda njihanja se neće povećavati, možda će se čak i smanjivati.

Ostali mehanički rezonantni susatvi :Brojni su primjeri mehaničkih sustava koji ispoljavaju rezonantna svojstva, kao što su na primjer glazbene viljuške, različite šipke, odgovarajuće učvršćena užad i drugi. Razmatranje rezonantnih svojstava kod takvih fizikalnih sustava je, međutim, znatno složenije jer ovisi ne samo o veličini, masi i elastičnosti, već i o raspodjeli mase te vrlo često i o pojavi stojnih valova kao oblika titranja.

Premda postoje brojne vrste fizikalno različitih vrsta titranja, posebno je zanimljiva pojava rezonancije u električnim titrajnim krugovima.

Najjednostavniji titrajni električni sustav sastoji se od električne zavojnice i električnog kondezatora s odgovarajućim nazivnim električnim induktivitetom, odnosno električnim kapacitetom. Pobuđeni impulsom iz odgovarajućeg električnog izvora, titrajni krug će zatitrati na način da će energija određenom učestalošću naizmjence prelaziti sa zavojnice na kondenzator i natrag na zavojnicu

Električni rezonantni sustav može biti predočen, na primjer, serijskim titrajnim krugom sastavljenim od idealnog induktiviteta L i idealnog kapaciteta C, gdje titrajni krug ne sadrži radne otpore koji bi uzrokovali gubitke energije. Pobudimo li takav titrajni krug na titranje, strujnim krugom će poteći struja kao odziv titrajnog kruga na pobudu. Ukoliko je u titrajnom krugu prisutan i otpor, titrajni krug će zatitrati na nešto nižoj frekvenciji.

Električni rezonantni sustavi imaju svojstvo da im u frekvencijskom području rezonancije električna impedancija poprima ekstremne vrijednosti što ima i odgovarajući utjecaj na veličinu električne struje u strujnom krugu kao odziva na vanjsku pobudu.Električna impedancija serijskog titrajnog kruga bi u idealnim uvjetima na rezonantnoj frekvenciji postala jednaka nuli, a električna impedancija paralelnog titrajnog kruga u istim uvjetima beskonačno velika

Akustički rezonantni sustavi:Akustički rezonantni sustavi su tvorevine unutar kojih titra zrak. To titranje se, u osnovi, može pojaviti u dva oblika. Prvi oblik se pojavljuje, na primjer, u zvučničkoj bas-refleksnoj kutiji gdje masa zraka u otvoru bas-refleksa stupa u rezonanciju s elastičnošću zraka zatvorenog u samoj zvučničkoj kutiji. Drugi oblik takvog titranja javlja se u obliku strujnog vala stupca zraka zatvorenog u dugoljast prostor s otvorom na vrhu i osnova je konstrukcije brojnih glazbenih instrumenata.

Teorija koja stoji iza tog fenomena predviđa da u rezonanciji amplituda titraja raste linearno s vremenom. U realnim sustavima (npr. automobil, most preko rijeke, visoki zvuk) to može dovesti do ozbiljnih oštećenja/raspadanja. Zato konstuktori moraju dobro poznavati svojstva sustava i sve njegove vlastite frekvencije.

Rezonancija 2 tijela

Snaga izmjenične struje• Pri izmjeničnoj struji napon i struja vremenski su

promjenjive veličine, te je onda i snaga izmjenične struje vremenski promjenjiva veličina

• Električna snaga = Brzina promijene Električne energije(w) s vremenom(t)

• Stoga se može iskazati kao P= W/t

• Kako je električna energija razmjerna električnom naponu, jakosti električne struje i vremenu, ona je pri stalnoj istosmjernoj struji:  W = U * i * t

• Električna snaga (P) jednaka je umnošku električnog napona (U) i električne struje (I) : P= U * i

• Mjerna jedinica električne snage (P) je umnožak volta i ampera, koji se naziva vat (W).

• Električna snaga izvora jednaka je brzini stvaranja električne energije dok je snaga trošila brzina kojom će u trošilu električna energija obavljati rad

• Stoga se snaga trošila može izraziti i kao brzina obavljanja rada.

• To se najbolje uočava kod elektrotermičkih trošila, kojima je glavno obilježje djelatni električni otpor R.

Primjeri elektrotermičkih trošila u kućanstvu:

• Kod izmjenične električne struje električna je snaga promjenljiva, a njezina trenutačna vrijednost jednaka je umnošku trenutačnih vrijednosti električnog napona i struje

• Za razliku od istosmjerne struje snaga (P) u izmjeničnoj struji osim o efektivnim vrijednostima napona(U) i struje (I) ovisi i o kosinusu kuta faznog pomaka (φ):

P = UIcos φ  • Faktor (cos φ ) je zapravo faktor snage, koji ovisi o vrsti

trošila priključenoga na izvor napona, a njegova vrijednost se može kretati od 0 do 1.

• Ovisno o kutu faznoga pomaka φ, razlikovat će se položaj krivulje trenutačnih vrijednosti snage prema vremenskoj osi koordinatnoga sustava.

• Tri su karakteristična položaja: za omski otpornik φ = 0, za idealnu električnu zavojnicu φ = 90° te za stvarno trošilo, npr.električni motor, 0 < φ < 90°.

• U izmjeničnim strujnim krugovima čija se impedancija sastoji od djelatnih i reaktivnih otpora, postoje tri snage:

• 1. Djelatna (radna) snaga P (W) (snaga o kojoj ovisi rad trošila)

• 2. Jalova snaga Q (VAr) (ne sudjeluje u korisnom radu trošila, a potrebna je u elektroenergetskoj mreži za postizanje promjenjivog magnetskog polja)

• 3. Prividna snaga S (VA) (umnožak efektivnih vrijednosti električnog napona i električne struje)

Djelatna snaga-snaga na otporniku R-• Djelatna snaga je snaga o kojoj ovisi rad trošila. • Snaga se prenosi od izvora do trošila na kojemu se

sva pretvara u drugi oblik energije (toplinu, mehanički rad, rasvjetu, i sl.)

• Djelatna snaga predstavlja umnožak napona i djelatne struje na trošilu, te postaje pokazatelj energetske moći tek kada se pomnoži sa faktorom snage trošila: P =UI cosϕ [W]

Fazni pomak između napona i struje: φ = φ U – φI = 0

• Snaga izmjenične struje P = UI je uvijek pozitivna veličina to znači da se električna energija prenosi samo od izvora do trošila na kojemu se sva pretvara u neki drugi oblik energije (toplinu, mehanički rad, rasvjetu i sl.)

• Zato se i naziva djelatna (radna) snaga

Snaga na kondenzatoru C:

Fazni pomak izmjenične struje pred izmjeničnim naponom za ϕ=90°, tj ¼ periode.

Kada bismo na izvor IZMJENIČNOG NAPONA u(t)=Umax · sinω t [V],priključili kondenzator C, kroz kondenzator bi protjecala struja koja će prema izrazu :i(t)=ωC · Umax ·sin (ωt+π/2) [A] fazno prethoditi naponu za 90°, tj i(t)=Imax · sin(ωt +90°) [A].

Snaga na kondenzatoru C:S obzirom da trenutna snaga na kondenzatoru C oscilira dvostrukom (2ω) frekvencijom između maksimalne vrijednosti: pmax= U·I [W],I minimalne vrijednosti: pmin= -U·I [W].

Slikom prikazujemo trenutnu vrijednost snage p(t) na kondenzatoru C:

Snaga na kondenzatoru C:• Odredimo li trenutnu snagu p(t) na kondenzatoru C,

uvrštavajući fazni pomak (ϕ= 90°) u izraz:

p(t)=U·I [cos (ϕ)-cos(2ωt –ϕ)] [W] p(t)=U·I [ cos (90°)-cos(2ωt – 90°)] [W]

• Dobivamo:p(t)=U·I·sin(2ωt) [W]

Snaga na kondenzatoru C:

Površine ispod krivulje predstavljaju

energiju izmjenične struje. Budući da površine imaju pozitivne i negativne predznake, objašnjava to da se energija unutar strujnoga kruga kreće.

Snaga na kondenzatoru C:• Za vrijeme trajanja pozitivne (+) poluperiode, kondenzator C

će primati energiju od izvora; dok će za vrijeme trajanja negativne (-) poluperiode kondenzator C vraćati primljenu energiju kroz strujni krug- izvoru izmjeničnog napona.

• Slijedi: Budući da su površine pozitivnih (+) i negativnih (-) poluperioda jednake, iznosi energije će u oba slučaja biti jednaki.

Snaga na kondenzatoru C:

• Zaključak: Kod zaključivanja možemo reći da energija oscilira između

izvora napona i kondenzatora, ali se pri tome niti jedan dio te energije ne može iskoristiti, bilo za obavljanje nekog rada ili pak za pretvorbu te energije u neki drugi oblik.

Snaga na zavojnici L:

Struja fazno kasni za naponom za 90°.Kada bismo na izvor IZMJENIČNOG NAPONA u(t)=Umax ·sinωt [V], priključili zavojnicu L, kroz zavojnicu bi protjecala strujai(t)= Imax ·sin(ωt – 90°) [A], koja bi fazno kasnila za naponom za 90°.

Snaga na zavojnici L:S obzirom da trenutna snaga na zavojnici oscilira dvostrukom (2ω) frekvencijom između minimalne vrijednosti:pmin= -U·I [W], I maksimalne vrijednosti:pmax=U ·I [W].Slikom prikazujemo trenutnu vrijednost snage p(t) na zavojnici L:

Snaga na zavojnici L:• Odredimo li trenutnu snagu p(t) na zavojnici L, uvrštavajući

fazni pomak (ϕ=90°)u izraz: p(t)=U·I [ cos(ϕ)-cos(2ωt –ϕ)] [W]

• p(t)=U·I [cos(-90°)- cos(2ωt- (-90°)] [W]• p(t)=U·I [-cos(90°)- cos(2ωt + 90°)] [W]

• Dobivamo: p(t)= -U·I·sin(2ωt) [W]

Ako usporedimo trenutne vrijednosti snage na kondenzatoru C i snage na zavojnici L, uočiti ćemo razlike:

Grafički prikaz snage kondenzatora C: Grafički prikaz snage zavojnice L:

Snaga na zavojnici L: Uočit ćemo da kondenzator C prvo mora primiti energiju od

izvora, te je zatim vraća izvoru (vraćanje u trajanju negativne poluperiode); dok zavojnica L energiju pohranjuje u svom magnetskom polju, te uslijed vremenske promjene struje koja kroz zavojnicu protječe dolazi do pojave elektromagnetske indukcije.

S obzirom na to, zavojnica L će prvo slati energiju kroz strujni izvor- u izvor napona, a zatim energiju od izvora napona primati na sebe.

Trokut snage• Električka snaga – sposobnost vršenja rada u

vremenu iz izvora izmjeničnog napona te se raspodijeljuje po elementima izmjeničnog strujnog kruga

Radna snaga• Dio električke energije koji na sebe preuzme

otpornik R može se pretvoriti u koristan rad tako da se snaga disipira na otporniku R

• Označava se s slovom P• Mjeri se u watima [W]• Općeniti izraz za radnu snagu je :

• DEFINICIJA : Radna snaga jednaka je produktu efektivne vrijednosti struje, napona i faktora snage

• Faktor snage je cos 𝜑• Ako je : a) 𝜑=0 tada je cos𝜑=1 i vrijedi da nema

reaktivnih elemenata ili se djelovanja zavojnice i kondenzatora poništavaju

b) = +( /2) ili –( /2) tada je cos =0 i 𝜑 𝜋 𝜋 𝜑vrijedi da u mreži nema otpora R tj. da se ne troši energija pa je radna snaga jednaka nuli ( P=0)

Jalova (reaktivna) snaga• Između izvora izmjeničnog napona te

kondenzatora i zavojnica u strujnom krugu oscilira dio ukupne električke energije

• DEFINICIJA : Oscilirajuća energija se ne može utrošiti za obavljanja korisnog rada

• Označavamo je s oznakom Q• Mjeri se u reaktivnim voltamperima [VAR]• Općeniti izraz za jalovu snagu je :

• Jalova snaga ukazuje na prisutnost energije električnog i magnetskog polja u mreži

Prividna snaga• Predstavlja maksimalan iznos snage koja bi se

teoretski mogla dobiti iz energije a koju je u strujni krug predao izvor izmjeničnog napona

• Označava se s slovom S• Mjeri se u voltamperima [VA]• Općeniti izraz za prividnu snagu je :

• Snaga generatora, transformatora, električnih strojeva i uređaja ovisi o režimu rada pa se za njih ne daje podatak o radnoj snazi već se daje tzv. prividna snaga

• DEFINICIJA : Prividna snaga je jednaka produktu nominalnog napona i nominalne struje

Slikovito opisane tri različite snage

𝜑

Primjer : Prividne, radne i jalove snage

Literatura• Elektrotehnika 2 udžbenik, mr.sc. Gordan Đurović,

Rijeka, 2008.god.• http://www.veleri.hr/files/datoteke/nastavni_materijali/

k_sigurnost_1/ELEK_POG_05.pdf• http://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?id=17571 • http://hertz.cc.fer.hr/Snaga-izm.pdf• Uvod u elektrotehniku i elektroniku,prof.dr. Tihomir

Jelaković, Zagreb,1989.god.• Osnove elektrotehnike II , prof.dr.sc. Branislav

Kuzmanović, Zagreb, 1997.god.

• https://hr.wikipedia.org/wiki/Rezonancija• http://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?ID=52667• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/reson.html• http://www.stmary.ws/HighSchool/Physics/home/notes/wave

s/resonance/Resonance.htm• http://hertz.cc.fer.hr/frekv.pdf• https://hr.wikipedia.org/wiki/Frekvencija• http

://www.riteh.uniri.hr/zav_katd_sluz/zae/ort/materijali/vjezbe/ort_vj_08_bode_asimptotski.pdf